Matemática no Ensino Médio - parte de Ãlgebra - 2ª série
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Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá<br />
Geraldo Lins
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 2<br />
MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO<br />
1ª PARTE: SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES<br />
PARTE I - PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA)<br />
1) INTRODUÇÃO<br />
Observe as seguintes situações, tiradas <strong>de</strong> situações do cotidia<strong>no</strong> ou <strong>de</strong> diversos ramos da<br />
própria matemática:<br />
1. Vinícius tem, guardados em seu cofrinho, 350 reais. Resolveu, a partir <strong>de</strong>sse<br />
momento, fazer uma poupança <strong>de</strong> forma que colocaria <strong>no</strong> cofrinho um real <strong>no</strong><br />
primeiro dia, dois <strong>no</strong> segundo, três <strong>no</strong> terceiro...e assim sucessivamente, até<br />
o 30º dia. Quanto ele terá em seu cofrinho, passados os 30 dias?<br />
2. A população <strong>de</strong> uma cida<strong>de</strong> cresce 2% a cada a<strong>no</strong>. Se em 1990 a população<br />
era <strong>de</strong> 25 000 habitantes, quantos serão os habitantes <strong>de</strong>ssa cida<strong>de</strong>, em<br />
2007, mantida a mesma taxa <strong>de</strong> crescimento anual?<br />
3. Observe a seqüência abaixo:<br />
.<br />
. . .<br />
. . . . . .<br />
. . . . . . . . . .<br />
1 3 6 10<br />
Esses números são chamados <strong>de</strong> números triangulares (veja a disposição e a<br />
quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> pontos <strong>de</strong> cada termo). Qual será o décimo termo <strong>de</strong>ssa seqüência?<br />
Problemas como os que apresentamos acima, que envolvem seqüências especiais,<br />
serão facilmente resolvidos com as técnicas que estudaremos <strong>no</strong> capítulo das<br />
progressões aritméticas e das progressões geométricas.<br />
Quando escrevemos qualquer quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> números, um após o outro, temos o que<br />
chamamos <strong>de</strong> seqüências. As seqüências são, freqüentemente, resultado da observação <strong>de</strong><br />
um <strong>de</strong>terminado fato ou fenôme<strong>no</strong>.<br />
Imagine, por exemplo, que uma pessoa acompanhasse a variação do dólar (compra) <strong>no</strong>s<br />
primeiros <strong>de</strong>z dias (úteis) do mês <strong>de</strong> abril <strong>de</strong> 2003. Vejamos o resultado <strong>de</strong> sua pesquisa na<br />
tabela a seguir:<br />
Dia útil<br />
(Abril <strong>de</strong> 2003)<br />
Dólar<br />
(Compra)<br />
Dia útil<br />
(Abril <strong>de</strong> 2003)<br />
Dólar<br />
(Compra)<br />
1 R$ 3,335<br />
2 R$ 3,278<br />
3 R$ 3,255<br />
4 R$ 3,246<br />
5 R$ 3,171<br />
6 R$ 3,164<br />
7 R$ 3,184<br />
8 R$ 3,214<br />
9 R$ 3,213<br />
10 R$ 3,181
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 3<br />
Verifique que os valores listados, que possuem uma certa or<strong>de</strong>nação, constituem uma<br />
seqüência. Convenciona-se <strong>de</strong>signar por uma letra minúscula qualquer (<strong>no</strong>rmalmente a) a<br />
qualquer um dos termos <strong>de</strong> uma seqüência, usando como índice um número que <strong>de</strong><strong>no</strong>ta a<br />
posição do termo na seqüência. Assim, a <strong>no</strong>tação a 1<br />
representa o primeiro termo da<br />
seqüência, que <strong>no</strong> <strong>no</strong>sso exemplo do dólar é o valor 3,335. A <strong>no</strong>tação a 10<br />
representa o<br />
décimo termo e assim sucessivamente.<br />
Quando <strong>de</strong>sejamos falar sobre um termo qualquer <strong>de</strong> uma seqüência, escrevemos<br />
a n<br />
.<br />
Você po<strong>de</strong> usar as seqüências para registrar diversas observações, como a produção <strong>de</strong><br />
uma fábrica em cada mês, o número <strong>de</strong> telefonemas que você dá por dia, a taxa <strong>de</strong><br />
inflação mensal etc. No exemplo que mostramos, da variação do dólar, não teríamos como<br />
saber, por exemplo, a sua cotação <strong>no</strong> dia 15, ou <strong>no</strong> dia 20, já que a seqüência é variável e<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> diversos fatores não previsíveis.<br />
Em <strong>no</strong>sso curso vamos estudar umas seqüências muito especiais. Por sua regularida<strong>de</strong>,<br />
conhecendo alguns termos, po<strong>de</strong>mos calcular qualquer outro. A primeira <strong>de</strong>las chama-se<br />
Progressão Aritmética. Uma progressão aritmética é uma seqüência na qual, dado um<br />
primeiro termo, obtemos todos os outros acrescentando sempre a mesma quantida<strong>de</strong>. Por<br />
exemplo, vamos partir do número 7 e acrescentar 3, diversas vezes:<br />
7 10 13 16 19 22 ...<br />
+3 +3 +3 +3 +3<br />
O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte chama-se razão (R).<br />
Portanto, nesse exemplo, temos: a 1<br />
= 7 e R = 3.<br />
Veja agora outros exemplos <strong>de</strong> progressões aritméticas e suas classificações:<br />
3, 7, 11, 15, 19, 23 ...<br />
Temos R = 4. Uma progressão crescente.<br />
9, 7, 5, 3, 1, - 1, - 3, - 5, ...<br />
Temos R = - 2. Uma progressão <strong>de</strong>crescente.<br />
4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...<br />
Temos R = 0.<br />
… uma progressão estacionária.<br />
Você já <strong>de</strong>ve ter percebido que é muito fácil sabermos o valor da razão <strong>de</strong> uma progressão<br />
aritmética. Como a razão é a quantida<strong>de</strong> que acrescentamos a cada termo para obter o<br />
seguinte, po<strong>de</strong>mos dizer que: A razão <strong>de</strong> uma progressão aritmética é a diferença entre<br />
qualquer termo e o anterior, a partir do segundo termo.<br />
Assim, retomando os três últimos exemplos, temos:<br />
na 1 a . progressão:<br />
R = 7 - 3 = 4<br />
R = 11 -7 = 4<br />
R = 15 - 11 = 4 etc.<br />
na 2 a . progressão:<br />
R = 7 - 9 = - 2<br />
R = 5 - 7 = - 2 etc.<br />
na 3 a . progressão:<br />
R = 4 - 4 = 0
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2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A<br />
Passemos então a generalizar o que vimos <strong>no</strong>s exemplos. Consi<strong>de</strong>re a seguinte progressão<br />
aritmética (<strong>de</strong> agora em diante representada por PA) <strong>de</strong> razão R:<br />
a 1<br />
a 2<br />
a 3<br />
a 4<br />
a 5<br />
a 6<br />
.... an<br />
+R + R + R + R + R + R ....<br />
Suponha que você conhece o primeiro termo (a 1<br />
), e a razão (R). Como faremos para<br />
calcular qualquer outro termo? Observe as igualda<strong>de</strong>s:<br />
a 2<br />
= a 1<br />
+ R<br />
a 3<br />
= a 1<br />
+ 2R<br />
a 4<br />
= a 1<br />
+ 3R<br />
a 5<br />
= a 1<br />
+ 4R<br />
...................<br />
a10 = a1 + 9R<br />
Vemos então que, para calcular um termo qualquer (a n<br />
) é preciso somar ao 1º termo, (n -1)<br />
vezes a razão, ou seja:<br />
Fórmula do termo geral:<br />
a n<br />
= a 1<br />
+ (n - 1).R<br />
Para enten<strong>de</strong>r bem o que estamos fazendo, imagine que você está <strong>no</strong> 1º <strong>de</strong>grau <strong>de</strong> uma<br />
escada e <strong>de</strong>seja chegar ao 10º. Quantos <strong>de</strong>graus <strong>de</strong>ve subir? É claro que são 9.<br />
Se você está <strong>no</strong> 1º <strong>de</strong>grau e <strong>de</strong>seja chegar ao 25º, quantos <strong>de</strong>ve subir? Deve subir 24,<br />
lógico. Então, para chegar ao <strong>de</strong>grau número n, <strong>de</strong>vemos subir (n -1) <strong>de</strong>graus.<br />
Observe a aplicação <strong>de</strong>ssa fórmula <strong>no</strong>s exemplos seguintes.<br />
EXEMPLO 1: Qual é o trigésimo (30º) termo da progressão aritmética: 10, 17, 24, 31, 38, ...?<br />
Solução: A razão da progressão é R = 17 -10 = 7 e o primeiro termo é a 1<br />
= 10. Desejamos<br />
calcular o trigésimo termo, ou seja, a 30<br />
.<br />
A partir da fórmula do termo geral: a n<br />
= a 1<br />
+ (n - 1)R<br />
Substituindo a letra n por 30, obtemos:<br />
a 30<br />
= a 1<br />
+ 29.R<br />
Daí, a 30<br />
= 10 + 29 . 7<br />
a 30<br />
= 213<br />
Portanto, o trigésimo termo da progressão dada é 213.<br />
EXEMPLO 2: Um alu<strong>no</strong> escreveu todos os números ímpares <strong>de</strong>s<strong>de</strong> 17 até 63. Quantos<br />
números ele escreveu?<br />
Solução: A progressão <strong>de</strong>sse exemplo é a seguinte:<br />
17, 19, 21, 23, ..., 63.<br />
O primeiro termo é 17, o último termo é 63 e a razão é 2. Escrevemos então:<br />
a 1<br />
= 17<br />
a n<br />
= 63<br />
R = 2<br />
Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, calcularemos n que é o número <strong>de</strong><br />
termos da progressão:<br />
a n<br />
= a 1<br />
+ (n - 1).R<br />
63 = 17 + (n - 1). 2<br />
63 - 17 = 2n - 2<br />
46 = 2n - 2
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48 = 2n<br />
n = 24<br />
A progressão tem, portanto, 24 termos.<br />
EXEMPLO 3: Escreva a P.A obtida, quando inserimos 5 números entre 1 e 25?<br />
Nesse caso, estamos querendo formar uma P.A, com sete termos, sendo que os extremos<br />
são os números 1 e 25. Esse tipo <strong>de</strong> problema é o que chamamos <strong>de</strong> INTERPOLAÇÃO<br />
ARITMÉTICA. É claro que o que falta obter é a razão <strong>de</strong>sta P.A.<br />
(1, __, __, __, __, __, 25).<br />
a n<br />
= a 1<br />
+ (n - 1).R ou<br />
a 7<br />
= a 1<br />
+ 6. R ou 25 = 1 + 6.R ou ainda 24 = 6. R, o que acarreta R = 4. Logo, a P.A<br />
procurada é: ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)<br />
EXEMPLO 4:<br />
Em janeiro, <strong>de</strong> certo a<strong>no</strong>, Lídia estava ganhando R$ 270,00 por mês. Seu patrão prometeu<br />
