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PROF. ENZO MARCON TAKARA<br />
EDIÇÃO 2013<br />
1
INDICE<br />
PRISMAS ..........................................................................................................................................03<br />
PARALELEÍPIDO E CUBO...................................................................................................................08<br />
CILINDRO..........................................................................................................................................12<br />
PIRÂMIDE.........................................................................................................................................16<br />
CONE................................................................................................................................................22<br />
ESFERA.............................................................................................................................................26<br />
SECÇÃO TRANSVERSAL, SÓLIDOS SEMELHANTES E TRONCOS........................................................31<br />
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS.....................................................................................34<br />
DIEDROS, RELAÇÃO DE EULER E SÓLIDOS DE PLATÃO....................................................................38<br />
SÓLIDOS NA FUVEST PRIMEIRA FASE..............................................................................................40<br />
SÓLIDOS NA FUVEST SEGUNDA FASE..............................................................................................44<br />
SÓLIDOS NA UNICAMP PRIMEIRA FASE...........................................................................................48<br />
SÓLIDOS NA UNICAMP SEGUNDA FASE...........................................................................................49<br />
SÓLIDOS NA UNESP PRIMEIRA FASE................................................................................................53<br />
SÓLIDOS NA UNESP CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS......................................................................56<br />
SÓLIDOS NA UNIFESP CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS...................................................................60<br />
SÓLIDOS NO ITA..............................................................................................................................61<br />
SÓLIDOS NO MACKENZIE................................................................................................................63<br />
SÓLIDOS NA GV..............................................................................................................................66<br />
SÓLIDOS NA PUC............................................................................................................................68<br />
2
PRISMAS<br />
1-CONCEITO: Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em<br />
planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.<br />
2-ASPECTOS GEOMÉTRICOS<br />
2.1- Os polígonos que formam a base e a tampa são congruentes.<br />
2.2- As arestas laterais são paralelas e todas têm a mesma medida.<br />
2.3-Se as arestas laterais forem perpendiculares a base temos um prisma reto , caso contrário temos um prisma<br />
oblíquo.<br />
2.3- Se o prisma for reto as faces laterais são retangulares se for oblíquo as faces laterais formam um<br />
paralelogramo<br />
PRISMA PENTAGONAL RETO<br />
PRISMA PENTAGONAL OBLÍQUO<br />
3-SECÇÃO TRANSVERSAL É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às<br />
bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.<br />
4-PRISMA REGULAR É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases,<br />
sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.<br />
Em outras palavras a base é um polígono regular ( eqüiângulo e eqüilátero)<br />
3
PRISMA HEXAGONAL REGULAR.<br />
5- CÁLCULO DA ÁREA DA BASE: Para calcular a área da base de um prisma depende do formato da base. As<br />
faces com maior freqüência nos vestibulares, são triangulares, quadrangulares e hexagonais.<br />
6- ÁREA LATERAL: É a soma de todas as áreas das faces laterais do prisma.<br />
Se o prima for regular todas as faces laterais têm a mesma área, então basta calcular uma delas e multiplicar<br />
pelo número de faces.<br />
7- ÁREA TOTAL: É a soma da áreas da base com a área da tampa e com a área lateral. A tampa também<br />
é considerada como base.<br />
8-VOLUME: É o produto da área da base pela altura do prisma.<br />
Se o prisma for reto a altura é congruente a aresta lateral.<br />
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE PRISMAS<br />
01-(FEI) De uma viga de madeira de seção quadrada de lado 10 cm extrai-se uma cunha de altura h = 15 cm,<br />
conforme a figura. O volume da cunha é (em cm³)<br />
a) 250 b) 500 c) 750 d) 1000 e) 1250<br />
4
02-(PUC) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a<br />
seguir, são dadas as dimensões, em metros, do prisma:<br />
O volume desse tanque, em metros cúbicos, é<br />
a) 50b) 60c) 80d) 100e) 120<br />
03-(MACK) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m 2 de área lateral. Seu<br />
volume vale<br />
a) 16 m 3 b) 32 m 3 c) 64 m 3 d) 4 3 m³ e) 16 3 m³<br />
4-(METODISTA) Se um prisma hexagonal regular de altura 6 cm possui volume igual a 1728 3 cm³, é<br />
verdadeiro afirmar que<br />
a) a área lateral é igual à metade da área da base.<br />
b) a área lateral é igual à área da base.<br />
c) a área lateral é igual ao dobro da área da base.<br />
d) a área lateral é igual ao quádruplo da área da base.<br />
e) a área lateral é igual ao triplo da área da base.<br />
5-(PUC) Um prisma reto é tal que sua base é um triângulo equilátero cujo lado mede 4 3 cm e seu volume é<br />
igual ao volume de um cubo de aresta medindo 4<br />
é<br />
a)24 3 b)192 3 c)204 3 d)216 3 e)228 3<br />
3 cm . a área total desse prisma, em centímetros quadrados,<br />
6-(ESAL) Num prisma triangular, regular e reto, todas as arestas têm a mesma medida, e o volume é de 0,375 u³.<br />
a aresta, medida em unidades de comprimento , é igual à raiz cúbica de :<br />
a)1 b)1/3 c) 3 /2 d) 3 /4 e)1/2<br />
7-(MACK) A área total de um prisma triangular cujas arestas são todas congruentes entre si e cujo volume é<br />
54 3 vale<br />
a)18 3 +108 b)108 3 +18 c)108 3 -18 d)54 3 +16 e)36 3 +12<br />
8-(PUC) A base de um prisma reto é um triângulo de lados iguais a 5m, 5m e 8 m e a altura tem 3m. O seu<br />
volume será , em m³:<br />
a)12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60<br />
9-(UF) A figura a seguir representa a planificação de um sólido. O volume deste sólido é<br />
5
a) 20 3 b) 75 c) 50 3 d) 100 e) 100 3<br />
10-(UECE) Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 m e 4 m. Se a altura<br />
deste prisma é igual à hipotenusa do triângulo da base, então seu volume, em m², é igual a:<br />
a) 60 b) 30 c) 24 d) 12<br />
11-(UF) A figura abaixo representa um prisma reto, de altura 10 cm, e cuja base é o pentágono ABCDE. Sabendose<br />
que AB = 3 cm e BC = CD = DE = EA = 2 cm, calcule o volume do prisma.<br />
12-(PUC) Na figura a seguir tem-se o prisma reto ABCDEF, no qual DE = 6 cm, EF = 8 cm e DE é perpendicular a<br />
EF. Se o volume desse prisma é 120 cm³, a sua área total, em centímetros quadrados, é<br />
a) 144 b) 156 c) 160d) 168 e) 172<br />
13-(UF) A figura abaixo ilustra um prisma ABCDEFGH de base retangular de dimensões 4 e 7. A face ABFE é<br />
perpendicular ao plano da base do prisma e a face BCGF forma um ângulo de 30° com o plano da base do<br />
prisma. Qual o volume do prisma, se a aresta BF mede 6<br />
6
14-(UF) Um prisma hexagonal regular de altura igual à aresta da base<br />
Se a altura do prisma é 2, seu volume é<br />
a) 4 3 b) 6 3 c) 8 3 d) 10 3 e) 12 3<br />
15-(PUC) O número de arestas de um prisma pentagonal é<br />
a) 5 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20<br />
1)C 2)D 3)E 4)B 5)D 6)C 7)A 8)C 9)B 10)B 11)<br />
15)D<br />
GABARITO EXERCÍCIOS BÁSICOS PRISMAS<br />
3 7<br />
4<br />
6<br />
3<br />
.10 cm<br />
12)D 13)84 14)E<br />
7
PARALELEPÍPEDO E CUBO<br />
1-CONCEITO DE PARALELEPÍPEDO: É um prisma que possui em suas bases um paralelogramo. Sendo que o<br />
paralelepípedo é configurado pela reunião dos seis paralelogramos que o constituem.<br />
2-PARALELEPÍPEDO RETO É aquele onde todas as arestas são perpendiculares entre si.<br />
3-CUBO (HEXAEDRO REGULAR): É o paralelepípedo reto que tem todas as arestas congruentes<br />
4-PARA CALCULAR EM UM PARALELEPÍPEDO<br />
8
4.1-DIAGONAL:<br />
d<br />
a<br />
2<br />
b<br />
2<br />
c<br />
2<br />
No triângulo ABD aplica-se o Teorema de Pitágoras.<br />
f ² = a² + b² ( eq 1 )<br />
No triângulo BDD aplica-se novamente o Teorema de Pitágoras<br />
d ² = f² + c² ( eq 2 )<br />
Substituindo a eq1 na eq 2 temos<br />
d ² =a² + b² + c ²<br />
Extraindo a raiz quadrada dos dois lados da igualdade, obtemos<br />
2 2 2<br />
d a b c<br />
4.2- ÁREA TOTAL: É a soma de todas as faces de um paralelepípedo.<br />
At= 2ab + 2 ac + 2 bc, ou seja<br />
At= 2 ( ab + AC + BC)<br />
4.3-VOLUME: É o produto de todas as dimensões do paralelepípedo.<br />
V = a.b.c<br />
5- PARA CALCULAR EM UM CUBO.<br />
Lembre-se que um cubo é um paralelepípedo em que todas as arestas são iguais.<br />
Considerando um cubo de aresta a , basta substituir a letra a nas letras b e d nas fórmulas do paralelepípedo.<br />
5.1-DIAGONAL: d a 3 ( NÃO CONFUNDIR COM A DIAGONAL DE UMA FACE QUE É DF=a 2 )<br />
5.2-ÁREA TOTAL: At= 6a²<br />
5.3-VOLUME: V = a³<br />
9
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE PARALELEPÍPEDO E CUBO<br />
01-(UNESP) Uma piscina retangular de 10,0 m x 15,0 m e fundo horizontal está com água até a altura de 1,5 m.<br />
Um produto químico em pó deve ser misturado à água à razão de um pacote para cada 4500 litros. O número de<br />
pacotes a serem usados é:<br />
a) 45b) 50c) 55d) 60e) 75<br />
02-(FUVEST) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm são levados juntos<br />
à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm.<br />
O valor de x é:<br />
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20<br />
03-(FUVEST) Dispondo-se de uma folha de cartolina, medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura,<br />
pode-se construir uma caixa aberta, cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha. O<br />
volume dessa caixa, em cm³, será :<br />
a) 1244 b) 1828 c) 2324 d) 3808 e) 12000<br />
04-(UFPA) Um paralelepípedo retângulo de dimensões 2, 3 e 5 cm tem a diagonal igual a :<br />
a) 38 b) 35 c) 32 d) 2 32 e) 3) 35<br />
15-(MACK) Um paralelepípedo retângulo tem arestas medindo 5, 4 e k. Se sua diagonal mede 3<br />
k é :<br />
a) 20 b) 10 c) 9 d) 7 e) 3<br />
10 , o valor de<br />
06-( GV ) Um cubo tem 96 m² de área total. De quanto deve ser aumentada a sua aresta para que o seu volume<br />
se torne igual a 216 m³<br />
a) 1m b) 0,5 m c) 9m d) 2m e) 3m<br />
07-(FUVEST) Um reservatório tem a forma de um paralelepípedo reto retangular e mede 0,5 m de largura, 1,2 m<br />
de comprimento e 0,7 m de altura. Estando o reservatório com certa quantidade de água, coloca-se dentro dele<br />
uma pedra com forma irregular, que fica totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água<br />
sobe 1 cm. Isto significa que o volume da pedra é de:<br />
a) 0,6m³ b) 6m³ c) 6dm³ d) 6cm³ e) 600cm³<br />
08-(MACK) Uma piscina com 5m de comprimento, 3m de largura e 2m de profundidade tem a forma de um<br />
paralelepípedo retângulo. Se o nível da água está 20cm abaixo da borda, o volume de água existente na piscina<br />
é igual a:<br />
a) 27000cm³ b) 27000m³ c) 27000 litro<br />
d) 3000 litros e) 30m³<br />
09-(UF) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros.<br />
A medida de sua diagonal, em centímetros, é<br />
a) 0,8 3 b) 6 c) 60<br />
d) 60 3 e) 900 3<br />
10-(UF) Um cubo possui aresta 4cm. A sua diagonal mede:<br />
a) 4 3 cm b) 2 3 cm c) 4 2 cm d) 2 2 cm e) 2 cm<br />
11-(CESGRANRIO) Se a diagonal de uma face de um cubo mede 5 2 , então o volume desse cubo é:<br />
10
a) 600 3 . b) 625 c) 225 d) 125 e) 100 3 .<br />
12-(PUCCAMP) Um bloco maciço de ferro tem a forma de um paralelepípedo retângulo com dimensões de 15<br />
cm de comprimento, 7,5 cm de largura a 4 cm de altura. Quantos gramas tem esse bloco, se a densidade do<br />
ferro é 7,8 g/cm³<br />
a) 35,1b) 234c) 351d) 2340e) 3510<br />
13-(UNIRIO) Na fabricação da peça da figura, feita de um único material que custa R$ 5,00 o cm², deve-se<br />
gastar a quantia de:<br />
a) R$ 400,00b) R$ 380,00c) R$ 360,00d) R$ 340,00e) R$ 320,00<br />
14-(PUC-RIO) Considere um paralelepípedo retangular com lados 2, 3 e 6 cm. A distância máxima entre dois<br />
vértices deste paralelepípedo é:<br />
a) 7 cm.b) 8 cm.c) 9 cm.d) 10 cm.e) 11 cm.<br />
15-(UFSCAR) Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60cm, então o volume desse cubo, em<br />
centímetros cúbicos, é<br />
a) 125.b) 100.c) 75.d) 60.e) 25.<br />
GABARITO: PARALELEPÍPEDO E CUBO<br />
1)B 2) D 3)D 4) A 6)D 6)D 7)C 8)C 9)D 10)A 11)D 12)E 13)B 14)A 15)A<br />
11
CILINDROS<br />
01-CONCEITO: Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma<br />
extremidade no círculo.<br />
A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz.<br />
Podemos também definir cilindro como sendo o sólido formado pela rotação completa de um retângulo em torno<br />
de um de seus lados.<br />
