Geometria espacial

PROF. ENZO MARCON TAKARA 

EDIÇÃO 2013 

1

INDICE 

PRISMAS ..........................................................................................................................................03 

PARALELEÍPIDO E CUBO...................................................................................................................08 

CILINDRO..........................................................................................................................................12 

PIRÂMIDE.........................................................................................................................................16 

CONE................................................................................................................................................22 

ESFERA.............................................................................................................................................26 

SECÇÃO TRANSVERSAL, SÓLIDOS SEMELHANTES E TRONCOS........................................................31 

INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS.....................................................................................34 

DIEDROS, RELAÇÃO DE EULER E SÓLIDOS DE PLATÃO....................................................................38 

SÓLIDOS NA FUVEST PRIMEIRA FASE..............................................................................................40 

SÓLIDOS NA FUVEST SEGUNDA FASE..............................................................................................44 

SÓLIDOS NA UNICAMP PRIMEIRA FASE...........................................................................................48 

SÓLIDOS NA UNICAMP SEGUNDA FASE...........................................................................................49 

SÓLIDOS NA UNESP PRIMEIRA FASE................................................................................................53 

SÓLIDOS NA UNESP CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS......................................................................56 

SÓLIDOS NA UNIFESP CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS...................................................................60 

SÓLIDOS NO ITA..............................................................................................................................61 

SÓLIDOS NO MACKENZIE................................................................................................................63 

SÓLIDOS NA GV..............................................................................................................................66 

SÓLIDOS NA PUC............................................................................................................................68 

2

PRISMAS 

1-CONCEITO: Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em 

planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos. 

2-ASPECTOS GEOMÉTRICOS 

2.1- Os polígonos que formam a base e a tampa são congruentes. 

2.2- As arestas laterais são paralelas e todas têm a mesma medida. 

2.3-Se as arestas laterais forem perpendiculares a base temos um prisma reto , caso contrário temos um prisma 

oblíquo. 

2.3- Se o prisma for reto as faces laterais são retangulares se for oblíquo as faces laterais formam um 

paralelogramo 

PRISMA PENTAGONAL RETO 

PRISMA PENTAGONAL OBLÍQUO 

3-SECÇÃO TRANSVERSAL É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às 

bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases. 

4-PRISMA REGULAR É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, 

sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases. 

Em outras palavras a base é um polígono regular ( eqüiângulo e eqüilátero) 

3

PRISMA HEXAGONAL REGULAR. 

5- CÁLCULO DA ÁREA DA BASE: Para calcular a área da base de um prisma depende do formato da base. As 

faces com maior freqüência nos vestibulares, são triangulares, quadrangulares e hexagonais. 

6- ÁREA LATERAL: É a soma de todas as áreas das faces laterais do prisma. 

Se o prima for regular todas as faces laterais têm a mesma área, então basta calcular uma delas e multiplicar 

pelo número de faces. 

7- ÁREA TOTAL: É a soma da áreas da base com a área da tampa e com a área lateral. A tampa também 

é considerada como base. 

8-VOLUME: É o produto da área da base pela altura do prisma. 

Se o prisma for reto a altura é congruente a aresta lateral. 

EXERCÍCIOS BÁSICOS DE PRISMAS 

01-(FEI) De uma viga de madeira de seção quadrada de lado 10 cm extrai-se uma cunha de altura h = 15 cm, 

conforme a figura. O volume da cunha é (em cm³) 

a) 250 b) 500 c) 750 d) 1000 e) 1250 

4

02-(PUC) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a 

seguir, são dadas as dimensões, em metros, do prisma: 

O volume desse tanque, em metros cúbicos, é 

a) 50b) 60c) 80d) 100e) 120 

03-(MACK) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m 2 de área lateral. Seu 

volume vale 

a) 16 m 3 b) 32 m 3 c) 64 m 3 d) 4 3 m³ e) 16 3 m³ 

4-(METODISTA) Se um prisma hexagonal regular de altura 6 cm possui volume igual a 1728 3 cm³, é 

verdadeiro afirmar que 

a) a área lateral é igual à metade da área da base. 

b) a área lateral é igual à área da base. 

c) a área lateral é igual ao dobro da área da base. 

d) a área lateral é igual ao quádruplo da área da base. 

e) a área lateral é igual ao triplo da área da base. 

5-(PUC) Um prisma reto é tal que sua base é um triângulo equilátero cujo lado mede 4 3 cm e seu volume é 

igual ao volume de um cubo de aresta medindo 4 

é 

a)24 3 b)192 3 c)204 3 d)216 3 e)228 3 

3 cm . a área total desse prisma, em centímetros quadrados, 

6-(ESAL) Num prisma triangular, regular e reto, todas as arestas têm a mesma medida, e o volume é de 0,375 u³. 

a aresta, medida em unidades de comprimento , é igual à raiz cúbica de : 

a)1 b)1/3 c) 3 /2 d) 3 /4 e)1/2 

7-(MACK) A área total de um prisma triangular cujas arestas são todas congruentes entre si e cujo volume é 

54 3 vale 

a)18 3 +108 b)108 3 +18 c)108 3 -18 d)54 3 +16 e)36 3 +12 

8-(PUC) A base de um prisma reto é um triângulo de lados iguais a 5m, 5m e 8 m e a altura tem 3m. O seu 

volume será , em m³: 

a)12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60 

9-(UF) A figura a seguir representa a planificação de um sólido. O volume deste sólido é 

5

a) 20 3 b) 75 c) 50 3 d) 100 e) 100 3 

10-(UECE) Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 m e 4 m. Se a altura 

deste prisma é igual à hipotenusa do triângulo da base, então seu volume, em m², é igual a: 

a) 60 b) 30 c) 24 d) 12 

11-(UF) A figura abaixo representa um prisma reto, de altura 10 cm, e cuja base é o pentágono ABCDE. Sabendose 

que AB = 3 cm e BC = CD = DE = EA = 2 cm, calcule o volume do prisma. 

12-(PUC) Na figura a seguir tem-se o prisma reto ABCDEF, no qual DE = 6 cm, EF = 8 cm e DE é perpendicular a 

EF. Se o volume desse prisma é 120 cm³, a sua área total, em centímetros quadrados, é 

a) 144 b) 156 c) 160d) 168 e) 172 

13-(UF) A figura abaixo ilustra um prisma ABCDEFGH de base retangular de dimensões 4 e 7. A face ABFE é 

perpendicular ao plano da base do prisma e a face BCGF forma um ângulo de 30° com o plano da base do 

prisma. Qual o volume do prisma, se a aresta BF mede 6 

6

14-(UF) Um prisma hexagonal regular de altura igual à aresta da base 

Se a altura do prisma é 2, seu volume é 

a) 4 3 b) 6 3 c) 8 3 d) 10 3 e) 12 3 

15-(PUC) O número de arestas de um prisma pentagonal é 

a) 5 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20 

1)C 2)D 3)E 4)B 5)D 6)C 7)A 8)C 9)B 10)B 11) 

15)D 

GABARITO EXERCÍCIOS BÁSICOS PRISMAS 

3 7 

4 

6 

3 

.10 cm 

12)D 13)84 14)E 

7

PARALELEPÍPEDO E CUBO 

1-CONCEITO DE PARALELEPÍPEDO: É um prisma que possui em suas bases um paralelogramo. Sendo que o 

paralelepípedo é configurado pela reunião dos seis paralelogramos que o constituem. 

2-PARALELEPÍPEDO RETO É aquele onde todas as arestas são perpendiculares entre si. 

3-CUBO (HEXAEDRO REGULAR): É o paralelepípedo reto que tem todas as arestas congruentes 

4-PARA CALCULAR EM UM PARALELEPÍPEDO 

8

4.1-DIAGONAL: 

d 

a 

2 

b 

2 

c 

2 

No triângulo ABD aplica-se o Teorema de Pitágoras. 

f ² = a² + b² ( eq 1 ) 

No triângulo BDD aplica-se novamente o Teorema de Pitágoras 

d ² = f² + c² ( eq 2 ) 

Substituindo a eq1 na eq 2 temos 

d ² =a² + b² + c ² 

Extraindo a raiz quadrada dos dois lados da igualdade, obtemos 

2 2 2 

d a b c 

4.2- ÁREA TOTAL: É a soma de todas as faces de um paralelepípedo. 

At= 2ab + 2 ac + 2 bc, ou seja 

At= 2 ( ab + AC + BC) 

4.3-VOLUME: É o produto de todas as dimensões do paralelepípedo. 

V = a.b.c 

5- PARA CALCULAR EM UM CUBO. 

Lembre-se que um cubo é um paralelepípedo em que todas as arestas são iguais. 

Considerando um cubo de aresta a , basta substituir a letra a nas letras b e d nas fórmulas do paralelepípedo. 

5.1-DIAGONAL: d a 3 ( NÃO CONFUNDIR COM A DIAGONAL DE UMA FACE QUE É DF=a 2 ) 

5.2-ÁREA TOTAL: At= 6a² 

5.3-VOLUME: V = a³ 

9

EXERCÍCIOS BÁSICOS DE PARALELEPÍPEDO E CUBO 

01-(UNESP) Uma piscina retangular de 10,0 m x 15,0 m e fundo horizontal está com água até a altura de 1,5 m. 

Um produto químico em pó deve ser misturado à água à razão de um pacote para cada 4500 litros. O número de 

pacotes a serem usados é: 

a) 45b) 50c) 55d) 60e) 75 

02-(FUVEST) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm são levados juntos 

à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. 

O valor de x é: 

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 

03-(FUVEST) Dispondo-se de uma folha de cartolina, medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura, 

pode-se construir uma caixa aberta, cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha. O 

volume dessa caixa, em cm³, será : 

a) 1244 b) 1828 c) 2324 d) 3808 e) 12000 

04-(UFPA) Um paralelepípedo retângulo de dimensões 2, 3 e 5 cm tem a diagonal igual a : 

a) 38 b) 35 c) 32 d) 2 32 e) 3) 35 

15-(MACK) Um paralelepípedo retângulo tem arestas medindo 5, 4 e k. Se sua diagonal mede 3 

k é : 

a) 20 b) 10 c) 9 d) 7 e) 3 

10 , o valor de 

06-( GV ) Um cubo tem 96 m² de área total. De quanto deve ser aumentada a sua aresta para que o seu volume 

se torne igual a 216 m³ 

a) 1m b) 0,5 m c) 9m d) 2m e) 3m 

07-(FUVEST) Um reservatório tem a forma de um paralelepípedo reto retangular e mede 0,5 m de largura, 1,2 m 

de comprimento e 0,7 m de altura. Estando o reservatório com certa quantidade de água, coloca-se dentro dele 

uma pedra com forma irregular, que fica totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água 

sobe 1 cm. Isto significa que o volume da pedra é de: 

a) 0,6m³ b) 6m³ c) 6dm³ d) 6cm³ e) 600cm³ 

08-(MACK) Uma piscina com 5m de comprimento, 3m de largura e 2m de profundidade tem a forma de um 

paralelepípedo retângulo. Se o nível da água está 20cm abaixo da borda, o volume de água existente na piscina 

é igual a: 

a) 27000cm³ b) 27000m³ c) 27000 litro 

d) 3000 litros e) 30m³ 

09-(UF) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. 

A medida de sua diagonal, em centímetros, é 

a) 0,8 3 b) 6 c) 60 

d) 60 3 e) 900 3 

10-(UF) Um cubo possui aresta 4cm. A sua diagonal mede: 

a) 4 3 cm b) 2 3 cm c) 4 2 cm d) 2 2 cm e) 2 cm 

11-(CESGRANRIO) Se a diagonal de uma face de um cubo mede 5 2 , então o volume desse cubo é: 

10

a) 600 3 . b) 625 c) 225 d) 125 e) 100 3 . 

12-(PUCCAMP) Um bloco maciço de ferro tem a forma de um paralelepípedo retângulo com dimensões de 15 

cm de comprimento, 7,5 cm de largura a 4 cm de altura. Quantos gramas tem esse bloco, se a densidade do 

ferro é 7,8 g/cm³ 

a) 35,1b) 234c) 351d) 2340e) 3510 

13-(UNIRIO) Na fabricação da peça da figura, feita de um único material que custa R$ 5,00 o cm², deve-se 

gastar a quantia de: 

a) R$ 400,00b) R$ 380,00c) R$ 360,00d) R$ 340,00e) R$ 320,00 

14-(PUC-RIO) Considere um paralelepípedo retangular com lados 2, 3 e 6 cm. A distância máxima entre dois 

vértices deste paralelepípedo é: 

a) 7 cm.b) 8 cm.c) 9 cm.d) 10 cm.e) 11 cm. 

15-(UFSCAR) Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60cm, então o volume desse cubo, em 

centímetros cúbicos, é 

a) 125.b) 100.c) 75.d) 60.e) 25. 

GABARITO: PARALELEPÍPEDO E CUBO 

1)B 2) D 3)D 4) A 6)D 6)D 7)C 8)C 9)D 10)A 11)D 12)E 13)B 14)A 15)A 

11

CILINDROS 

01-CONCEITO: Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma 

extremidade no círculo. 

A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz. 

Podemos também definir cilindro como sendo o sólido formado pela rotação completa de um retângulo em torno 

de um de seus lados. 

02-TIPOS: Como prismas, podem ser de dois tipos: retos e oblíquos. 

CILINDRO RETO 

CILINDRO OBLÍQUO 

03-CONCEITOS IMPORTANTES 

3.1- Eixo de simetria: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro". 

3.2- Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro". 

Se o cilindro for reto a altura tem a mesma medida da geratriz. 