aumentar seu salário em R$ 8,00 todos os meses. Quanto Lídia estará ganhando em<br />
<strong>de</strong>zembro do a<strong>no</strong> seguinte?<br />
Solução: Se o salário <strong>de</strong> Lídia aumenta R$ 8,00 todos os meses, então a seqüência dos<br />
salários é uma progressão aritmética <strong>de</strong> razão igual a 8.<br />
Vamos Montar uma tabela, para melhor enten<strong>de</strong>r a situação:<br />
janeiro _ a 1<br />
= 270,00<br />
fevereiro _ a 2<br />
= 278,00<br />
............................................<br />
............................................<br />
<strong>de</strong>zembro _ a 12<br />
=<br />
janeiro _ a 13<br />
=<br />
............................................<br />
............................................<br />
<strong>de</strong>zembro _ a 24<br />
= ?<br />
Logo, o que queremos é o valor do 24º termo <strong>de</strong>ssa P.A. Usando a fórmula do termo<br />
geral, teremos:<br />
a 24<br />
= a 1<br />
+ 23.R<br />
a 24<br />
= 270 + 23.8<br />
a 24<br />
= 270 + 184<br />
a24 = 454<br />
Portanto, com esses peque<strong>no</strong>s aumentos mensais, Lídia estará ganhando, em<br />
<strong>de</strong>zembro do a<strong>no</strong> seguinte, R$ 454,00.<br />
"Há gran<strong>de</strong>s homens que fazem com que todos se sintam peque<strong>no</strong>s. Mas o<br />
verda<strong>de</strong>iro gran<strong>de</strong> homem é aquele que faz com que todos se sintam gran<strong>de</strong>s."<br />
(Gilbert Keith Chesterton, escritor inglês)
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3) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS<br />
A) Proprieda<strong>de</strong> Fundamental <strong>de</strong> uma P. A<br />
Sempre que tivermos três termos consecutivos <strong>de</strong> uma P. A, o termo do meio será igual à<br />
média aritmética dos outros dois.<br />
Assim, se os termos: x, y, z, forem consecutivos <strong>de</strong> uma P.A, teremos que<br />
x+z<br />
y= 2<br />
. Essa<br />
proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong>corre da própria <strong>de</strong>finição da P.A, on<strong>de</strong> as diferenças entre dois termos<br />
consecutivos <strong>de</strong>vem ser iguais.<br />
De fato, se y – x = z – y , isso acarretará que 2y = x + z ou<br />
x+z<br />
y= 2<br />
.<br />
EXEMPLO 5: Sabendo-se que ( 2x, 4x – 10, 4x , ...) são os três primeiros termos <strong>de</strong> uma<br />
P.A, obtenha:<br />
a) o valor <strong>de</strong> x<br />
b) o valor da razão da P. A<br />
c) o valor do 25º termo <strong>de</strong>ssa mesma P. A<br />
Solução:<br />
De acordo com a proprieda<strong>de</strong> apresentada, como são três termos consecutivos da P. A,<br />
teremos:<br />
2x + 4x<br />
4x - 10 =<br />
2<br />
= 3x . Logo, teremos x = 10. (pergunta a).<br />
b) Se x = 10, então os três primeiros termos da P.A serão (20, 30, 40) e fica fácil perceber<br />
que a razão é igual a 10.<br />
c) a 25<br />
= a 1<br />
+ 24. R, logo, a 25<br />
= 20 + 24. 10 = 20 + 240 = 260.<br />
B) Proprieda<strong>de</strong> dos Termos Eqüidistantes.<br />
Numa P.A finita, a soma <strong>de</strong> dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos<br />
extremos.<br />
Exemplo:<br />
9 + 11 = 7 + 13 = 5 + 15 = 3 + 17 = 20<br />
Po<strong>de</strong>remos fazer a <strong>de</strong>monstração para o caso geral: (a 1<br />
, a 2<br />
, a 3<br />
... a p,<br />
... a q<br />
,.......... a n<br />
)<br />
__ p termos__<br />
__ p termos__<br />
Verifique que entre o primeiro termo e o termo a p<br />
existem p termos e entre o termo a q<br />
o<br />
termo a n<br />
também existem p termos. Por isso esses termos são <strong>de</strong><strong>no</strong>minados <strong>de</strong><br />
eqüidistantes dos extremos. Temos que provar que a soma <strong>de</strong>sses dois termos (a p<br />
+ a q<br />
) é<br />
igual à soma dos dois extremos da P.A (a 1<br />
+ a n<br />
).<br />
De fato, a p<br />
= a 1<br />
+ (p – 1).r e a n<br />
= a q<br />
+ (p – 1).r ...logo:<br />
a p<br />
– a n<br />
= a 1<br />
+ (p – 1).r – (a q<br />
+ (p – 1).r) = a 1<br />
+ pr – r – a q<br />
– pr + r
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 7<br />
a p<br />
– a n<br />
= a 1<br />
– a q<br />
ou então a p<br />
+ a q<br />
= a 1<br />
+ a n<br />
o que <strong>de</strong>monstra a <strong>no</strong>ssa proprieda<strong>de</strong>.<br />
C) O Gráfico <strong>de</strong> uma P.A<br />
Po<strong>de</strong>mos visualizar os termos <strong>de</strong> uma progressão aritmética por meio <strong>de</strong> um gráfico como<br />
este:<br />
Os valores dos termos são representados pelas barras verticais que formam o <strong>de</strong>senho <strong>de</strong><br />
uma escada. Nessa escada, a altura <strong>de</strong> cada <strong>de</strong>grau é a razão da progressão aritmética.<br />
D) Uma outra fórmula (Recorrência)<br />
Imagine que você se encontra <strong>no</strong> 3º andar <strong>de</strong> uma escada e que <strong>de</strong>seja atingir o 9º andar.<br />
Quantos andares você terá <strong>de</strong> subir? É claro que a resposta é 6 andares. Isso, em<br />
linguagem matemática po<strong>de</strong> ser representado por: a 9<br />
= a 3<br />
+ 6 . R.<br />
De modo geral, se estamos <strong>no</strong> <strong>de</strong>grau <strong>de</strong> número n e <strong>de</strong>sejamos chegar ao <strong>de</strong>grau <strong>de</strong><br />
número m, <strong>de</strong>vemos subir (m – n) <strong>de</strong>graus. No caso da P. A, teremos uma outra maneira<br />
mais geral <strong>de</strong> escrever a fórmula, relacionando dois termos quaisquer e não<br />
obrigatoriamente como primeiro termos. Ë a seguinte fórmula: a m<br />
= a n<br />
+ (m – n) . R.<br />
Exemplo 6:<br />
A mesada <strong>de</strong> Luciana aumenta todos os a<strong>no</strong>s <strong>de</strong> um valor constante <strong>de</strong> reais, combinado<br />
com o seu pai. Sabemos que <strong>no</strong> 5º a<strong>no</strong> após o acordo, a mesada estava em R$ 80,00 e que<br />
<strong>no</strong> 8º a<strong>no</strong> estava em R$ 110,00. Qual era o valor da mesada <strong>de</strong> Luciana <strong>no</strong> início <strong>de</strong>sse<br />
acordo?<br />
Solução: Pelo que vimos na fórmula anterior, po<strong>de</strong>remos relacionar diretamente os valores<br />
do 8º e do 5º a<strong>no</strong> <strong>de</strong> mesada.<br />
a 8<br />
= a 5<br />
+ 3 . R<br />
Substituindo os valores conhecidos, temos:<br />
110 = 80 + 3R, logo, teremos que 3. R = 30 ou R= 10.<br />
Po<strong>de</strong>mos agora, relacionar um <strong>de</strong>sses termos (o 5º ou o 8º) com o primeiro e <strong>de</strong>terminar o<br />
valor da mesada <strong>de</strong> Luciana <strong>no</strong> início do acordo (<strong>no</strong> primeiro a<strong>no</strong> <strong>de</strong> acordo)<br />
a 5<br />
= a 1<br />
+ 4 . R ou 80 = a 1<br />
+ 4.10 ou a 1<br />
= 40.<br />
Resposta: No início (e durante todo o primeiro a<strong>no</strong>) a mesada <strong>de</strong> Luciana era <strong>de</strong> R$ 40,00.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 8<br />
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 1)<br />
1) Uma criança está brincando com palitos <strong>de</strong> fósforo. Observe o que ela está fazendo.<br />
Se ela continuar construindo seguindo o mesmo critério usado até agora, quantos<br />
quadrados ela terá construído com 250 palitos?<br />
2) Achar três números em P. A e tais que a soma do primeiro com o terceiro seja 12 e o<br />
produto do primeiro pelo segundo seja 24.<br />
3) Um corpo em queda livre, partindo do repouso, cai 16 m durante o primeiro segundo, 48<br />
m durante o segundo, 80 m durante o terceiro, etc. Calcular a distância que cai <strong>no</strong><br />
15 o .segundo.<br />
4) O perímetro <strong>de</strong> um triângulo retângulo é 60 m e os seus lados formam uma P. A.<br />
Determine a área <strong>de</strong>sse triângulo.<br />
5) Qual o primeiro termo <strong>de</strong> uma P.A, <strong>de</strong> 49 termos, se o último termo vale 28 e a sua<br />
razão é igual a ½?<br />
6) Quantos números inteiros existem, entre 84 e 719, e que são múltiplos <strong>de</strong> 5?<br />
7) Quantos números inteiros existem, <strong>de</strong> 13 até 902, e que NÃO são múltiplos <strong>de</strong> 3?<br />
8) Qual a razão da P.A obtida quando inserimos 4 termos(meios aritméticos) entre 9 e 24?<br />
9) (UNESP) Duas pequenas fábricas <strong>de</strong> calçados A e B têm fabricado, respectivamente,<br />
3000 e 1100 pares <strong>de</strong> sapatos por mês. Se, a partir <strong>de</strong> janeiro, a fábrica A aumentar<br />
sucessivamente a sua produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar<br />
sucessivamente a sua produção em 290 pares por mês, a partir <strong>de</strong> que mês a produção<br />
da fábrica B vai superar a produção da fábrica A?<br />
10) Escreva uma P.A (crescente), <strong>de</strong> três termos, sabendo que a soma <strong>de</strong>sses termos vale<br />
12 e que a soma <strong>de</strong> seus quadrados vale 80.<br />
11) Os 3 termos <strong>de</strong> uma seqüência são proporcionais aos números 3, 5 e 9. Somando 4 ao<br />
termo do meio, a <strong>no</strong>va seqüência formada é uma P.A. Determine a seqüência inicial.<br />
1 5 3 7<br />
12) Consi<strong>de</strong>re a seqüência ( , , , ,...)<br />
. Determine seus três próximos termos.<br />
2 8 4 8<br />
13) Seja uma P.A <strong>de</strong> 7 termos e razão igual a R. Se retirarmos o segundo, o terceiro, o<br />
quinto e o sexto termos, teremos uma outra P.A, <strong>de</strong> razão ...<br />
14) Em uma P.A o primeiro termo é igual a 0,402 e o segundo termo é igual a 0,502. Qual o<br />
valor do décimo termo <strong>de</strong>ssa progressão?<br />
15) Quantos termos possui uma P.A cujo primeiro termo é igual a 10x – 9y, o último é igual a<br />
y e a razão é igual a y – x (sendo yx)?