02-TIPOS: Como prismas, podem ser de dois tipos: retos e oblíquos.<br />
CILINDRO RETO<br />
CILINDRO OBLÍQUO<br />
03-CONCEITOS IMPORTANTES<br />
3.1- Eixo de simetria: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".<br />
3.2- Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".<br />
Se o cilindro for reto a altura tem a mesma medida da geratriz.<br />
12
04-O QUE CALCULAR EM UM CILINDRO:<br />
4.1-Área da Base:<br />
2<br />
Ab= .r<br />
4.2-Área lateral: Se planificarmos um cilindro, a área da base é equivalente a um retângulo de lados<br />
altura h, portanto a sua areal lateral é :<br />
Al = 2. .r. h<br />
2.<br />
. r e<br />
4.3-Área total: É a soma da área lateral mais a base mais a tampa .Como a tampa tem a mesma área da<br />
base, podemos dizer que At= Al + 2. Ab, logo<br />
2<br />
At= 2 . .r. h + 2. .r<br />
4.4-Volume: É o produto da área de base pela altura.<br />
V . r<br />
2 . h<br />
4.5-Secção Meridiana: É um corte no sentido vertical ( meridional) que contém o eixo de simetria do cilindro. A<br />
secção meridiana é um retângulo onde um dos lados é o diâmetro da base e a altura a própria altura do cilindro.<br />
Na figura é o retângulo ABCD<br />
Sm=2r.h<br />
13
05-CILINDRO EQUILÁTERO:<br />
É o cilindro reto cuja altura tem a mesma medida do diâmetro da base.<br />
Note que a secção meridiana de um cilindro eqüilátero é um quadrado<br />
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE CILINDROS<br />
1-(UFPA) Um cilindro circular reto tem o raio igual a 2 cm e a altura 3 cm. Sua superfície lateral mede, em cm²:<br />
a) 6 b)9 c) 12 d) 15 e) 16<br />
2-(FUVEST) A base de um cilindro de revolução é equivalente à secção meridiana. Se o raio da base é unitário,<br />
então a altura do cilindro é:<br />
a) b)1/2 c) d) /2 e) /2<br />
3-(UBERABA) A área total de um cilindro vale 48<br />
8 m. Então, em m³, o volume do sólido é :<br />
a) 75 b) 50 c) 45 d) 25 e) 15<br />
m² e a soma das medidas do raio da base e da altura é igual a<br />
4-(UNESP) Atira-se uma pedra de forma irregular em um vaso cilíndrico de 1,2 m de diâmetro da base em parte<br />
cheio de água. Qual o volume da pedra, em m³, se em conseqüência da imersão a água elevou-se 0,54 m ( =<br />
3,14 )<br />
14
a) 0,610 b) 0,620 c) 0,580<br />
d) 0,850 e) 0,575<br />
5-(UFPA) A área lateral de um cilindro de revolução é metade da área da base. Se o perímetro de sua secção<br />
meridiana é 18 m, o volume, em m³, vale:<br />
a) 8 b)10 c)12 d)16 e)20<br />
6-(UBERLÂNDIA) A área total de um cilindro vale 48<br />
igual a 8 m. Então, em m³, o volume do sólido é :<br />
a)75 b)50 c)45 d)25 e)15<br />
m² e a soma das medidas do raio da base e da altura é<br />
7-(UFMG) Um cilindro circular reto, de ouro maciço, tem o raio da base igual a 2 cm e a altura igual a 10 cm.<br />
Sendo a densidade do ouro 19g/cm³, a massa total do cilindro, em gramas é :<br />
a)950 b)760 c)570 d)380 e)190<br />
8-(UFPA) o reservatório tubinho de tinta de uma caneta esferográfica tem 4 mm de diâmetro e 10 cm de<br />
comprimento. Se você gasta 5 mm³ de tinta por dia, a tinta de sua esferográfica, em dias, durará:<br />
a)20 b)40 c)50 d)80 e)100<br />
9-(PUC) As projeções ortogonais de um cilindro sobre dois planos perpendiculares, são, respectivamente, um<br />
círculo e um quadrado. Se o lado do quadrado é 10, qual é o volume do cilindro<br />
a)1000 b)750 c)500 d)250 e)100<br />
10-(PUC) Se triplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado<br />
por:<br />
a)3 b)6 c)9 d)12 e)15<br />
1)C 2)D 3)C 4)A 5)D 6) 7)B 8)D 9)D 10)C<br />
GABARITO DE CILINDROS<br />
15
PIRÂMIDES<br />
1-CONCEITO: Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto<br />
V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P<br />
e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.<br />
2- ELEMENTOS DE PIRÂMIDE<br />
1) Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apóia a pirâmide.<br />
É sempre um polígono.<br />
2) Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.<br />
3) Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo<br />
da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.<br />
4) Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.<br />
5) Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices<br />
consecutivos da base.<br />
6) Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do<br />
polígono situado no plano da base.<br />
7) Apótema: É a altura de cada face lateral.<br />
8) Apótema da base: É a distância do centro do polígono regular da base a uma das arestas da base.<br />
9) Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.<br />
10) Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base<br />
16
3-PIRÂMIDE REGULAR RETA: Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção<br />
ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base<br />
R raio do círculo circunscrito<br />
r- raio do círculo inscrito<br />
h- altura<br />
ap- apótema lateral ( é sempre perpendicular a aresta da base)<br />
al- aresta lateral<br />
Obs. Todas as faces laterais são triângulo isósceles congruentes<br />
4-O QUE CALCULAR EM UMA PIRÂMIDE:<br />
4.1-RELAÇÃO FUNDAMENTAL: (ap)² =h² +r²<br />
4.2- ÁREA DA BASE: Depende do polígono da base.<br />
4.3- ÁREA LATERAL: É a soma das áreas das faces laterais.<br />
ATENÇÃO: Se a pirâmide for regular reta, basta calcular a área de uma face e multiplicar pelo número de faces.<br />
A face lateral é sempre um triângulo isósceles e a sua altura é o apótema lateral.<br />
4.4-ÁREA TOTAL: É a soma das áreas das faces laterais e a área da base.<br />
17
1<br />
4.5-VOLUME: V Ab.<br />
h<br />
3<br />
5-TETRAEDRO REGULAR<br />
5.1-DEFINIÇÃO: O tetraedro regular é uma pirâmide triangular (lados iguais entre si) em que todas as faces são<br />
triângulos eqüiláteros<br />
5.2-O QUE CALCULAR EM UM TETRAEDRO REGULAR<br />
ALTURA DO TETRAEDRO REGULAR:<br />
h<br />
a 6<br />
3<br />
ÁREA TOTAL: A área total é 4 vezes a área de uma face.<br />
18
2<br />
a 3 2<br />
At 4. a . 3<br />
4<br />
1 a<br />
2 2<br />
3 1 a .<br />
VOLUME: V . h = .<br />
3 4 3 4<br />
3 a<br />
.<br />
6<br />
3<br />
3<br />
a 2<br />
= 12<br />
6-TETRAEDRO TRI-RETANGULAR<br />
Tetraedro formado por 3 triângulos retângulos<br />
7-OCATAEDRO REGULAR:<br />
É um sólido com 8 faces que são triângulos eqüiláteros<br />
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE PIRÂMIDES<br />
01-(PUC) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8<br />
pirâmide medem 17 cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:<br />
a) 520. b) 640.c) 680.d) 750.e) 780.<br />
2 cm. Se as arestas laterais da<br />
19
02-(FEI) São dados dois planos paralelos distantes de 5 cm. Considere em um dos planos um triângulo ABC de<br />
área 30 cm² e no outro plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é em cm²:<br />
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50<br />
03-(PUCCAMP) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base mede<br />
2 3 cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é<br />
a) 24 3 b) 36 3 c) 48 3 d) 72 3 e) 144 3<br />
04-(METODISTA) Em uma pirâmide regular de 24 cm de altura tendo como base um quadrado de lado igual a 20<br />
cm, a área lateral , em centímetros quadrados, é<br />
a)80 117 b)960 c)1040 d)1360 e)1600<br />
05-(UEMARINGÁ) O perímetro da base de uma pirâmide hexagonal regular é 24 m e a altura 6 m. O volume<br />
dessa pirâmide mede, em m³<br />
a) 12 3 b)26 3 c)39 3 d)48 3 e)60 3<br />
06-(PUCAMP) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base mede<br />
2 3 cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é<br />
a) 24 3 b) 36 3 c) 48 3 d) 72 3 e) 144 3<br />
07-(UECE) Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede 2<br />
22 cm. O volume dessa pirâmide, em cm², é:<br />
a) 7 2 b) 8 2 c) 9 2 d) 10 2<br />
2 cm e uma aresta lateral mede<br />
08-(UFRS) Na figura, O é o centro do cubo.<br />
Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmide de base ABCD e vértice O é<br />
a) 1/2. b) 1/3.c) 1/4.d) 1/6.e) 1/8.<br />
09-(UFC) Um tetraedro regular tem arestas medindo 6 cm. Então a medida de suas alturas é igual a:<br />
a) 1/2 cm b) 1 cm c) 3/2 cm d) 2 cm e) 5/2 cm<br />
10-(UFF) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base<br />
quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base<br />
mede 179 m. A área da base dessa pirâmide, em m², é:<br />
a) 13.272b) 26.544c) 39.816d) 53.088e) 79.432<br />
20
11-(FUVEST) Em uma pirâmide regular de 12 cm de altura tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm,<br />
a área lateral é, em cm² :<br />
a) 240 b) 260 c) 340 d) 400 e) 20 119<br />
GABARITO<br />
1)B 2)E 3)C 4)C 5)D 6)C 7)B 8)D 9)D 10)D 11)B<br />
21
CONE CIRCULAR RETO<br />
1-CONCEITO: É o sólido formado pela rotação completa de um triângulo retângulo sobre um de seus catetos.<br />
2-ELEMENTOS DE UM CONE:<br />
1) Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.<br />
2) Base de um cone : CÍRCULO DA BASE<br />
3)Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa<br />
pelo vértice P e pelo centro da base.<br />
4) Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve<br />
a base.<br />
5) Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.<br />
6) Área lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra<br />
na curva que envolve a base. É UM SETOR CIRCULAR<br />
7)Área total é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.<br />
8) Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que<br />
contem o eixo do mesmo.<br />
3- O QUE CALCULAR EM UM CONE CIRCULAR.<br />
3.1-RELAÇÃO FUNDAMENTAL: Aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo de formado pela altura,<br />
2 2 2<br />
geratriz e raio da base. g r h<br />
22
2<br />
3.2-ÁREA DA BASE: É a área do círculo da base Ab .r<br />
3.3-ÁREA LATERAL: É área do setor circular obtido com a planificação do cone. Note que o raio do setor circular<br />
é a geratriz do cone. Al rg<br />
3.4-ÁREA TOTAL: É a soma da área lateral com a área da base At Al Ab . r<br />
2 . r.<br />
g<br />
1 1 2<br />
3.5-VOLUME: É a terça parte do produto da área da base pela altura V . Ab.<br />
h . r h<br />
3 3<br />
3.6-ÂNGULO CENTRAL: É o ângulo formado pela planificação da área lateral do cone.<br />
O cálculo desse ângulo é a divisão entre o comprimento da circunferência da base e a geratriz.<br />
2. .r<br />
g<br />
2. r.<br />
h<br />
3.7-SECÇÃO MERIDIANA: É o triângulo isósceles formado pelo corte meridional SM=<br />
2<br />
r.<br />
h<br />
23
4-CONE EQUILÁTERO: Um cone é eqüilátero quando o diâmetro da base é congruente (mesma medida) à altura.<br />
g = 2r<br />
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE CONE<br />
01-(UFPA) Um cone equilátero tem e área da base 4<br />
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32<br />
cm². Qual a sua área lateral<br />
02-(UFPA) Qual o volume de um cone circular reto, em cm³, de diâmetro da base igual a 6 cm e de geratriz 5 cm<br />
<br />
a) 12 b)24 c) 36 d) 48 e) 96<br />
03-(PUC-SP) Um quebra-luz é um cone de geratriz 17 cm e altura 15 cm. Uma lâmpada acesa no vértice do cone<br />
projeta no chão um círculo de 2 m de diâmetro. A que altura do chão, em metros, se encontra a lâmpada<br />
a)1,5 b)1,87 c)1,90 d)1,97 e)2,00<br />
04-(FUVEST) Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3 cm de altura. Para isso,<br />
recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo<br />
central do setor circular é:<br />
a) 144°b) 192°c) 240°d) 288°e) 336°<br />
05-(FUVEST) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semi-círculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um<br />
menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do<br />
chapéu à mesa<br />
a) 10 3 cm.b) 3 10 cm.c) 20 2 cm.d) 20 cm.e) 10 cm.<br />
06-(FATEC) A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da<br />
circunferência dessa base é 8 cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é<br />
a) 64 b) 48 c) 32 d) 16 e) 8<br />
07-(UEL) Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm. Qual é, em centímetros<br />
quadrados, sua área lateral<br />
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60<br />
08-(CESGRANRIO) Um copo de papel, em forma de cone, é formado enrolando-se um semicírculo que tem um<br />
raio de 12 cm. O volume do copo é de, aproximadamente:<br />
a) 390 cm³b) 350 cm³c) 300 cm³d) 260 cm³e) 230 cm³<br />
24
09-(MACK) Planificando a superfície lateral de um cone, obtém-se o setor circular da figura, de centro O e raio<br />
18 cm . Dos valores abaixo, o mais próximo da altura desse cone é:<br />
a) 12 cm b) 18 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 20 cm<br />
10-(UFSM) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da<br />
base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16 cm², o raio da esfera é dado por<br />
a) 3 cm b) 2 cm c) 3 cmd) 4 cm e) 4 + 2 cm<br />
11-(UFV) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30 cm,<br />
recortando-se um setor circular de ângulo = 2 /3 radianos e juntando os lados. A área da base do chapéu, em<br />
cm², é:<br />
a) 140 b) 110 c) 130 d) 100 e) 120<br />
12-(UEL) Uma chapa com forma de um setor de raio 20 cm e ângulo de x graus é manuseada para se<br />
transformar num cone. Se o raio da base do cone obtido é r = 5 cm então o valor de x é:<br />
a) 60° b) 75°c) 80° d) 85° e) 90°<br />
GABARITO<br />
1)C 2)A 3) B 4)D 5)A 6) A 7)E 8)A 9) D 10)C 11) D 12)E<br />
25
ESFERAS<br />
1-CONCEITO: É o conjunto de pontos do espaço equidistantes de um ponto O denominado de centro.<br />
