Tipos particulares de funções 1 - A Magia da Matemática

a)
USS – Mestrado Profissional em Educação Matemática - Nivelamento – Professor Ilydio P. de Sá 2
2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ≠ 0 f é dita função afim .
Nota: Consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler - excepcional matemático suíço -
1701/1783).
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de
abscissa x = - b/a (você já sabe que todo ponto do eixo das abscissas tem o valor de sua ordenada f(x)
ou y igual a zero).
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear da função.
5) o valor a é chamado coeficiente angular e corresponde à tangente trigonométrica do ângulo que a
reta forma, no sentido anti-horário, com o eixo horizontal.
6) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa no ponto de
origem.
Vejamos dois exemplos:
y
4
α
2 x
O gráfico ao lado representa uma função linear, ou seja, cuja
expressão analítica é y = a.x. Como sabemos que o coeficiente
a (angular) é dado pela tangente do ângulo α.
cateto oposto 4
Sabemos que a tg α = = = 2
cateto adjacente 2
Logo, a lei geral que representa esta função (expressão
analítica) é y = 2x.
É claro que nos lugares de x e y poderíamos ter outras
variáveis, como nos problemas de física, mas a relação obtida
seria a mesma. Por exemplo, se o gráfico ao lado fosse da
posição de um móvel, de acordo com o tempo, teríamos a
equação s = 2t
b)
5
Novamente teremos uma função de expressão analítica do tipo
y = ax. Sendo que agora, como a função é decrescente e o
ângulo α é obtuso, teremos que o valor de a será negativo.
-2
α
cateto oposto 5
Se tg (180º - α) = = = 2, 5
cateto adjacente 2
Logo, tg α = -2,5. E a expressão analítica da função será
y = -2,5x
7) O domínio de definição e o conjunto imagem das funções polinomiais do primeiro grau é todo o
conjunto R.
8) Se na função linear f(x) = ax, o coeficiente a for igual a 1, é claro que o ângulo formado entre a reta
e o eixo horizontal será de 45º, isto é, a reta será a bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes. Nesse
caso a função fica conhecida com o particular nome de função identidade.
Exercício resolvido:
Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10, ou seja, essa função passa pelos
pontos de coordenadas (2,5) e (3,-10).
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b