Tipos particulares de funções 1 - A Magia da Matemática

USS – Mestrado Profissional em Educação Matemática - Nivelamento – Professor Ilydio P. de Sá 1
1) FUNÇÃO CONSTANTE
Tipos particulares de funções
Uma função f, de R em R, é dita constante quando é do tipo f(x) = k , k ∈ R.
Exemplos:
a) f(x) = 5 b) f(x) = -3
Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x (você deve lembrar o que
acontecia com essas sentenças quando construía gráficos cartesianos).
Veja o gráfico a seguir:
Observe que o domínio de definição dessa função é todo
o conjunto dos números reais e que o conjunto imagem é
o conjunto unitário formado apenas pelo valor k.
D(f) = R
Im(f) = {k}
2) FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
Uma função é dita polinomial do 1º grau, é uma função de R em R, definida por sentenças do tipo:
y = ax + b , onde a ≠ 0 .
Exemplos :
f(x) = 3x + 12 (a = 3; b = 12)
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
Propriedades da função polinomial do 1º grau :
1) o gráfico de uma função polinomial do 1º grau é sempre uma reta.
Esta função é dita decrescente (quando os valores
de x aumentam, os valores correspondentes
de y diminuem.
Esta função é dita crescente (quando os valores
de x aumentam, os valores correspondentes
de y também aumentam.

a)
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2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ≠ 0 f é dita função afim .
Nota: Consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler - excepcional matemático suíço -
1701/1783).
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de
abscissa x = - b/a (você já sabe que todo ponto do eixo das abscissas tem o valor de sua ordenada f(x)
ou y igual a zero).
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear da função.
5) o valor a é chamado coeficiente angular e corresponde à tangente trigonométrica do ângulo que a
reta forma, no sentido anti-horário, com o eixo horizontal.
6) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa no ponto de
origem.
Vejamos dois exemplos:
y
4
α
2 x
O gráfico ao lado representa uma função linear, ou seja, cuja
expressão analítica é y = a.x. Como sabemos que o coeficiente
a (angular) é dado pela tangente do ângulo α.
cateto oposto 4
Sabemos que a tg α = = = 2
cateto adjacente 2
Logo, a lei geral que representa esta função (expressão
analítica) é y = 2x.
É claro que nos lugares de x e y poderíamos ter outras
variáveis, como nos problemas de física, mas a relação obtida
seria a mesma. Por exemplo, se o gráfico ao lado fosse da
posição de um móvel, de acordo com o tempo, teríamos a
equação s = 2t
b)
5
Novamente teremos uma função de expressão analítica do tipo
y = ax. Sendo que agora, como a função é decrescente e o
ângulo α é obtuso, teremos que o valor de a será negativo.
-2
α
cateto oposto 5
Se tg (180º - α) = = = 2, 5
cateto adjacente 2
Logo, tg α = -2,5. E a expressão analítica da função será
y = -2,5x
7) O domínio de definição e o conjunto imagem das funções polinomiais do primeiro grau é todo o
conjunto R.
8) Se na função linear f(x) = ax, o coeficiente a for igual a 1, é claro que o ângulo formado entre a reta
e o eixo horizontal será de 45º, isto é, a reta será a bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes. Nesse
caso a função fica conhecida com o particular nome de função identidade.
Exercício resolvido:
Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10, ou seja, essa função passa pelos
pontos de coordenadas (2,5) e (3,-10).
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b

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Temos um sistema do primeiro grau (daqueles que você resolvia na sexta-série). Multiplicando ambos
os termos da primeira equação por -1, teremos:
⎧-
2a - b = -5
⎨
⎩3a
+ b = −10
Somando membro a membro, teremos a = -15. Substituindo esse valor numa das
equações, teremos b = 35. Logo, a expressão procurada é y = -15 x + 35.
Exercícios Propostos sobre funções – Lista 2
1) A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1.
a) Obtenha a expressão analítica dessa função.
b) Construa o gráfico da função
c) Qual o valor do coeficiente angular da reta que representa essa função? O que ele representa?
d) Obtenha o valor de f(0). O que esse valor representa no gráfico da função?
e) obtenha a raiz ou zero da função. O que esse valor representa no gráfico da função?
2) Seja f a função real definida por
a) Determine a imagem de 4, ou seja f(4)
b) Determine o valor do domínio, cuja imagem é -7.
c) Indique o domínio e o contradomínio de f.
d) A função tem zeros? Calcule-o(s).
e) A função é estritamente crescente ou estritamente decrescente? Justifique.
f) Represente a função graficamente.
3) Considere a função real g(x) = -3x + 4
a) Determine a imagem de 2, ou seja f(2)
b) Determine o valor do domínio cuja imagem é 1.
c) O ponto de coordenadas (4 , 8) pertence ao gráfico da função? Justifique.
d) Quais são as coordenadas do ponto de intersecção do gráfico de g com o eixo das ordenadas?
e) Resolve a condição g(x) = 0. O que esse valor representa graficamente?
f) Representa a função graficamente.
4) Considere uma função real y = f(x) representada pelo gráfico abaixo:
4
-7
a) Determine a sentença matemática que define tal função (expressão analítica).
b) Determine o valor do coeficiente angular da reta. O que ele representa no gráfico?
c) Determine o valor do coeficiente linear da reta. O que ele representa no gráfico?
d) Quais seriam as coordenadas do ponto pertinente a essa mesma reta, com abscissa igual a 7?

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5) Um bombeiro hidráulico cobra pelo seu trabalho em domicílio uma taxa fixa de 10 reais,
acrescida de 15 reais por hora de trabalho.
a) Represente por uma expressão analítica a função V que relaciona o número de horas de
trabalho diário t , com o valor a pagar, em reais, pelo cliente.
b) Calcule V(2,5) e explica o seu significado no contexto do problema.
c) Um cliente pagou pelo serviço 70 reais. Quantas horas trabalhou o bombeiro hidráulico?
d) O que representam os valores 10 reais e 15 reais na sentença matemática obtida para essa
função?
6) Para a realização de uma experiência colocaram-se em dois frascos A e B, duas substâncias
diferentes que se foram evaporando. O gráfico reflete a altura, em milímetros, do líquido em
função do número de dias passados desde o início da experiência.
a) Para cada líquido, indique a altura do líquido no
frasco no início da experiência. E quantos dias
levaram estes a evaporar totalmente.
b) Determine uma expressão analítica para cada uma
das funções, que relacione o tempo decorrido e a
altura de líquido existente em cada um dos frascos.
c) Há um momento em que a altura do líquido nos
dois frascos é igual. Qual é ele (aproximadamente)?
E que altura de líquido têm os frascos
(aproximadamente)? Como você poderia determinar,
com precisão, esses valores que observamos no
gráfico? Quais são esses valores?
7) Represente por uma expressão analítica cada uma das funções cujo gráfico consta na figura,
indicando, em cada caso, se se trata de uma função afim, linear ou constante.
8) O gráfico abaixo indica a posição de um móvel no decorrer do tempo, sobre uma trajetória
retilínea. Determine: a) a posição inicial do móvel. b) a função horária da posição em função do
tempo. c) a velocidade do móvel d) a posição do móvel, após 20 segundos de movimento.
s(m)90
10
0 8 t(s)