2-ÁREA DE SECÇÃO: Ao seccionarmos uma esfera por um plano, sempre vamos encontrar um círculo. O plano<br />
de secção divide a esfera em dois sólidos chamados de calotas esféricas .<br />
3-O QUE CALCULAR EM UMA ESFERA:<br />
3.1-RELAÇÃO FUNDAMENTAL: É a aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelos<br />
elementos: R ( Raio da Esfera), d ( distância do plano de secção ao centro da esfera ) e R´ ( Raio do círculo<br />
formado pela secção do plano com a esfera)<br />
2 2 2<br />
R R' d<br />
26
3.2-SUPERFÍCIE: É a área da superfície da esfera:<br />
S<br />
4.<br />
. R<br />
2<br />
3.3-VOLUME: V<br />
4-HEMISFÉRIO.<br />
4<br />
.<br />
3<br />
. R<br />
3<br />
O hemisfério é o sólido formado pela intersecção de um plano com o centro da esfera. É a metade da esfera.<br />
Neste caso o raio da secção é igual ao raio da esfera.<br />
A parte plana do hemisfério é chamado de CÍRCULO MÁXIMO.<br />
5-FUSO<br />
Considere dois semiplanos que contenham um diâmetro AB de uma superfície esférica.<br />
Fuso esférico é a parte da superfície esférica limitada pelos semiplanos.<br />
FUSO TEM ÁREA<br />
O ângulo é chamado de ângulo de diedro<br />
Para calcular a área do fuso fazemos a seguinte regra de três.<br />
27
360<br />
0<br />
4. . R<br />
A<br />
2<br />
2<br />
4.<br />
. R .<br />
Que resulta na seguinte função: A<br />
0<br />
360<br />
Cuidado: Se o ângulo de diedro estiver em radianos o denominador da fração deverá ser 2 .<br />
6-CUNHA:<br />
Considere dois semiplanos que contenham um diâmetro AB de uma esfera.<br />
Cunha esférica é a parte da esfera limitada pelos semiplanos.<br />
O ângulo<br />
é chamado de ângulo de diedro<br />
CUNHA TEM VOLUME<br />
Para calcular o volume de uma cunha fazemos a seguinte regra de três.<br />
360<br />
4. .<br />
3<br />
V<br />
3<br />
0 R<br />
3<br />
. . R .<br />
Que resulta na seguinte função: V<br />
0<br />
270<br />
2 3<br />
Cuidado: Se o ângulo de diedro estiver em radianos a relação seria V . R .<br />
3<br />
28
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE ESFERA<br />
01-(PUC-MG) Numa esfera de 26 cm de diâmetro, faz-se um corte por um plano que dista 5 cm do centro. O<br />
raio da secção feita mede, em cm:<br />
a)8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12<br />
02-(UF-PA) A área da superfície de uma esfera é 16 cm² Qual o diâmetro da esfera <br />
a) 1 cm b) 2 cm c) 4 cm d) 6 cm e) 8 cm<br />
03-(FUVEST) A área de intersecção de um plano com uma bola de raio 13 é 144 . A distância do plano ao centro<br />
da bola é :<br />
a)1 b) 5 c) 8 d) 12 e) 25<br />
04-(UFPA) A circunferência máxima de uma esfera mede 6 cm. Qual o volume da esfera, em cm³ <br />
a) 12 b) 24 c) 36 d) 72 e) 144<br />
05-(UNESP) Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma esfera de raio R = 10cm cortada<br />
por um plano situado a uma distância de 5 3 cm do centro da esfera, determinando uma circunferência de<br />
raio rcm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 20cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala).<br />
O volume do cilindro, em cm³, é<br />
A) 100 . B) 200 . C) 250<br />
D) 500 E) 750 .<br />
06-(FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do<br />
centro da superfície esférica, determinando uma circunferência.<br />
O raio desta circunferência, em cm é:<br />
a) 1.b) 2.c) 3.d) 4.e) 5.<br />
29
07-(PUCMG) Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume equivalente ao de um cilindro circular reto de altura h =<br />
12 cm. O raio do cilindro, em cm, mede:<br />
a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 e) 13<br />
08-(PUCPR) Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3 cm, com água. Se mergulharmos inteiramente uma<br />
bolinha esférica nesse recipiente, o nível da água sobe cerca de 1,2 cm.<br />
Sabe-se, então, que o raio da bolinha vale aproximadamente:<br />
a)1cm b)1,5cm c) 2 cm d)2,5cm e)3cm<br />
09-(UFRS) O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então o<br />
raio da esfera A mede<br />
a) 5 b) 4 c) 2,5 d) 2 e) 1,25<br />
10-(UFU) Sabendo-se que a intersecção entre um plano II e uma esfera S de raio 10 cm é uma circunferência de<br />
raio 6 cm, então, a distância do centro da esfera S até o plano II é igual a<br />
a) 4 cm b)5cm c)7cm d)8cm<br />
11-(UFMG) Um plano intercepta uma superfície esférica segundo uma circunferência de 6 3 cm de<br />
comprimento. Sendo a distância do centro da esfera ao centro da circunferência igual a 3 cm, o raio da esfera é,<br />
em cm :<br />
a)4 b) 5 c)6 d) 7 e) 8<br />
12--(UFMS) O volume de uma esfera é 288<br />
cm ³, o seu diâmetro mede, em cm:<br />
a)8 b)10 c) 12 d) 15 e) 16<br />
GABARITO<br />
1)E 2)C 3)B 4)C 5)D 6)E 7)C 8)C 9) A 10)D 11)C 12)C<br />
30
SECÇÃO TRANSVERSAL<br />
DE PIRÂMIDE E CONE<br />
SÓLIDOS SEMELHANTES-TRONCO<br />
1-SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE OU CONE<br />
É a interseção da pirâmide( ou cone) com um plano paralelo à base. A seção transversal tem a mesma forma<br />
que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. Em uma pirâmide a razão entre uma<br />
aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é a razão de semelhança. Já no cone a razão<br />
de semelhança é a razão entre o raio da o plano de secção com o raio da base, ou a geratriz do cone menor<br />
com a geratriz do cone maior,<br />
OBSERVAÇÕES:<br />
1-Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a<br />
área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança. Em um cone é a<br />
mesma coisa apenas que as secções transversais são círculos e não regiões poligonais;<br />
2-Ao seccionar uma pirâmide ( ou um cone) por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide ( ou um<br />
cone) menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide ( ou cone) original. O sólido abaixo<br />
da secção transversal chama-se tronco de pirâmide ( ou cone).<br />
3-Se duas pirâmides ( ou cones) têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções<br />
transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais<br />
V secção Volume de secção : Pirâmide menor<br />
V pirâmide Volume da pirâmide maior<br />
V tronco- Volume do tronco de pirâmide ( ou cone)- V tronco=V pirâmide<br />
A secção Área da secção ( BASE DA PIRÂMIDE MENOR)<br />
A base Base da pirâmide maior<br />
h Altura da pirâmide menor ( ou cone menor)<br />
H- Altura da pirâmide maior ( ou cone maior)<br />
V secção<br />
h<br />
H<br />
k<br />
,<br />
Asecção<br />
Abase<br />
h<br />
H<br />
2<br />
,<br />
Vsecção<br />
Vpirâmide<br />
h<br />
H<br />
3<br />
CUIDADO COM A ORDEM DOS ELEMENTOS NO NUMERADOR E NO DENOMIDAR DAS RAZÕES ACIMA<br />
31
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE PLANO DE SECÇÃO<br />
01-(PUCCAMP) Um cone de altura h = 18 cm e raio da base r= 6 cm, foi seccionado por um plano paralelo à<br />
base, a 12 cm da mesma. A área, em cm², da secção obtida, em cm², é :<br />
a)12 b)8 c)3 d)9 e)4<br />
02-(UEL) Considere uma pirâmide regular, de altura 25 m e base quadrada de lado 10 m. Seccionando essa<br />
pirâmide por um plano paralelo à base, à distância de 5 m desta, obtém-se um tronco cujo volume, em m³, é:<br />
a) 200/3b) 500c) 1220/3d) 1280/3e) 1220<br />
03-(UFAL) Na figura abaixo tem-se, apoiado no plano , um cone circular reto cuja altura mede 8 cm e cujo raio<br />
da base mede 4 cm. O plano é paralelo a e a distância entre os dois planos é de 6 cm.<br />
O volume do cone que está apoiado no plano<br />
a) /3 b) /2 c) 2 /3 d) 3 /4 e) 4 /5<br />
é, em centímetros cúbicos, igual a<br />
4-(UFRRJ) Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,25 m, a distância do<br />
chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 25 m², é<br />
de<br />
a) 12 mb) 10 m.c) 8 m.d) 6 m.e) 5 m.<br />
5-(UFSC) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m² de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à<br />
base e a secção assim feita tem 64 m² de área. Qual a altura da pirâmide<br />
32
6-(UFSM) Na hora do recreio, Susanita comprou um copo de sorvete com a forma de um cone com altura h de 8<br />
cm e raio da base R de 3 cm. Para enchê-lo com quantidades iguais de sorvete de creme e de chocolate, a altura<br />
x atingida pelo primeiro sabor deve ser<br />
a) 4 3 cmb) 3 3 cmc) 4. 3 4 cmd) 4 2 cme) 4cm<br />
7-(UFG) A figura a seguir representa uma torre, na forma de uma pirâmide regular de base quadrada, na qual foi<br />
construída uma plataforma, a 60 metros de altura, paralela à base. Se os lados da base e da plataforma medem,<br />
respectivamente, 18 e 10 metros, a altura da torre, em metros, é:<br />
a) 75 b) 90 c) 120 d) 135 e) 145<br />
GABARITO<br />
1)E 2)C 3) C 4) E 5)6m 6)C 7)D<br />
33
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS<br />
1-ESFERA INSCRITA EM UM CUBO<br />
O RAIO DA ESFERA É A METADE DA MEDIDA DA ARESTA DO CUBO<br />
2-CUBO INSCRITO NA ESFERA<br />
a 3<br />
O RAIO DA ESFERA INSCRITA EM UM CUBO DE ARESTA a É R . ESTE RESULTADO É OBTDO PELA<br />
2<br />
APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS NO TRIÂNGULO ECG DAS FIGURAS.<br />
3-CILINDRO INSCRITO EM UM CUBO<br />
34
O DIAMETRO DA BASE TEM A MESMA MEDIDA DA ALTURA DO CILINDRO. NESTE CASO O CILINDRO É<br />
EQUILÁTERO.<br />
4-CUBO INSCRITO EM UM CILINDRO<br />
O DIÂMTRO DO CILINDRO TEM A MESMA MEDIDA DA DIAGONAL DA BASE DO CUBO, OU SEJA, 2r<br />
a 2<br />
5-CILINDRO INSCRITO NA ESFERA<br />
RELAÇÃO ENTRE RAIO R DA ESFERA, RAIO r DA BASE DO CILINDRO E A ALTURA h DO CILINDRO<br />
2<br />
2R<br />
2r<br />
h<br />
2<br />
2<br />
6-ESFERA INSCRITA EM UM CILINDRO<br />
35
O CILINDRO É EQUILÁTERO R = r e h=2R=2r<br />
7-CONE INSCRITO NA ESFERA<br />
APLICANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS NO TRIÂNGULO OMA OBTEMOS A RELAÇÃO<br />
R<br />
2<br />
h<br />
R<br />
2<br />
r<br />
2<br />
8-ESFERA INSCRITA EM UM CONE<br />
APLICANDO RELAÇÃO DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS NOS TRIÂNGULOS AOD E ABC, OBTEMOS A RELAÇÃO<br />
g<br />
2<br />
h<br />
2<br />
R<br />
2<br />
9-ESFERA INSCRITA EM UMA PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA<br />
36
AO SECCIONAR A PIRÂMIDE PELO PLANO VNM OBTEMOS UM CÍRCULO INSCRITO NO TRIÂNGULO VMS.<br />
APLICANDO SEMELHANÇÃO DE TRIÂNGULOS NOS TRIÂNGULOS VOP E VAM OBTEMOS:<br />
2<br />
2 2 l<br />
g h<br />
2<br />
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE<br />
INSCRIÇÃO<br />
E<br />
CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS<br />
a) 3 /2b) 8 /3c) 2 /3d) 3 /4e) 3<br />
3-(PUC) Um cilindro reto de base circular de raio e<br />
altura é inscrito numa esfera de raio 5.<br />
1-(FUVEST) Um cone circular reto está inscrito em<br />
um paralelepípedo reto retângulo, de base<br />
quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre<br />
as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e o volume<br />
do cone é .<br />
a) Encontre a altura do cilindro quando r = 3.<br />
b) Calcule a área total do cilindro quando r = 3.<br />
Então, o comprimento g da geratriz do cone é<br />
a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 11<br />
4-(UNITAU) Uma esfera de raio R está inscrita em<br />
um cilindro. O volume do cilindro é igual a:<br />
a) r³/3.b) 2 r³/3.c) r³d) 2r³.e) 2 r³<br />
GABARITO<br />
1)D 2)A 3) a) 8u.c. b) 66 u.a 4)E<br />
2-(MACK) Seja 36 o volume de uma esfera<br />
circunscrita a um cubo. Então a razão entre o<br />
volume da esfera e o volume do cubo é:<br />
37
DIEDROS / RELAÇÃO DE EULER / SÓLIDOS DE<br />
PLATÃO<br />
1-CONCEITO DE DIEDRO- Os planos secantes e estabelecem no espaço quatro semi-espaços.<br />
O corte de dois desses semi-espaços é chamado de diedro.<br />
2-RELAÇÃO DE EULER: V-A+F = 2<br />
V - NÚMERO DE VÉRTICES<br />
A NÚMERO DE ARESTAS<br />
F - NÚMERO DE FACES<br />
3- SÓLIDOS DE PLATÃO<br />
4-SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLIEDRO<br />
S=(V-2).360<br />
V é o número de vértices<br />
QUESTÕES BÁSICAS DE POLIEDROS<br />
1. (PUC-01) Um poliedro convexo tem 7 faces. De<br />
um dos seus vértices partem 6 arestas e de cada<br />
38
um dos vértices restantes partem 3 arestas.<br />
Quantas arestas tem esse poliedro<br />
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16<br />
02. (PUC-03) Um poliedro convexo possui duas<br />
faces pentagonais e cinco quadrangulares. O<br />
número de vértices deste poliedro é<br />
a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10<br />
3. (UFC-04) Um poliedro convexo só tem faces<br />
triangulares e quadrangulares. Se ele tem 20<br />
arestas e 10 vértices, então, o número de faces<br />
triangulares é:<br />
a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8<br />
convexo limitado por 4 faces triangulares e 6<br />
hexagonais, todas regulares.<br />
O número de arestas e vértices desse sólido é:<br />
a) A = 21 V = 13 b) A = 24 V = 16<br />
c) A = 48 V = 40 d) A = 32 V = 24<br />
e) A = 34 V = 24<br />
5. (UFC-08) O número de faces de um poliedro<br />
convexo com 20 vértices e com todas as faces<br />
triangulares é igual a:<br />
a) 28 b) 30 c) 32 d) 34 e) 36<br />
GABARITO<br />
1)C 2)E 3) E 4)B 5)E<br />
4. (PUCPR-05) O tetra-hexaedro é um sólido<br />
39
SÓLIDOS NA FUVEST - PRIMEIRA FASE<br />
01-(FUVEST-11) A esfera , de centro O e raio r ><br />
0, é tangente ao plano . O plano é paralelo a<br />
e contém O. Nessas condições, o volume da<br />
pirâmide que tem como base um hexágono regular<br />
inscrito na intersecção de com e, como vértice,<br />
um ponto em , é igual a<br />
3.<br />
r<br />
3<br />
a)<br />
4<br />
3.<br />
r<br />
3<br />
2<br />
b)<br />
5 3. r<br />