12

04-O QUE CALCULAR EM UM CILINDRO: 

4.1-Área da Base: 

2 

Ab= .r 

4.2-Área lateral: Se planificarmos um cilindro, a área da base é equivalente a um retângulo de lados 

altura h, portanto a sua areal lateral é : 

Al = 2. .r. h 

2. 

. r e 

4.3-Área total: É a soma da área lateral mais a base mais a tampa .Como a tampa tem a mesma área da 

base, podemos dizer que At= Al + 2. Ab, logo 

2 

At= 2 . .r. h + 2. .r 

4.4-Volume: É o produto da área de base pela altura. 

V . r 

2 . h 

4.5-Secção Meridiana: É um corte no sentido vertical ( meridional) que contém o eixo de simetria do cilindro. A 

secção meridiana é um retângulo onde um dos lados é o diâmetro da base e a altura a própria altura do cilindro. 

Na figura é o retângulo ABCD 

Sm=2r.h 

13

05-CILINDRO EQUILÁTERO: 

É o cilindro reto cuja altura tem a mesma medida do diâmetro da base. 

Note que a secção meridiana de um cilindro eqüilátero é um quadrado 

EXERCÍCIOS BÁSICOS DE CILINDROS 

1-(UFPA) Um cilindro circular reto tem o raio igual a 2 cm e a altura 3 cm. Sua superfície lateral mede, em cm²: 

a) 6 b)9 c) 12 d) 15 e) 16 

2-(FUVEST) A base de um cilindro de revolução é equivalente à secção meridiana. Se o raio da base é unitário, 

então a altura do cilindro é: 

a) b)1/2 c) d) /2 e) /2 

3-(UBERABA) A área total de um cilindro vale 48 

8 m. Então, em m³, o volume do sólido é : 

a) 75 b) 50 c) 45 d) 25 e) 15 

m² e a soma das medidas do raio da base e da altura é igual a 

4-(UNESP) Atira-se uma pedra de forma irregular em um vaso cilíndrico de 1,2 m de diâmetro da base em parte 

cheio de água. Qual o volume da pedra, em m³, se em conseqüência da imersão a água elevou-se 0,54 m ( = 

3,14 ) 

14

a) 0,610 b) 0,620 c) 0,580 

d) 0,850 e) 0,575 

5-(UFPA) A área lateral de um cilindro de revolução é metade da área da base. Se o perímetro de sua secção 

meridiana é 18 m, o volume, em m³, vale: 

a) 8 b)10 c)12 d)16 e)20 

6-(UBERLÂNDIA) A área total de um cilindro vale 48 

igual a 8 m. Então, em m³, o volume do sólido é : 

a)75 b)50 c)45 d)25 e)15 

m² e a soma das medidas do raio da base e da altura é 

7-(UFMG) Um cilindro circular reto, de ouro maciço, tem o raio da base igual a 2 cm e a altura igual a 10 cm. 

Sendo a densidade do ouro 19g/cm³, a massa total do cilindro, em gramas é : 

a)950 b)760 c)570 d)380 e)190 

8-(UFPA) o reservatório tubinho de tinta de uma caneta esferográfica tem 4 mm de diâmetro e 10 cm de 

comprimento. Se você gasta 5 mm³ de tinta por dia, a tinta de sua esferográfica, em dias, durará: 

a)20 b)40 c)50 d)80 e)100 

9-(PUC) As projeções ortogonais de um cilindro sobre dois planos perpendiculares, são, respectivamente, um 

círculo e um quadrado. Se o lado do quadrado é 10, qual é o volume do cilindro 

a)1000 b)750 c)500 d)250 e)100 

10-(PUC) Se triplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado 

por: 

a)3 b)6 c)9 d)12 e)15 

1)C 2)D 3)C 4)A 5)D 6) 7)B 8)D 9)D 10)C 

GABARITO DE CILINDROS 

15

PIRÂMIDES 

1-CONCEITO: Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto 

V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P 

e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide. 

2- ELEMENTOS DE PIRÂMIDE 

1) Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apóia a pirâmide. 

É sempre um polígono. 

2) Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide. 

3) Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo 

da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base. 

4) Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base. 

5) Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices 

consecutivos da base. 

6) Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do 

polígono situado no plano da base. 

7) Apótema: É a altura de cada face lateral. 

8) Apótema da base: É a distância do centro do polígono regular da base a uma das arestas da base. 

9) Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais. 

10) Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base 

16

3-PIRÂMIDE REGULAR RETA: Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção 

ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base 

R raio do círculo circunscrito 

r- raio do círculo inscrito 

h- altura 

ap- apótema lateral ( é sempre perpendicular a aresta da base) 

al- aresta lateral 

Obs. Todas as faces laterais são triângulo isósceles congruentes 

4-O QUE CALCULAR EM UMA PIRÂMIDE: 

4.1-RELAÇÃO FUNDAMENTAL: (ap)² =h² +r² 

4.2- ÁREA DA BASE: Depende do polígono da base. 

4.3- ÁREA LATERAL: É a soma das áreas das faces laterais. 

ATENÇÃO: Se a pirâmide for regular reta, basta calcular a área de uma face e multiplicar pelo número de faces. 

A face lateral é sempre um triângulo isósceles e a sua altura é o apótema lateral. 

4.4-ÁREA TOTAL: É a soma das áreas das faces laterais e a área da base. 

17

1 

4.5-VOLUME: V Ab. 

h 

3 

5-TETRAEDRO REGULAR 

5.1-DEFINIÇÃO: O tetraedro regular é uma pirâmide triangular (lados iguais entre si) em que todas as faces são 

triângulos eqüiláteros 

5.2-O QUE CALCULAR EM UM TETRAEDRO REGULAR 

ALTURA DO TETRAEDRO REGULAR: 

h 

a 6 

3 

ÁREA TOTAL: A área total é 4 vezes a área de uma face. 

18

2 

a 3 2 

At 4. a . 3 

4 

1 a 

2 2 

3 1 a . 

VOLUME: V . h = . 

3 4 3 4 

3 a 

. 

6 

3 

3 

a 2 

= 12 

6-TETRAEDRO TRI-RETANGULAR 

Tetraedro formado por 3 triângulos retângulos 

7-OCATAEDRO REGULAR: 

É um sólido com 8 faces que são triângulos eqüiláteros 

EXERCÍCIOS BÁSICOS DE PIRÂMIDES 

01-(PUC) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8 

pirâmide medem 17 cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é: 

a) 520. b) 640.c) 680.d) 750.e) 780. 

2 cm. Se as arestas laterais da 

19

02-(FEI) São dados dois planos paralelos distantes de 5 cm. Considere em um dos planos um triângulo ABC de 

área 30 cm² e no outro plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é em cm²: 

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 

03-(PUCCAMP) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base mede 

2 3 cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é 

a) 24 3 b) 36 3 c) 48 3 d) 72 3 e) 144 3 

04-(METODISTA) Em uma pirâmide regular de 24 cm de altura tendo como base um quadrado de lado igual a 20 

cm, a área lateral , em centímetros quadrados, é 

a)80 117 b)960 c)1040 d)1360 e)1600 

05-(UEMARINGÁ) O perímetro da base de uma pirâmide hexagonal regular é 24 m e a altura 6 m. O volume 

dessa pirâmide mede, em m³ 

a) 12 3 b)26 3 c)39 3 d)48 3 e)60 3 

06-(PUCAMP) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base mede 

2 3 cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é 

a) 24 3 b) 36 3 c) 48 3 d) 72 3 e) 144 3 

07-(UECE) Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede 2 

22 cm. O volume dessa pirâmide, em cm², é: 

a) 7 2 b) 8 2 c) 9 2 d) 10 2 

2 cm e uma aresta lateral mede 

08-(UFRS) Na figura, O é o centro do cubo. 

Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmide de base ABCD e vértice O é 

a) 1/2. b) 1/3.c) 1/4.d) 1/6.e) 1/8. 

09-(UFC) Um tetraedro regular tem arestas medindo 6 cm. Então a medida de suas alturas é igual a: 

a) 1/2 cm b) 1 cm c) 3/2 cm d) 2 cm e) 5/2 cm 

10-(UFF) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base 

quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base 

mede 179 m. A área da base dessa pirâmide, em m², é: 

a) 13.272b) 26.544c) 39.816d) 53.088e) 79.432 

20

11-(FUVEST) Em uma pirâmide regular de 12 cm de altura tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, 

a área lateral é, em cm² : 

a) 240 b) 260 c) 340 d) 400 e) 20 119 

GABARITO 

1)B 2)E 3)C 4)C 5)D 6)C 7)B 8)D 9)D 10)D 11)B 

21

CONE CIRCULAR RETO 

1-CONCEITO: É o sólido formado pela rotação completa de um triângulo retângulo sobre um de seus catetos. 

2-ELEMENTOS DE UM CONE: 

1) Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta. 

2) Base de um cone : CÍRCULO DA BASE 

3)Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa 

pelo vértice P e pelo centro da base. 

4) Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve 

a base. 

5) Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base. 

6) Área lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra 

na curva que envolve a base. É UM SETOR CIRCULAR 

7)Área total é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo. 

8) Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que 

contem o eixo do mesmo. 

3- O QUE CALCULAR EM UM CONE CIRCULAR. 

3.1-RELAÇÃO FUNDAMENTAL: Aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo de formado pela altura, 

2 2 2 

geratriz e raio da base. g r h 

22

2 

3.2-ÁREA DA BASE: É a área do círculo da base Ab .r 

3.3-ÁREA LATERAL: É área do setor circular obtido com a planificação do cone. Note que o raio do setor circular 

é a geratriz do cone. Al rg 

3.4-ÁREA TOTAL: É a soma da área lateral com a área da base At Al Ab . r 

2 . r. 

g 

1 1 2 

3.5-VOLUME: É a terça parte do produto da área da base pela altura V . Ab. 

h . r h 

3 3 

3.6-ÂNGULO CENTRAL: É o ângulo formado pela planificação da área lateral do cone. 

O cálculo desse ângulo é a divisão entre o comprimento da circunferência da base e a geratriz. 

2. .r 

g 

2. r. 

h 

3.7-SECÇÃO MERIDIANA: É o triângulo isósceles formado pelo corte meridional SM= 

2 

r. 

h 

23

4-CONE EQUILÁTERO: Um cone é eqüilátero quando o diâmetro da base é congruente (mesma medida) à altura. 

g = 2r 

EXERCÍCIOS BÁSICOS DE CONE 

01-(UFPA) Um cone equilátero tem e área da base 4 

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 

cm². Qual a sua área lateral 

02-(UFPA) Qual o volume de um cone circular reto, em cm³, de diâmetro da base igual a 6 cm e de geratriz 5 cm 

 

a) 12 b)24 c) 36 d) 48 e) 96 

03-(PUC-SP) Um quebra-luz é um cone de geratriz 17 cm e altura 15 cm. Uma lâmpada acesa no vértice do cone 

projeta no chão um círculo de 2 m de diâmetro. A que altura do chão, em metros, se encontra a lâmpada 

a)1,5 b)1,87 c)1,90 d)1,97 e)2,00 

04-(FUVEST) Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3 cm de altura. Para isso, 

recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo 

central do setor circular é: 

a) 144°b) 192°c) 240°d) 288°e) 336° 

05-(FUVEST) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semi-círculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um 

menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do 

chapéu à mesa 

a) 10 3 cm.b) 3 10 cm.c) 20 2 cm.d) 20 cm.e) 10 cm. 

06-(FATEC) A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da 

circunferência dessa base é 8 cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é 

a) 64 b) 48 c) 32 d) 16 e) 8 

07-(UEL) Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm. Qual é, em centímetros 

quadrados, sua área lateral 

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 

08-(CESGRANRIO) Um copo de papel, em forma de cone, é formado enrolando-se um semicírculo que tem um 

raio de 12 cm. O volume do copo é de, aproximadamente: 

a) 390 cm³b) 350 cm³c) 300 cm³d) 260 cm³e) 230 cm³ 

24

09-(MACK) Planificando a superfície lateral de um cone, obtém-se o setor circular da figura, de centro O e raio 

18 cm . Dos valores abaixo, o mais próximo da altura desse cone é: 

a) 12 cm b) 18 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 20 cm 

10-(UFSM) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da 

base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16 cm², o raio da esfera é dado por 

a) 3 cm b) 2 cm c) 3 cmd) 4 cm e) 4 + 2 cm 

11-(UFV) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30 cm, 

recortando-se um setor circular de ângulo = 2 /3 radianos e juntando os lados. A área da base do chapéu, em 

cm², é: 

a) 140 b) 110 c) 130 d) 100 e) 120 

12-(UEL) Uma chapa com forma de um setor de raio 20 cm e ângulo de x graus é manuseada para se 

transformar num cone. Se o raio da base do cone obtido é r = 5 cm então o valor de x é: 

a) 60° b) 75°c) 80° d) 85° e) 90° 

GABARITO 

1)C 2)A 3) B 4)D 5)A 6) A 7)E 8)A 9) D 10)C 11) D 12)E 

25

ESFERAS 

1-CONCEITO: É o conjunto de pontos do espaço equidistantes de um ponto O denominado de centro. 

2-ÁREA DE SECÇÃO: Ao seccionarmos uma esfera por um plano, sempre vamos encontrar um círculo. O plano 

de secção divide a esfera em dois sólidos chamados de calotas esféricas . 

3-O QUE CALCULAR EM UMA ESFERA: 

3.1-RELAÇÃO FUNDAMENTAL: É a aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelos 

elementos: R ( Raio da Esfera), d ( distância do plano de secção ao centro da esfera ) e R´ ( Raio do círculo 

formado pela secção do plano com a esfera) 

2 2 2 

R R' d 

26

3.2-SUPERFÍCIE: É a área da superfície da esfera: 

S 

4. 