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 9<br />
4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 10<br />
O texto anterior, extraído da revista Galileu Especial (Eureca), <strong>de</strong> abril <strong>de</strong> 2003, <strong>no</strong>s<br />
mostra <strong>de</strong> uma forma simples como que o matemático alemão, Gauss, ainda criança,<br />
conseguiu <strong>de</strong> forma genial uma prova para a soma dos termos <strong>de</strong> uma P.A. É claro que o<br />
que está na reportagem não é uma <strong>de</strong>monstração rigorosa, nem genérica, mas, com auxílio<br />
das proprieda<strong>de</strong>s que estudamos anteriormente, po<strong>de</strong>mos aproveitar a idéia <strong>de</strong> Gauss e<br />
<strong>de</strong>duzirmos tal fórmula. Vejamos:<br />
Consi<strong>de</strong>remos a soma S, <strong>de</strong> todos os termos <strong>de</strong> uma P.A (finita, é claro).<br />
S ++<br />
= a1 + a2<br />
+ a3<br />
+ ........ + an<br />
2<br />
an1<br />
an<br />
É claro que tal soma não modificará, como fez Gauss, se a escrevermos em outra or<strong>de</strong>m.<br />
Vamos escrever a mesma soma, <strong>de</strong> trás para frente:<br />
S + ........ + a a ++<br />
a<br />
= an<br />
+ an<br />
1<br />
+ an<br />
2<br />
Se somarmos essas duas expressões, teremos:<br />
2S<br />
= (a1 + an<br />
) + (a2+<br />
an<br />
1)<br />
+ (a3+<br />
an<br />
2<br />
) + ........ + (an<br />
+ a1)<br />
3<br />
Já vimos anteriormente que todas essas somas, <strong>de</strong> termos eqüidistantes dos extremos, são<br />
iguais à soma dos próprios extremos. Logo, a segunda <strong>parte</strong> da expressão obtida po<strong>de</strong> ser<br />
substituída<br />
por<br />
(a1 + an)<br />
+ (a1+<br />
an)<br />
+ (a1+<br />
an)<br />
+ ..... (an<br />
+ a1)<br />
= n.(a1+<br />
an<br />
)<br />
Logo, chegamos finalmente a,<br />
S<br />
a<br />
2<br />
a soma dos termos <strong>de</strong> uma progressão aritmética.<br />
2<br />
1<br />
(a + 1 n). n<br />
= que é a fórmula clássica para obtermos<br />
UMA CURIOSIDADE... (adaptado <strong>de</strong> Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)<br />
Po<strong>de</strong>mos visualizar o que está ocorrendo durante a soma dos termos <strong>de</strong> uma P.A<br />
associando à uma progressão aritmética a idéia <strong>de</strong> uma “escada”. Vejamos essa situação<br />
para uma P.A <strong>de</strong> sete termos.<br />
Estamos querendo calcular a soma dos comprimentos <strong>de</strong> todos esses <strong>de</strong>graus. Vamos usar<br />
do mesmo artifício usado pelo <strong>no</strong>sso brilhante Gauss.<br />
Imaginemos duas <strong>de</strong>ssas “escadas” (uma <strong>de</strong>las invertida) e acopladas.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 11<br />
Observando a figura, constatamos algo que já sabíamos – que as somas a 1<br />
+ a 7<br />
, a 2<br />
+ a 6<br />
,<br />
a 3<br />
+ a 5<br />
, ... são todas iguais. Logo, po<strong>de</strong>mos somar da seguinte forma:<br />
Dessa forma, temos<br />
2S = (a<br />
1<br />
+ a<br />
7<br />
) . 7<br />
ou<br />
(a<br />
S =<br />
1<br />
+ a<br />
2<br />
7<br />
) . 7<br />
Acredito que a “visualização” acima mostrada, bem como a história <strong>de</strong> Gauss (Revista<br />
Galileu Especial) facilitarão que você se lembre <strong>de</strong> como proce<strong>de</strong>r para somar todos os<br />
termos <strong>de</strong> uma progressão aritmética.<br />
Exemplo 7: Qual a soma dos 50 primeiros termos <strong>de</strong> uma P.A na qual a 6<br />
+ a 45<br />
= 160?<br />
Solução: Pela fórmula que acabamos <strong>de</strong> <strong>de</strong>duzir, sabemos que a soma dos 50 primeiros<br />
termos <strong>de</strong> uma P.A. é dada por:<br />
(a a50). 50<br />
S<br />
2<br />
(160). 50<br />
S ==<br />
2<br />
= mas, como sabemos que a 1<br />
+ a 50<br />
= a 6<br />
1<br />
+<br />
+ a 45<br />
= 160, teremos então: 4000<br />
Exemplo 8: Ao se efetuar a soma <strong>de</strong> 50 parcelas em progressão aritmética, 202 + 206 +<br />
210 + ..., por distração não foi somada a 35ª parcela. Qual a soma que foi encontrada, por<br />
enga<strong>no</strong>?<br />
Solução: Observamos que a razão da P.A é igual a 4 e que o primeiro termo é 202. Logo, já<br />
po<strong>de</strong>mos obter os valores da 35ª e da 50ª parcelas, necessárias à solução do problema.<br />
Cálculo da 35ª parcela a 35<br />
= a 1<br />
+ 34 . R = 202 + 34 . 4 = 338 (que terá <strong>de</strong> ser <strong>de</strong>scontada do<br />
total, já que ela foi “esquecida”).<br />
Cálculo da 50ª parcela a 50<br />
= a 1<br />
+ 49 . R = 202 + 49 . 4 = 398
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Soma das 50 parcelas =<br />
(a1 + a ). 50 (202 + 398). 50<br />
= = = 15000<br />
2<br />
2<br />
S<br />
50<br />
Soma que foi encontrada, com a falta da 35ª parcela = 15 000 – 338 = 14 662<br />
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E CALCULADORAS<br />
(De: Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)<br />
Hoje em dia, todos nós usamos uma máquina simples<br />
para facilitar <strong>no</strong>ssos cálculos: a máquina <strong>de</strong> calcular.<br />
Além <strong>de</strong> realizar as quatro operações (soma,<br />
subtração, multiplicação e divisão), a máquina calcula<br />
raiz quadrada e tem memória. Vamos ver uma forma<br />
interessante e simples <strong>de</strong> usar a calculadora para<br />
facilitar o trabalho com progressões aritméticas.<br />
Como exemplo, vamos consi<strong>de</strong>rar a progressão aritmética <strong>de</strong> razão R = 7, começando em<br />
a1 = 9. Para visualizar quantos termos você quiser, digite:<br />
A primeira vez que você acionar a tecla = a máquina vai mostrar o termo 16 (segundo termo<br />
da P.A). Nas outras vezes que você acionar a tecla =, sucessivamente, o visor da máquina<br />
mostrará: 23, 30, 37, 44, ...até o termo que você <strong>de</strong>sejar.<br />
A máquina <strong>de</strong> calcular também soma os termos <strong>de</strong> uma progressão aritmética. Se não<br />
forem muitos os termos que precisamos somar, o uso da calculadora é bastante eficiente.<br />
Vamos mostrar, como exemplo, como obter a soma dos 5 primeiros termos <strong>de</strong> uma PA, cujo<br />
primeiro termo é 15,86 e cuja razão é 0,17.<br />
Para obter os 5 termos, proce<strong>de</strong>mos como <strong>no</strong> exemplo anterior. Devemos apenas, após<br />
cada termo que aparecer <strong>no</strong> visor, apertar a tecla M+ . Isto faz com que os termos da<br />
progressão sejam acumulados na memória da calculadora.<br />
Depois que você apertar pela quinta vez a tecla M+ , aperte a tecla MR e a soma dos 5<br />
termos da progressão aparecer· <strong>no</strong> visor.<br />
O esquema da operação que vamos fazer é o seguinte:<br />
Iniciando por 15,86 e usando a razão 0,17, você irá obter o valor 81 para soma dos 5<br />
primeiros termos da progressão.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 2)<br />
1) Calcule a soma <strong>de</strong> todos os números naturais ímpares <strong>de</strong> dois algarismos.<br />
2) Em uma casa <strong>de</strong> campo existem, ao longo da cerca, uma torneira e 18 roseiras. A<br />
torneira está a 15 m da primeira roseira e o espaço entre as roseiras é <strong>de</strong> 1 m.<br />
O jardineiro tem apenas um bal<strong>de</strong>. Ele enche o bal<strong>de</strong> na torneira, rega a primeira roseira,<br />
volta para encher o bal<strong>de</strong>, rega a segunda roseira, e assim por diante. Após regar a<br />
décima oitava (18ª) roseira ele retorna para <strong>de</strong>ixar o bal<strong>de</strong> junto à torneira. Qual foi a<br />
distância total percorrida pelo jardineiro?<br />
3) Sendo x um número real, não nulo, calcule o valor da expressão:<br />
x<br />
53<br />
.x<br />
50<br />
.x<br />
47<br />
.x<br />
44<br />
.....x<br />
4) Calcular a soma <strong>de</strong> todos os termos <strong>de</strong> uma P.A cujo primeiro termo é 4, o último<br />
termo é 46 e a razão é igual ao número <strong>de</strong> termos.<br />
5) Obtenha a soma dos termos <strong>de</strong> uma P.A crescente, cujos dois primeiros termos são<br />
as raízes da equação x 2 – 10x + 24 = 0. O número <strong>de</strong> termos <strong>de</strong>ssa progressão é o<br />
dobro do valor do segundo termo.<br />
6) Um ciclista percorre 20 km na primeira hora <strong>de</strong> prova, em seguida percorre 17 km na<br />
segunda hora (ou seja, 37 km em 2 horas) e prossegue sempre <strong>de</strong>ssa forma,<br />
percorrendo 3 km a me<strong>no</strong>s nas próximas horas <strong>de</strong> percurso. Quanto tempo ele levou<br />
para percorrer um total <strong>de</strong> 77 km?<br />
7) Obtenha a razão <strong>de</strong> uma P.A <strong>de</strong> 11 termos, cuja soma dos termos é 176. Sabemos<br />
que esta razão é positiva e que a diferença entre os dois termos extremos é igual a<br />
30.<br />
8) Colocando-se 1540 estudantes em fila, com 1 estudante na primeira fila, 2<br />
estudantes na segunda, 3 estudantes na terceira e assim sucessivamente, formamos<br />
um triângulo. Quantas filas tem essa formatura?<br />
9) (UFRJ) Um painel contêm lâmpadas vermelhas e azuis. No instante inicial (t 0<br />
= 0)<br />
acen<strong>de</strong>m-se, simultaneamente, uma lâmpada vermelha e 43 azuis. A partir daí, <strong>de</strong> 2<br />
em 2 segundos, acen<strong>de</strong>m-se as lâmpadas vermelhas e apagam-se as azuis. O<br />
número <strong>de</strong> lâmpadas vermelhas acesas cresce em progressão aritmética <strong>de</strong> razão<br />
igual a 4 e o <strong>de</strong> azuis <strong>de</strong>cresce em progressão aritmética <strong>de</strong> razão –3. Em<br />
7
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 14<br />
<strong>de</strong>terminado instante teremos a mesma quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> lâmpadas vermelhas e azuis<br />
acesas. Quantas lâmpadas <strong>de</strong> cada cor estarão acesas nesse momento?<br />
10) Para escrever seus contos um escritor proce<strong>de</strong> da seguinte maneira: escreve <strong>no</strong><br />
primeiro dia <strong>de</strong> trabalho 20 linhas, e <strong>no</strong>s dias seguintes, escreve o número <strong>de</strong> linhas<br />
do dia anterior, acrescido <strong>de</strong> 5 linhas. Seu último conto tem 17 páginas, e em cada<br />
página 25 linhas. Calcule em quantos dias esse conto foi escrito.<br />
GABARITOS<br />
SÉRIE 1<br />
01) 83 02) 4, 6, 8 03) 464 m 04) 150 m 2 05) 180<br />
06) 127 07) 594 08) 3 09) outubro 10) (0, 4, 8)<br />
11) 12, 20, 36 12) 1, 9/8, 5/4 13) 3R 14) 1,302 15) 11<br />
SÉRIE 2<br />
01) 2475 02) 846 m 03) x -483 04) 175 05) 180<br />
06) 7 h 07) R = 3 08) 55 09) 25 10) 10<br />