16<br />
3<br />
c)<br />
3<br />
3<br />
3. r 7 3. r d)<br />
8 16<br />
02-(FUVEST-10) Uma pirâmide tem como base um<br />
quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces<br />
laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do<br />
quadrado, que tem como vértices os baricentros de<br />
cada uma das faces laterais, é igual a<br />
3<br />
e)<br />
Sabendo-se que OA = 3, AC = 5 e senOCD = 1/3,<br />
então a área do triângulo OCD vale<br />
a) 16 2 / 9 b) 32 2 /9 c) 48 2 /9<br />
d)64 2 /9 e) 80 2 /9<br />
06-(FUVEST-07) Uma empresa de construção<br />
dispõe de 117 blocos de tipo X e 145 blocos de tipo<br />
Y. Esses blocos têm as seguintes características:<br />
todos são cilindros retos, o bloco X tem 120cm de<br />
altura e o bloco Y tem 150cm de altura.<br />
a) 5/9 b)4/9 c) 1/3 d) 2/9 e) 1/9<br />
03-(FUVEST-09) Um fabricante de cristais produz<br />
três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem<br />
o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r; a<br />
outra, no formato de um cone reto de base circular<br />
de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um<br />
cilindro reto de base circular de raio x e altura h.<br />
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando<br />
completamente cheias, comportam a mesma<br />
quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão<br />
x/h é igual a:<br />
a) 3 /6 b) 3 /3 c) 2 3 /3<br />
d) 3 e) 4 3 /3<br />
04. (FUVEST-09) O ângulo formado por dois<br />
planos e é tal que tg =<br />
5<br />
5 . O ponto P<br />
pertence a e a distância de P a vale 1. Então, a<br />
distância de P à reta intersecção de e é igual a:<br />
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8<br />
A empresa foi contratada para edificar colunas, sob<br />
as seguintes condições: cada coluna deve ser<br />
construída sobrepondo blocos de um mesmo tipo e<br />
todas elas devem ter a mesma altura. Com o<br />
material disponível, o número máximo de colunas<br />
que podem ser construídas é de<br />
a) 55 b)56 c) 57 d) 58 e)59<br />
07-(FUVEST-07) O cubo de vértices ABCDEFGH,<br />
indicado na figura, tem arestas de comprimento a.<br />
05-(FUVEST-08) O triângulo ACD é isósceles de<br />
base CD e o segmento AO é perpendicular ao plano<br />
que contém o triângulo OCD , conforme a figura<br />
Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE,<br />
então a distância do ponto M ao centro do quadrado<br />
ABCD é igual a<br />
40
a)<br />
(a 5)<br />
5<br />
b)<br />
(a 3)<br />
3<br />
c)<br />
(a 3)<br />
2<br />
d) a 3 e) 2a 3<br />
08-(FUVEST-06) A partir de 64 cubos brancos,<br />
todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este<br />
novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de<br />
vermelho. O número de cubos menores que tiveram<br />
pelo menos duas de suas faces pintadas de<br />
vermelho é<br />
a) 1 b)1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3<br />
11-(FUVEST-04) Uma metalúrgica fabrica barris<br />
cilíndricos de dois tipos, A e B, cujas superfícies<br />
laterais são moldadas a partir de chapas metálicas<br />
retangulares de lados a e 2a, soldando lados<br />
opostos dessas chapas, conforme ilustrado a seguir.<br />
a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32<br />
09-(FUVEST-05) A figura a seguir mostra uma<br />
pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado 1<br />
e altura EF = 1. Sendo G o ponto médio da altura<br />
EF e a medida do ângulo AGB, então cos vale<br />
Se VA e VB indicam os volumes dos barris do tipo A<br />
e B, respectivamente, tem-se:<br />
a) VA = 2VB b) VB = 2VA c) VA = VB<br />
d) VA = 4VB e) VB = 4VA<br />
a) 1 2 b) 1 3 c) 1 4 d) 1 5 e) 1 6<br />
12-(FUVEST-03) Um telhado tem a forma da<br />
superfície lateral de uma pirâmide regular, de base<br />
quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da<br />
pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhado são<br />
vendidas em lotes que cobrem 1m2. Supondo que<br />
possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas<br />
(quebras e emendas), o número mínimo de lotes de<br />
telhas a ser comprado é:<br />
a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130<br />
10-(FUVEST-04) A pirâmide de base retangular<br />
ABCD e vértice E representada na figura tem<br />
volume 4. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é<br />
o ponto médio da aresta EC, então o volume da<br />
pirâmide de base AMCD e vértice V é:<br />
13-(FUVEST-02) Em um bloco retangular (isto é,<br />
paralelepípedo reto retângulo) de volume 27/8, as<br />
medidas das arestas concorrentes em um mesmo<br />
vértice estão em progressão geométrica. Se a<br />
medida da aresta maior é 2, a medida da aresta<br />
menor é:<br />
a) 7/8 b)8/8 c)9/8 d)10/8 e)11/8<br />
14-(FUVEST-02) A figura adiante representa uma<br />
pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabese<br />
que ABC e ABV são triângulos equiláteros de<br />
lado e que E é o ponto médio do segmento AB .<br />
41
Se a medida do ângulo VÊC é 60 ° , então o volume<br />
da pirâmide é:<br />
a)R 2 3<br />
b)R 2<br />
2<br />
c)R 3<br />
3<br />
d)R e)R 3 2<br />
18-(FUVEST-96) Sejam ' e " as faces de um<br />
ângulo diedro de 45 ° e P um ponto interior a esse<br />
diedro. Sejam P' e P" as projeções ortogonais de p<br />
sobre ' e " respectivamente. Então a medida, em<br />
graus, do ângulo P'PP" é:<br />
a)<br />
d)<br />
3<br />
( 3 )<br />
4<br />
3<br />
( 3 )<br />
16<br />
b)<br />
e)<br />
3<br />
( 3 )<br />
8<br />
3<br />
( 3 )<br />
18<br />
c)<br />
3<br />
( 3 )<br />
12<br />
15-(FUVEST-01) Na figura a seguir, ABCD é um<br />
tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos<br />
médios de AB e CD , respectivamente. Então, o<br />
valor de EF é:<br />
a) 30 b) 45 c) 60 d) 90 e) 135<br />
19-(FUVEST-95) Na figura a seguir, X e Y são,<br />
respectivamente, os pontos médios das arestas AB<br />
e CD do cubo. A razão entre o volume do prisma<br />
AXFEDYGH e o do cubo é:<br />
a) a 2<br />
(a 3)<br />
d)<br />
2<br />
b)<br />
e)<br />
(a 2)<br />
2<br />
(a 3)<br />
4<br />
c)<br />
(a 2)<br />
4<br />
a) 3/8. b) 1/2. c) 2/3. d) 3/4. e) 5/6.<br />
16-(FUVEST-97) O volume de um paralelepípedo<br />
reto retângulo é de 240 cm 3 . As áreas de duas de<br />
suas faces são 30 cm2 e 48 cm2. A área total do<br />
paralelepípedo, em cm2, é<br />
a) 96 b) 118 c) 236<br />
d) 240 e) 472<br />
20-(FUVEST-92) Um copo tem a forma de um cone<br />
com altura 8 cm e raio da base 3 cm. Queremos<br />
enchê-lo com quantidades iguais de suco e de<br />
água. Para que isso seja possível a altura x atingida<br />
pelo primeiro líquido colocado deve ser:<br />
17-(FUVEST-97) Um cubo de aresta m está inscrito<br />
em uma semi-esfera de raio R de tal modo que os<br />
vértices de uma face pertencem ao plano equatorial<br />
da semi-esfera e os demais vértices pertencem à<br />
superfície da semi-esfera. Então , m é igual a<br />
42
22) (Fuvest 2013) Os vértices de um tetraedro<br />
regular são também vértices de um cubo de aresta<br />
2. A área de uma face desse tetraedro é<br />
a) 2 3 b) 4 c) 3 2 d) 3 3 e) 6<br />
a) 8 3<br />
cm b) 6 cm c) 4 cm<br />
GABARITO<br />
1) E 2)D 3)E 4)C 5)B 6)E 7)C 8)A 9)B 10)B<br />
11)A 12)A 13)C 14)D 15)B 16)C 17)A 18)E19)D<br />
20)E 21)D 22)A<br />
d) 4 3 cm e)<br />
4 3<br />
4 cm<br />
21-(FUVEST-12) Em um tetraedro regular de lado a,<br />
a distância entre os pontos médios de duas arestas<br />
não adjacentes é igual a<br />
a) a 3 b) a 2 c)<br />
a 3<br />
2<br />
d)<br />
a 2<br />
2<br />
e)<br />
a 2<br />
4<br />
Microsoft Equation<br />
3.0<br />
43
SÓLIDOS NA FUVEST- SEGUNDA FASE<br />
01-(FUVEST-11) Na figura abaixo, o cubo de<br />
vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado l . Os pontos<br />
M e N são pontos médios das arestas AB e BC,<br />
respectivamente. Calcule a área da superfície do<br />
tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G.<br />
1<br />
AP = DQ =<br />
2<br />
Determine:<br />
a) A medida de BP.<br />
b) A área do trapézio BCQP.<br />
c) Volume da piramide BPQCE.<br />
04-(FUVEST-08) Pedrinho, brincando com seu<br />
cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira<br />
que<br />
- apenas um vértice do cubo ficasse no interior do<br />
copo, conforme ilustra a foto;<br />
- os pontos comuns ao cubo e ao copo<br />
determinassem um triângulo equilátero.<br />
02-(FUVEST-10) Dois planos 1 e 2 se<br />
interceptam ao longo de uma reta r, de maneira que<br />
o angulo entre eles meça radianos, 0<br />
2 .Um<br />
triangulo equilátero ABC, de lado , esta contido em<br />
2, de modo que AB esteja em r. Seja D a projeção<br />
ortogonal de C sobre o plano 1, e suponha que a<br />
medida , em radianos, do angulo CÂD, satisfaça<br />
6<br />
sen . Nessas condições, determine, em<br />
4<br />
função de ,<br />
a) o valor de .<br />
b) a área do triangulo ABD.<br />
c) o volume do tetraedro ABCD.<br />
03-(FUVEST-09) A figura representa uma pirâmide<br />
ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se<br />
que:<br />
Sabendo-se que o bordo do copo é uma<br />
circunferência de raio 2 3 cm, determine o volume<br />
da parte do cubo que ficou no interior do copo.<br />
05-(FUVEST-07) O cubo ABCDEFGH possui<br />
arestas de comprimento a. O ponto M está na<br />
aresta AE e AM = 3 . ME. Calcule:<br />
3<br />
AB = CD =<br />
2<br />
AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1<br />
a) O volume do tetraedro BCGM.<br />
b) A área do triângulo BCM.<br />
c) A distância do ponto B à reta suporte do<br />
segmento CM.<br />
44
06-(FUVEST-07) Um castelo está cercado por uma<br />
vala cujas bordas são dois círculos concêntricos de<br />
raios 41 m e 45 m. A profundidade da vala é<br />
constante e igual a 3 m.<br />
O proprietário decidiu enchê-la com água e, para<br />
este fim, contratou caminhões-pipa, cujos<br />
reservatórios são cilindros circulares retos com raio<br />
da base de 1,5 m e altura igual a 8 m.<br />
Determine o número mínimo de caminhões-pipa<br />
necessário para encher completamente a vala.<br />
07-(FUVEST-06) Um torneiro mecânico dispõe de<br />
uma peça de metal maciça na forma de um cone<br />
circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem<br />
raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir<br />
de sua base, usando uma broca, cujo eixo central<br />
coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a<br />
peça até atravessá-la completamente, abrindo uma<br />
cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da<br />
Figura 2. Se a área da base deste novo sólido é 2 3<br />
da área de B, determine seu volume.<br />
09-(FUVEST-04) No sólido S representado na figura<br />
a seguir, a base ABCD é um retângulo de lados AB<br />
= 2 e AD = ; as faces ABEF e DCEF são trapézios;<br />
as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e o<br />
segmento EF tem comprimento .<br />
Determinar, em função de , o volume de S.<br />
10-(FUVEST-03) Um cilindro oblíquo tem raio das<br />
bases igual a 1, altura 2 3 e está inclinado de um<br />
ângulo de 60° (ver figura). O plano é perpendicular<br />
às bases do cilindro, passando por seus centros. Se<br />
P e A são os pontos representados na figura,<br />
calcule PA.<br />
08-(FUVEST-05) A base ABCD da pirâmide ABCDE<br />
é um retângulo de lados AB = 4 e BC = 3. As áreas<br />
dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente,<br />
4 10 e 2 37 . Calcule o volume da pirâmide.<br />
11-(FUVEST-02) Um bloco retangular (isto é, um<br />
paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de<br />
lado 4 cm e altura 20<br />
3 cm, com 2 3<br />
de seu volume<br />
cheio de água, está inclinado sobre uma das<br />
arestas da base, formando um ângulo de 30 ° com o<br />
solo (ver seção lateral a seguir). Determine a altura<br />
45
h do nível da água em relação ao solo.<br />
e base quadrada com lado 6 m. O espaço interior à<br />
caixa e exterior à pirâmide é preenchido com água,<br />
até uma altura h, a partir da base (h 8). Determine<br />
o volume da água para um valor arbitrário de h, O<br />
h 8.<br />
12-(FUVEST-01) Na figura adiante, têm-se um<br />
cilindro circular reto, onde A e B são os centros das<br />
bases e C é um ponto da intersecção da superfície<br />
lateral com a base inferior do cilindro. Se D é o<br />
ponto do segmento BC , cujas distâncias a AC e<br />
AB são ambas iguais a d, obtenha a razão entre o<br />
volume do cilindro e sua área total (área lateral<br />
somada com as áreas das bases), em função de d.<br />
15-(FUVEST-96) As bases de um tronco de cone<br />
circular reto são círculos de raio 6 cm e 3 cm.<br />
Sabendo-se que a área lateral do tronco é igual à<br />
soma das áreas das bases, calcule:<br />
a) a altura do tronco de cone.<br />
b) o volume do tronco de cone.<br />
16-(FUVEST-95) No cubo de aresta 'a' mostrado<br />
na figura adiante, X e Y são pontos médios das<br />
arestas AB e GH respectivamente. Considere a<br />
pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero<br />
XCYE. Calcule, em função de a,<br />
a) o comprimento do segmento XY.<br />
b) a área da base da pirâmide.<br />
c) o volume da pirâmide.<br />
13-(FUVEST-00) Um setor circular, com ângulo<br />
central (0 < < 2 ), é recortado de um círculo de<br />
papel de raio R (ver figura). Utilizando o restante do<br />
papel, construímos a superfície lateral de um cone<br />
circular reto.<br />
Determine, em função de R e ,<br />
a) o raio da base do cone.<br />
b) o volume do cone.<br />