. R 

2 

3.3-VOLUME: V 

4-HEMISFÉRIO. 

4 

. 

3 

. R 

3 

O hemisfério é o sólido formado pela intersecção de um plano com o centro da esfera. É a metade da esfera. 

Neste caso o raio da secção é igual ao raio da esfera. 

A parte plana do hemisfério é chamado de CÍRCULO MÁXIMO. 

5-FUSO 

Considere dois semiplanos que contenham um diâmetro AB de uma superfície esférica. 

Fuso esférico é a parte da superfície esférica limitada pelos semiplanos. 

FUSO TEM ÁREA 

O ângulo é chamado de ângulo de diedro 

Para calcular a área do fuso fazemos a seguinte regra de três. 

27

360 

0 

4. . R 

A 

2 

2 

4. 

. R . 

Que resulta na seguinte função: A 

0 

360 

Cuidado: Se o ângulo de diedro estiver em radianos o denominador da fração deverá ser 2 . 

6-CUNHA: 

Considere dois semiplanos que contenham um diâmetro AB de uma esfera. 

Cunha esférica é a parte da esfera limitada pelos semiplanos. 

O ângulo 

é chamado de ângulo de diedro 

CUNHA TEM VOLUME 

Para calcular o volume de uma cunha fazemos a seguinte regra de três. 

360 

4. . 

3 

V 

3 

0 R 

3 

. . R . 

Que resulta na seguinte função: V 

0 

270 

2 3 

Cuidado: Se o ângulo de diedro estiver em radianos a relação seria V . R . 

3 

28

EXERCÍCIOS BÁSICOS DE ESFERA 

01-(PUC-MG) Numa esfera de 26 cm de diâmetro, faz-se um corte por um plano que dista 5 cm do centro. O 

raio da secção feita mede, em cm: 

a)8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 

02-(UF-PA) A área da superfície de uma esfera é 16 cm² Qual o diâmetro da esfera 


03-(FUVEST) A área de intersecção de um plano com uma bola de raio 13 é 144 . A distância do plano ao centro 

da bola é : 

a)1 b) 5 c) 8 d) 12 e) 25 

04-(UFPA) A circunferência máxima de uma esfera mede 6 cm. Qual o volume da esfera, em cm³ 

a) 12 b) 24 c) 36 d) 72 e) 144 

05-(UNESP) Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma esfera de raio R = 10cm cortada 

por um plano situado a uma distância de 5 3 cm do centro da esfera, determinando uma circunferência de 

raio rcm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 20cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala). 

O volume do cilindro, em cm³, é 

A) 100 . B) 200 . C) 250 

D) 500 E) 750 . 

06-(FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do 

centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. 

O raio desta circunferência, em cm é: 

a) 1.b) 2.c) 3.d) 4.e) 5. 

29

07-(PUCMG) Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume equivalente ao de um cilindro circular reto de altura h = 

12 cm. O raio do cilindro, em cm, mede: 

a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 e) 13 

08-(PUCPR) Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3 cm, com água. Se mergulharmos inteiramente uma 

bolinha esférica nesse recipiente, o nível da água sobe cerca de 1,2 cm. 

Sabe-se, então, que o raio da bolinha vale aproximadamente: 

a)1cm b)1,5cm c) 2 cm d)2,5cm e)3cm 

09-(UFRS) O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então o 

raio da esfera A mede 

a) 5 b) 4 c) 2,5 d) 2 e) 1,25 

10-(UFU) Sabendo-se que a intersecção entre um plano II e uma esfera S de raio 10 cm é uma circunferência de 

raio 6 cm, então, a distância do centro da esfera S até o plano II é igual a 

a) 4 cm b)5cm c)7cm d)8cm 

11-(UFMG) Um plano intercepta uma superfície esférica segundo uma circunferência de 6 3 cm de 

comprimento. Sendo a distância do centro da esfera ao centro da circunferência igual a 3 cm, o raio da esfera é, 

em cm : 

a)4 b) 5 c)6 d) 7 e) 8 

12--(UFMS) O volume de uma esfera é 288 

cm ³, o seu diâmetro mede, em cm: 

a)8 b)10 c) 12 d) 15 e) 16 

GABARITO 

1)E 2)C 3)B 4)C 5)D 6)E 7)C 8)C 9) A 10)D 11)C 12)C 

30

SECÇÃO TRANSVERSAL 

DE PIRÂMIDE E CONE 

SÓLIDOS SEMELHANTES-TRONCO 

1-SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE OU CONE 

É a interseção da pirâmide( ou cone) com um plano paralelo à base. A seção transversal tem a mesma forma 

que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. Em uma pirâmide a razão entre uma 

aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é a razão de semelhança. Já no cone a razão 

de semelhança é a razão entre o raio da o plano de secção com o raio da base, ou a geratriz do cone menor 

com a geratriz do cone maior, 

OBSERVAÇÕES: 

1-Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a 

área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança. Em um cone é a 

mesma coisa apenas que as secções transversais são círculos e não regiões poligonais; 

2-Ao seccionar uma pirâmide ( ou um cone) por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide ( ou um 

cone) menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide ( ou cone) original. O sólido abaixo 

da secção transversal chama-se tronco de pirâmide ( ou cone). 

3-Se duas pirâmides ( ou cones) têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções 

transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais 

V secção Volume de secção : Pirâmide menor 

V pirâmide Volume da pirâmide maior 

V tronco- Volume do tronco de pirâmide ( ou cone)- V tronco=V pirâmide 

A secção Área da secção ( BASE DA PIRÂMIDE MENOR) 

A base Base da pirâmide maior 

h Altura da pirâmide menor ( ou cone menor) 

H- Altura da pirâmide maior ( ou cone maior) 

V secção 

h 

H 

k 

, 

Asecção 

Abase 

h 

H 

2 

, 

Vsecção 

Vpirâmide 

h 

H 

3 

CUIDADO COM A ORDEM DOS ELEMENTOS NO NUMERADOR E NO DENOMIDAR DAS RAZÕES ACIMA 

31

EXERCÍCIOS BÁSICOS DE PLANO DE SECÇÃO 

01-(PUCCAMP) Um cone de altura h = 18 cm e raio da base r= 6 cm, foi seccionado por um plano paralelo à 

base, a 12 cm da mesma. A área, em cm², da secção obtida, em cm², é : 

a)12 b)8 c)3 d)9 e)4 

02-(UEL) Considere uma pirâmide regular, de altura 25 m e base quadrada de lado 10 m. Seccionando essa 

pirâmide por um plano paralelo à base, à distância de 5 m desta, obtém-se um tronco cujo volume, em m³, é: 

a) 200/3b) 500c) 1220/3d) 1280/3e) 1220 

03-(UFAL) Na figura abaixo tem-se, apoiado no plano , um cone circular reto cuja altura mede 8 cm e cujo raio 

da base mede 4 cm. O plano é paralelo a e a distância entre os dois planos é de 6 cm. 

O volume do cone que está apoiado no plano 

a) /3 b) /2 c) 2 /3 d) 3 /4 e) 4 /5 

é, em centímetros cúbicos, igual a 

4-(UFRRJ) Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,25 m, a distância do 

chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 25 m², é 

de 

a) 12 mb) 10 m.c) 8 m.d) 6 m.e) 5 m. 

5-(UFSC) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m² de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à 

base e a secção assim feita tem 64 m² de área. Qual a altura da pirâmide 

32

6-(UFSM) Na hora do recreio, Susanita comprou um copo de sorvete com a forma de um cone com altura h de 8 

cm e raio da base R de 3 cm. Para enchê-lo com quantidades iguais de sorvete de creme e de chocolate, a altura 

x atingida pelo primeiro sabor deve ser 

a) 4 3 cmb) 3 3 cmc) 4. 3 4 cmd) 4 2 cme) 4cm 

7-(UFG) A figura a seguir representa uma torre, na forma de uma pirâmide regular de base quadrada, na qual foi 

construída uma plataforma, a 60 metros de altura, paralela à base. Se os lados da base e da plataforma medem, 

respectivamente, 18 e 10 metros, a altura da torre, em metros, é: 

a) 75 b) 90 c) 120 d) 135 e) 145 

GABARITO 

1)E 2)C 3) C 4) E 5)6m 6)C 7)D 

33

INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS 

1-ESFERA INSCRITA EM UM CUBO 

O RAIO DA ESFERA É A METADE DA MEDIDA DA ARESTA DO CUBO 

2-CUBO INSCRITO NA ESFERA 

a 3 

O RAIO DA ESFERA INSCRITA EM UM CUBO DE ARESTA a É R . ESTE RESULTADO É OBTDO PELA 

2 

APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS NO TRIÂNGULO ECG DAS FIGURAS. 

3-CILINDRO INSCRITO EM UM CUBO 

34

O DIAMETRO DA BASE TEM A MESMA MEDIDA DA ALTURA DO CILINDRO. NESTE CASO O CILINDRO É 

EQUILÁTERO. 

4-CUBO INSCRITO EM UM CILINDRO 

O DIÂMTRO DO CILINDRO TEM A MESMA MEDIDA DA DIAGONAL DA BASE DO CUBO, OU SEJA, 2r 

a 2 

5-CILINDRO INSCRITO NA ESFERA 

RELAÇÃO ENTRE RAIO R DA ESFERA, RAIO r DA BASE DO CILINDRO E A ALTURA h DO CILINDRO 

2 

2R 

2r 

h 

2 

2 

6-ESFERA INSCRITA EM UM CILINDRO 

35

O CILINDRO É EQUILÁTERO R = r e h=2R=2r 

7-CONE INSCRITO NA ESFERA 

APLICANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS NO TRIÂNGULO OMA OBTEMOS A RELAÇÃO 

R 

2 

h 

R 

2 

r 

2 

8-ESFERA INSCRITA EM UM CONE 

APLICANDO RELAÇÃO DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS NOS TRIÂNGULOS AOD E ABC, OBTEMOS A RELAÇÃO 

g 

2 

h 

2 

R 

2 

9-ESFERA INSCRITA EM UMA PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA 

36

AO SECCIONAR A PIRÂMIDE PELO PLANO VNM OBTEMOS UM CÍRCULO INSCRITO NO TRIÂNGULO VMS. 

APLICANDO SEMELHANÇÃO DE TRIÂNGULOS NOS TRIÂNGULOS VOP E VAM OBTEMOS: 

2 

2 2 l 

g h 

2 

EXERCÍCIOS BÁSICOS DE 

INSCRIÇÃO 

E 

CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS 

a) 3 /2b) 8 /3c) 2 /3d) 3 /4e) 3 

3-(PUC) Um cilindro reto de base circular de raio e 

altura é inscrito numa esfera de raio 5. 

1-(FUVEST) Um cone circular reto está inscrito em 

um paralelepípedo reto retângulo, de base 

quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre 

as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e o volume 

do cone é . 

a) Encontre a altura do cilindro quando r = 3. 

b) Calcule a área total do cilindro quando r = 3. 

Então, o comprimento g da geratriz do cone é 

a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 11 

4-(UNITAU) Uma esfera de raio R está inscrita em 

um cilindro. O volume do cilindro é igual a: 

a) r³/3.b) 2 r³/3.c) r³d) 2r³.e) 2 r³ 

GABARITO 

1)D 2)A 3) a) 8u.c. b) 66 u.a 4)E 

2-(MACK) Seja 36 o volume de uma esfera 

circunscrita a um cubo. Então a razão entre o 

volume da esfera e o volume do cubo é: 

37

DIEDROS / RELAÇÃO DE EULER / SÓLIDOS DE 

PLATÃO 

1-CONCEITO DE DIEDRO- Os planos secantes e estabelecem no espaço quatro semi-espaços. 

O corte de dois desses semi-espaços é chamado de diedro. 

2-RELAÇÃO DE EULER: V-A+F = 2 

V - NÚMERO DE VÉRTICES 

A NÚMERO DE ARESTAS 

F - NÚMERO DE FACES 

3- SÓLIDOS DE PLATÃO 

4-SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLIEDRO 

S=(V-2).360 

V é o número de vértices 

QUESTÕES BÁSICAS DE POLIEDROS 

1. (PUC-01) Um poliedro convexo tem 7 faces. De 

um dos seus vértices partem 6 arestas e de cada 

38

um dos vértices restantes partem 3 arestas. 

Quantas arestas tem esse poliedro 

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 

02. (PUC-03) Um poliedro convexo possui duas 

faces pentagonais e cinco quadrangulares. O 

número de vértices deste poliedro é 

a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 

3. (UFC-04) Um poliedro convexo só tem faces 

triangulares e quadrangulares. Se ele tem 20 

arestas e 10 vértices, então, o número de faces 

triangulares é: 

a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 

convexo limitado por 4 faces triangulares e 6 

hexagonais, todas regulares. 