"Nós geralmente <strong>de</strong>scobrimos o que fazer percebendo aquilo que não <strong>de</strong>vemos fazer.<br />
E, provavelmente, aquele que nunca cometeu um erro nunca fez uma <strong>de</strong>scoberta."<br />
(Samuel Smiles)
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MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO – PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ<br />
SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES<br />
PARTE II - PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G)<br />
1) INTRODUÇÃO<br />
Consi<strong>de</strong>remos agora a seguinte situação: uma mercadoria, que em 1990 custava 100 reais,<br />
teve seu preço reajustado <strong>no</strong>s 4 a<strong>no</strong>s seguintes, sob taxa <strong>de</strong> 10% ao a<strong>no</strong>, sobre o preço do<br />
a<strong>no</strong> anterior. Vejamos uma tabela representativa <strong>de</strong>sses preços:<br />
A<strong>no</strong><br />
Preço (R$)<br />
1990 100,00<br />
1991 110,00<br />
1992 121,00<br />
1993 133,10<br />
1994 146,41<br />
Se você pegar sua calculadora e dividir os valores <strong>de</strong> dois termos consecutivos <strong>de</strong>ssa<br />
seqüência, vai observar agora que os quocientes <strong>de</strong>ssas divisões serão todos iguais.<br />
Vejamos:<br />
110 : 100 = 1,10 121 : 110 = 1,10 133,10 : 121 = 1,10 146,41 : 133,10 = 1,10<br />
Se lembrarmos que o número <strong>de</strong>cimal 1,10 correspon<strong>de</strong> a 110/100 ou 110%, constataremos<br />
que cada preço está sendo reajustado em 10% sobre o preço do a<strong>no</strong> anterior.<br />
Esse tipo <strong>de</strong> seqüências, on<strong>de</strong> cada termo (a partir do segundo) é obtido através da<br />
multiplicação do termo anterior por um fator fixo, <strong>de</strong><strong>no</strong>minado razão (q), é o que chamamos<br />
<strong>de</strong> Progressão Geométrica (PG) e que estudaremos nesse capítulo.<br />
Valem para as progressões geométricas as mesmas <strong>no</strong>tações e convenções que usamos<br />
para as progressões aritméticas: a 1<br />
para o primeiro termo; a n<br />
para o termo geral...etc. A<br />
única diferença <strong>de</strong> <strong>no</strong>tação que usaremos é que, neste caso, <strong>de</strong><strong>no</strong>taremos a razão por q e<br />
não R, como fizemos anteriormente, pois a razão agora é obtida pela divisão <strong>de</strong> dois termos<br />
consecutivos da seqüência, e, você sabe que o resultado <strong>de</strong> uma divisão é <strong>de</strong><strong>no</strong>minado<br />
quociente.<br />
Vejamos um exemplo inicial, para fixarmos o que já mostramos. Imagine uma progressão<br />
geométrica, <strong>de</strong> razão igual a 2, começando <strong>no</strong> número 3.<br />
x<br />
Perceba que, se fosse uma progressão aritmética, <strong>de</strong> razão igual a 2, começando <strong>no</strong> três, o<br />
crescimento seria bem mais lento: 3 5 7 9 11 13 15 17 21 ...<br />
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2<br />
Você po<strong>de</strong> perceber, claramente, a mensagem que existe em frases do tipo: “A produção<br />
<strong>de</strong> alimentos cresce em progressão aritmética, enquanto a população mundial cresce<br />
em progressão geométrica”.<br />
Po<strong>de</strong>mos então resumir que uma P.G é uma seqüência on<strong>de</strong> cada termo, a partir do<br />
segundo, é obtido pelo produto do termo anterior por um fator fixo, <strong>de</strong><strong>no</strong>minado razão.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 16<br />
Po<strong>de</strong>mos ainda afirmar que: A razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo anterior.<br />
Em <strong>no</strong>sso estudo, por motivos práticos, <strong>no</strong>s <strong>de</strong>teremos nas progressões geométricas <strong>de</strong><br />
razões positivas (que é o que ocorre na gran<strong>de</strong> maioria dos exemplos práticos) e, po<strong>de</strong>mos<br />
usar a seguinte classificação para as P.G.<br />
Ou seja, se a razão é superior a 1, a progressão geométrica é crescente, se a razão é<br />
inferior a 1 (e positiva, como já combinamos), a progressão geométrica é <strong>de</strong>crescente e se<br />
a razão é igual a 1, a progressão é dita estacionária.<br />
OBS: É claro que existem progressões geométricas, <strong>no</strong>rmalmente teóricas, cuja razão<br />
é negativa. Essas progressões, pelo fato <strong>de</strong> ter razão negativa, terão seus termos<br />
variando <strong>de</strong> sinal e são ditas oscilantes.<br />
2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G<br />
Vamos usar um raciocínio semelhante ao que vimos para as progressões aritméticas.<br />
Po<strong>de</strong>mos, <strong>de</strong>ssa forma, inferir que a fórmula para o cálculo <strong>de</strong> um termo qualquer <strong>de</strong> uma<br />
P.G é:<br />
(n1)<br />
an<br />
= a1.<br />
q<br />
FATO CURIOSO: Se você comparar as <strong>de</strong>finições dos dois tipos <strong>de</strong> progressões que<br />
estamos estudando (aritméticas e geométricas), observará que o que na P.A é uma soma,<br />
na P.G se transforma em uma multiplicação. O que na P.A é uma multiplicação (ou soma <strong>de</strong>
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parcelas iguais), na P.G é uma potenciação (ou multiplicação <strong>de</strong> fatores iguais). Se lembrar<br />
também que a razão da P.A é indicada por R, enquanto que a da P.G é indicada por q, terá<br />
um po<strong>de</strong>roso artifício para transformar as proprieda<strong>de</strong>s e fórmulas obtidas para a P.A, para<br />
as proprieda<strong>de</strong>s e fórmulas da P.G.<br />
Comparemos as fórmulas dos termos gerais, da P.A e da P.G:<br />
P.A a n<br />
= a 1<br />
+ R. (n - 1)<br />
(n1)<br />
P.G a = a . q<br />
n<br />
1<br />
Mas, mesmo sabendo essas fórmulas, é muito mais importante do que elas saber que,<br />
como numa escada, quantos “saltos” <strong>de</strong>vemos dar para ir <strong>de</strong> um termo ao outro. Somando<br />
sempre um valor fixo, <strong>no</strong> caso da P.A e multiplicando sempre um valor fixo, <strong>no</strong> caso da P.G.<br />
Cabe ainda ressaltar que, a fórmula da P.G po<strong>de</strong> ser escrita a partir <strong>de</strong> um termo inicial que<br />
<strong>de</strong><strong>no</strong>taremos por a 0<br />
o que se mostrará bastante vantajoso em diversos exemplos práticos<br />
que mostraremos, como na biologia e na matemática financeira. Nesses casos, a fórmula<br />
assumirá o seguinte aspecto:<br />
a = a<br />
n<br />
0<br />
. q<br />
n<br />
Exemplo 1: (Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)<br />
Verifique, a fórmula da P.A se transforma na da P.G,<br />
bastando substituir a soma por produto, a razão R, por q e<br />
o produto por uma potência.<br />
Você po<strong>de</strong>ria (e <strong>de</strong>ve) resolver diretamente essa questão, lembrando que do primeiro termo,<br />
ao décimo segundo, teríamos 11 saltos da dar e, como se trata <strong>de</strong> uma P.G, era só<br />
multiplicar o primeiro termo pela razão elevada ao expoente 11.<br />
Exemplo 2:<br />
Quantos termos tem a P.G (1, 3, 9, ...2187) ?<br />
Solução:<br />
Verificando que a razão é igual a 3 e, usando a fórmula do termo geral, teremos:<br />
(n1)<br />
an<br />
= a1.<br />
q ou ainda 3 (n – 1) = 2187 = 3 7 . Esse tipo <strong>de</strong> equação que obtivemos, on<strong>de</strong> a<br />
incógnita se encontra <strong>no</strong> expoente, chamamos <strong>de</strong> equação exponencial e, como temos uma
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 18<br />
igualda<strong>de</strong> <strong>de</strong> potências <strong>de</strong> mesma base, é claro que seus expoentes terão <strong>de</strong> ser iguais,<br />
logo, n – 1 = 7, o que acarreta n = 8.<br />
Exemplo 3: (Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)<br />
Existem bactérias que se reproduzem <strong>de</strong> forma extremamente rápida. Um exemplo é a<br />
bactéria que causa a sífilis (chamada treponema pallidum): cada uma <strong>de</strong>las se transforma<br />
em 8 iguais, <strong>no</strong> período <strong>de</strong> 1 hora. Se uma bactéria <strong>de</strong>sse tipo começa a se reproduzir,<br />
quantas elas serão 12 horas <strong>de</strong>pois, supondo que nenhuma <strong>de</strong>las tenha morrido?<br />
Solução: A população <strong>de</strong>ssas bactérias forma uma P.G.<br />
Momento inicial a 1<br />
= 1<br />
1 hora <strong>de</strong>pois a 2<br />
= 8<br />
2 horas <strong>de</strong>pois a 3<br />
= 64<br />
..................................<br />
Como estamos querendo a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> bactérias 12 horas <strong>de</strong>pois do início, temos que<br />
obter o 13º termo <strong>de</strong>ssa progressão geométrica. Logo, aplicando a fórmula do termo geral,<br />
teremos:<br />
a 13<br />
= a 1<br />
. q 12 ou a 13<br />
= 1 . 8 12 = 68 719 476 736 bactérias.<br />
Exemplo 4:<br />
(ITA) Obtenha os valores <strong>de</strong> x e y, <strong>de</strong> modo que a seqüência seja uma P.G (2, x, y, 1458)<br />
Solução:<br />
Verificamos que o primeiro termo é igual a 2 e que o quarto termo da P.G é igual a 1458.<br />
Logo, aplicando a fórmula do termo geral, teremos:<br />
a<br />
(n1)<br />
n<br />
= a1.<br />
q ou ainda 1458 = 2.q 3 . Assim, q 3 = 729 = 3 6 = 9 3 .<br />
Nesse caso, temos uma equação do tipo q 3 = 9 3 , o que acarretará que q = 9.<br />
Dessa forma, po<strong>de</strong>mos agora completar a progressão:<br />
(2 18 162 1458)<br />
x 9 x 9 x 9<br />
Conclusão: x = 18 e y = 162.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 19<br />
CALCULADORAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS<br />
(De: Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)<br />
Exemplo 5:<br />
Sr. Gastão aplicou R$ 1000,00 num investimento que valorizava o seu dinheiro 2% ao mês.<br />
Quanto ele vai ter, 4 meses após o início da aplicação?<br />
Solução:<br />
Esse tipo <strong>de</strong> situação, da Matemática Comercial e Financeira, é o que <strong>de</strong><strong>no</strong>minamos<br />
JUROS COMPOSTOS ou JUROS SOBRE JUROS formará sempre uma Progressão<br />
Geométrica, como vimos <strong>no</strong> exemplo da introdução, a razão <strong>de</strong>ssa P.G é o que<br />
<strong>de</strong><strong>no</strong>minamos FATOR DE CORREÇÃO. Nesse exemplo, o fator <strong>de</strong> correção será igual a<br />
1,02, pois 100% + 2% correspon<strong>de</strong> a 102% ou 1,02. Logo, teremos <strong>de</strong> calcular o resultado<br />
<strong>de</strong> 1000 . (1,02) 4 . Na calculadora basta fazer 1,02 x 1000 = = = = 1082,43.<br />