14-(FUVEST-99) Considere uma caixa sem tampa<br />
com a forma de um paralelepípedo reto de altura 8<br />
m e base quadrada de lado 6 m. Apoiada na base,<br />
encontra-se uma pirâmide sólida reta de altura 8 m<br />
17-(FUVEST-94) A base de uma pirâmide regular é<br />
um quadrado ABCD de lado 6 e diagonais AC e BD.<br />
A distância de seu vértice E ao plano que contém a<br />
base é 4.<br />
a) Determine o volume do tetraedro ABDE.<br />
b) Determine a distância do ponto B ao plano que<br />
contém a face ADE.<br />
18- (FUVEST-93) Uma caixa d'água tem a forma de<br />
um cone circular reto como ilustrado na figura a<br />
46
seguir. 7329 litros de água foram retirados da caixa<br />
ocasionando um abaixamento de um metro no nível<br />
da água. Quantos litros de água existiam<br />
inicialmente na caixa<br />
Para os cálculos use = 3,141<br />
19-(FUVEST-92) Uma garrafa de vidro tem a forma<br />
de dois cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a<br />
mesma altura 4 cm e raios das bases R e r,<br />
respectivamente.<br />
Se o volume V(x) de um líquido que atinge a altura x<br />
da garrafa se expressa segundo o gráfico I a seguir,<br />
quais os valores de R e r<br />
20-(FUVEST-91) Considere um triângulo retângulo<br />
com hipotenusa A e catetos B e C.<br />
Sejam VA, VB, VC os volumes dos sólidos gerados<br />
pela rotação do triângulo em torno dos lados A, B e<br />
C, respectivamente.<br />
a) Calcule VA, VB, VC em função das medidas de<br />
A, B e C.<br />
b) Escreva a VA em função de B, C, VB e VC.<br />
21. (Fuvest 2013) No paralelepípedo reto retângulo<br />
ABCDEFGH da figura, tem-se AB 2, AD 3 e<br />
AE 4.<br />
a) Qual é a área do triângulo ABD<br />
b) Qual é o volume do tetraedro ABDE<br />
c) Qual é a área do triângulo BDE<br />
d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo<br />
do ponto A, quanto vale AQ<br />
GABARITO<br />
13l<br />
2<br />
2 3<br />
6<br />
1) 2) a) b) c)<br />
4 4 8 16<br />
3)<br />
a)<br />
10<br />
4<br />
4) 9 2 cm 3 . 5) a)<br />
u.c. b) 9<br />
16 u.a. c) 3 3<br />
64<br />
3 2<br />
a<br />
6 b) 5a<br />
8<br />
c)<br />
(5a 41)<br />
41<br />
[640( 3) ]<br />
6) 58 7) cm3 8) 24 u.v. 9)<br />
9<br />
10) PA = 14<br />
11) 21 cm 12) d [R(2 )]<br />
13) a)<br />
2 2<br />
b) 1<br />
2<br />
24 . (2 )<br />
2 3<br />
. [ ( 4 )] . R<br />
14)<br />
3<br />
16<br />
3 3<br />
8 h 36h 96 m<br />
b) 84 cm 3 16) a) a 2 b)<br />
2<br />
a 6<br />
2<br />
c)<br />
u.v.<br />
5( 2)<br />
12<br />
3<br />
15) a) 4 cm<br />
3<br />
a<br />
3<br />
17) a) 24 U. volume.b) 4,8 U. comprimento. 18)<br />
8376 litros 19) R = 3 cm e r = 2 cm<br />
20) a) VA = B2C2/3ª VB = C2B/3 VC =<br />
B 2 C/3<br />
b) VA = 3VB . VC<br />
21) a) A 3 2 /2 3.<br />
b) V 1/3 3 4 4.<br />
c)<br />
2 2<br />
B C . B . C (B 2 + C2)<br />
1 12 12 61<br />
61 AQ 4 AQ .<br />
3 61 61<br />
47
SÓLIDOS UNICAMP PRIMEIRA FASE<br />
01- (Unicamp 2012) Um queijo tem o formato de<br />
paralelepípedo, com dimensões 20 cm x 8 cm x 5<br />
cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide<br />
em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns<br />
cubos ficam totalmente sem casca, outros<br />
permanecem com casca em apenas uma face,<br />
alguns com casca em duas faces e os restantes<br />
com casca em três faces. Nesse caso, o número de<br />
cubos que possuem casca em apenas uma face é<br />
igual a<br />
a) 360. b) 344. c) 324. d) 368<br />
GABARITO<br />
1)A<br />
48
SÓLIDOS UNICAMP SEGUNDA FASE<br />
01-(UNICAMP-11) A caixa de um produto longa vida<br />
é produzida como mostra a sequência<br />
de figuras ao lado. A folha de papel da figura 1 é<br />
emendada na vertical, resultando no cilindro da<br />
figura 2. Em seguida, a caixa toma o formato<br />
desejado, e são feitas novas emendas, uma no topo<br />
e outra no fundo da caixa, como mostra a figura 3.<br />
Finalmente, as abas da caixa são dobradas,<br />
gerando o produto final, exibido na figura 4. Para<br />
simplificar, consideramos as emendas como linhas,<br />
ou seja, desprezamos a superposição do papel.<br />
a) Se a caixa final tem 20cm de altura, 7,2cm de<br />
largura e 7cm de profundidade, determine as<br />
dimensões x e y da menor folha que pode ser usada<br />
na sua produção.<br />
b) Supondo, agora, que uma caixa tenha seção<br />
horizontal quadrada (ou seja, que sua profundidade<br />
seja igual a sua largura), escreva a fórmula do<br />
volume da caixa final em função das dimensões x e<br />
y da folha usada em sua produção.<br />
02-(UNICAMP-10) Uma peça esférica de madeira<br />
maciça foi escavada, adquirindo o formato<br />
de anel, como mostra a figura ao lado. Observe que,<br />
na escavação, retirou-se um cilindro de madeira<br />
com duas tampas em formato de calota esférica.<br />
Sabe-se que uma calota esférica tem volume Vcal =<br />
2<br />
h (3R h), em que h é a altura da calota e R é o<br />
3<br />
raio da esfera. Além disso, a área da superfície da<br />
calota esférica (excluindo a porção plana da base) é<br />
dada por Acal = 2 Rh.<br />
Atenção: não use um valor aproximado para .<br />
a) Supondo que h = R/2, determine o volume do<br />
anel de madeira, em função de R.<br />
b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá<br />
uma camada de verniz, tanto na parte externa,<br />
como na interna. Supondo, novamente, que h = R/2,<br />
determine a área sobre a qual o verniz será<br />
aplicado.<br />
03-(UNICAMP-09) Em um sistema de piscicultura<br />
superintensiva, uma grande quantidade de peixes é<br />
cultivada em tanques - rede colocados em açudes,<br />
com alta densidade populacional e alimentação à<br />
base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um<br />
paralelepípedo e são revestidos com uma rede que<br />
impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem<br />
da água.<br />
a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi<br />
posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes<br />
consomem, no total, 800 g de ração por refeição.<br />
Sabendo-se que um peixe da espécie A consome<br />
1,5 g de ração por refeição e que um peixe da<br />
espécie B consome 1,0 g por refeição, calcule<br />
quantos peixes de cada espécie o conjunto de<br />
tanques-rede contém.<br />
b) Para uma determinada espécie, a densidade<br />
máxima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos<br />
por metro cúbico. Suponha que um tanque possua<br />
largura igual ao comprimento e altura igual a 2 m.<br />
Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque<br />
para que ele comporte 7200 peixes adultos da<br />
espécie considerada<br />
04-(UNICAMP-09) Uma caixa d água tem o formato<br />
de um tronco de pirâmide de bases quadradas e<br />
paralelas, como mostra a figura abaixo, na qual são<br />
49
apresentadas as medidas referentes ao interior da<br />
caixa.<br />
07-(UNICAMP-01) A base de uma pirâmide é um<br />
triângulo equilátero de lado L = 6 cm e arestas<br />
laterais das faces A = 4 cm.<br />
a) Calcule a altura da pirâmide.<br />
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide<br />
08-(UNICAMP-02) O sólido da figura a seguir é um<br />
cubo cuja aresta mede 2 cm.<br />
a) Qual o volume total da caixa d água<br />
b) Se a caixa contém<br />
de sua base está o nível d água<br />
13 m<br />
3 de água, a que altura<br />
6<br />
05-(UNICAMP-99) Cada aresta de um tetraedro<br />
regular mede 6cm. Para este tetraedro, calcule:<br />
a) a distância entre duas arestas opostas, isto é,<br />
entre duas arestas que não têm ponto comum;<br />
b) o raio da esfera inscrita no tetraedro.<br />
a) Calcule o volume da pirâmide ABCD1.<br />
b) Calcule a distância do vértice A ao plano que<br />
passa pelos pontos B, C e D1.<br />
09-(UNICAMP-03) Uma caixa d'água cúbica, de<br />
volume máximo, deve ser colocada entre o telhado<br />
e a laje de uma casa, conforme mostra a figura<br />
adiante.<br />
Dados: AB = 6 m AC = 1,5 m<br />
CD = 4 m.<br />
06-(UNICAMP-01) A figura a seguir é planificação<br />
de uma caixa sem tampa:<br />
a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da<br />
caixa<br />
b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é<br />
de 85% da altura da caixa, quantos litros de água<br />
podem ser armazenados na caixa<br />
a) Encontre o valor de x, em centímetros, de modo<br />
que a capacidade dessa caixa seja de 50 litros.<br />
b) Se o material utilizado custa R$10,00 por metro<br />
quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de<br />
50 litros considerando-se apenas o custo da folha<br />
retangular plana<br />
10-(UNICAMP-03) Considere um cubo cuja aresta<br />
mede 10 cm. O sólido cujos vértices são os centros<br />
das faces do cubo é um octaedro regular, cujas<br />
faces são triângulos equiláteros congruentes.<br />
a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro<br />
regular.<br />
b) Calcule o volume do mesmo octaedro.<br />
50
11-(UNICAMP-04) O quadrilátero convexo ABCD,<br />
cujos lados medem, consecutivamente, 1, 3, 4 e 6<br />
cm, está inscrito em uma circunferência de centro O<br />
e raio R.<br />
a) Calcule o raio R da circunferência.<br />
b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o<br />
círculo de raio R e cuja altura mede 5 cm.<br />
12-(UNICAMP-05) A figura a seguir apresenta um<br />
prisma reto cujas bases são hexágonos regulares.<br />
Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a<br />
altura do prisma mede 10 cm.<br />
pluviômetro, o diâmetro da abertura circular<br />
existente no topo é de 20 cm. A água que cai sobre<br />
a parte superior do aparelho é recolhida em um tubo<br />
cilíndrico interno. Esse tubo cilíndrico tem 60 cm de<br />
altura e sua base tem 1 da área da abertura<br />
10<br />
superior do pluviômetro. (Obs.: a figura a seguir não<br />
está em escala.)<br />
a) Calcule o volume do prisma.<br />
b) Encontre a área da secção desse prisma pelo<br />
plano que passa pelos pontos A, C e A'.<br />
13-(UNICAMP-06) Um cidadão precavido foi fazer<br />
uma retirada de dinheiro em um banco. Para tanto,<br />
levou sua mala executiva, cujo interior tem 56 cm de<br />
comprimento, 39 cm de largura e 10 cm de altura. O<br />
cidadão só pretende carregar notas de R$ 50,00.<br />
Cada nota tem140 mm de comprimento, 65 mm de<br />
largura, 0,2 mm de espessura e densidade igual a<br />
0,75 g/cm 3 .<br />
a) Qual é a máxima quantia, em reais, que o<br />
cidadão poderá colocar na mala<br />
b) Se a mala vazia pesa 2,6 kg, qual será o peso da<br />
mala cheia de dinheiro<br />
14-(UNICAMP-06) Um abajur de tecido tem a forma<br />
de um tronco de cone circular reto, com bases<br />
paralelas. As aberturas do abajur têm 25 cm e 50<br />
cm de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone<br />
mede 30 cm. O tecido do abajur se rasgou e desejase<br />
substituí-lo.<br />
a) Determine os raios dos arcos que devem ser<br />
demarcados sobre um novo tecido para que se<br />
possa cortar um revestimento igual àquele que foi<br />
danificado.<br />
b) Calcule a área da região a ser demarcada sobre<br />
o tecido que revestirá o abajur.<br />
15-(UNICAMP-07) Um pluviômetro é um aparelho<br />
utilizado para medir a quantidade de chuva<br />
precipitada em determinada região. A figura de um<br />
pluviômetro padrão é exibida a seguir. Nesse<br />
a) Calcule o volume do tubo cilíndrico interno.<br />
b) Supondo que, durante uma chuva, o nível da<br />
água no cilindro interno subiu 2 cm, calcule o<br />
volume de água precipitado por essa chuva sobre<br />
um terreno retangular com 500 m de comprimento<br />
por 300 m de largura.<br />
16-(UNICAMP-07) Seja ABCDA1B1C1D1 um cubo<br />
com aresta de comprimento 6 cm e sejam M o ponto<br />
médio de BC e O o centro da face CDD1C1,<br />
conforme mostrado na figura a seguir.<br />
a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a<br />
reta PO intercepta CC1 e DD1 em K e L,<br />
respectivamente, calcule os comprimentos dos<br />
segmentos CK e DL.<br />
b) Calcule o volume do sólido com vértices A, D, L,<br />
K, C e M.<br />
17-(UNICAMP-08) Em uma estrada de ferro, os<br />
dormentes e os trilhos são assentados sobre uma<br />
base composta basicamente por brita. Essa base<br />
(ou lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme<br />
representado na figura a seguir. A base menor do<br />
trapézio, que é isósceles, tem 2 m, a base maior<br />
tem 2,8 m e as arestas laterais têm 50 cm de<br />
comprimento.<br />
51
Supondo que um trecho de 10 km de estrada deva<br />
ser construído, responda às seguintes questões.<br />
a) Que volume de brita será gasto com o lastro<br />
nesse trecho de ferrovia<br />
b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão<br />
basculante tem 6 m de comprimento, 2,5 m de<br />
largura e 0,6 m de altura, quantas viagens de<br />
caminhão serão necessárias para transportar toda a<br />
brita<br />
18-(UNICAMP-09) Em uma bandeja retangular,<br />
uma pessoa dispôs brigadeiros formando n colunas,<br />
cada qual com m brigadeiros, como mostra a figura.<br />
Os brigadeiros foram divididos em dois grupos. Os<br />
que estavam mais próximos das bordas da bandeja<br />
foram postos em forminhas azuis, enquanto os<br />
brigadeiros do interior da bandeja foram postos em<br />
forminhas vermelhas.<br />
3n<br />
a) Sabendo que m e que a pessoa gastou o<br />
4<br />
mesmo número de forminhas vermelhas e azuis,<br />
determine o número de brigadeiros da bandeja.<br />
b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro já<br />
pronta, em latas de 1 litro, e se cada brigadeiro,<br />