O número de arestas e vértices desse sólido é: 

a) A = 21 V = 13 b) A = 24 V = 16 

c) A = 48 V = 40 d) A = 32 V = 24 

e) A = 34 V = 24 

5. (UFC-08) O número de faces de um poliedro 

convexo com 20 vértices e com todas as faces 

triangulares é igual a: 

a) 28 b) 30 c) 32 d) 34 e) 36 

GABARITO 

1)C 2)E 3) E 4)B 5)E 

4. (PUCPR-05) O tetra-hexaedro é um sólido 

39

SÓLIDOS NA FUVEST - PRIMEIRA FASE 

01-(FUVEST-11) A esfera , de centro O e raio r > 

0, é tangente ao plano . O plano é paralelo a 

e contém O. Nessas condições, o volume da 

pirâmide que tem como base um hexágono regular 

inscrito na intersecção de com e, como vértice, 

um ponto em , é igual a 

3. 

r 

3 

a) 

4 

3. 

r 

3 

2 

b) 

5 3. r 

16 

3 

c) 

3 

3 

3. r 7 3. r d) 

8 16 

02-(FUVEST-10) Uma pirâmide tem como base um 

quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces 

laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do 

quadrado, que tem como vértices os baricentros de 

cada uma das faces laterais, é igual a 

3 

e) 

Sabendo-se que OA = 3, AC = 5 e senOCD = 1/3, 

então a área do triângulo OCD vale 

a) 16 2 / 9 b) 32 2 /9 c) 48 2 /9 

d)64 2 /9 e) 80 2 /9 

06-(FUVEST-07) Uma empresa de construção 

dispõe de 117 blocos de tipo X e 145 blocos de tipo 

Y. Esses blocos têm as seguintes características: 

todos são cilindros retos, o bloco X tem 120cm de 

altura e o bloco Y tem 150cm de altura. 

a) 5/9 b)4/9 c) 1/3 d) 2/9 e) 1/9 

03-(FUVEST-09) Um fabricante de cristais produz 

três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem 

o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r; a 

outra, no formato de um cone reto de base circular 

de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um 

cilindro reto de base circular de raio x e altura h. 

Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando 

completamente cheias, comportam a mesma 

quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão 

x/h é igual a: 

a) 3 /6 b) 3 /3 c) 2 3 /3 

d) 3 e) 4 3 /3 

04. (FUVEST-09) O ângulo formado por dois 

planos e é tal que tg = 

5 

5 . O ponto P 

pertence a e a distância de P a vale 1. Então, a 

distância de P à reta intersecção de e é igual a: 

a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 

A empresa foi contratada para edificar colunas, sob 

as seguintes condições: cada coluna deve ser 

construída sobrepondo blocos de um mesmo tipo e 

todas elas devem ter a mesma altura. Com o 

material disponível, o número máximo de colunas 

que podem ser construídas é de 

a) 55 b)56 c) 57 d) 58 e)59 

07-(FUVEST-07) O cubo de vértices ABCDEFGH, 

indicado na figura, tem arestas de comprimento a. 

05-(FUVEST-08) O triângulo ACD é isósceles de 

base CD e o segmento AO é perpendicular ao plano 

que contém o triângulo OCD , conforme a figura 

Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, 

então a distância do ponto M ao centro do quadrado 

ABCD é igual a 

40

a) 

(a 5) 

5 

b) 

(a 3) 

3 

c) 

(a 3) 

2 

d) a 3 e) 2a 3 

08-(FUVEST-06) A partir de 64 cubos brancos, 

todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este 

novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de 

vermelho. O número de cubos menores que tiveram 

pelo menos duas de suas faces pintadas de 

vermelho é 

a) 1 b)1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 

11-(FUVEST-04) Uma metalúrgica fabrica barris 

cilíndricos de dois tipos, A e B, cujas superfícies 

laterais são moldadas a partir de chapas metálicas 

retangulares de lados a e 2a, soldando lados 

opostos dessas chapas, conforme ilustrado a seguir. 

a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 

09-(FUVEST-05) A figura a seguir mostra uma 

pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado 1 

e altura EF = 1. Sendo G o ponto médio da altura 

EF e a medida do ângulo AGB, então cos vale 

Se VA e VB indicam os volumes dos barris do tipo A 

e B, respectivamente, tem-se: 

a) VA = 2VB b) VB = 2VA c) VA = VB 

d) VA = 4VB e) VB = 4VA 

a) 1 2 b) 1 3 c) 1 4 d) 1 5 e) 1 6 

12-(FUVEST-03) Um telhado tem a forma da 

superfície lateral de uma pirâmide regular, de base 

quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da 

pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhado são 

vendidas em lotes que cobrem 1m2. Supondo que 

possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas 

(quebras e emendas), o número mínimo de lotes de 

telhas a ser comprado é: 

a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130 

10-(FUVEST-04) A pirâmide de base retangular 

ABCD e vértice E representada na figura tem 

volume 4. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é 

o ponto médio da aresta EC, então o volume da 

pirâmide de base AMCD e vértice V é: 

13-(FUVEST-02) Em um bloco retangular (isto é, 

paralelepípedo reto retângulo) de volume 27/8, as 

medidas das arestas concorrentes em um mesmo 

vértice estão em progressão geométrica. Se a 

medida da aresta maior é 2, a medida da aresta 

menor é: 

a) 7/8 b)8/8 c)9/8 d)10/8 e)11/8 

14-(FUVEST-02) A figura adiante representa uma 

pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabese 

que ABC e ABV são triângulos equiláteros de 

lado e que E é o ponto médio do segmento AB . 

41

Se a medida do ângulo VÊC é 60 ° , então o volume 

da pirâmide é: 

a)R 2 3 

b)R 2 

2 

c)R 3 

3 

d)R e)R 3 2 

18-(FUVEST-96) Sejam ' e " as faces de um 

ângulo diedro de 45 ° e P um ponto interior a esse 

diedro. Sejam P' e P" as projeções ortogonais de p 

sobre ' e " respectivamente. Então a medida, em 

graus, do ângulo P'PP" é: 

a) 

d) 

3 

( 3 ) 

4 

3 

( 3 ) 

16 

b) 

e) 

3 

( 3 ) 

8 

3 

( 3 ) 

18 

c) 

3 

( 3 ) 

12 

15-(FUVEST-01) Na figura a seguir, ABCD é um 

tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos 

médios de AB e CD , respectivamente. Então, o 

valor de EF é: 

a) 30 b) 45 c) 60 d) 90 e) 135 

19-(FUVEST-95) Na figura a seguir, X e Y são, 

respectivamente, os pontos médios das arestas AB 

e CD do cubo. A razão entre o volume do prisma 

AXFEDYGH e o do cubo é: 

a) a 2 

(a 3) 

d) 

2 

b) 

e) 

(a 2) 

2 

(a 3) 

4 

c) 

(a 2) 

4 

a) 3/8. b) 1/2. c) 2/3. d) 3/4. e) 5/6. 

16-(FUVEST-97) O volume de um paralelepípedo 

reto retângulo é de 240 cm 3 . As áreas de duas de 

suas faces são 30 cm2 e 48 cm2. A área total do 

paralelepípedo, em cm2, é 

a) 96 b) 118 c) 236 

d) 240 e) 472 

20-(FUVEST-92) Um copo tem a forma de um cone 

com altura 8 cm e raio da base 3 cm. Queremos 

enchê-lo com quantidades iguais de suco e de 

água. Para que isso seja possível a altura x atingida 

pelo primeiro líquido colocado deve ser: 

17-(FUVEST-97) Um cubo de aresta m está inscrito 

em uma semi-esfera de raio R de tal modo que os 

vértices de uma face pertencem ao plano equatorial 

da semi-esfera e os demais vértices pertencem à 

superfície da semi-esfera. Então , m é igual a 

42

22) (Fuvest 2013) Os vértices de um tetraedro 

regular são também vértices de um cubo de aresta 

2. A área de uma face desse tetraedro é 

a) 2 3 b) 4 c) 3 2 d) 3 3 e) 6 

a) 8 3 

cm b) 6 cm c) 4 cm 

GABARITO 

1) E 2)D 3)E 4)C 5)B 6)E 7)C 8)A 9)B 10)B 

11)A 12)A 13)C 14)D 15)B 16)C 17)A 18)E19)D 

20)E 21)D 22)A 

d) 4 3 cm e) 

4 3 

4 cm 

21-(FUVEST-12) Em um tetraedro regular de lado a, 

a distância entre os pontos médios de duas arestas 

não adjacentes é igual a 

a) a 3 b) a 2 c) 

a 3 

2 

d) 

a 2 

2 

e) 

a 2 

4 

Microsoft Equation 

3.0 

43

SÓLIDOS NA FUVEST- SEGUNDA FASE 

01-(FUVEST-11) Na figura abaixo, o cubo de 

vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado l . Os pontos 

M e N são pontos médios das arestas AB e BC, 

respectivamente. Calcule a área da superfície do 

tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G. 

1 

AP = DQ = 

2 

Determine: 

a) A medida de BP. 

b) A área do trapézio BCQP. 

c) Volume da piramide BPQCE. 

04-(FUVEST-08) Pedrinho, brincando com seu 

cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira 

que 

- apenas um vértice do cubo ficasse no interior do 

copo, conforme ilustra a foto; 

- os pontos comuns ao cubo e ao copo 

determinassem um triângulo equilátero. 

02-(FUVEST-10) Dois planos 1 e 2 se 

interceptam ao longo de uma reta r, de maneira que 

o angulo entre eles meça radianos, 0 

2 .Um 

triangulo equilátero ABC, de lado , esta contido em 

2, de modo que AB esteja em r. Seja D a projeção 

ortogonal de C sobre o plano 1, e suponha que a 

medida , em radianos, do angulo CÂD, satisfaça 

6 

sen . Nessas condições, determine, em 

4 

função de , 

a) o valor de . 

b) a área do triangulo ABD. 

c) o volume do tetraedro ABCD. 

03-(FUVEST-09) A figura representa uma pirâmide 

ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se 

que: 

Sabendo-se que o bordo do copo é uma 

circunferência de raio 2 3 cm, determine o volume 

da parte do cubo que ficou no interior do copo. 

05-(FUVEST-07) O cubo ABCDEFGH possui 

arestas de comprimento a. O ponto M está na 

aresta AE e AM = 3 . ME. Calcule: 

3 

AB = CD = 

2 

AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1 

a) O volume do tetraedro BCGM. 

b) A área do triângulo BCM. 

c) A distância do ponto B à reta suporte do 

segmento CM. 

44

06-(FUVEST-07) Um castelo está cercado por uma 

vala cujas bordas são dois círculos concêntricos de 

raios 41 m e 45 m. A profundidade da vala é 

constante e igual a 3 m. 

O proprietário decidiu enchê-la com água e, para 

este fim, contratou caminhões-pipa, cujos 

reservatórios são cilindros circulares retos com raio 

da base de 1,5 m e altura igual a 8 m. 

Determine o número mínimo de caminhões-pipa 

necessário para encher completamente a vala. 

07-(FUVEST-06) Um torneiro mecânico dispõe de 

uma peça de metal maciça na forma de um cone 

circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem 

raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir 

de sua base, usando uma broca, cujo eixo central 

coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a 

peça até atravessá-la completamente, abrindo uma 

cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da 

Figura 2. Se a área da base deste novo sólido é 2 3 

da área de B, determine seu volume. 

09-(FUVEST-04) No sólido S representado na figura 

a seguir, a base ABCD é um retângulo de lados AB 

= 2 e AD = ; as faces ABEF e DCEF são trapézios; 

as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e o 

segmento EF tem comprimento . 

Determinar, em função de , o volume de S. 

10-(FUVEST-03) Um cilindro oblíquo tem raio das 

bases igual a 1, altura 2 3 e está inclinado de um 

ângulo de 60° (ver figura). O plano é perpendicular 

às bases do cilindro, passando por seus centros. Se 

P e A são os pontos representados na figura, 

calcule PA. 

08-(FUVEST-05) A base ABCD da pirâmide ABCDE 

é um retângulo de lados AB = 4 e BC = 3. As áreas 

dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente, 

4 10 e 2 37 . Calcule o volume da pirâmide. 

11-(FUVEST-02) Um bloco retangular (isto é, um 

paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de 

lado 4 cm e altura 20 

3 cm, com 2 3 

de seu volume 

cheio de água, está inclinado sobre uma das 

arestas da base, formando um ângulo de 30 ° com o 

solo (ver seção lateral a seguir). Determine a altura 

45

h do nível da água em relação ao solo. 

e base quadrada com lado 6 m. O espaço interior à 

caixa e exterior à pirâmide é preenchido com água, 

até uma altura h, a partir da base (h 8). Determine 

o volume da água para um valor arbitrário de h, O 

h 8. 

12-(FUVEST-01) Na figura adiante, têm-se um 

cilindro circular reto, onde A e B são os centros das 

bases e C é um ponto da intersecção da superfície 

lateral com a base inferior do cilindro. Se D é o 

ponto do segmento BC , cujas distâncias a AC e 

AB são ambas iguais a d, obtenha a razão entre o 

volume do cilindro e sua área total (área lateral 

somada com as áreas das bases), em função de d. 

15-(FUVEST-96) As bases de um tronco de cone 

circular reto são círculos de raio 6 cm e 3 cm. 

Sabendo-se que a área lateral do tronco é igual à 

soma das áreas das bases, calcule: 

a) a altura do tronco de cone. 

b) o volume do tronco de cone. 

16-(FUVEST-95) No cubo de aresta 'a' mostrado 

na figura adiante, X e Y são pontos médios das 

arestas AB e GH respectivamente. Considere a 

pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero 

XCYE. Calcule, em função de a, 

a) o comprimento do segmento XY. 

b) a área da base da pirâmide. 

c) o volume da pirâmide. 

13-(FUVEST-00) Um setor circular, com ângulo 

central (0 < < 2 ), é recortado de um círculo de 

papel de raio R (ver figura). Utilizando o restante do 

papel, construímos a superfície lateral de um cone 

circular reto. 

Determine, em função de R e , 

a) o raio da base do cone. 

b) o volume do cone. 

14-(FUVEST-99) Considere uma caixa sem tampa 

com a forma de um paralelepípedo reto de altura 8 

m e base quadrada de lado 6 m. Apoiada na base, 

encontra-se uma pirâmide sólida reta de altura 8 m 

17-(FUVEST-94) A base de uma pirâmide regular é 

um quadrado ABCD de lado 6 e diagonais AC e BD. 

A distância de seu vértice E ao plano que contém a 

base é 4. 

a) Determine o volume do tetraedro ABDE. 

b) Determine a distância do ponto B ao plano que 

contém a face ADE. 