O que vimos <strong>no</strong> exemplo acima é um dos gran<strong>de</strong>s usos das progressões em <strong>no</strong>ssa<br />
vida – a Matemática do Dinheiro. As progressões geométricas po<strong>de</strong>m (e <strong>de</strong>vem) ser<br />
observadas como uma seqüência <strong>de</strong> termos com taxa <strong>de</strong> variação constante (seja<br />
para aumento ou para redução).<br />
3) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS<br />
A) Proprieda<strong>de</strong> Fundamental <strong>de</strong> uma P. G<br />
Sempre que tivermos três termos consecutivos <strong>de</strong> uma P. G (<strong>de</strong> razão positiva), o termo do<br />
meio será igual à média geométrica dos outros dois.<br />
Assim, se os termos: x, y, z, forem consecutivos <strong>de</strong> uma P.G, teremos que y = x. z . Essa<br />
proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong>corre da própria <strong>de</strong>finição da P.G, on<strong>de</strong> o resultado (quociente) das divisões<br />
entre dois termos consecutivos <strong>de</strong>vem ser iguais.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 20<br />
y z<br />
De fato, se = , isso acarretará que y 2 = x. z ou ainda y = x. z .<br />
x y<br />
Essa proprieda<strong>de</strong> po<strong>de</strong>ria também ser obtida diretamente da proprieda<strong>de</strong> similar da P.A,<br />
bastando fazer as substituições das operações correspon<strong>de</strong>ntes.<br />
EXEMPLO 6: Sabendo-se que ( x - 2, 2x + 1, 5x + 10 ...) são os três primeiros termos <strong>de</strong><br />
uma P.G crescente, obtenha:<br />
d) o valor <strong>de</strong> x<br />
e) o valor da razão da P. G<br />
f) o valor do 6º termo <strong>de</strong>ssa mesma P. G<br />
Solução:<br />
De acordo com a proprieda<strong>de</strong> apresentada, como são três termos consecutivos da P. G,<br />
2<br />
teremos: 2 x + 1=<br />
(x 2).(5x + 10)<br />
. Dessa forma, (2x + 1) = (x 2).(5x + 10)<br />
.<br />
4x 2 + 4x + 1 = 5x 2 + 10x – 10x – 20<br />
x 2 – 4x – 21 = 0. Resolvendo essa equação, obteremos os resultados 7 e –3. Como a P.G é<br />
crescente, logo, a resposta válida será o valor que gerar uma razão maior do que 1.<br />
• vejamos a opção x = 7, teremos a seguinte P.G (5, 15, 45), que aten<strong>de</strong> à<br />
condição do problema.<br />
• Vejamos agora a opção x = -3, teremos a seguinte P.G (-5, -5, -5)...que não<br />
aten<strong>de</strong> ao <strong>no</strong>sso problema.<br />
Logo a resposta da primeira pergunta é x = 7.<br />
b) a razão da <strong>no</strong>ssa P. G é q = 3 (15 : 5)<br />
c) o sexto termo da P.G será:<br />
5 5<br />
a = a .q = 5.3 1215<br />
6 1<br />
=<br />
B) Proprieda<strong>de</strong> dos Termos Eqüidistantes.<br />
Numa P.G finita, o produto <strong>de</strong> dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto<br />
dos extremos.<br />
Exemplo:<br />
Consi<strong>de</strong>re a P.G (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512)<br />
Verifique: 1 . 512 = 2 . 256 = 4 . 128 = 8 . 64 = 16 . 32 = 512.<br />
Você po<strong>de</strong>, mais uma vez, tirar essa proprieda<strong>de</strong> diretamente da proprieda<strong>de</strong> similar da P.A,<br />
substituindo a operação <strong>de</strong> ADIÇÃO, pela <strong>de</strong> MULTIPLICAÇÃO.<br />
C) Gráfico <strong>de</strong> uma P.G<br />
Vamos supor, para exemplo, uma P.G cujo primeiro termo fosse igual a 1 e a razão fosse<br />
igual a 1,5. Teríamos o seguinte tipo <strong>de</strong> gráfico:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 21<br />
Você <strong>de</strong>ve lembrar que, quando estudamos o gráfico da progressão aritmética, as<br />
extremida<strong>de</strong>s dos segmentos verticais obtidos estavam em linha reta. Agora, na progressão<br />
geométrica, essas extremida<strong>de</strong>s estão sobre uma curva, <strong>de</strong><strong>no</strong>minada curva exponencial.<br />
4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA<br />
Seja = a1 + a2<br />
+ a3<br />
+ ........ + an<br />
2<br />
an1<br />
an<br />
Vamos multiplicar todos os termos <strong>de</strong>ssa igualda<strong>de</strong> por q. Teremos então:<br />
S ++<br />
q.S<br />
=<br />
<br />
a1 .q + a2.q<br />
+ a3.q<br />
+ ........ + an<br />
2.q<br />
+ an<br />
1.q<br />
+ a<br />
n<br />
.q<br />
a 2<br />
a 3<br />
a 4<br />
a n – 1<br />
a n<br />
Subtraindo a primeira expressão da segunda, teremos:<br />
q.S – S = a n<br />
. q - a 1<br />
e agora, colocando o termo S, em evidência, teremos:<br />
S. (q – 1) = a n<br />
. q - a 1<br />
S =<br />
an.q<br />
a1<br />
q 1<br />
A fórmula acima po<strong>de</strong> assumir um outro aspecto, bastando substituir o a n<br />
pela respectiva<br />
expressão do termo geral da P.G. A fórmula da soma dos termos da P.G (finita) ficará então:<br />
n<br />
(q 1)<br />
S = a1.<br />
(q 1)
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 22<br />
Portanto, temos duas expressões distintas para o cálculo da soma dos termos <strong>de</strong> uma P.G<br />
finita. A escolha <strong>de</strong> qual usar em cada situação problema <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>rá obviamente dos<br />
parâmetros envolvidos em cada caso.<br />
Exemplo 7:<br />
Obtenha a soma dos 10 primeiros termos da P.G (2, 4, 8, ...)<br />
Solução:<br />
Para este caso, é melhor usarmos a segunda expressão da fórmula da soma da P.G, pois<br />
temos o primeiro termo, o número <strong>de</strong> termos que queremos somar e a razão (q = 2).<br />
S =<br />
n<br />
(q 1)<br />
a1.<br />
(q 1)<br />
10<br />
(2 1)<br />
= 2. = 2.(1024 1)<br />
= 2046<br />
(2 1)<br />
OBSERVAÇÃO:<br />
Verifique que, quando numa P.G <strong>de</strong>crescente, o número <strong>de</strong> termos cresce in<strong>de</strong>finidamente<br />
(dizemos que n ten<strong>de</strong> ao infinito), a expressão <strong>de</strong>ssa soma (que ten<strong>de</strong>rá a um valor limite)<br />
ficará bastante simplificada, pois o termo a n<br />
ten<strong>de</strong>rá a zero.<br />
Verifique o exemplo: (12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; 0,1875; 0.09375, ...) observe que quanto<br />
maior o número <strong>de</strong> termos, mais se aproxima <strong>de</strong> zero o último termo consi<strong>de</strong>rado.<br />
Logo, a fórmula que estudamos ficará, neste caso, transformada em:<br />
S =<br />
an.q<br />
a1<br />
q 1<br />
substituindo a n<br />
por 0, teremos então<br />
a1<br />
limS =<br />
1<br />
q<br />
n <br />
Exemplo 8:<br />
Calcular a soma dos termos da P.G (16, 8, 4, 2, 1, ....)<br />
Solução:<br />
Verificamos que se trata do caso da P.G com razão me<strong>no</strong>r que 1 (q = ½, P.G <strong>de</strong>crescente).<br />
Quando o número <strong>de</strong> termos ten<strong>de</strong>r ao infinito, o último termo ten<strong>de</strong>rá a zero e po<strong>de</strong>remos<br />
aplicar a fórmula anterior, ou seja:<br />
a1<br />
16<br />
limS = =<br />
1<br />
q 1<br />
1<br />
2<br />
n <br />
=<br />
16<br />
1<br />
2<br />
= 32<br />
Exemplo 9 (PUC):<br />
Na figura está representado um conjunto infinito <strong>de</strong> círculos C 0<br />
, C 1<br />
, C 2<br />
, .... Os diâmetros <strong>de</strong><br />
todos eles estão sobre um segmento <strong>de</strong> reta <strong>de</strong> comprimento igual a 1. Além disso, o raio <strong>de</strong><br />
C n<br />
é a meta<strong>de</strong> do raio <strong>de</strong> C n – 1<br />
. A área da região hachurada na figura é:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 23<br />
Solução:<br />
Pela figura, verificamos que a área hachurada é igual à diferença entre a área do maior<br />
semicírculo (C 0<br />
) e a soma das áreas dos <strong>de</strong>mais semicírculos, a partir do C 1<br />
.<br />
a) Raio do semicírculo C 0<br />
= ½ . Área <strong>de</strong>sse semicírculo =<br />
<br />
2<br />
r 2<br />
=<br />
.<br />
2<br />
1<br />
4<br />
<br />
=<br />
8<br />
1<br />
.<br />
r 2 <br />
<br />
b) Raio do semicírculo C 1<br />
= ¼. Área <strong>de</strong>sse semicírculo =<br />
16 <br />
= =<br />
2 2 32<br />
1<br />
.<br />
r 2 <br />
<br />
c) Raio do semicírculo C 2<br />
= 1/8. Área <strong>de</strong>sse semicírculo =<br />
64 <br />
= =<br />
2 2 128<br />
Percebemos que cada área é igual a ¼ da área anterior, logo, essas infinitas áreas formam<br />
uma P.G <strong>de</strong>crescente, <strong>de</strong> razão igual a ¼. Po<strong>de</strong>mos, mais uma vez, aplicar a fórmula do<br />
limite da soma, quando o número <strong>de</strong> parcelas ten<strong>de</strong> a infinito. Consi<strong>de</strong>rando como primeiro<br />
termo a área do semicírculo C 1<br />
<br />
a1<br />
limS = =<br />
32<br />
1<br />
q 1<br />
1<br />
4<br />
n <br />
=<br />
<br />
32<br />
3<br />
4<br />
<br />
=<br />
32<br />
4<br />
.<br />
3<br />
<br />
=<br />
24<br />
Finalmente, a área hachurada pedida, será igual a:<br />
<br />
<br />
8 24<br />
<br />
=<br />
12<br />
Dificulda<strong>de</strong>s reais po<strong>de</strong>m ser resolvidas; apenas as imaginárias são insuperáveis."<br />
(Theodore N. Vail)
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 24<br />
4) A MATEMÁTICA E O DINHEIRO<br />
A) OS FATORES DE CORREÇÃO<br />
Conforme já comentamos anteriormente, o gran<strong>de</strong> uso prático das progressões geométricas<br />
está nas seqüências <strong>de</strong> taxa <strong>de</strong> variação constante. Isso ocorre em muitas situações que<br />
envolvem dinheiro, operações bancárias e comerciais.<br />
Para que você resolva a maioria <strong>de</strong>ssas questões que, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente <strong>de</strong> estarem ou<br />
não <strong>no</strong>s concursos que realizamos – e estão – achamos fundamental enfocar com mais<br />
<strong>de</strong>talhes os fatores <strong>de</strong> correção e a matemática do dinheiro.<br />
Muita gente acha que a “Matemática do dinheiro” serve só para pagarmos <strong>no</strong>ssas contas,<br />
conferir trocos, coisas <strong>de</strong>sse tipo. Mas não é somente isso, sabemos que o dinheiro, as<br />
transações bancárias ou comerciais, estão cada vez mais presentes na vida <strong>de</strong> todas as<br />
pessoas.<br />
Se perguntarmos a uma pessoa qual o valor <strong>de</strong> 100 dólares, mais 100 marcos, mais 100<br />
reais, ela provavelmente dirá que primeiramente precisamos converter todos esses valores<br />
para uma mesma moeda, antes <strong>de</strong> efetuarmos a soma. Analogamente, precisamos tomar<br />
cuidado com valores monetários <strong>no</strong> tempo. Será que 3 parcelas <strong>de</strong> 100 reais, pagas com<br />
intervalos <strong>de</strong> 30 dias, correspon<strong>de</strong>m a um único pagamento <strong>de</strong> 300 reais, numa Eco<strong>no</strong>mia<br />