antes de receber o chocolate granulado que o<br />
cobre, tem o formato de uma esfera de 2 cm de<br />
diâmetro, quantas latas ela tem que comprar para<br />
produzir 400 brigadeiros (Dica: lembre-se de que 1<br />
litro corresponde a 1000 cm3.)<br />
19-(UNICAMP-12) Um brilhante é um diamante com<br />
uma lapidação particular, que torna essa gema a<br />
mais apreciada dentre todas as pedras preciosas.<br />
a) Em gemologia, um quilate é uma medida de<br />
massa, que corresponde a 200 mg. Considerando<br />
que a massa específica do diamante é de<br />
aproximadamente 3,5 g/cm³, determine o volume de<br />
um brilhante com 0,7 quilate.<br />
b) A figura a seguir apresenta a seção transversal<br />
de um brilhante. Como é muito difícil calcular o<br />
volume exato da pedra lapidada, podemos<br />
aproximá-lo pela soma do volume de um tronco de<br />
cone (parte superior) com o de um cone (parte<br />
inferior). Determine, nesse caso, o volume<br />
aproximado do brilhante.<br />
Dica: o volume de um tronco de cone pode ser<br />
obtido empregando-se a fórmula<br />
V= /3 h (R² + Rr + r² ), em que R e r são os raios<br />
das bases e h é a altura do tronco.<br />
GABARITO<br />
2 3<br />
x . y x<br />
1)a) x = 28,4cm e y = 27cm b) V ,<br />
16 64<br />
3<br />
x<br />
R<br />
2<br />
com y 2)a) V b) S 2 3 . R 3)<br />
4 6<br />
a) 400 peixes da espécie A e 200 peixes da<br />
espécie B. b) 3m × 3m × 2m<br />
4)a) 21/4 m³ b)2 m 5) a) 3 2 cm b)<br />
6<br />
2<br />
cm 6) a)<br />
50 cm b) R$ 8,40 7) a) 2 cm b) 4 cm 8) a) 4 3 cm 3<br />
b) 2 cm 9) a) 1,2m b) 1468,8 litros 10) a)<br />
5 2 cm b) 500/3 cm 3 11) a) R = 3 66 /8 cm b)<br />
495 /32 cm3 12) a) 375 3 cm3 b) 50 3 cm2<br />
13) a) R$ 600.000,00 b) 18,98 kg 14) a) 30 cm e<br />
60 cm b) 1.125 cm 2 15) a) 600 cm 3 . b) 300<br />
m 3 . 16) a) CK = 2 cm e DL = 4 cm b) V = 42 cm 3<br />
17) a) 7200 m3. b) 800. 18) a) 48 brigadeiros. b)<br />
duas latas. 19) a)0,04cm³ b) 3,8 mm³<br />
52
SÓLIDOS NA UNESP<br />
01-(UNESP-11) Há 4500 anos, o Imperador Quéops<br />
do Egito mandou construir uma pirâmide regular que<br />
seria usada como seu túmulo.<br />
As características e dimensões aproximadas dessa<br />
pirâmide hoje, são:<br />
1ª-) Sua base é um quadrado com 220 metros de<br />
lado;<br />
2ª-) Sua altura é de 140 metros.<br />
Suponha que, para construir parte da pirâmide<br />
4 3<br />
equivalente a 1,88.10<br />
m , o número médio de<br />
operários utilizados como mão de obra gastava em<br />
média 60 dias. Dados que 2,2² × 1,4 6,78 e 2,26 ÷<br />
1,88 1,2 e mantidas estas médias, o tempo<br />
necessário para a construção de toda pirâmide,<br />
medido em anos de 360 dias, foi de,<br />
aproximadamente,<br />
A) 20. B) 30. C) 40 .D) 50. E) 60.<br />
02-(UNESP-98) As arestas do cubo ABCDEFGH,<br />
representado pela figura, medem 1 cm.<br />
Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a<br />
que pertencem, então o volume do prisma<br />
DMNCHPQG é<br />
a) 0,625 cm 3 . b) 0,725 cm 3 . c) 0,745 cm 3 .<br />
d) 0,825 cm3. e) 0,845 cm3.<br />
03-(UNESP-99) Seja r um número real positivo e P<br />
um ponto do espaço. O conjunto formado por todos<br />
os pontos do espaço, que estão a uma distância de<br />
P menor ou igual a r, é<br />
a) um segmento de reta medindo 2r e tendo P como<br />
ponto médio.<br />
b) um cone cuja base é um círculo de centro P e<br />
raio r.<br />
c) um cilindro cuja base é um círculo de centro P e<br />
raio r.<br />
d) uma esfera de centro P e raio r.<br />
e) um círculo de centro P e raio r.<br />
04-(UNESP-00) Considere o sólido resultante de<br />
PRIMEIRA FASE<br />
um paralelepípedo retângulo de arestas medindo x,<br />
x e 2x, do qual um prisma de base quadrada de lado<br />
1 e altura x foi retirado. O sólido está representado<br />
pela parte escura da figura.<br />
O volume desse sólido, em função de x, é dado pela<br />
expressão:<br />
a) 2x3 - x2. b) 4x3 - x2. c) 2x3 - x.<br />
d) 2x 3 - 2x 2 . e) 2x 3 - 2x.<br />
05-(UNESP-01) A água de um reservatório na forma<br />
de um paralelepípedo retângulo de comprimento<br />
30m e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a<br />
falta de chuvas e o calor, 1800 metros cúbicos da<br />
água do reservatório evaporaram. A água restante<br />
no reservatório atingiu a altura de<br />
a) 2 m. b) 3 m. c) 7 m.<br />
d) 8 m. e) 9 m.<br />
06-(UNESP-02) O prefeito de uma cidade pretende<br />
colocar em frente à prefeitura um mastro com uma<br />
bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de<br />
base quadrada feita de concreto maciço, como<br />
mostra a figura.<br />
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá<br />
3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o<br />
volume de concreto (em m 3 ) necessário para a<br />
construção da pirâmide será<br />
a) 36. b) 27. c) 18. d) 12. e) 4.<br />
07-(UNESP-03) Considere um pedaço de cartolina<br />
retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm.<br />
53
Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um<br />
quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha<br />
pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma<br />
pequena caixa retangular sem tampa.<br />
a) 1 618 × 103. b) 1 618 × 104. c) 5 393 × 102.<br />
d) 4 045 × 10 4 . e) 4 045 × 10 5 .<br />
11-(UNESP-06) Um paciente recebe por via<br />
intravenosa um medicamento à taxa constante de<br />
1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por<br />
uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas<br />
medidas são dadas na figura, e estava cheio<br />
quando se iniciou a medicação.<br />
O polinômio na variável x, que representa o volume,<br />
em cm 3 , desta caixa é<br />
a) 4x3 - 60x2 + 200x. b) 4x2 - 60x + 200. c) 4x3 -<br />
60x2 + 200.<br />
d) x 3 - 30x 2 + 200x. e) x 3 - 15x 2 + 50x.<br />
08-(UNESP-03) Um tanque subterrâneo, que tem a<br />
forma de um cilindro circular reto na posição<br />
vertical, está completamente cheio com 30 m 3 de<br />
água e 42 m3 de petróleo.<br />
Após 4h de administração contínua, a medicação foi<br />
interrompida. Dado que 1 cm 3 = 1 ml, e usando a<br />
aproximação = 3, o volume, em ml, do<br />
medicamento restante no frasco após a interrupção<br />
da medicação é, aproximadamente,<br />
a) 120. b) 150. c) 160. d) 240. e) 360.<br />
12-(UNESP-07) Um troféu para um campeonato de<br />
futebol tem a forma de uma esfera de raio R = 10<br />
cm cortada por um plano situado a uma distância de<br />
5 3 cm do centro da esfera, determinando uma<br />
circunferência de raio r cm, e sobreposta a um<br />
cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm,<br />
como na figura (não em escala).<br />
Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em<br />
metros, da camada de petróleo é<br />
a) 2 . b) 7. c)<br />
73 . d) 8. e) 8<br />
3 .<br />
09-(UNESP-03) Se quadruplicarmos o raio da base<br />
de um cilindro, mantendo a sua altura, o volume do<br />
cilindro fica multiplicado por<br />
a) 16. b) 12. c) 8. d) 4. e) 4 .<br />
10-(UNESP-05) O trato respiratório de uma pessoa<br />
é composto de várias partes, dentre elas os alvéolos<br />
pulmonares, pequeninos sacos de ar onde ocorre a<br />
troca de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor<br />
que cada alvéolo tem forma esférica e que, num<br />
adulto, o diâmetro médio de um alvéolo seja,<br />
aproximadamente, 0,02 cm. Se o volume total dos<br />
alvéolos de um adulto é igual a 1 618 cm3, o<br />
número aproximado de alvéolos dessa pessoa,<br />
considerando = 3, é:<br />
O volume do cilindro, em cm3, é<br />
a) 100 b) 200 c) 250 d) 500 e) 750<br />
54
13-(UNESP-12) A figura mostra um paralelepípedo<br />
reto-retângulo ABCDEFGH, com base quadrada<br />
ABCD de aresta a e altura 2a, em centímetros.<br />
a) 636. b) 634. c) 630. d) 632. e) 638.<br />
GABARITO<br />
01)A 2)A 3)D 4)C 5)C 6)D 7)A 8)B 9)A 10)E<br />
11)A 12)D 13)E 14) D<br />
A distância, em centímetros, do vértice A à<br />
diagonal BH vale:<br />
a)<br />
5 a<br />
6<br />
b)<br />
6 a<br />
6<br />
c)<br />
5 a<br />
5<br />
d)<br />
6 a<br />
5<br />
e)<br />
30 a<br />
6<br />
14. (Unesp 2013) Para confeccionar um porta-joias<br />
a partir de um cubo maciço e homogêneo de<br />
madeira com 10 cm de aresta, um marceneiro<br />
dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces<br />
horizontais. De cada paralelepípedo resultante<br />
extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo<br />
que seus centros ficassem localizados no<br />
cruzamento das diagonais da face de corte,<br />
conforme mostra a sequência de figuras.<br />
Sabendo que a densidade da madeira utilizada na<br />
confecção do porta-joias era de 0,85 g/cm 3 e<br />
admitindo 3, a massa aproximada do portajoias,<br />
em gramas, é<br />
55
SÓLIDOS NA UNESP CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS<br />
01-(UNESP-03) Aumentando em 2 cm a aresta a<br />
de um cubo C1, obtemos um cubo C2, cuja área da<br />
superfície total aumenta em 216 cm2, em relação à<br />
do cubo C1.<br />
nível da água suba 1 6 R, conforme mostra a figura. 05-(UNESP-04) Um recipiente tampado, na forma<br />
de um cone circular reto de altura 18 cm e raio 6<br />
cm, contém um líquido até a altura de 15 cm (figura<br />
a) Calcule o raio r da esfera em termos de R.<br />
b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que<br />
antes da esfera ser mergulhada, a água ocupava 3 4<br />
da altura do cilindro. Calcule quantas esferas de aço<br />
idênticas à citada podem ser colocadas dentro do<br />
Determine:<br />
cilindro, para que a água atinja o topo do cilindro<br />
a) a medida da aresta do cubo C1;<br />
sem transbordar.<br />
b) o volume do cubo C2.<br />
04-(UNESP-04) Um recipiente, na forma de um<br />
02-(UNESP-03) Uma quitanda vende fatias de<br />
melancia embaladas em plástico transparente. Uma<br />
melancia com forma esférica de raio de medida<br />
Rcm foi cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia<br />
tem a forma de uma cunha esférica, como<br />
cilindro circular reto de raio R e altura 32 cm, está<br />
até à metade com água (figura 1). Outro recipiente,<br />
na forma de um cone circular reto, contém uma<br />
substância química que forma um cone de altura 27<br />
cm e raio r (figura 2).<br />
representado na figura.<br />
Sabendo-se que a área de uma superfície esférica<br />
de raio R cm é 4 R2 cm2, determine, em função de<br />
e de R:<br />
3<br />
a) Sabendo que R = r, determine o volume da<br />
a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso<br />
2<br />
esférico);<br />
água no cilindro e o volume da substância química<br />
b) quantos cm2 de plástico foram necessários para no cone, em função de r. (Para facilitar os cálculos,<br />
embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem<br />
use a aproximação = 3.)<br />
sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a<br />
área da superfície total de cada fatia.<br />
b) A substância química do cone é despejada no<br />
cilindro, formando uma mistura homogênea (figura<br />
3). Determine a concentração (porcentagem) da<br />
03-(UNESP-03) Em um tanque cilíndrico com raio<br />
de base R e altura H contendo água é mergulhada<br />
substância química na mistura e a altura h atingida<br />
pela mistura no cilindro.<br />
uma esfera de aço de raio r, fazendo com que o<br />
56
1). A seguir, a posição do recipiente é invertida<br />
(figura 2).<br />
Sendo R e r os raios mostrados nas figuras,<br />
a) determine R e o volume do líquido no cone em<br />
cm 3 (figura 1), como múltiplo de .<br />
b) dado que r = 3 91 , determine a altura H da<br />
parte sem líquido do cone na figura 2. (Use a<br />
aproximação 3 91 9 2 .)<br />
06-(UNESP-05) Em um camping, sobre uma área<br />
plana e horizontal, será montada uma barraca com<br />
a forma e as dimensões dadas de acordo com a<br />
figura.<br />
transparente na forma de um paralelepípedo retoretângulo,<br />
que tem como base um quadrado cujo<br />
lado mede 15 cm e a aresta da face lateral mede 40<br />
cm, Márcia montou um enfeite de natal. Para tanto,<br />
colocou no interior desse recipiente 90 bolas<br />
coloridas maciças de 4 cm de diâmetro cada e<br />
completou todos os espaços vazios com um líquido<br />
colorido transparente. Desprezando-se a espessura<br />
do vidro e usando (para facilitar os cálculos) a<br />
aproximação = 3,<br />
a) dê, em cm 2 , a área lateral do recipiente e a área<br />
da superfície de cada bola.<br />
b) dê, em cm3, o volume do recipiente, o volume de<br />
cada esfera e o volume do líquido dentro do<br />
recipiente.<br />
09-(UNESP-07) Para calcularmos o volume<br />
aproximado de um iceberg, podemos compará-lo<br />
com sólidos geométricos conhecidos. O sólido da<br />
figura, formado por um tronco de pirâmide regular<br />
de base quadrada e um paralelepípedo retoretângulo,<br />
justapostos pela base, representa<br />
aproximadamente um iceberg no momento em que<br />
se desprendeu da calota polar da Terra. As arestas<br />
das bases maior e menor do tronco de pirâmide<br />
medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam, e a<br />
altura mede 12 dam.<br />
Em cada um dos quatro cantos do teto da barraca<br />
será amarrado um pedaço de corda, que será<br />
esticado e preso a um gancho fixado no chão, como<br />
mostrado na figura.<br />
a) Calcule qual será o volume do interior da barraca.<br />
b) Se cada corda formará um ângulo de 30 ° com a<br />
lateral da barraca, determine, aproximadamente,<br />
quantos metros de corda serão necessários para<br />