18- (FUVEST-93) Uma caixa d'água tem a forma de 

um cone circular reto como ilustrado na figura a 

46

seguir. 7329 litros de água foram retirados da caixa 

ocasionando um abaixamento de um metro no nível 

da água. Quantos litros de água existiam 

inicialmente na caixa 

Para os cálculos use = 3,141 

19-(FUVEST-92) Uma garrafa de vidro tem a forma 

de dois cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a 

mesma altura 4 cm e raios das bases R e r, 

respectivamente. 

Se o volume V(x) de um líquido que atinge a altura x 

da garrafa se expressa segundo o gráfico I a seguir, 

quais os valores de R e r 

20-(FUVEST-91) Considere um triângulo retângulo 

com hipotenusa A e catetos B e C. 

Sejam VA, VB, VC os volumes dos sólidos gerados 

pela rotação do triângulo em torno dos lados A, B e 

C, respectivamente. 

a) Calcule VA, VB, VC em função das medidas de 

A, B e C. 

b) Escreva a VA em função de B, C, VB e VC. 

21. (Fuvest 2013) No paralelepípedo reto retângulo 

ABCDEFGH da figura, tem-se AB 2, AD 3 e 

AE 4. 

a) Qual é a área do triângulo ABD 

b) Qual é o volume do tetraedro ABDE 

c) Qual é a área do triângulo BDE 

d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo 

do ponto A, quanto vale AQ 

GABARITO 

13l 

2 

2 3 

6 

1) 2) a) b) c) 

4 4 8 16 

3) 

a) 

10 

4 

4) 9 2 cm 3 . 5) a) 

u.c. b) 9 

16 u.a. c) 3 3 

64 

3 2 

a 

6 b) 5a 

8 

c) 

(5a 41) 

41 

[640( 3) ] 

6) 58 7) cm3 8) 24 u.v. 9) 

9 

10) PA = 14 

11) 21 cm 12) d [R(2 )] 

13) a) 

2 2 

b) 1 

2 

24 . (2 ) 

2 3 

. [ ( 4 )] . R 

14) 

3 

16 

3 3 

8 h 36h 96 m 

b) 84 cm 3 16) a) a 2 b) 

2 

a 6 

2 

c) 

u.v. 

5( 2) 

12 

3 

15) a) 4 cm 

3 

a 

3 

17) a) 24 U. volume.b) 4,8 U. comprimento. 18) 

8376 litros 19) R = 3 cm e r = 2 cm 

20) a) VA = B2C2/3ª VB = C2B/3 VC = 

B 2 C/3 

b) VA = 3VB . VC 

21) a) A 3 2 /2 3. 

b) V 1/3 3 4 4. 

c) 

2 2 

B C . B . C (B 2 + C2) 

1 12 12 61 

61 AQ 4 AQ . 

3 61 61 

47

SÓLIDOS UNICAMP PRIMEIRA FASE 

01- (Unicamp 2012) Um queijo tem o formato de 

paralelepípedo, com dimensões 20 cm x 8 cm x 5 

cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide 

em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns 

cubos ficam totalmente sem casca, outros 

permanecem com casca em apenas uma face, 

alguns com casca em duas faces e os restantes 

com casca em três faces. Nesse caso, o número de 

cubos que possuem casca em apenas uma face é 

igual a 

a) 360. b) 344. c) 324. d) 368 

GABARITO 

1)A 

48

SÓLIDOS UNICAMP SEGUNDA FASE 

01-(UNICAMP-11) A caixa de um produto longa vida 

é produzida como mostra a sequência 

de figuras ao lado. A folha de papel da figura 1 é 

emendada na vertical, resultando no cilindro da 

figura 2. Em seguida, a caixa toma o formato 

desejado, e são feitas novas emendas, uma no topo 

e outra no fundo da caixa, como mostra a figura 3. 

Finalmente, as abas da caixa são dobradas, 

gerando o produto final, exibido na figura 4. Para 

simplificar, consideramos as emendas como linhas, 

ou seja, desprezamos a superposição do papel. 

a) Se a caixa final tem 20cm de altura, 7,2cm de 

largura e 7cm de profundidade, determine as 

dimensões x e y da menor folha que pode ser usada 

na sua produção. 

b) Supondo, agora, que uma caixa tenha seção 

horizontal quadrada (ou seja, que sua profundidade 

seja igual a sua largura), escreva a fórmula do 

volume da caixa final em função das dimensões x e 

y da folha usada em sua produção. 

02-(UNICAMP-10) Uma peça esférica de madeira 

maciça foi escavada, adquirindo o formato 

de anel, como mostra a figura ao lado. Observe que, 

na escavação, retirou-se um cilindro de madeira 

com duas tampas em formato de calota esférica. 

Sabe-se que uma calota esférica tem volume Vcal = 

2 

h (3R h), em que h é a altura da calota e R é o 

3 

raio da esfera. Além disso, a área da superfície da 

calota esférica (excluindo a porção plana da base) é 

dada por Acal = 2 Rh. 

Atenção: não use um valor aproximado para . 

a) Supondo que h = R/2, determine o volume do 

anel de madeira, em função de R. 

b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá 

uma camada de verniz, tanto na parte externa, 

como na interna. Supondo, novamente, que h = R/2, 

determine a área sobre a qual o verniz será 

aplicado. 

03-(UNICAMP-09) Em um sistema de piscicultura 

superintensiva, uma grande quantidade de peixes é 

cultivada em tanques - rede colocados em açudes, 

com alta densidade populacional e alimentação à 

base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um 

paralelepípedo e são revestidos com uma rede que 

impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem 

da água. 

a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi 

posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes 

consomem, no total, 800 g de ração por refeição. 

Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 

1,5 g de ração por refeição e que um peixe da 

espécie B consome 1,0 g por refeição, calcule 

quantos peixes de cada espécie o conjunto de 

tanques-rede contém. 

b) Para uma determinada espécie, a densidade 

máxima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos 

por metro cúbico. Suponha que um tanque possua 

largura igual ao comprimento e altura igual a 2 m. 

Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque 

para que ele comporte 7200 peixes adultos da 

espécie considerada 

04-(UNICAMP-09) Uma caixa d água tem o formato 

de um tronco de pirâmide de bases quadradas e 

paralelas, como mostra a figura abaixo, na qual são 

49

apresentadas as medidas referentes ao interior da 

caixa. 

07-(UNICAMP-01) A base de uma pirâmide é um 

triângulo equilátero de lado L = 6 cm e arestas 

laterais das faces A = 4 cm. 

a) Calcule a altura da pirâmide. 

b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide 

08-(UNICAMP-02) O sólido da figura a seguir é um 

cubo cuja aresta mede 2 cm. 

a) Qual o volume total da caixa d água 

b) Se a caixa contém 

de sua base está o nível d água 

13 m 

3 de água, a que altura 

6 

05-(UNICAMP-99) Cada aresta de um tetraedro 

regular mede 6cm. Para este tetraedro, calcule: 

a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, 

entre duas arestas que não têm ponto comum; 

b) o raio da esfera inscrita no tetraedro. 

a) Calcule o volume da pirâmide ABCD1. 

b) Calcule a distância do vértice A ao plano que 

passa pelos pontos B, C e D1. 

09-(UNICAMP-03) Uma caixa d'água cúbica, de 

volume máximo, deve ser colocada entre o telhado 

e a laje de uma casa, conforme mostra a figura 

adiante. 

Dados: AB = 6 m AC = 1,5 m 

CD = 4 m. 

06-(UNICAMP-01) A figura a seguir é planificação 

de uma caixa sem tampa: 

a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da 

caixa 

b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é 

de 85% da altura da caixa, quantos litros de água 

podem ser armazenados na caixa 

a) Encontre o valor de x, em centímetros, de modo 

que a capacidade dessa caixa seja de 50 litros. 

b) Se o material utilizado custa R$10,00 por metro 

quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de 

50 litros considerando-se apenas o custo da folha 

retangular plana 

10-(UNICAMP-03) Considere um cubo cuja aresta 

mede 10 cm. O sólido cujos vértices são os centros 

das faces do cubo é um octaedro regular, cujas 

faces são triângulos equiláteros congruentes. 

a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro 

regular. 

b) Calcule o volume do mesmo octaedro. 

50

11-(UNICAMP-04) O quadrilátero convexo ABCD, 

cujos lados medem, consecutivamente, 1, 3, 4 e 6 

cm, está inscrito em uma circunferência de centro O 

e raio R. 

a) Calcule o raio R da circunferência. 

b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o 

círculo de raio R e cuja altura mede 5 cm. 

12-(UNICAMP-05) A figura a seguir apresenta um 

prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. 

Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a 

altura do prisma mede 10 cm. 

pluviômetro, o diâmetro da abertura circular 

existente no topo é de 20 cm. A água que cai sobre 

a parte superior do aparelho é recolhida em um tubo 

cilíndrico interno. Esse tubo cilíndrico tem 60 cm de 

altura e sua base tem 1 da área da abertura 

10 

superior do pluviômetro. (Obs.: a figura a seguir não 

está em escala.) 

a) Calcule o volume do prisma. 

b) Encontre a área da secção desse prisma pelo 

plano que passa pelos pontos A, C e A'. 

13-(UNICAMP-06) Um cidadão precavido foi fazer 

uma retirada de dinheiro em um banco. Para tanto, 

levou sua mala executiva, cujo interior tem 56 cm de 

comprimento, 39 cm de largura e 10 cm de altura. O 

cidadão só pretende carregar notas de R$ 50,00. 

Cada nota tem140 mm de comprimento, 65 mm de 

largura, 0,2 mm de espessura e densidade igual a 

0,75 g/cm 3 . 

a) Qual é a máxima quantia, em reais, que o 

cidadão poderá colocar na mala 

b) Se a mala vazia pesa 2,6 kg, qual será o peso da 

mala cheia de dinheiro 

14-(UNICAMP-06) Um abajur de tecido tem a forma 

de um tronco de cone circular reto, com bases 

paralelas. As aberturas do abajur têm 25 cm e 50 

cm de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone 

mede 30 cm. O tecido do abajur se rasgou e desejase 

substituí-lo. 

a) Determine os raios dos arcos que devem ser 

demarcados sobre um novo tecido para que se 

possa cortar um revestimento igual àquele que foi 

danificado. 

b) Calcule a área da região a ser demarcada sobre 

o tecido que revestirá o abajur. 

15-(UNICAMP-07) Um pluviômetro é um aparelho 

utilizado para medir a quantidade de chuva 

precipitada em determinada região. A figura de um 

pluviômetro padrão é exibida a seguir. Nesse 

a) Calcule o volume do tubo cilíndrico interno. 

b) Supondo que, durante uma chuva, o nível da 

água no cilindro interno subiu 2 cm, calcule o 

volume de água precipitado por essa chuva sobre 

um terreno retangular com 500 m de comprimento 

por 300 m de largura. 

16-(UNICAMP-07) Seja ABCDA1B1C1D1 um cubo 

com aresta de comprimento 6 cm e sejam M o ponto 

médio de BC e O o centro da face CDD1C1, 

conforme mostrado na figura a seguir. 

a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a 

reta PO intercepta CC1 e DD1 em K e L, 

respectivamente, calcule os comprimentos dos 

segmentos CK e DL. 

b) Calcule o volume do sólido com vértices A, D, L, 

K, C e M. 

17-(UNICAMP-08) Em uma estrada de ferro, os 

dormentes e os trilhos são assentados sobre uma 

base composta basicamente por brita. Essa base 

(ou lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme 

representado na figura a seguir. A base menor do 

trapézio, que é isósceles, tem 2 m, a base maior 

tem 2,8 m e as arestas laterais têm 50 cm de 

comprimento. 

51

Supondo que um trecho de 10 km de estrada deva 

ser construído, responda às seguintes questões. 

a) Que volume de brita será gasto com o lastro 

nesse trecho de ferrovia 

b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão 

basculante tem 6 m de comprimento, 2,5 m de 

largura e 0,6 m de altura, quantas viagens de 

caminhão serão necessárias para transportar toda a 

brita 

18-(UNICAMP-09) Em uma bandeja retangular, 

uma pessoa dispôs brigadeiros formando n colunas, 

cada qual com m brigadeiros, como mostra a figura. 

Os brigadeiros foram divididos em dois grupos. Os 

que estavam mais próximos das bordas da bandeja 

foram postos em forminhas azuis, enquanto os 

brigadeiros do interior da bandeja foram postos em 

forminhas vermelhas. 

3n 

a) Sabendo que m e que a pessoa gastou o 

4 

mesmo número de forminhas vermelhas e azuis, 

determine o número de brigadeiros da bandeja. 

b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro já 

pronta, em latas de 1 litro, e se cada brigadeiro, 

antes de receber o chocolate granulado que o 

cobre, tem o formato de uma esfera de 2 cm de 

diâmetro, quantas latas ela tem que comprar para 

produzir 400 brigadeiros (Dica: lembre-se de que 1 

litro corresponde a 1000 cm3.) 

19-(UNICAMP-12) Um brilhante é um diamante com 

uma lapidação particular, que torna essa gema a 

mais apreciada dentre todas as pedras preciosas. 

a) Em gemologia, um quilate é uma medida de 

massa, que corresponde a 200 mg. Considerando 

que a massa específica do diamante é de 

aproximadamente 3,5 g/cm³, determine o volume de 

um brilhante com 0,7 quilate. 

b) A figura a seguir apresenta a seção transversal 

de um brilhante. Como é muito difícil calcular o 

volume exato da pedra lapidada, podemos 

aproximá-lo pela soma do volume de um tronco de 

cone (parte superior) com o de um cone (parte 

inferior). Determine, nesse caso, o volume 

aproximado do brilhante. 