com inflação?<br />
Infelizmente, a maioria dos livros <strong>de</strong> matemática ig<strong>no</strong>ra esta fato, assim como ig<strong>no</strong>ram<br />
também a inflação. Esse tipo <strong>de</strong> erro é encontrado tanto em textos para o Ensi<strong>no</strong><br />
Fundamental e para o Ensi<strong>no</strong> Médio.<br />
Você <strong>de</strong>ve concordar comigo que, sem a Matemática, não conseguiríamos enten<strong>de</strong>r <strong>no</strong>ssos<br />
contracheques, calcular <strong>no</strong>ssos aumentos <strong>de</strong> salário, i<strong>de</strong>ntificar os produtos que<br />
aumentaram <strong>de</strong>masiadamente <strong>de</strong> preço, constatar e criticar as propagandas enga<strong>no</strong>sas,<br />
reivindicar <strong>no</strong>ssos direitos trabalhistas, ...<br />
Observe a reportagem seguinte:<br />
Fonte: Revista Veja – Edição 1755 <strong>de</strong> 12 <strong>de</strong> junho <strong>de</strong> 2002
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 25<br />
Nossa abordagem inicial será através <strong>de</strong> um importante “segredo” da “Matemática do<br />
dinheiro” – os fatores <strong>de</strong> correção. Você irá constatar rapidamente que, este conceito, é a<br />
base <strong>de</strong> quase tudo o que se estuda na Matemática Comercial e Financeira e, com o auxílio<br />
<strong>de</strong> uma calculadora simples, você po<strong>de</strong>rá enten<strong>de</strong>r e resolver uma gran<strong>de</strong> quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
problemas que estão <strong>no</strong> <strong>no</strong>sso cotidia<strong>no</strong>.<br />
Após um estudo <strong>de</strong>talhado <strong>de</strong>sses fatores <strong>de</strong> correção, voltaremos à reportagem da revista<br />
Veja, verificando as informações nela contidas.<br />
Nossa abordagem será feita <strong>de</strong> forma contextualizada, através <strong>de</strong> pequenas histórias que<br />
servirão para <strong>no</strong>s apresentar e familiarizar com essa Matemática inserida nas transações<br />
financeiras e <strong>de</strong> comércio.<br />
História 1<br />
O salário <strong>de</strong> Maria era, em agosto <strong>de</strong> 2001, <strong>de</strong> R$ 320,00 e, após muita luta, recebeu um<br />
reajuste <strong>de</strong> 12% <strong>no</strong> mês <strong>de</strong> setembro <strong>de</strong> 2001. Qual o valor do salário que Maria passou a<br />
receber a partir <strong>de</strong> setembro?<br />
Perguntamos a dois professores <strong>no</strong>ssos conhecidos como resolveriam a questão acima<br />
proposta e, obtivemos as seguintes respostas:<br />
12% são 12 centésimos, logo,<br />
divido 320 por 100 para achar<br />
um centésimo, <strong>de</strong>pois<br />
Professora Ana<br />
Acho que você concorda comigo que a solução da professora Ana está correta, uma boa<br />
solução, vejamos sua solução completa:<br />
320 : 100 = 3,20<br />
3,20 x 12 = 38,40<br />
320 + 38,40 = 358,40<br />
Professor José<br />
12% são 12 centésimos ou<br />
0,12... para saber quanto vale<br />
0,12 <strong>de</strong> uma quantia, basta<br />
A solução do professor José, que também é muito boa, está correta também, certo?<br />
Vejamos sua solução completa:<br />
0,12 x 320 = 38,40<br />
320 + 38,40 = 358,40<br />
Verifique que os dois professores souberam aplicar seus conhecimentos para <strong>de</strong>scobrir o<br />
<strong>no</strong>vo salário <strong>de</strong> Maria. O professor José apresentou uma solução um pouco mais rápida, e<br />
ele conhece um fato importante que dá um significado da multiplicação: ele sabe que, ao<br />
multiplicarmos 0,12 por 320,00, o resultado significa quanto vale 0,12 da quantia 320,00, ou<br />
seja, quanto vale 12 centésimos <strong>de</strong> 320,00.<br />
Gostaríamos que você acompanhasse co<strong>no</strong>sco uma outra forma <strong>de</strong> resolver esse problema.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 26<br />
Em agosto, a professora Maria recebia 100% do seu salário, certo? Mas em setembro<br />
passou a receber 12 % a mais <strong>de</strong>sse valor. No total, acho que você concorda comigo, ela<br />
vai ficar com 112% <strong>de</strong>sse salário!<br />
Para achar 112% = 112/100 ou 1,12 <strong>de</strong> uma quantia, basta multiplicá-la por esse valor. Faça<br />
na sua máquina <strong>de</strong> calcular a multiplicação 1,12 x 320,00 e compare com as respostas<br />
encontradas pelos professores José e Ana.<br />
Percebeu que obtivemos a mesma resposta?<br />
“Refletindo sobre o assunto”<br />
Alguns alu<strong>no</strong>s ou professores, que resolvem essa questão como o professor José ou a<br />
professora Ana, po<strong>de</strong>m achar melhor o modo como pensavam antes e continuar resolvendo<br />
os problemas da mesma maneira.<br />
Mas quando relacionamos as coisas que já sabemos em Matemática po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>scobrir<br />
<strong>no</strong>vos caminhos, e isso <strong>no</strong>s leva sempre a compreen<strong>de</strong>r mais essa ciência. Veja ainda uma<br />
vantagem, a última solução é bem mais rápida que as <strong>de</strong>mais. Veja:<br />
Salário <strong>de</strong> 320,00, após receber um aumento <strong>de</strong> 12%.<br />
1,12 x 320,00 = 358,40<br />
Em Matemática Financeira, dizemos que, nesse caso:<br />
• A taxa <strong>de</strong> aumento percentual do salário foi <strong>de</strong> 12%<br />
• O fator <strong>de</strong> aumento (ou multiplicador) do salário foi <strong>de</strong> 1,12.<br />
História 2:<br />
Durante uma liquidação, na loja “KOBRA KARO”, foi colocado um gran<strong>de</strong> cartaz,<br />
anunciando <strong>de</strong>scontos <strong>de</strong> 15% para todas as mercadorias. Quanto passará a custar uma<br />
calça jeans que, antes da promoção, custava R$58,40?<br />
GRANDE LIQUIDAÇÃO!!!<br />
15% EM TODAS AS MERCADORIAS<br />
Po<strong>de</strong>ríamos <strong>de</strong>senvolver uma solução mais extensa, como a que a professora Ana fez na<br />
História 1.<br />
15% correspon<strong>de</strong>m a 15 centésimos do preço da calça.<br />
Um centésimo do preço da calça correspon<strong>de</strong> a 58,40 : 100, que é igual a 0,584. Quinze<br />
centésimos correspon<strong>de</strong>rão a 15 x 0,584, que é igual a 8,76. Dessa forma, o preço da calça<br />
na liquidação será: 58,40 – 8,76 = 49,64<br />
Que tal resolvermos da forma mais rápida, como também fizemos na história 1. Verifique o<br />
que vai ocorrer se multiplicarmos 58,40 x 0,85?<br />
58,40 x 0,85 = 49,64
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 27<br />
Por que será que agora usamos o número 0,85 para gerar o <strong>de</strong>sconto oferecido pela<br />
loja?<br />
Veja que po<strong>de</strong>mos usar um raciocínio parecido com o que fizemos na história 1, ou seja:<br />
Preço <strong>no</strong>rmal da calça = 100%. Desconto oferecido = 15%. Valor a ser cobrado na<br />
liquidação = 100% - 15% = 85%.<br />
Como sabemos que 85% correspon<strong>de</strong>m a 85 centésimos ou a 0,85, temos a conclusão que<br />
queríamos, encontrar o preço da calça com 15% <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto, bastará multiplicar o preço<br />
<strong>no</strong>rmal <strong>de</strong> 58,40 por 0,85.<br />
Nesse caso temos:<br />
• taxa percentual do <strong>de</strong>sconto foi <strong>de</strong> 15%<br />
• fator <strong>de</strong> redução (ou multiplicador) para 15% foi 0,85.<br />
Os dois fatores (ou multiplicadores) que usamos – o <strong>de</strong> aumento na história 1 e o <strong>de</strong><br />
redução na história 2, são <strong>de</strong><strong>no</strong>minados FATORES DE CORREÇÃO.<br />
Acho que você concorda comigo que todo fator <strong>de</strong> aumento será um número maior do que 1<br />
e todo fator <strong>de</strong> redução será um número me<strong>no</strong>r do que 1. Por que será?<br />
Exemplo 9: Se o jornal anunciar, num <strong>de</strong>terminado mês, que a<br />
ca<strong>de</strong>rneta <strong>de</strong> poupança será corrigida pelo fator 1,025, ele estará <strong>no</strong>s<br />
informando que os investidores estarão recebendo que correção<br />
percentual sobre o saldo anterior?<br />
Solução:<br />
Como o fator 1,025 correspon<strong>de</strong> à taxa percentual <strong>de</strong> 102,5%, verificamos que a correção<br />
das ca<strong>de</strong>rnetas <strong>de</strong> poupança foi <strong>de</strong> 2,5%.<br />
Aumentos ou Reduções Sucessivos e As Progressões Geométricas.<br />
Você sabe que em <strong>no</strong>sso dia-a-dia é bastante comum encontrarmos situações <strong>de</strong> aumentos<br />
ou reduções sucessivas, como na ca<strong>de</strong>rneta <strong>de</strong> poupança, nas liquidações, <strong>no</strong>s reajustes <strong>de</strong><br />
impostos ou mesmo <strong>de</strong> salários (me<strong>no</strong>s comum, infelizmente). O que será que ocorre com<br />
os fatores <strong>de</strong> correção nesses casos?<br />
Vejamos um exemplo:<br />
Uma mercadoria sofreu dois reajustes consecutivos, <strong>de</strong> 3% e <strong>de</strong> 4%, respectivamente. Qual<br />
o aumento percentual correspon<strong>de</strong>nte a essas duas correções?<br />
Você po<strong>de</strong>ria usar um recurso, bastante válido, <strong>de</strong> supor um preço inicial para essa<br />
mercadoria (<strong>no</strong>rmalmente usamos o valor <strong>de</strong> 100 reais, pois facilita <strong>no</strong>ssos cálculos). Em<br />
seguida, aumentar esse preço em 3% e <strong>de</strong>pois em mais 4% sobre a primeira correção.<br />
Comparando o preço final com os 100 reais, teremos a variação percentual procurada.<br />
Vejamos esse tipo <strong>de</strong> solução.<br />
Preço inicial = 100 reais primeira correção (3%) = 103 reais segunda correção,<br />
4% sobre 103 reais, ou seja, 0,04 x 103 = 4,12 reais, logo, o preço final será <strong>de</strong> 103 reais +<br />
4,12 reais = 107,12 reais.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 28<br />
Se compararmos o preço final <strong>de</strong> 107,12 reais, com o preço inicial <strong>de</strong> 100 reais, temos que o<br />
aumento foi <strong>de</strong> 7,12 reais e, como esse acréscimo é sobre 100 reais, temos também que o<br />
aumento percentual foi <strong>de</strong> 7,12%.<br />
Gostaríamos <strong>de</strong> alertá-lo <strong>no</strong>vamente sobre a agilida<strong>de</strong> que você po<strong>de</strong> adquirir, usando para<br />
esse tipo <strong>de</strong> questões os fatores <strong>de</strong> correção, como já vimos anteriormente. Vejamos essa<br />
outra possível solução.<br />