fixar a barraca, desprezando-se os nós. (Use, se<br />
necessário, a aproximação 3 = 1,73)<br />
07-(UNESP-05) Considere um cilindro circular reto<br />
de altura x cm e raio da base igual a y cm.<br />
Usando a aproximação = 3, determine x e y nos<br />
seguintes casos:<br />
a) o volume do cilindro é 243 cm 3 e a altura é igual<br />
ao triplo do raio;<br />
b) a área da superfície lateral do cilindro é 450 cm2<br />
e a altura tem 10 cm a mais que o raio.<br />
08-(UNESP-06) Com um recipiente de vidro fino<br />
Passado algum tempo do desprendimento do<br />
iceberg, o seu volume era de 23.100 dam 3 , o que<br />
correspondia a 3 do volume inicial. Determine a<br />
4<br />
altura H, em dam, do sólido que representa o<br />
iceberg no momento em que se desprendeu.<br />
10- (UNESP-07) Com o fenômeno do efeito estufa<br />
e consequente aumento da temperatura média da<br />
Terra, há o desprendimento de icebergs (enormes<br />
blocos de gelo) das calotas polares terrestres. Para<br />
calcularmos o volume aproximado de um iceberg<br />
podemos compará-lo com sólidos geométricos<br />
conhecidos. Suponha que o sólido da figura,<br />
formado por dois troncos de pirâmides regulares de<br />
base quadrada simétricos e justapostos pela base<br />
maior, represente aproximadamente um iceberg.<br />
57
proveniente da chuva que cai sobre o telhado de<br />
sua casa, ao longo de um período de um ano.<br />
As figuras e o gráfico representam as dimensões do<br />
telhado da casa, a forma da cisterna a ser<br />
construída e a quantidade média mensal de chuva<br />
na região onde o agricultor possui sua casa.<br />
As arestas das bases maior e menor de cada tronco<br />
medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam e a<br />
altura mede 12 dam. Sabendo que o volume Vs da<br />
parte submersa do iceberg corresponde a<br />
aproximadamente 7 8<br />
do volume total V, determine<br />
Vs.<br />
11. (UNESP-08) Numa região muito pobre e com<br />
escassez de água, uma família usa para tomar<br />
banho um chuveiro manual, cujo reservatório de<br />
água tem o formato de um cilindro circular reto de<br />
30 cm de altura e base com 12 cm de raio, seguido<br />
de um tronco de cone reto cujas bases sao círculos<br />
paralelos, de raios medindo 12 cm e 6 cm,<br />
respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na<br />
figura.<br />
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao<br />
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície<br />
plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a<br />
profundidade (h) da cisterna para que ela comporte<br />
todo o volume de água da chuva armazenada<br />
durante um ano, acrescido de 10% desse volume.<br />
Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há<br />
uma torneira com um gotejamento que provoca um<br />
desperdício de 46,44 litros de água por dia.<br />
Considerando a aproximação = 3, determine<br />
quantos dias de gotejamento são necessários para<br />
que a quantidade de água desperdiçada seja igual à<br />
usada para 6 banhos, ou seja, encher<br />
completamente 6 vezes aquele chuveiro manual.<br />
Dado: 1.000 cm 3 = 1 litro.<br />
13-(UNESP-10) Na construção de uma estrada<br />
retilínea foi necessário escavar um túnel cilíndrico<br />
para atravessar um morro. Esse túnel tem seção<br />
transversal na forma de um círculo de raio R<br />
seccionado pela corda AB e altura máxima h,<br />
relativa à corda, conforme figura.<br />
12- (UNESP-10) Prevenindo-se contra o período<br />
anual de seca, um agricultor pretende construir uma<br />
cisterna fechada, que acumule toda a água<br />
58
A região entre o prisma e o cilindro é fechada e não<br />
aproveitável. Determine o volume dessa região.<br />
Para os cálculos finais, considere as aproximações<br />
= 3 e 3 = 1,7.<br />
Sabendo que a extensão do túnel é de 2000 m, que<br />
3R<br />
AB 4 3m e que h 6m , determine o<br />
2<br />
volume aproximado de terra, em m 3 , que foi retirado<br />
na construção do túnel.<br />
Dados: 1,05 e 3 1,7.<br />
3<br />
14-(UNESP-08) Um porta-canetas tem a forma de<br />
um cilindro circular reto de 12 cm de altura e 5 cm<br />
de raio. Sua parte interna é um prisma regular de<br />
base triangular, como ilustrado na figura, onde o<br />
triângulo e eqüilátero e está inscrito na<br />
circunferência.<br />
GABARITO<br />
1) a) 8 cm b) 1000 cm3 2) a)<br />
2<br />
4 R<br />
3<br />
cm 2 3) a) r = R 2<br />
2<br />
R<br />
3 cm 2 b)<br />
b) 6 esferas.<br />
4) a) volume da água no cilindro: 108r2 cm3;<br />
volume da substância química na mistura:<br />
2 3<br />
27r cm b) 20% ; h = 20 cm 5) a) R = 5 cm e V =<br />
125 cm3 b) H = 27 2 cm<br />
6) a) 36m3. b) 9,23m. 7) a) x = 9 e y = 3 b) x = 15<br />
e y = 5 8) a) 2.400 cm 2 e 48 cm 2<br />
b) 9.000 cm3, 32 cm3 e 6.120 cm3 9) H = 22 dam<br />
10) Vs = 25.900 dam 3<br />
11) 2 dias 12) h = 7,7m 13) 80800m³ 14)<br />
517,5 cm³<br />
59
SÓLIDOS NA UNIFESP- C ESPECÍFICOS<br />
01-(UNIFESP-03) Um recipiente, contendo água,<br />
tem a forma de um cilindro circular reto de altura h =<br />
50 cm e raio r = 15 cm. Este recipiente contém 1<br />
litro de água a menos que sua capacidade total.<br />
a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela<br />
é igual a dois terços da diagonal do cubo.<br />
b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o<br />
volume do tetraedro.<br />
a) Calcule o volume de água contido no cilindro<br />
(use = 3,14).<br />
b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro<br />
que, introduzida no cilindro e totalmente submersa,<br />
faça transbordarem exatamente 2 litros de água<br />
02-(UNIFESP-05) A figura representa um lápis novo<br />
e sua parte apontada, sendo que D, o diâmetro do<br />
lápis, mede 10 mm; d, o diâmetro do grafite, mede 2<br />
mm e h, a altura do cilindro reto que representa a<br />
parte apontada, mede 15 mm. A altura do cone reto,<br />
representando a parte do grafite que foi apontada,<br />
mede s mm.<br />
04-(UNIFESP-08) Um poliedro é construído a partir<br />
de um cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada<br />
um de seus cantos uma pirâmide regular de base<br />
triangular equilateral (os três lados da base da<br />
a<br />
pirâmide são iguais). Denote por x, 0 < x<br />
2 , a<br />
aresta lateral das pirâmides cortadas.<br />
a) Calcule o volume do material (madeira e grafite)<br />
retirado do lápis.<br />
b) Calcule o volume do grafite retirado.<br />
a) Dê o número de faces do poliedro construído.<br />
a<br />
b) Obtenha o valor de x, 0 < x , para o qual o<br />
2<br />
volume do poliedro construído fique igual a cinco<br />
sextos do volume do cubo original. A altura de cada<br />
x<br />
pirâmide cortada, relativa a base equilateral, é<br />
3 .<br />
03-(UNIFESP-07) Quatro dos oito vértices de um<br />
cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro<br />
regular. As arestas do tetraedro são diagonais das<br />
faces do cubo, conforme mostra a figura.<br />
GABARITO<br />
1) a) 34,325 b) 3<br />
2 mm3 3) a)<br />
9<br />
4<br />
(2 3)<br />
3<br />
dm 2) a) 250 mm3 b)<br />
b) 3<br />
4) a) 14 b) x = a 2<br />
60
SÓLIDOS NO ITA<br />
01-(ITA-11) Uma esfera está inscrita em uma<br />
pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12 cm<br />
10 3<br />
e a aresta da base mede cm. Então o raio<br />
3<br />
da esfera, em cm, é igual a<br />
10 3<br />
a) cm b)13/3 c)15/4<br />
3<br />
d) 2 3 e)10/3<br />
6<br />
02-(ITA-10) Um cilindro reto de altura cm está<br />
3<br />
inscrito num tetraedro regular e tem sua base em<br />
uma das faces do tetraedro. Se as arestas do<br />
tetraedro medem 3 cm; o volume do cilindro, em<br />
cm³; é igual a<br />
a)<br />
3<br />
4<br />
b)<br />
3<br />
6<br />
c)<br />
6<br />
6<br />
6<br />
d)<br />
e)<br />
9 3<br />
03-(ITA-10) Sejam A, B, C e D os vértices de um<br />
tetraedro regular cujas arestas medem 1 cm. Se M é<br />
o ponto médio do segmento AB e N é o pondo<br />
médio do segmento CD então a área do triângulo<br />
MND, em cm² é igual a:<br />
a)<br />
d)<br />
2<br />
6<br />
3<br />
8<br />
b)<br />
e)<br />
2<br />
8<br />
3<br />
9<br />
04-(ITA-09) Uma esfera é colocada no interior de<br />
um cone circular reto de 8cm de altura e de<br />
60º de ângulo de vértice. Os pontos de contato da<br />
esfera com a superfície lateral do cone definem uma<br />
circunferência e distam 2 3 cm do vértice do<br />
cone. O volume do cone não ocupado pela esfera,<br />
em cm³, é igual a<br />
a) 416 /9 b)480 /9 c) 500 /9<br />
d) 512 /9 e) 542 /9<br />
05-(ITA-08) Um diedro mede 120°. A distância da<br />
aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume<br />
que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a<br />
c)<br />
a)3 3 b)3 2 c)2 3 d)2 2 e)2<br />
3<br />
6<br />
06-(ITA-07) Considere uma pirâmide regular de<br />
base hexagonal, cujo apótema da base mede<br />
3 cm . Secciona-se a pirâmide por um plano<br />
paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume<br />
igual a 1cm³ e uma nova pirâmide. Dado que a<br />
1<br />
razão entre as alturas das pirâmides é ,a altura<br />
2<br />
do tronco, em centímetros, é igual a<br />
6 2 6 3 3 3 6<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
4<br />
3<br />
21<br />
3 2 2 3 2 6 2<br />
e)<br />
6<br />
22<br />
07-(ITA-06) Uma pirâmide regular tem por base um<br />
hexágono cuja diagonal menor mede 3 3 cm. As<br />
faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60 °<br />
com o plano da base. A área total da pirâmide, em<br />
cm2, é<br />
a) 81 3 2<br />
b) 81 2<br />
2<br />
c) 81<br />
2 d) 27 3 e) 27 2<br />
08-(ITA-05) Uma esfera de raio r é seccionada por n<br />
planos meridianos. Os volumes das respectivas<br />
cunhas esféricas contidas em uma semi-esfera<br />
formam uma progressão aritmética de razão r 3 /45.<br />
Se o volume da menor cunha for igual a r3/18,<br />
então n é igual a<br />
a) 4. b) 3. c) 6. d) 5. e) 7.<br />
09-(ITA-05) A circunferência inscrita num triângulo<br />
equilátero com lados de 6 cm de comprimento é a<br />
interseção de uma esfera de raio igual a 4 cm com o<br />
plano do triângulo. Então, a distância do centro da<br />
esfera aos vértices do triângulo é (em cm)<br />
a) 3 3 . b) 6. c) 5. d) 4. e) 2 5<br />
10-(ITA-04) A área total da superfície de um cone<br />
circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à<br />
terça parte da área de um círculo de diâmetro igual<br />
ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume<br />
deste cone, em cm3, é igual a<br />
a) R 3 b) ( 2 ) R 3 c) [ /( 2 )] R 3<br />
d) ( 3 ) R3 e) [ /( 3 )] R3<br />
11-(ITA-04) Considere um cilindro circular reto, de<br />
volume igual a 360 cm3, e uma pirâmide regular<br />
cuja base hexagonal está inscrita na base do<br />
cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro<br />
61
da altura do cilindro e que a área da base da<br />
pirâmide é de 54<br />
pirâmide mede, em cm2,<br />
3 cm 2 , então, a área lateral da<br />
a) 18 427 b) 27 427 c) 36 427 d) 108 3 e)<br />
45 427<br />
12-(ITA-03) Considere o triângulo isósceles OAB,<br />
com lados OA e OB de comprimento 2 R e lado<br />
AB de comprimento 2R. O volume do sólido, obtido<br />
pela rotação deste triângulo em torno da reta que<br />
passa por O e é paralela ao lado AB, é igual a:<br />
a)<br />
3<br />
R<br />
b) R 3 c)<br />
3<br />
4 R<br />
3<br />
d)<br />
3<br />
2 R e) 3 R 3<br />
2<br />
13-(ITA-02) Seja uma pirâmide regular de base<br />
hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice<br />
devemos cortá-la por um plano paralelo à base de<br />
forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do<br />
volume da pirâmide original<br />
a) 2 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. e) 8 m.<br />
14-(ITA-01) A razão entre a área da base de uma<br />
pirâmide regular de base quadrada e a área de uma<br />
das faces é 2. Sabendo que o volume da pirâmide é<br />
de 12m3, temos que a altura da pirâmide mede (em<br />
metros):<br />
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5<br />
15-(ITA-01) O raio da base de um cone circular reto<br />
é igual à média aritmética da altura e a geratriz do<br />
cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128 m 3 ,<br />
temos que o raio da base e a altura do cone<br />
medem, respectivamente, em metros:<br />
a) 9 e 8 b) 8 e 6 c) 8 e 7<br />
d) 9 e 6 e) 10 e 8<br />
16-(ITA-00) Considere uma pirâmide regular com<br />
6<br />
altura de 3<br />
cm. Aplique a esta pirâmide dois<br />
9<br />
cortes planos e paralelos à base de tal maneira que<br />
a nova pirâmide e os dois troncos obtidos tenham,<br />
os três, o mesmo volume. A altura do tronco cuja<br />
base é a base da pirâmide original é igual a<br />
esfera que, por sua vez, está inscrita num cilindro. A<br />
razão entre as áreas das superfícies totais do<br />
cilindro e do cone é igual a<br />
a)<br />
d)<br />
3( 2 1)<br />
2<br />
27( 3 1)<br />
8<br />
9( 2 1)<br />
. c)<br />
4<br />
9( 2 1)<br />
. e) .<br />
16<br />
. b)<br />
9( 6 1)<br />
4<br />
18-(ITA-00) Um cilindro circular reto é seccionado<br />
por um plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a 5<br />
cm do eixo e separa na base um arco de 120°.<br />
Sendo de 30 3 cm2 a área da secção plana<br />
retangular, então o volume da parte menor do<br />
cilindro seccionado mede, em cm 3 ,<br />
a) 30 - 10 3 . b) 30 - 20 3 . c) 20 - 10 3 .<br />
d) 50 - 25 3 . e) 100 - 75 3 .<br />
19-(ITA-99) Num cone circular reto, a altura é a<br />