Dica: o volume de um tronco de cone pode ser 

obtido empregando-se a fórmula 

V= /3 h (R² + Rr + r² ), em que R e r são os raios 

das bases e h é a altura do tronco. 

GABARITO 

2 3 

x . y x 

1)a) x = 28,4cm e y = 27cm b) V , 

16 64 

3 

x 

R 

2 

com y 2)a) V b) S 2 3 . R 3) 

4 6 

a) 400 peixes da espécie A e 200 peixes da 

espécie B. b) 3m × 3m × 2m 

4)a) 21/4 m³ b)2 m 5) a) 3 2 cm b) 

6 

2 

cm 6) a) 

50 cm b) R$ 8,40 7) a) 2 cm b) 4 cm 8) a) 4 3 cm 3 

b) 2 cm 9) a) 1,2m b) 1468,8 litros 10) a) 

5 2 cm b) 500/3 cm 3 11) a) R = 3 66 /8 cm b) 

495 /32 cm3 12) a) 375 3 cm3 b) 50 3 cm2 

13) a) R$ 600.000,00 b) 18,98 kg 14) a) 30 cm e 

60 cm b) 1.125 cm 2 15) a) 600 cm 3 . b) 300 

m 3 . 16) a) CK = 2 cm e DL = 4 cm b) V = 42 cm 3 

17) a) 7200 m3. b) 800. 18) a) 48 brigadeiros. b) 

duas latas. 19) a)0,04cm³ b) 3,8 mm³ 

52

SÓLIDOS NA UNESP 

01-(UNESP-11) Há 4500 anos, o Imperador Quéops 

do Egito mandou construir uma pirâmide regular que 

seria usada como seu túmulo. 

As características e dimensões aproximadas dessa 

pirâmide hoje, são: 

1ª-) Sua base é um quadrado com 220 metros de 

lado; 

2ª-) Sua altura é de 140 metros. 

Suponha que, para construir parte da pirâmide 

4 3 

equivalente a 1,88.10 

m , o número médio de 

operários utilizados como mão de obra gastava em 

média 60 dias. Dados que 2,2² × 1,4 6,78 e 2,26 ÷ 

1,88 1,2 e mantidas estas médias, o tempo 

necessário para a construção de toda pirâmide, 

medido em anos de 360 dias, foi de, 

aproximadamente, 

A) 20. B) 30. C) 40 .D) 50. E) 60. 

02-(UNESP-98) As arestas do cubo ABCDEFGH, 

representado pela figura, medem 1 cm. 

Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a 

que pertencem, então o volume do prisma 

DMNCHPQG é 

a) 0,625 cm 3 . b) 0,725 cm 3 . c) 0,745 cm 3 . 

d) 0,825 cm3. e) 0,845 cm3. 

03-(UNESP-99) Seja r um número real positivo e P 

um ponto do espaço. O conjunto formado por todos 

os pontos do espaço, que estão a uma distância de 

P menor ou igual a r, é 

a) um segmento de reta medindo 2r e tendo P como 

ponto médio. 

b) um cone cuja base é um círculo de centro P e 

raio r. 

c) um cilindro cuja base é um círculo de centro P e 

raio r. 

d) uma esfera de centro P e raio r. 

e) um círculo de centro P e raio r. 

04-(UNESP-00) Considere o sólido resultante de 

PRIMEIRA FASE 

um paralelepípedo retângulo de arestas medindo x, 

x e 2x, do qual um prisma de base quadrada de lado 

1 e altura x foi retirado. O sólido está representado 

pela parte escura da figura. 

O volume desse sólido, em função de x, é dado pela 

expressão: 

a) 2x3 - x2. b) 4x3 - x2. c) 2x3 - x. 

d) 2x 3 - 2x 2 . e) 2x 3 - 2x. 

05-(UNESP-01) A água de um reservatório na forma 

de um paralelepípedo retângulo de comprimento 

30m e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a 

falta de chuvas e o calor, 1800 metros cúbicos da 

água do reservatório evaporaram. A água restante 

no reservatório atingiu a altura de 

a) 2 m. b) 3 m. c) 7 m. 

d) 8 m. e) 9 m. 

06-(UNESP-02) O prefeito de uma cidade pretende 

colocar em frente à prefeitura um mastro com uma 

bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de 

base quadrada feita de concreto maciço, como 

mostra a figura. 

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 

3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o 

volume de concreto (em m 3 ) necessário para a 

construção da pirâmide será 

a) 36. b) 27. c) 18. d) 12. e) 4. 

07-(UNESP-03) Considere um pedaço de cartolina 

retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. 

53

Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um 

quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha 

pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma 

pequena caixa retangular sem tampa. 

a) 1 618 × 103. b) 1 618 × 104. c) 5 393 × 102. 

d) 4 045 × 10 4 . e) 4 045 × 10 5 . 

11-(UNESP-06) Um paciente recebe por via 

intravenosa um medicamento à taxa constante de 

1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por 

uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas 

medidas são dadas na figura, e estava cheio 

quando se iniciou a medicação. 

O polinômio na variável x, que representa o volume, 

em cm 3 , desta caixa é 

a) 4x3 - 60x2 + 200x. b) 4x2 - 60x + 200. c) 4x3 - 

60x2 + 200. 

d) x 3 - 30x 2 + 200x. e) x 3 - 15x 2 + 50x. 

08-(UNESP-03) Um tanque subterrâneo, que tem a 

forma de um cilindro circular reto na posição 

vertical, está completamente cheio com 30 m 3 de 

água e 42 m3 de petróleo. 

Após 4h de administração contínua, a medicação foi 

interrompida. Dado que 1 cm 3 = 1 ml, e usando a 

aproximação = 3, o volume, em ml, do 

medicamento restante no frasco após a interrupção 

da medicação é, aproximadamente, 

a) 120. b) 150. c) 160. d) 240. e) 360. 

12-(UNESP-07) Um troféu para um campeonato de 

futebol tem a forma de uma esfera de raio R = 10 

cm cortada por um plano situado a uma distância de 

5 3 cm do centro da esfera, determinando uma 

circunferência de raio r cm, e sobreposta a um 

cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, 

como na figura (não em escala). 

Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em 

metros, da camada de petróleo é 

a) 2 . b) 7. c) 

73 . d) 8. e) 8 

3 . 

09-(UNESP-03) Se quadruplicarmos o raio da base 

de um cilindro, mantendo a sua altura, o volume do 

cilindro fica multiplicado por 

a) 16. b) 12. c) 8. d) 4. e) 4 . 

10-(UNESP-05) O trato respiratório de uma pessoa 

é composto de várias partes, dentre elas os alvéolos 

pulmonares, pequeninos sacos de ar onde ocorre a 

troca de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor 

que cada alvéolo tem forma esférica e que, num 

adulto, o diâmetro médio de um alvéolo seja, 

aproximadamente, 0,02 cm. Se o volume total dos 

alvéolos de um adulto é igual a 1 618 cm3, o 

número aproximado de alvéolos dessa pessoa, 

considerando = 3, é: 

O volume do cilindro, em cm3, é 

a) 100 b) 200 c) 250 d) 500 e) 750 

54

13-(UNESP-12) A figura mostra um paralelepípedo 

reto-retângulo ABCDEFGH, com base quadrada 

ABCD de aresta a e altura 2a, em centímetros. 

a) 636. b) 634. c) 630. d) 632. e) 638. 

GABARITO 

01)A 2)A 3)D 4)C 5)C 6)D 7)A 8)B 9)A 10)E 

11)A 12)D 13)E 14) D 

A distância, em centímetros, do vértice A à 

diagonal BH vale: 

a) 

5 a 

6 

b) 

6 a 

6 

c) 

5 a 

5 

d) 

6 a 

5 

e) 

30 a 

6 

14. (Unesp 2013) Para confeccionar um porta-joias 

a partir de um cubo maciço e homogêneo de 

madeira com 10 cm de aresta, um marceneiro 

dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces 

horizontais. De cada paralelepípedo resultante 

extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo 

que seus centros ficassem localizados no 

cruzamento das diagonais da face de corte, 

conforme mostra a sequência de figuras. 

Sabendo que a densidade da madeira utilizada na 

confecção do porta-joias era de 0,85 g/cm 3 e 

admitindo 3, a massa aproximada do portajoias, 

em gramas, é 

55

SÓLIDOS NA UNESP CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 

01-(UNESP-03) Aumentando em 2 cm a aresta a 

de um cubo C1, obtemos um cubo C2, cuja área da 

superfície total aumenta em 216 cm2, em relação à 

do cubo C1. 

nível da água suba 1 6 R, conforme mostra a figura. 05-(UNESP-04) Um recipiente tampado, na forma 

de um cone circular reto de altura 18 cm e raio 6 

cm, contém um líquido até a altura de 15 cm (figura 

a) Calcule o raio r da esfera em termos de R. 

b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que 

antes da esfera ser mergulhada, a água ocupava 3 4 

da altura do cilindro. Calcule quantas esferas de aço 

idênticas à citada podem ser colocadas dentro do 

Determine: 

cilindro, para que a água atinja o topo do cilindro 

a) a medida da aresta do cubo C1; 

sem transbordar. 

b) o volume do cubo C2. 

04-(UNESP-04) Um recipiente, na forma de um 

02-(UNESP-03) Uma quitanda vende fatias de 

melancia embaladas em plástico transparente. Uma 

melancia com forma esférica de raio de medida 

Rcm foi cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia 

tem a forma de uma cunha esférica, como 

cilindro circular reto de raio R e altura 32 cm, está 

até à metade com água (figura 1). Outro recipiente, 

na forma de um cone circular reto, contém uma 

substância química que forma um cone de altura 27 

cm e raio r (figura 2). 

representado na figura. 

Sabendo-se que a área de uma superfície esférica 

de raio R cm é 4 R2 cm2, determine, em função de 

e de R: 

3 

a) Sabendo que R = r, determine o volume da 

a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso 

2 

esférico); 

água no cilindro e o volume da substância química 

b) quantos cm2 de plástico foram necessários para no cone, em função de r. (Para facilitar os cálculos, 

embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem 

use a aproximação = 3.) 

sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a 

área da superfície total de cada fatia. 

b) A substância química do cone é despejada no 

cilindro, formando uma mistura homogênea (figura 

3). Determine a concentração (porcentagem) da 

03-(UNESP-03) Em um tanque cilíndrico com raio 

de base R e altura H contendo água é mergulhada 

substância química na mistura e a altura h atingida 

pela mistura no cilindro. 

uma esfera de aço de raio r, fazendo com que o 

56

1). A seguir, a posição do recipiente é invertida 

(figura 2). 

Sendo R e r os raios mostrados nas figuras, 

a) determine R e o volume do líquido no cone em 

cm 3 (figura 1), como múltiplo de . 

b) dado que r = 3 91 , determine a altura H da 

parte sem líquido do cone na figura 2. (Use a 

aproximação 3 91 9 2 .) 

06-(UNESP-05) Em um camping, sobre uma área 

plana e horizontal, será montada uma barraca com 

a forma e as dimensões dadas de acordo com a 

figura. 

transparente na forma de um paralelepípedo retoretângulo, 

que tem como base um quadrado cujo 

lado mede 15 cm e a aresta da face lateral mede 40 

cm, Márcia montou um enfeite de natal. Para tanto, 

colocou no interior desse recipiente 90 bolas 

coloridas maciças de 4 cm de diâmetro cada e 

completou todos os espaços vazios com um líquido 

colorido transparente. Desprezando-se a espessura 

do vidro e usando (para facilitar os cálculos) a 

aproximação = 3, 

a) dê, em cm 2 , a área lateral do recipiente e a área 

da superfície de cada bola. 

b) dê, em cm3, o volume do recipiente, o volume de 

cada esfera e o volume do líquido dentro do 

recipiente. 

09-(UNESP-07) Para calcularmos o volume 

aproximado de um iceberg, podemos compará-lo 

com sólidos geométricos conhecidos. O sólido da 

figura, formado por um tronco de pirâmide regular 

de base quadrada e um paralelepípedo retoretângulo, 

justapostos pela base, representa 

aproximadamente um iceberg no momento em que 

se desprendeu da calota polar da Terra. As arestas 

das bases maior e menor do tronco de pirâmide 

medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam, e a 

altura mede 12 dam. 

Em cada um dos quatro cantos do teto da barraca 

será amarrado um pedaço de corda, que será 

esticado e preso a um gancho fixado no chão, como 

mostrado na figura. 

a) Calcule qual será o volume do interior da barraca. 

b) Se cada corda formará um ângulo de 30 ° com a 

lateral da barraca, determine, aproximadamente, 

quantos metros de corda serão necessários para 

fixar a barraca, desprezando-se os nós. (Use, se 

necessário, a aproximação 3 = 1,73) 

07-(UNESP-05) Considere um cilindro circular reto 

de altura x cm e raio da base igual a y cm. 

Usando a aproximação = 3, determine x e y nos 

seguintes casos: 

a) o volume do cilindro é 243 cm 3 e a altura é igual 

ao triplo do raio; 

b) a área da superfície lateral do cilindro é 450 cm2 

e a altura tem 10 cm a mais que o raio. 

08-(UNESP-06) Com um recipiente de vidro fino 

Passado algum tempo do desprendimento do 

iceberg, o seu volume era de 23.100 dam 3 , o que 

correspondia a 3 do volume inicial. Determine a 

4 

altura H, em dam, do sólido que representa o 

iceberg no momento em que se desprendeu. 