Vamos chamar o primeiro preço da mercadoria <strong>de</strong> P. Você já <strong>de</strong>ve estar sabendo que, com<br />
um aumento <strong>de</strong> 3%, usando os fatores <strong>de</strong> correção, esse preço passará a ser <strong>de</strong> P x 1,03<br />
(certo?). Com o segundo aumento <strong>de</strong> 4%, o preço passará a ser <strong>de</strong> P x 1,03 x 1,04 o que<br />
correspon<strong>de</strong> a P x 1,0712, já que a multiplicação é associativa. Isto vai significar que,<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente do preço inicial ele está, após os dois aumentos sucessivos, sendo<br />
multiplicado pelo fator 1,0712, o que correspon<strong>de</strong> a uma variação percentual <strong>de</strong> 7,12%, a<br />
mesma resposta que achamos na primeira solução comentada.<br />
Gostaríamos que você observasse esse importante fato nas transações comerciais e na<br />
Matemática Financeira. Aumentos sucessivos (muito comuns em países como o Brasil)<br />
geram um aumento acumulado que po<strong>de</strong> ser obtido através do PRODUTO dos fatores <strong>de</strong><br />
aumento correspon<strong>de</strong>ntes às taxas <strong>de</strong>sses aumentos.<br />
Um raciocínio parecido com esse seria feito para o caso <strong>de</strong> reduções sucessivas <strong>de</strong> preços<br />
ou salários.<br />
Reduções sucessivas po<strong>de</strong>m ser também calculadas através do PRODUTO dos fatores <strong>de</strong><br />
redução correspon<strong>de</strong>ntes às taxas <strong>de</strong>ssas reduções.<br />
Uma crítica que fazemos à maioria dos livros didáticos do Ensi<strong>no</strong> Fundamental é que eles<br />
<strong>no</strong>rmalmente só abordam os chamados juros simples e, nesse caso, daria ao alu<strong>no</strong> a falsa<br />
impressão <strong>de</strong> que os dois aumentos <strong>de</strong>sse exemplo gerariam um aumento total <strong>de</strong> 7%. Tal<br />
fato só estaria correto se os dois aumentos fossem sobre o valor inicial da mercadoria, ou<br />
seja, se eles não fossem acumulativos, ou sucessivos – o que caracteriza uma situação<br />
<strong>de</strong><strong>no</strong>minada juros compostos.<br />
Exemplo 10:<br />
Qual a variação percentual acumulada, gerada por dois aumentos sucessivos <strong>de</strong> 30%?<br />
Solução:<br />
Aplicando direto o conceito <strong>de</strong> fatores <strong>de</strong> correção, teremos: 1,3 x 1,3 = 1,69. Logo houve<br />
um aumento acumulado <strong>de</strong> 69%.<br />
Verifique que, se usássemos valores monetários, formando uma seqüência, como se trata<br />
<strong>de</strong> taxa fixa <strong>de</strong> correção, teríamos uma situação muito particular e já conhecida <strong>no</strong>ssa,<br />
vejamos:<br />
Supondo um valor inicial <strong>de</strong> 100 reais.<br />
Com um primeiro aumento <strong>de</strong> 30%, teremos um segundo valor <strong>de</strong> 100 x 1,3 = 130 reais.<br />
Com um segundo aumento <strong>de</strong> 30%, teremos um terceiro valor <strong>de</strong> 130 x 1,3 = 169 reais.<br />
Logo, temos a seqüência (100, 130, 169), que é uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA <strong>de</strong><br />
razão igual a 1,3 (ou 1,30) o que correspon<strong>de</strong> a uma variação percentual fixa <strong>de</strong> 30% <strong>de</strong><br />
aumento.<br />
O Fato que verificamos acima irá sempre acontecer quando as taxas <strong>de</strong> variação forem<br />
constantes e aumentos ou reduções sucessivas. Teremos sempre a formação <strong>de</strong><br />
progressões geométricas.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 29<br />
História 3:<br />
O remédio que o Sr. João toma diariamente, para pressão alta, custava R$ 40,00 <strong>no</strong> mês <strong>de</strong><br />
abril <strong>de</strong> 2001 e passou a custar R$ 48,00. Qual foi o fator <strong>de</strong> correção e o aumento<br />
percentual correspon<strong>de</strong>nte?<br />
Você já sabe que ao multiplicarmos o valor inicial pelo fator <strong>de</strong> correção teremos o valor<br />
final, <strong>no</strong> caso o preço do remédio com a correção. Isso também significa que, dividindo o<br />
valor final pelo valor inicial, obtém-se o fator <strong>de</strong> correção.<br />
Valor final: valor inicial = fator <strong>de</strong> correção<br />
No caso narrado na história 3, teremos que o fator <strong>de</strong> correção será igual a 48,00 : 40,00 =<br />
1,225.<br />
Espero que, nesse ponto <strong>de</strong> <strong>no</strong>sso curso, você já esteja sabendo que esse fator<br />
correspon<strong>de</strong> a uma variação percentual <strong>de</strong> 22,5% (aumento do remédio).<br />
Caso não tenha ainda percebido o que aconteceu, vale a pena observar que:<br />
Quando multiplicamos o valor inicial por 1,225 (fator <strong>de</strong> correção) é como tivéssemos<br />
multiplicado por (1 + 0,225). Multiplicar por 1 reproduz o valor inicial e multiplicar por 0,225<br />
(ou 22,5 / 100) dará o aumento havido. Que em <strong>no</strong>sso caso correspon<strong>de</strong> a 22,5%.<br />
Verifique também o importante fato <strong>de</strong> que os números <strong>de</strong>cimais po<strong>de</strong>m ser transformados<br />
em percentagens por uma multiplicação por 100.<br />
Veja:<br />
0,225 = 22,5 % (0,225 x 100)<br />
0,15 = 15% (0,15 x 100)<br />
0,8 = 80% (0,8 x 100)<br />
1,32 = 132% (1,32 X 100)<br />
2,45 = 245% (2,45 X 100)<br />
Po<strong>de</strong>mos resumir o que ocorreu nessa história, quando temos o fator <strong>de</strong> aumento e<br />
queremos obter o percentual <strong>de</strong> aumento correspon<strong>de</strong>nte.<br />
Dado um fator <strong>de</strong> aumento, <strong>de</strong>vemos subtrair 1 <strong>de</strong>le, para<br />
conhecer o aumento havido.<br />
Exemplos:<br />
Fator <strong>de</strong> aumento Aumento gerado Percentual <strong>de</strong> aumento<br />
1,45 1,45 – 1 = 0,45 45%<br />
1,953 1,953 – 1 = 0,953 95,3%<br />
1,065 1,065 – 1 = 0,065 6,5%<br />
2, 86 2,86 – 1 = 1,86 186%<br />
História 4:<br />
Ritinha, que recebe um salário <strong>de</strong> R$ 340,00 por mês, verificou em seu contracheque que,<br />
após todos os <strong>de</strong>scontos sofridos por ela em um <strong>de</strong>terminado mês, recebeu apenas<br />
R$ 299,20. Você saberia <strong>de</strong>terminar o percentual do <strong>de</strong>sconto a que foi submetido o salário<br />
<strong>de</strong> Ritinha?<br />
Você já verificou, na história 3, que existe um modo <strong>de</strong> obtermos o fator <strong>de</strong> correção do<br />
salário <strong>de</strong> Ritinha que, nesse caso, será um fator <strong>de</strong> redução.<br />
Antes <strong>de</strong> continuar a leitura do comentário <strong>de</strong>ssa história, verifique se você está sabendo<br />
como <strong>de</strong>terminamos o fator <strong>de</strong> correção.<br />
Nesse caso, o fator <strong>de</strong> redução será igual a 299,20 : 340,00 = 0,88.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 30<br />
Qual o percentual <strong>de</strong> redução do salário <strong>de</strong> Ritinha, ao ter sido multiplicado por 0,88?<br />
Se eu disser que é <strong>de</strong> 12%, você saberia o porque <strong>de</strong>ssa minha resposta?<br />
O fato é que o 0,88 obtido como fator <strong>de</strong> redução correspon<strong>de</strong> a uma taxa <strong>de</strong> 88%. Como o<br />
salário <strong>de</strong> Ritinha sem os <strong>de</strong>scontos, correspon<strong>de</strong> a 100%, a redução sofrida será a<br />
diferença entre 100% e 88%, concorda?<br />
Uma outra forma <strong>de</strong> enten<strong>de</strong>r essa resposta, e semelhante a que vimos <strong>no</strong> fator <strong>de</strong><br />
aumento, e lembrar que 0,88 é igual a (1 – 0,12) e, se multiplicarmos o salário <strong>de</strong> Ritinha por<br />
esse fator teremos a multiplicação por 1, que recompõe o valor do salário, sem <strong>de</strong>scontos,<br />
me<strong>no</strong>s a multiplicação do salário por 0,12, o que representa os <strong>de</strong>scontos ou seja, um<br />
percentual <strong>de</strong> 0,12 x 100 ou 12 %.<br />
Dado um fator <strong>de</strong> redução, <strong>de</strong>vemos subtraí-lo <strong>de</strong> 1 para<br />
conhecer a redução ou <strong>de</strong>sconto havido.<br />
Exemplos:<br />
Fator <strong>de</strong> redução Redução gerada Percentual <strong>de</strong> redução<br />
0,45 1 – 0,45 = 0,55 55%<br />
0,95 1 – 0,95 = 0,05 5%<br />
0,76 1 – 0,76 = 0,24 24%<br />
0, 86 1 – 0,86 = 0,14 14%<br />
História 5:<br />
Esta historinha ocorreu (ou melhor, não chegou a ocorrer) na loja do Sr. Ma<strong>no</strong>el, meu<br />
vizinho, há muitos a<strong>no</strong>s atrás.<br />
Sr. Ma<strong>no</strong>el pretendia usar uma estratégia para tentar movimentar sua loja – aumentaria o<br />
preço <strong>de</strong> tabela <strong>de</strong> todas as mercadorias em 20% e <strong>de</strong>pois, anunciando uma gran<strong>de</strong><br />
liquidação, daria <strong>de</strong>scontos <strong>de</strong> 20% para todos os artigos que vendia. Achava ele que,<br />
agindo <strong>de</strong>ssa forma, ven<strong>de</strong>ria pelos mesmos preços <strong>de</strong> antes, com a vantagem <strong>de</strong> estar<br />
anunciando uma liquidação. Antes <strong>de</strong> continuar a leitura <strong>de</strong>ssa história, qual a sua opinião<br />
sobre a estratégia que ele pretendia usar?<br />
Quando ele começou a efetuar os cálculos para compor a tabela fictícia que usaria como<br />
referência, teve o susto <strong>de</strong> verificar que não ocorria como havia planejado e que seria<br />
obrigado a ven<strong>de</strong>r por um preço inferior ao que cobrava anteriormente. Chamou-me para<br />
perguntar o que estava ocorrendo, on<strong>de</strong> estava o erro <strong>de</strong> sua estratégia e, <strong>de</strong>sistiu do<br />
artifício após minha explicação.<br />
Vejamos o que ocorreu ...<br />
Vamos supor que uma mercadoria custasse 100 reais, o Sr. Ma<strong>no</strong>el, para compor a tabela,<br />
teria <strong>de</strong> colocar o preço <strong>de</strong> 120 reais e quando fosse na tal “liquidação”, teria que dar um<br />
<strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 20% sobre os 120 reais, que correspon<strong>de</strong>ria a um <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 24 reais. Logo,<br />
teria <strong>de</strong> ven<strong>de</strong>r a mercadoria por 120 – 24 = 96 reais, gerando para ele uma perda <strong>de</strong> 4 %.<br />
O fato é simples <strong>de</strong> ser entendido se você lembrar que o aumento inicial e o <strong>de</strong>sconto<br />
posterior foram ambos <strong>de</strong> 20%, só que sobre valores diferentes. Enquanto o aumento foi<br />