média geométrica entre o raio da base e a geratriz.<br />
A razão entre a altura e o raio da base é:<br />
a) 1 5<br />
2<br />
d)<br />
3<br />
1 5<br />
3<br />
b)<br />
e)<br />
1 5<br />
2<br />
1 5<br />
2<br />
c)<br />
1 5<br />
2<br />
20-(ITA-98) Uma pirâmide regular tem por base um<br />
quadrado de lado 2 cm. Sabe-se que as faces<br />
formam com a base ângulos de 45°. Então, a razão<br />
entre a área da base e a área lateral é igual a:<br />
a) 2 b) 1 3 c) 6 d) 2<br />
2<br />
21-(ITA-99) Um poliedro convexo de 10 vértices<br />
apresenta faces triangulares e quadrangulares. O<br />
número de faces quadrangulares, o número de<br />
faces triangulares e o número total de faces<br />
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O<br />
número de arestas é:<br />
a) 10 b) 17 c) 20 d) 22 e) 23<br />
e)<br />
2<br />
3<br />
.<br />
3<br />
a) 2 (<br />
c) 2 (<br />
e) 2 (<br />
3<br />
3<br />
9 -<br />
3<br />
6 -<br />
3<br />
9 -<br />
3<br />
6 ) cm. b) 2 (<br />
3<br />
3 ) cm. d) 2 (<br />
3<br />
3 ) cm.<br />
6 -<br />
3<br />
3 -<br />
3<br />
2 ) cm.<br />
2 ) cm.<br />
22- (ITA-05) Considere um prisma regular em que a<br />
soma dos ângulos internos de todas as faces é<br />
7200 ° . O número de vértices deste prisma é igual a<br />
a) 11. b) 32. c) 10. d) 20. e) 22.<br />
GABARITO<br />
17-(ITA-00) Um cone circular reto com altura de<br />
8 cm e raio da base de 2 cm está inscrito numa<br />
1)E 2)D 3)B 4)A 5) E 6)C 7)A 8)C 9)C 10)E<br />
11)A 12)C 13)C 14)C 15)B 16)D 17)D 18)E 19)E<br />
20)D 21)C 22)E<br />
62
SÓLIDOS NO MACKENZIE<br />
01-(MACK-10-J) A figura representa um bloco com<br />
formato de um cubo de aresta a , do qual é<br />
retirada uma pirâmide. Se A, B e C são pontos<br />
médios dos lados do cubo e se o volume da peça<br />
restante é igual a 188/3, o valor de a² + a é<br />
na figura. Se na parte superior do copo há uma<br />
camada de espuma de 4cm de altura, então a<br />
porcentagem do volume do copo ocupada pela<br />
espuma está melhor aproximada na alternativa:<br />
a) 65% b) 60% c) 50% d) 45% e) 70%<br />
a) 16 b) 4c) 20d) 28 e)8<br />
02-(MACK-09) A peça da figura, de volume a², é o<br />
resultado de um corte feito em um paralelepípedo<br />
reto retângulo, retirando-se um outro paralelepípedo<br />
reto retângulo. O valor de a é:<br />
06-(MACK-06) Uma bóia marítima construída de<br />
uma determinada liga metálica tem o formato de<br />
uma gota que, separada em dois sólidos, resulta em<br />
um cone reto e em uma semi-esfera,<br />
conforme a figura ao lado, na qual r = 50cm. Se o<br />
preço do m2 da liga metálica é 1200 reais,<br />
adotando-se = 3, o custo da superfície da bóia é,<br />
em reais, igual a<br />
a) 2/3 b) 5 c) 6 d) 4 e) 4/5<br />
03-(MACK-02) Uma piscina com 5m de<br />
comprimento, 3m de largura e 2m de profundidade<br />
tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Se o<br />
nível da água está 20cm abaixo da borda, o volume<br />
de água existente na piscina é , igual a:<br />
a) 27000cm³ b) 27000m³ c) 27000 litros<br />
d) 3000 litros e) 30m³<br />
04-(MACK-04) Um recipiente metálico, com a forma<br />
de um cilindro reto, teve, por meio de um processo<br />
industrial, a sua altura alongada em 20% e a área<br />
de sua seção transversal paralela à base reduzida<br />
em 20%. O volume do recipiente, após o processo:<br />
a) diminuiu de 4%. d) aumentou de 2%.<br />
b) diminuiu de 2%. e) não se alterou.<br />
c) aumentou de 4%.<br />
a) 4200 b) 5700 c) 4500 d) 5200 e) 3800<br />
07-(MACK-05) Remove-se, do cubo da figura, a<br />
pirâmide triangular ABCD. Obtém-se, dessa forma,<br />
um sólido de volume:<br />
05-(MACK-05) Uma mistura de leite batido com<br />
sorvete é servida em um copo, como<br />
63
a) 5 2<br />
b) 4 3<br />
c) 4 d) 5 e) 3<br />
12-(MACK-03) Se, no cubo da figura, a distância<br />
entre as retas t e u é 3 2 , a área total desse cubo<br />
é:<br />
a) 14/13 b)11/5 c) 18/5 d)20/3 e) 16/5<br />
08-(MACK-04) Um recipiente cilíndrico reto, com<br />
raio da base igual a 4cm, contém água até a metade<br />
de sua altura. Uma esfera maciça, colocada no seu<br />
interior, fica totalmente submersa, elevando a altura<br />
da água em 2cm. O raio da esfera é:<br />
a)<br />
2 3<br />
3 b)4 c)<br />
3 3<br />
2 d)<br />
3<br />
5<br />
2<br />
e)2<br />
09-(MACK-01) Um prisma e um cone retos têm<br />
bases de mesma área. Se a altura do prisma é 2/3<br />
da altura do cone, a razão entre o volume do prisma<br />
e o volume do cone é:<br />
a) 2 b) 3/2 c) 3 d) 5/3 e) 5/2<br />
a) 150 b) 300 c) 216 d) 180 e) 280<br />
13-(MACK-09) Um frasco de perfume, que tem a<br />
forma de um tronco de cone circular reto de raios 1<br />
cm e 3 cm, está totalmente cheio. Seu conteúdo é<br />
despejado em um recipiente que tem a forma de um<br />
cilindro circular reto de raio 4 cm, como mostra a<br />
figura.<br />
10-(MACK-03) Planificando a superfície lateral de<br />
um cone, obtém-se o setor circular da figura, de<br />
centro O e raio 18 cm . Dos valores abaixo, o mais<br />
próximo da altura desse cone é:<br />
a) 12 cm b) 18 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 20 cm<br />
11-(MACK-03) No sólido da figura, ABCD é um<br />
quadrado de lado 2 e AE = BE = 10 . O volume<br />
desse sólido é:<br />
Se d é a altura da parte não preenchida do<br />
recipiente cilíndrico e, adotando-se = 3 o valor de<br />
d é:<br />
a) 10 11<br />
b)<br />
6 6 c) 12 6 d) 13 6<br />
e) 14 6<br />
64
14-(ITA-12) Um cone circular reto de altura 1 cm e<br />
2 3<br />
geratriz cm é interceptado por um plano<br />
3<br />
paralelo à sua base, sendo determinado, assim,<br />
um novo cone. Para que este novo cone tenha<br />
o mesmo volume de um cubo de aresta<br />
243<br />
cm, é necessário que a distância do<br />
plano à base do cone original seja, em cm, igual a<br />
a)1/4 b)1/3 c)1/2 d)2/3 e)3/4<br />
GABARITO<br />
1)C 2)D 3)C 4) A 5)C 6)C 7)D 8)A 9)A 10)D<br />
11)E 12)C 13)B 14)D<br />
1<br />
3<br />
65
SÓLIDOS NA GV<br />
09-(GV-11) Após t horas do inicio de um vazamento<br />
de óleo de um barco em um oceano, constatou-se<br />
ao redor da embarcação a formação de uma<br />
mancha com a forma de um círculo cujo raio r varia<br />
com o tempo t mediante a função<br />
30 0,5<br />
r t t metros. A espessura da mancha ao<br />
dividido em quatro partes idênticas por planos<br />
perpendiculares entre si e perpendiculares ao plano<br />
da sua base, como indica a figura.<br />
longo do circulo é de 0,5 centímetro. Desprezando a<br />
área ocupada pelo barco na mancha circular,<br />
podemos afirmar que o volume de óleo que vazou<br />
entre os instantes t = 4 horas e t = 9 horas foi de:<br />
a) 12,5m 3 b) 15m 3 c) 17,5m 3<br />
d) 20m3 e) 22,5m3<br />
02-(GV-99) Deseja-se construir uma piscina de<br />
formato quadrado sendo 100 m 2 a área do<br />
quadrado e 1,5 m a profundidade. Se as paredes<br />
laterais e o fundo forem revestidos com azulejos de<br />
dimensões 15 cm × 15 cm:<br />
a) Qual o número (aproximado) de azulejos<br />
necessários<br />
b) Se a piscina fosse circular sendo 100 m 2 a área<br />
do círculo e 1,5 m a profundidade, qual seria o<br />
número (aproximado) de azulejos necessários<br />
para revesti-la Adote: = 1,8.<br />
03-(GV-05) O sólido da figura 1 foi obtido a partir de<br />
duas secções em um cilindro circular reto de altura<br />
24 cm e raio da base 10 cm. As secções foram<br />
feitas na intersecção do cilindro com um diedro de<br />
60 ° , como mostra a figura 2:<br />
Se a altura do tronco é 10 cm, a medida da sua<br />
geratriz, em cm, é igual a<br />
a) 101. b) 102 . c) 103 .<br />
d) 2 26 . e) 105 .<br />
05-(GV-07) No antigo Egito uma das unidades<br />
usadas para medir comprimentos era o "cúbito",<br />
equivalente a cerca de 52 cm. O jovem Abdal, que<br />
viveu no século II a.C. e curioso em Matemática,<br />
desejava saber a altura da grande pirâmide que<br />
tinha sido construída mais de dois mil anos antes.<br />
Ele sabia que a pirâmide foi construída de forma<br />
que, no primeiro dia do verão, suas faces ficavam<br />
voltadas para os quatro pontos cardeais e, nesse<br />
dia, fez a seguinte experiência. No meio da manhã,<br />
a sombra da pirâmide era um triângulo isósceles de<br />
vértice P (veja o desenho).<br />
Sabendo que os pontos A, B, C, A', B' e C'<br />
pertencem às faces do diedro e às circunferências<br />
das bases do cilindro, como mostra a figura 2, a<br />
área da superfície BB'C'C, contida na face lateral do<br />
cilindro, em cm 2 , é igual a<br />
a) 60 b) 40 ( 3 ) c) 80<br />
d) 90 ( 3 ) e) 160<br />
04-(GV-07) Um tronco de cone circular reto foi<br />
Ele mediu a distância de P ao ponto M, médio do<br />
lado da base (portanto a altura do triângulo da<br />
sombra) e achou 130 cúbitos. Nesse momento, ele<br />
percebeu que uma vara reta PA de 4 cúbitos de<br />
comprimento, colocada verticalmente, projetava<br />
uma sombra PB de 5 cúbitos. Abdal mediu também<br />
o lado da base da pirâmide, que é quadrada, e<br />
achou 440 cúbitos.<br />
Determine, em metros, um valor aproximado para a<br />
altura da grande pirâmide do Egito.<br />
66
06-(GV-08) As alturas de um cone circular reto de<br />
volume P e de um cilindro reto de volume Q são<br />
iguais ao diâmetro de uma esfera de volume R. Se<br />
os raios das bases do cone e do cilindro são iguais<br />
ao raio da esfera, então, P - Q + R é igual a<br />
a) 0. b) 2 /3. c) . d) 4 /3. e) 2 .<br />
07-(GV-10) Uma lata de tinta esta cheia em 5 6 de<br />
sua capacidade. Dentro da lata caiu um pincel de 45<br />
cm de comprimento. É certo que o pincel ficará<br />
completamente submerso na tinta Por quê<br />
Qual o custo do material utilizado<br />
10-(GV-08) A soma das medidas das 12 arestas de<br />
um paralelepípedo reto-retângulo é igual a 140 cm.<br />
Se a distância máxima entre dois vértices do<br />
paralelepípedo é 21 cm, sua área total, em cm², é<br />
a) 776. b) 784. c) 798.<br />
d) 800. e) 812<br />
GABARITO<br />
1) E 2) a) 7112 azulejos. b) 6845 azulejos. 3)E 4)B<br />
5) h = 280 cúbitos = 145,60m.<br />
6) A 7)<br />
08-(GV-10) A figura indica a planificação da lateral<br />
de um cone circular reto:<br />
5<br />
de 36 cm = 30cm<br />
6<br />
x2 = 402 + 302 x = 50 cm<br />
Como 45 < 50, o pincel poderá ficar completamente<br />
submerso na tinta.<br />
8)B 9) a) 5 . 3 3 4<br />
cm b) R$ 7.512,00 10) B<br />
O cone a que se refere tal planificação é<br />
a) b) c)<br />
d) e)<br />
01-(GV-01) a) Um cubo maciço de metal, com 5 cm<br />
de aresta, é fundido para formar uma esfera<br />
também maciça. Qual o raio da esfera<br />
b) Deseja-se construir um reservatório cilíndrico<br />
com tampa, para armazenar certo líquido. O volume<br />
do reservatório deve ser de 50 m3 e o raio da base<br />
do cilindro deve ser de 2 m. O material usado na<br />
construção custa R$ 100,00 por metro quadrado.<br />
67
SÓLIDOS NA PUC-SP<br />
01-(PUC-11) Um artesão dispõe de um bloco<br />
maciço de resina, com a forma de um<br />
paralelepípedo retângulo de base quadrada e cuja<br />
altura mede 20 cm. Ele pretende usar toda a resina<br />
desse bloco para confeccionar contas esféricas que<br />
serão usadas na montagem de 180 colares. Se<br />
cada conta tiver 1 cm de diâmetro e na montagem<br />
de cada colar forem usadas 50 contas, então,<br />
considerando o volume do cordão utilizado<br />
desprezível e a aproximação<br />
= 3, a área total da superfície do bloco de resina,<br />
em centímetros quadrados, é<br />
A) 1250 B) 1480 C) 1650 D) 1720E) 1850<br />
02-(PUC-99) Um cone circular reto, cujo raio da<br />
base é 3 cm, está inscrito em uma esfera de raio 5<br />
cm, conforme mostra a figura a seguir.<br />
Se o volume desse prisma é 120 cm3, a sua área<br />
total, em centímetros quadrados, é<br />
a) 144 b) 156 c) 160 d) 168 e) 172<br />
05-(PUC-06) De um cristal de rocha, com o formato<br />
de uma esfera, foi lapidada uma joia na forma de<br />
um octaedro regular, como mostra a figura seguinte.<br />
O volume do cone corresponde a que porcentagem<br />
do volume da esfera<br />
a) 26,4% b) 21,4% c) 19,5% d) 18,6% e) 16,2%<br />
03-(PUC-00) Uma caixa sem tampa é feita com<br />
placas de madeira de 0,5 cm de espessura. Depois<br />
de pronta, observa-se que as medidas da caixa,<br />
pela parte externa, são 51 cm × 26 cm × 12,5 cm,<br />
conforme mostra a figura abaixo.<br />
Se tal joia tem 9 2 cm3 de volume, quantos<br />
centímetros cúbicos de rocha foram retirados do<br />
cristal original para lapidá-la (Use: = 3)<br />
a) 36 2 b) 32 2 c) 24 2 d) 18 2 e) 12 2<br />
06-(PUC) Se triplicarmos o raio da base de um<br />
cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro<br />
fica multiplicado por:<br />
a)3 b)6 c)9 d)12 e)15<br />
07-(PUC) Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume<br />
equivalente ao de um cilindro circular reto de altura<br />
h = 12 cm. O raio do cilindro, em cm, mede:<br />
a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 e) 13<br />
O volume interno dessa caixa, em metros cúbicos, é<br />
a) 0,015 b) 0,0156 c) 0,15 d) 0,156 e) 1,5<br />
04-(PUC-01) Na figura a seguir tem-se o prisma<br />
reto ABCDEF, no qual DE = 6 cm, EF = 8 cm e DE é<br />
perpendicular a EF.<br />
08-(PUC) As projeções ortogonais de um cilindro<br />
sobre dois planos perpendiculares, são,<br />
respectivamente, um círculo e um quadrado. Se o<br />
lado do quadrado é 10, qual é o volume do cilindro<br />
a)1000 b)750 c)500 d)250 e)100<br />
GABARITO<br />
1)C 2)E 3)A 4)D 5)D 6)C 7)C 8)D<br />
68
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