10- (UNESP-07) Com o fenômeno do efeito estufa 

e consequente aumento da temperatura média da 

Terra, há o desprendimento de icebergs (enormes 

blocos de gelo) das calotas polares terrestres. Para 

calcularmos o volume aproximado de um iceberg 

podemos compará-lo com sólidos geométricos 

conhecidos. Suponha que o sólido da figura, 

formado por dois troncos de pirâmides regulares de 

base quadrada simétricos e justapostos pela base 

maior, represente aproximadamente um iceberg. 

57

proveniente da chuva que cai sobre o telhado de 

sua casa, ao longo de um período de um ano. 

As figuras e o gráfico representam as dimensões do 

telhado da casa, a forma da cisterna a ser 

construída e a quantidade média mensal de chuva 

na região onde o agricultor possui sua casa. 

As arestas das bases maior e menor de cada tronco 

medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam e a 

altura mede 12 dam. Sabendo que o volume Vs da 

parte submersa do iceberg corresponde a 

aproximadamente 7 8 

do volume total V, determine 

Vs. 

11. (UNESP-08) Numa região muito pobre e com 

escassez de água, uma família usa para tomar 

banho um chuveiro manual, cujo reservatório de 

água tem o formato de um cilindro circular reto de 

30 cm de altura e base com 12 cm de raio, seguido 

de um tronco de cone reto cujas bases sao círculos 

paralelos, de raios medindo 12 cm e 6 cm, 

respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na 

figura. 

Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao 

acúmulo de 100 litros de água em uma superfície 

plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a 

profundidade (h) da cisterna para que ela comporte 

todo o volume de água da chuva armazenada 

durante um ano, acrescido de 10% desse volume. 

Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há 

uma torneira com um gotejamento que provoca um 

desperdício de 46,44 litros de água por dia. 

Considerando a aproximação = 3, determine 

quantos dias de gotejamento são necessários para 

que a quantidade de água desperdiçada seja igual à 

usada para 6 banhos, ou seja, encher 

completamente 6 vezes aquele chuveiro manual. 

Dado: 1.000 cm 3 = 1 litro. 

13-(UNESP-10) Na construção de uma estrada 

retilínea foi necessário escavar um túnel cilíndrico 

para atravessar um morro. Esse túnel tem seção 

transversal na forma de um círculo de raio R 

seccionado pela corda AB e altura máxima h, 

relativa à corda, conforme figura. 

12- (UNESP-10) Prevenindo-se contra o período 

anual de seca, um agricultor pretende construir uma 

cisterna fechada, que acumule toda a água 

58

A região entre o prisma e o cilindro é fechada e não 

aproveitável. Determine o volume dessa região. 

Para os cálculos finais, considere as aproximações 

= 3 e 3 = 1,7. 

Sabendo que a extensão do túnel é de 2000 m, que 

3R 

AB 4 3m e que h 6m , determine o 

2 

volume aproximado de terra, em m 3 , que foi retirado 

na construção do túnel. 

Dados: 1,05 e 3 1,7. 

3 

14-(UNESP-08) Um porta-canetas tem a forma de 

um cilindro circular reto de 12 cm de altura e 5 cm 

de raio. Sua parte interna é um prisma regular de 

base triangular, como ilustrado na figura, onde o 

triângulo e eqüilátero e está inscrito na 

circunferência. 

GABARITO 

1) a) 8 cm b) 1000 cm3 2) a) 

2 

4 R 

3 

cm 2 3) a) r = R 2 

2 

R 

3 cm 2 b) 

b) 6 esferas. 

4) a) volume da água no cilindro: 108r2 cm3; 

volume da substância química na mistura: 

2 3 

27r cm b) 20% ; h = 20 cm 5) a) R = 5 cm e V = 

125 cm3 b) H = 27 2 cm 

6) a) 36m3. b) 9,23m. 7) a) x = 9 e y = 3 b) x = 15 

e y = 5 8) a) 2.400 cm 2 e 48 cm 2 

b) 9.000 cm3, 32 cm3 e 6.120 cm3 9) H = 22 dam 

10) Vs = 25.900 dam 3 

11) 2 dias 12) h = 7,7m 13) 80800m³ 14) 

517,5 cm³ 

59

SÓLIDOS NA UNIFESP- C ESPECÍFICOS 

01-(UNIFESP-03) Um recipiente, contendo água, 

tem a forma de um cilindro circular reto de altura h = 

50 cm e raio r = 15 cm. Este recipiente contém 1 

litro de água a menos que sua capacidade total. 

a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela 

é igual a dois terços da diagonal do cubo. 

b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o 

volume do tetraedro. 

a) Calcule o volume de água contido no cilindro 

(use = 3,14). 

b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro 

que, introduzida no cilindro e totalmente submersa, 

faça transbordarem exatamente 2 litros de água 

02-(UNIFESP-05) A figura representa um lápis novo 

e sua parte apontada, sendo que D, o diâmetro do 

lápis, mede 10 mm; d, o diâmetro do grafite, mede 2 

mm e h, a altura do cilindro reto que representa a 

parte apontada, mede 15 mm. A altura do cone reto, 

representando a parte do grafite que foi apontada, 

mede s mm. 

04-(UNIFESP-08) Um poliedro é construído a partir 

de um cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada 

um de seus cantos uma pirâmide regular de base 

triangular equilateral (os três lados da base da 

a 

pirâmide são iguais). Denote por x, 0 < x 

2 , a 

aresta lateral das pirâmides cortadas. 

a) Calcule o volume do material (madeira e grafite) 

retirado do lápis. 

b) Calcule o volume do grafite retirado. 

a) Dê o número de faces do poliedro construído. 

a 

b) Obtenha o valor de x, 0 < x , para o qual o 

2 

volume do poliedro construído fique igual a cinco 

sextos do volume do cubo original. A altura de cada 

x 

pirâmide cortada, relativa a base equilateral, é 

3 . 

03-(UNIFESP-07) Quatro dos oito vértices de um 

cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro 

regular. As arestas do tetraedro são diagonais das 

faces do cubo, conforme mostra a figura. 

GABARITO 

1) a) 34,325 b) 3 

2 mm3 3) a) 

9 

4 

(2 3) 

3 

dm 2) a) 250 mm3 b) 

b) 3 

4) a) 14 b) x = a 2 

60

SÓLIDOS NO ITA 

01-(ITA-11) Uma esfera está inscrita em uma 

pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12 cm 

10 3 

e a aresta da base mede cm. Então o raio 

3 

da esfera, em cm, é igual a 

10 3 

a) cm b)13/3 c)15/4 

3 

d) 2 3 e)10/3 

6 

02-(ITA-10) Um cilindro reto de altura cm está 

3 

inscrito num tetraedro regular e tem sua base em 

uma das faces do tetraedro. Se as arestas do 

tetraedro medem 3 cm; o volume do cilindro, em 

cm³; é igual a 

a) 

3 

4 

b) 

3 

6 

c) 

6 

6 

6 

d) 

e) 

9 3 

03-(ITA-10) Sejam A, B, C e D os vértices de um 

tetraedro regular cujas arestas medem 1 cm. Se M é 

o ponto médio do segmento AB e N é o pondo 

médio do segmento CD então a área do triângulo 

MND, em cm² é igual a: 

a) 

d) 

2 

6 

3 

8 

b) 

e) 

2 

8 

3 

9 

04-(ITA-09) Uma esfera é colocada no interior de 

um cone circular reto de 8cm de altura e de 

60º de ângulo de vértice. Os pontos de contato da 

esfera com a superfície lateral do cone definem uma 

circunferência e distam 2 3 cm do vértice do 

cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, 

em cm³, é igual a 

a) 416 /9 b)480 /9 c) 500 /9 

d) 512 /9 e) 542 /9 

05-(ITA-08) Um diedro mede 120°. A distância da 

aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume 

que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a 

c) 

a)3 3 b)3 2 c)2 3 d)2 2 e)2 

3 

6 

06-(ITA-07) Considere uma pirâmide regular de 

base hexagonal, cujo apótema da base mede 

3 cm . Secciona-se a pirâmide por um plano 

paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume 

igual a 1cm³ e uma nova pirâmide. Dado que a 

1 

razão entre as alturas das pirâmides é ,a altura 

2 

do tronco, em centímetros, é igual a 

6 2 6 3 3 3 6 

a) 

b) 

c) 

d) 

4 

3 

21 

3 2 2 3 2 6 2 

e) 

6 

22 

07-(ITA-06) Uma pirâmide regular tem por base um 

hexágono cuja diagonal menor mede 3 3 cm. As 

faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60 ° 

com o plano da base. A área total da pirâmide, em 

cm2, é 

a) 81 3 2 

b) 81 2 

2 

c) 81 

2 d) 27 3 e) 27 2 

08-(ITA-05) Uma esfera de raio r é seccionada por n 

planos meridianos. Os volumes das respectivas 

cunhas esféricas contidas em uma semi-esfera 

formam uma progressão aritmética de razão r 3 /45. 

Se o volume da menor cunha for igual a r3/18, 

então n é igual a 

a) 4. b) 3. c) 6. d) 5. e) 7. 

09-(ITA-05) A circunferência inscrita num triângulo 

equilátero com lados de 6 cm de comprimento é a 

interseção de uma esfera de raio igual a 4 cm com o 

plano do triângulo. Então, a distância do centro da 

esfera aos vértices do triângulo é (em cm) 

a) 3 3 . b) 6. c) 5. d) 4. e) 2 5 

10-(ITA-04) A área total da superfície de um cone 

circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à 

terça parte da área de um círculo de diâmetro igual 

ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume 

deste cone, em cm3, é igual a 

a) R 3 b) ( 2 ) R 3 c) [ /( 2 )] R 3 

d) ( 3 ) R3 e) [ /( 3 )] R3 

11-(ITA-04) Considere um cilindro circular reto, de 

volume igual a 360 cm3, e uma pirâmide regular 

cuja base hexagonal está inscrita na base do 

cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro 

61

da altura do cilindro e que a área da base da 

pirâmide é de 54 

pirâmide mede, em cm2, 

3 cm 2 , então, a área lateral da 

a) 18 427 b) 27 427 c) 36 427 d) 108 3 e) 

45 427 

12-(ITA-03) Considere o triângulo isósceles OAB, 

com lados OA e OB de comprimento 2 R e lado 

AB de comprimento 2R. O volume do sólido, obtido 

pela rotação deste triângulo em torno da reta que 

passa por O e é paralela ao lado AB, é igual a: 

a) 

3 

R 

b) R 3 c) 

3 

4 R 

3 

d) 

3 

2 R e) 3 R 3 

2 

13-(ITA-02) Seja uma pirâmide regular de base 

hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice 

devemos cortá-la por um plano paralelo à base de 

forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do 

volume da pirâmide original 

a) 2 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. e) 8 m. 

14-(ITA-01) A razão entre a área da base de uma 

pirâmide regular de base quadrada e a área de uma 

das faces é 2. Sabendo que o volume da pirâmide é 

de 12m3, temos que a altura da pirâmide mede (em 

metros): 

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 

15-(ITA-01) O raio da base de um cone circular reto 

é igual à média aritmética da altura e a geratriz do 

cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128 m 3 , 

temos que o raio da base e a altura do cone 

medem, respectivamente, em metros: 

a) 9 e 8 b) 8 e 6 c) 8 e 7 

d) 9 e 6 e) 10 e 8 

16-(ITA-00) Considere uma pirâmide regular com 

6 

altura de 3 

cm. Aplique a esta pirâmide dois 

9 

cortes planos e paralelos à base de tal maneira que 

a nova pirâmide e os dois troncos obtidos tenham, 

os três, o mesmo volume. A altura do tronco cuja 

base é a base da pirâmide original é igual a 

esfera que, por sua vez, está inscrita num cilindro. A 

razão entre as áreas das superfícies totais do 

cilindro e do cone é igual a 

a) 

d) 

3( 2 1) 

2 

27( 3 1) 

8 

9( 2 1) 

. c) 

4 

9( 2 1) 

. e) . 

16 

. b) 

9( 6 1) 

4 

18-(ITA-00) Um cilindro circular reto é seccionado 

por um plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a 5 

cm do eixo e separa na base um arco de 120°. 

Sendo de 30 3 cm2 a área da secção plana 

retangular, então o volume da parte menor do 

cilindro seccionado mede, em cm 3 , 

a) 30 - 10 3 . b) 30 - 20 3 . c) 20 - 10 3 . 

d) 50 - 25 3 . e) 100 - 75 3 . 

19-(ITA-99) Num cone circular reto, a altura é a 

média geométrica entre o raio da base e a geratriz. 

A razão entre a altura e o raio da base é: 

a) 1 5 

2 

d) 

3 

1 5 

3 

b) 

e) 

1 5 

2 

1 5 

2 

c) 

1 5 

2 

20-(ITA-98) Uma pirâmide regular tem por base um 

quadrado de lado 2 cm. Sabe-se que as faces 

formam com a base ângulos de 45°. Então, a razão 

entre a área da base e a área lateral é igual a: 

a) 2 b) 1 3 c) 6 d) 2 

2 

21-(ITA-99) Um poliedro convexo de 10 vértices 

apresenta faces triangulares e quadrangulares. O 

número de faces quadrangulares, o número de 

faces triangulares e o número total de faces 

formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O 

número de arestas é: 

a) 10 b) 17 c) 20 d) 22 e) 23 

e) 

2 

3 

. 

3 

a) 2 ( 

c) 2 ( 

e) 2 ( 

3 

3 

9 - 

3 

6 - 

3 

9 - 

3 

6 ) cm. b) 2 ( 

3 

3 ) cm. d) 2 ( 

3 

3 ) cm. 

6 - 

3 

3 - 

3 

2 ) cm. 

2 ) cm. 

22- (ITA-05) Considere um prisma regular em que a 

soma dos ângulos internos de todas as faces é 

7200 ° . O número de vértices deste prisma é igual a 

a) 11. b) 32. c) 10. d) 20. e) 22. 

GABARITO 

17-(ITA-00) Um cone circular reto com altura de 

8 cm e raio da base de 2 cm está inscrito numa 

1)E 2)D 3)B 4)A 5) E 6)C 7)A 8)C 9)C 10)E 

11)A 12)C 13)C 14)C 15)B 16)D 17)D 18)E 19)E 

20)D 21)C 22)E 

62

SÓLIDOS NO MACKENZIE 

01-(MACK-10-J) A figura representa um bloco com 

formato de um cubo de aresta a , do qual é 

retirada uma pirâmide. Se A, B e C são pontos 

médios dos lados do cubo e se o volume da peça 

restante é igual a 188/3, o valor de a² + a é 

na figura. Se na parte superior do copo há uma 

camada de espuma de 4cm de altura, então a 

porcentagem do volume do copo ocupada pela 

espuma está melhor aproximada na alternativa: 

a) 65% b) 60% c) 50% d) 45% e) 70% 

a) 16 b) 4c) 20d) 28 e)8 

02-(MACK-09) A peça da figura, de volume a², é o 

resultado de um corte feito em um paralelepípedo 

reto retângulo, retirando-se um outro paralelepípedo 

reto retângulo. O valor de a é: 

06-(MACK-06) Uma bóia marítima construída de 

uma determinada liga metálica tem o formato de 

uma gota que, separada em dois sólidos, resulta em 

um cone reto e em uma semi-esfera, 

conforme a figura ao lado, na qual r = 50cm. Se o 

preço do m2 da liga metálica é 1200 reais, 

adotando-se = 3, o custo da superfície da bóia é, 

em reais, igual a 

a) 2/3 b) 5 c) 6 d) 4 e) 4/5 

03-(MACK-02) Uma piscina com 5m de 

comprimento, 3m de largura e 2m de profundidade 

tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Se o 

nível da água está 20cm abaixo da borda, o volume 

de água existente na piscina é , igual a: 

a) 27000cm³ b) 27000m³ c) 27000 litros 

d) 3000 litros e) 30m³ 

04-(MACK-04) Um recipiente metálico, com a forma 

de um cilindro reto, teve, por meio de um processo 

industrial, a sua altura alongada em 20% e a área 

de sua seção transversal paralela à base reduzida 

em 20%. O volume do recipiente, após o processo: 

a) diminuiu de 4%. d) aumentou de 2%. 

b) diminuiu de 2%. e) não se alterou. 

c) aumentou de 4%. 

a) 4200 b) 5700 c) 4500 d) 5200 e) 3800 

07-(MACK-05) Remove-se, do cubo da figura, a 

pirâmide triangular ABCD. Obtém-se, dessa forma, 

um sólido de volume: 

05-(MACK-05) Uma mistura de leite batido com 

sorvete é servida em um copo, como 

63

a) 5 2 

b) 4 3 

c) 4 d) 5 e) 3 

12-(MACK-03) Se, no cubo da figura, a distância 

entre as retas t e u é 3 2 , a área total desse cubo 

é: 

a) 14/13 b)11/5 c) 18/5 d)20/3 e) 16/5 

08-(MACK-04) Um recipiente cilíndrico reto, com 

raio da base igual a 4cm, contém água até a metade 

de sua altura. Uma esfera maciça, colocada no seu 

interior, fica totalmente submersa, elevando a altura 

da água em 2cm. O raio da esfera é: 

a) 

2 3 

3 b)4 c) 

3 3 

2 d) 

3 

5 

2 

e)2 

09-(MACK-01) Um prisma e um cone retos têm 

bases de mesma área. Se a altura do prisma é 2/3 

da altura do cone, a razão entre o volume do prisma 

e o volume do cone é: 

a) 2 b) 3/2 c) 3 d) 5/3 e) 5/2 

a) 150 b) 300 c) 216 d) 180 e) 280 

13-(MACK-09) Um frasco de perfume, que tem a 

forma de um tronco de cone circular reto de raios 1 

cm e 3 cm, está totalmente cheio. Seu conteúdo é 

despejado em um recipiente que tem a forma de um 

cilindro circular reto de raio 4 cm, como mostra a 

figura. 

10-(MACK-03) Planificando a superfície lateral de 

um cone, obtém-se o setor circular da figura, de 

centro O e raio 18 cm . Dos valores abaixo, o mais 

próximo da altura desse cone é: 


11-(MACK-03) No sólido da figura, ABCD é um 

quadrado de lado 2 e AE = BE = 10 . O volume 

desse sólido é: 

Se d é a altura da parte não preenchida do 

recipiente cilíndrico e, adotando-se = 3 o valor de 

d é: 

a) 10 11 

b) 

6 6 c) 12 6 d) 13 6 

e) 14 6 

64

14-(ITA-12) Um cone circular reto de altura 1 cm e 

2 3 

geratriz cm é interceptado por um plano 

3 

paralelo à sua base, sendo determinado, assim, 

um novo cone. Para que este novo cone tenha 

o mesmo volume de um cubo de aresta 

243 

cm, é necessário que a distância do 

plano à base do cone original seja, em cm, igual a 

a)1/4 b)1/3 c)1/2 d)2/3 e)3/4 

GABARITO 

1)C 2)D 3)C 4) A 5)C 6)C 7)D 8)A 9)A 10)D 

11)E 12)C 13)B 14)D 

1 

3 

65

SÓLIDOS NA GV 

09-(GV-11) Após t horas do inicio de um vazamento 

de óleo de um barco em um oceano, constatou-se 

ao redor da embarcação a formação de uma 

mancha com a forma de um círculo cujo raio r varia 

com o tempo t mediante a função 

30 0,5 

r t t metros. A espessura da mancha ao 

dividido em quatro partes idênticas por planos 

perpendiculares entre si e perpendiculares ao plano 

da sua base, como indica a figura. 

longo do circulo é de 0,5 centímetro. Desprezando a 

área ocupada pelo barco na mancha circular, 

podemos afirmar que o volume de óleo que vazou 

entre os instantes t = 4 horas e t = 9 horas foi de: 

a) 12,5m 3 b) 15m 3 c) 17,5m 3 

d) 20m3 e) 22,5m3 

02-(GV-99) Deseja-se construir uma piscina de 

formato quadrado sendo 100 m 2 a área do 

quadrado e 1,5 m a profundidade. Se as paredes 

laterais e o fundo forem revestidos com azulejos de 

dimensões 15 cm × 15 cm: 

a) Qual o número (aproximado) de azulejos 

necessários 

b) Se a piscina fosse circular sendo 100 m 2 a área 

do círculo e 1,5 m a profundidade, qual seria o 

número (aproximado) de azulejos necessários 

para revesti-la Adote: = 1,8. 

03-(GV-05) O sólido da figura 1 foi obtido a partir de 

duas secções em um cilindro circular reto de altura 

24 cm e raio da base 10 cm. As secções foram 

feitas na intersecção do cilindro com um diedro de 

60 ° , como mostra a figura 2: 

Se a altura do tronco é 10 cm, a medida da sua 

geratriz, em cm, é igual a 

a) 101. b) 102 . c) 103 . 

d) 2 26 . e) 105 . 

05-(GV-07) No antigo Egito uma das unidades 

usadas para medir comprimentos era o "cúbito", 

equivalente a cerca de 52 cm. O jovem Abdal, que 

viveu no século II a.C. e curioso em Matemática, 

desejava saber a altura da grande pirâmide que 

tinha sido construída mais de dois mil anos antes. 

Ele sabia que a pirâmide foi construída de forma 

que, no primeiro dia do verão, suas faces ficavam 

voltadas para os quatro pontos cardeais e, nesse 

dia, fez a seguinte experiência. No meio da manhã, 

a sombra da pirâmide era um triângulo isósceles de 

vértice P (veja o desenho). 

Sabendo que os pontos A, B, C, A', B' e C' 

pertencem às faces do diedro e às circunferências 

das bases do cilindro, como mostra a figura 2, a 

área da superfície BB'C'C, contida na face lateral do 

cilindro, em cm 2 , é igual a 

a) 60 b) 40 ( 3 ) c) 80 

d) 90 ( 3 ) e) 160 

04-(GV-07) Um tronco de cone circular reto foi 

Ele mediu a distância de P ao ponto M, médio do 

lado da base (portanto a altura do triângulo da 

sombra) e achou 130 cúbitos. Nesse momento, ele 

percebeu que uma vara reta PA de 4 cúbitos de 

comprimento, colocada verticalmente, projetava 

uma sombra PB de 5 cúbitos. Abdal mediu também 

o lado da base da pirâmide, que é quadrada, e 

achou 440 cúbitos. 

Determine, em metros, um valor aproximado para a 

altura da grande pirâmide do Egito. 

66

06-(GV-08) As alturas de um cone circular reto de 

volume P e de um cilindro reto de volume Q são 

iguais ao diâmetro de uma esfera de volume R. Se 

os raios das bases do cone e do cilindro são iguais 

ao raio da esfera, então, P - Q + R é igual a 

a) 0. b) 2 /3. c) . d) 4 /3. e) 2 . 

07-(GV-10) Uma lata de tinta esta cheia em 5 6 de 

sua capacidade. Dentro da lata caiu um pincel de 45 

cm de comprimento. É certo que o pincel ficará 

completamente submerso na tinta Por quê 

Qual o custo do material utilizado 

10-(GV-08) A soma das medidas das 12 arestas de 

um paralelepípedo reto-retângulo é igual a 140 cm. 

Se a distância máxima entre dois vértices do 

paralelepípedo é 21 cm, sua área total, em cm², é 

a) 776. b) 784. c) 798. 

d) 800. e) 812 

GABARITO 

1) E 2) a) 7112 azulejos. b) 6845 azulejos. 3)E 4)B 

5) h = 280 cúbitos = 145,60m. 

6) A 7) 

08-(GV-10) A figura indica a planificação da lateral 

de um cone circular reto: 

5 

de 36 cm = 30cm 

6 

x2 = 402 + 302 x = 50 cm 

Como 45 < 50, o pincel poderá ficar completamente 

submerso na tinta. 

8)B 9) a) 5 . 3 3 4 

cm b) R$ 7.512,00 10) B 

O cone a que se refere tal planificação é 

a) b) c) 

d) e) 

01-(GV-01) a) Um cubo maciço de metal, com 5 cm 

de aresta, é fundido para formar uma esfera 

também maciça. Qual o raio da esfera 

b) Deseja-se construir um reservatório cilíndrico 

com tampa, para armazenar certo líquido. O volume 

do reservatório deve ser de 50 m3 e o raio da base 

do cilindro deve ser de 2 m. O material usado na 

construção custa R$ 100,00 por metro quadrado. 

67

SÓLIDOS NA PUC-SP 

01-(PUC-11) Um artesão dispõe de um bloco 

maciço de resina, com a forma de um 

paralelepípedo retângulo de base quadrada e cuja 

altura mede 20 cm. Ele pretende usar toda a resina 

desse bloco para confeccionar contas esféricas que 

serão usadas na montagem de 180 colares. Se 

cada conta tiver 1 cm de diâmetro e na montagem 

de cada colar forem usadas 50 contas, então, 

considerando o volume do cordão utilizado 

desprezível e a aproximação 

= 3, a área total da superfície do bloco de resina, 

em centímetros quadrados, é 

A) 1250 B) 1480 C) 1650 D) 1720E) 1850 

02-(PUC-99) Um cone circular reto, cujo raio da 

base é 3 cm, está inscrito em uma esfera de raio 5 

cm, conforme mostra a figura a seguir. 

Se o volume desse prisma é 120 cm3, a sua área 

total, em centímetros quadrados, é 

a) 144 b) 156 c) 160 d) 168 e) 172 

05-(PUC-06) De um cristal de rocha, com o formato 

de uma esfera, foi lapidada uma joia na forma de 

um octaedro regular, como mostra a figura seguinte. 

O volume do cone corresponde a que porcentagem 

do volume da esfera 

a) 26,4% b) 21,4% c) 19,5% d) 18,6% e) 16,2% 

03-(PUC-00) Uma caixa sem tampa é feita com 

placas de madeira de 0,5 cm de espessura. Depois 

de pronta, observa-se que as medidas da caixa, 

pela parte externa, são 51 cm × 26 cm × 12,5 cm, 

conforme mostra a figura abaixo. 

Se tal joia tem 9 2 cm3 de volume, quantos 

centímetros cúbicos de rocha foram retirados do 

cristal original para lapidá-la (Use: = 3) 

a) 36 2 b) 32 2 c) 24 2 d) 18 2 e) 12 2 

06-(PUC) Se triplicarmos o raio da base de um 

cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro 

fica multiplicado por: 

a)3 b)6 c)9 d)12 e)15 

07-(PUC) Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume 

equivalente ao de um cilindro circular reto de altura 

h = 12 cm. O raio do cilindro, em cm, mede: 

a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 e) 13 

O volume interno dessa caixa, em metros cúbicos, é 

a) 0,015 b) 0,0156 c) 0,15 d) 0,156 e) 1,5 

04-(PUC-01) Na figura a seguir tem-se o prisma 

reto ABCDEF, no qual DE = 6 cm, EF = 8 cm e DE é 

perpendicular a EF. 

08-(PUC) As projeções ortogonais de um cilindro 

sobre dois planos perpendiculares, são, 

respectivamente, um círculo e um quadrado. Se o 

lado do quadrado é 10, qual é o volume do cilindro 

a)1000 b)750 c)500 d)250 e)100 

GABARITO 

1)C 2)E 3)A 4)D 5)D 6)C 7)C 8)D 

68

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Geometria espacial

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