sobre os 100 reais, o <strong>de</strong>sconto teria <strong>de</strong> ocorrer sobre os 120 reais e, é óbvio que 20% sobre<br />
120 é maior que 20% sobre 100.<br />
Gostaria <strong>de</strong> lembrar que essa questão é também um caso <strong>de</strong> correções sucessivas<br />
(aumento, seguido <strong>de</strong> redução) e, como já vimos anteriormente, po<strong>de</strong>mos usar mais uma<br />
vez os fatores <strong>de</strong> correção.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 31<br />
1,2 representa o fator <strong>de</strong> correção ou multiplicador para um acréscimo <strong>de</strong> 20%, certo? E<br />
0,80 (ou 0,8) representa o fator <strong>de</strong> correção para um <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 20%.<br />
O produto 1,2 por 0,8 (aumento e redução sucessivos) gera um resultado 0,96, que é um<br />
fator <strong>de</strong> redução. Qual o percentual <strong>de</strong>ssa redução (que para o Sr. Ma<strong>no</strong>el seria uma<br />
perda)? Acertou se pensou em 4%. (lembra que temos <strong>de</strong> calcular 1 – 0,96 = 0,04 ou 4%).<br />
História 6:<br />
Vamos apresentar agora uma história que, provavelmente, você já se <strong>de</strong>parou com algum<br />
fato semelhante em sua vida. Essas situações estão presentes <strong>no</strong> cotidia<strong>no</strong> <strong>de</strong> todas as<br />
pessoas.<br />
Uma loja anuncia a venda <strong>de</strong> um aparelho <strong>de</strong> som, com duas<br />
possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> pagamento. A vista por R$ 1500,00 ou com<br />
uma entrada <strong>de</strong> 50% e uma segunda parcela <strong>de</strong> R$ 900,00,<br />
paga 30 dias <strong>de</strong>pois. Quanto está pagando <strong>de</strong> juros a pessoa<br />
que escolher a segunda opção <strong>de</strong> pagamento?<br />
Um alu<strong>no</strong> meu apresentou a seguinte solução:<br />
• Preço a vista = R$ 1500,00<br />
• Preço pago em duas parcelas = R$ 750,00 + R$ 900,00 = R$ 1650,00<br />
• Valor pago a mais (juros) = R$ 1650,00 – R$ 1500,00 = R$ 150,00<br />
• Percentual pago como juros (taxa) = 150 : 1500 = 0,10 = 10%<br />
Você concorda com essa solução <strong>de</strong> meu alu<strong>no</strong>? Em caso negativo, apresente uma outra e<br />
compare em seguida com o comentário apresentado.<br />
Verifique comigo que esta solução (que aparentemente não tem nada <strong>de</strong> errada) não está<br />
correta já que, quando o cliente paga a entrada <strong>de</strong> 50% (R$ 750,00), ele assume uma dívida<br />
<strong>de</strong> R$ 750,00 e é sobre esse valor que <strong>no</strong>ssos cálculos <strong>de</strong>vem ser efetuados (é o que<br />
<strong>de</strong><strong>no</strong>minamos <strong>de</strong> saldo <strong>de</strong>vedor). Logo, os juros cobrados <strong>de</strong>vem ser calculados verificandose<br />
o aumento <strong>de</strong> R$ 750,00 para R$ 900,00.<br />
Devemos <strong>de</strong>terminar o percentual <strong>de</strong> juros comparando-se os R$ 150,00 cobrados a mais,<br />
com R$ 750,00, ou seja, 150 : 750 = 0,20 ou 20%.<br />
Se formos usar os fatores <strong>de</strong> correção, teremos que, neste caso, o fator <strong>de</strong> aumento<br />
correspon<strong>de</strong> a 900 : 750 = 1,20.<br />
O fator 1,20 correspon<strong>de</strong> a um acréscimo <strong>de</strong> 1,20 - 1 = 0,20 = 20%.<br />
Verifique que é uma resposta bem diferente da que meu alu<strong>no</strong> calculou e nós, por<br />
<strong>de</strong>sconhecimento ou falta <strong>de</strong> atenção, muitas vezes somos levados a calcular erradamente<br />
os juros que estão inseridos nas compras que fazemos.<br />
História 7:<br />
Vejamos agora um fato interessante e que você talvez se assuste com a sua conclusão.<br />
Imaginemos um jogo <strong>no</strong> qual a pessoa, em cada rodada, se ganhar recebe meta<strong>de</strong> do<br />
que possui na ocasião e se per<strong>de</strong>r, per<strong>de</strong> meta<strong>de</strong> do que tem <strong>no</strong> momento. Uma<br />
pessoa, que entrou com R$ 128,00, fez 6 apostas consecutivas, ganhando 3 e per<strong>de</strong>ndo<br />
3 <strong>de</strong>ssas apostas. O que po<strong>de</strong>mos afirmar sobre esse apostador?<br />
A) Que ele ganhou dinheiro.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 32<br />
B) Que ele não ganhou, nem per<strong>de</strong>u dinheiro.<br />
C) Que ele po<strong>de</strong>rá ganhar, ou per<strong>de</strong>r dinheiro, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ndo da ore<strong>de</strong>m em que<br />
ocorrerem as 3 vitórias e as 3 <strong>de</strong>rrotas.<br />
D) Que ele per<strong>de</strong>u 74 reais, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente da or<strong>de</strong>m em que ocorreram as vitórias<br />
e as <strong>de</strong>rrotas.<br />
Solução:<br />
Antes <strong>de</strong> mostrarmos a solução a este jogo, vamos tentar uma das hipóteses possíveis,<br />
para buscar alguma pista, ou <strong>de</strong>scartar opções <strong>de</strong> resposta.<br />
Vamos supor que o <strong>no</strong>sso jogador tivesse ganhado as três primeiras rodadas e perdido as<br />
três últimas.<br />
A evolução <strong>de</strong> seu capital seria: 128 192 288 432 216 108 54. Note que o<br />
jogador per<strong>de</strong>u dinheiro e, como entrou com 128 reais e saiu com 54 reais a sua perda foi<br />
<strong>de</strong> 128 – 54 = 74 reais. Com isso já po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>scartar as opções A e B, mas, será que se<br />
as vitórias e <strong>de</strong>rrotas ocorressem em outra or<strong>de</strong>m o resultado seria o mesmo? Vamos supor<br />
agora que as vitorias e <strong>de</strong>rrotas se alternassem. Vejamos o que ocorreria...<br />
128 192 96 144 72 108 54. Percebemos que chegamos ao mesmo<br />
resultado, uma perda <strong>de</strong> 74 reais. Mas po<strong>de</strong>ria ser uma coincidência...<br />
Vamos usar <strong>no</strong>vamente os <strong>no</strong>ssos fatores <strong>de</strong> correção e tentar uma explicação convincente<br />
<strong>de</strong>ste jogo.<br />
Lembre-se que quando um valor aumenta em 50%, ele está sendo multiplicado por 1,5.<br />
Lembre também que quando um valor reduz 50%, ele está sendo multiplicado por 0,5. O<br />
<strong>no</strong>sso valor inicial, 128 reais, estará sendo multiplicado três vezes por 1,5 e três vezes por<br />
0,5. Como a or<strong>de</strong>m dos fatores não altera o produto, confirmamos que, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente<br />
da or<strong>de</strong>m das vitórias e <strong>de</strong>rrotas, o resultado final será o mesmo. E qual será esse<br />
resultado?<br />
128 x 1,5x1,5x1,5x0,5x0,5x0,5 = 54<br />
Conclusão <strong>de</strong>sse surpreen<strong>de</strong>nte jogo. Ele per<strong>de</strong>u 74 reais, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente da or<strong>de</strong>m<br />
em que se suce<strong>de</strong>ram vitórias e <strong>de</strong>rrotas. (opção D)<br />
VOLTANDO À INTRODUÇÃO DO CAPÍTULO.<br />
Na página 23, quando começamos a conversar sobre matemática e dinheiro, exibimos uma<br />
reportagem da revista Veja, <strong>de</strong> junho <strong>de</strong> 2002, on<strong>de</strong> temos que a inflação (naquele<br />
momento) acumulada <strong>no</strong>s oito a<strong>no</strong>s do pla<strong>no</strong> Real, era <strong>de</strong> 179%.<br />
Baseando-se nessa informação e com a ajuda dos fatores <strong>de</strong> correção que acabamos <strong>de</strong><br />
estudar, você po<strong>de</strong>ria agora verificar se todas as informações contidas <strong>no</strong> texto estão<br />
corretas.<br />
Po<strong>de</strong>mos agora resumir, os principais conceitos que apren<strong>de</strong>mos nas historinhas que<br />
apresentamos, com objetivo <strong>de</strong> apresentar os fatores <strong>de</strong> correção:<br />
Você reparou que:<br />
Todo fator <strong>de</strong> aumento é um número superior a 1?<br />
O fator <strong>de</strong> aumento po<strong>de</strong> ser obtido pela soma (100% + taxa <strong>de</strong> aumento<br />
percentual) cujo resultado <strong>de</strong>ve ser posto na forma <strong>de</strong>cimal? Exemplo:<br />
fator <strong>de</strong> aumento para um acréscimo <strong>de</strong> 24% = 100% + 24% = 124% =<br />
124 /100 = 1,24.<br />
Todo fator <strong>de</strong> redução é um número inferior a 1?
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 33<br />
<br />
<br />
O fator <strong>de</strong> redução po<strong>de</strong> ser obtido pela subtração (100% - taxa <strong>de</strong><br />
redução percentual) cujo resultado <strong>de</strong>ve ser posto na forma <strong>de</strong>cimal?<br />
Exemplo: fator <strong>de</strong> redução para uma perda <strong>de</strong> 24% = 100% - 24% = 76%<br />
= 76 /100 = 0,76.<br />
Aumentos ou reduções (ou mistura dos dois) consecutivos, <strong>de</strong>vem ser<br />
calculados pelo PRODUTO DOS FATORES DE CORREÇÃO, e não pela<br />
soma das taxas a eles correspon<strong>de</strong>ntes?<br />
B) À VISTA OU A PRAZO?<br />
Um dos problemas mais comuns <strong>de</strong> encontrarmos <strong>no</strong> <strong>no</strong>sso dia-a-dia refere-se à <strong>de</strong>cisão<br />
<strong>de</strong> comprar à vista ou a prazo uma <strong>de</strong>terminada mercadoria. Somos sempre tentados pela<br />
propaganda, com promoções do tipo “20% <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto à vista ou em três vezes sem<br />
acréscimo”. A <strong>de</strong>cisão melhor <strong>de</strong>cisão <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>rá <strong>de</strong> uma série <strong>de</strong> fatores, como taxas <strong>de</strong><br />
juros, disponibilida<strong>de</strong> do comprador.<br />
Vamos mostrar nessa seção que, mais uma vez, o valor do dinheiro <strong>no</strong> tempo, os fatores <strong>de</strong><br />
correção e as progressões geométricas serão fundamentais para <strong>no</strong>ssa escolha correta.<br />
É claro que existirão casos que as opções serão equivalentes, nesses casos, tanto faz uma<br />
escolha ou outra. Vejamos um exemplo:<br />
Na conseguiu um tipo <strong>de</strong> investimento que lhe paga juros <strong>de</strong> 5% ao mês pelo dinheiro que<br />
aplicar. Ela entrou numa loja e viu que uma calça jeans po<strong>de</strong> ser comprada a vista por 80<br />
reais ou ser adquirida com um cheque pré-datado, para 30 dias, por 84 reais. Repare que,<br />
nesse exemplo apresentado, as duas opções são equivalentes, pois se ela aplicar os 80<br />
reais por 30 dias, vai receber <strong>de</strong> juros 4 reais (5% <strong>de</strong> 80) o que permitirá exatamente cobrir<br />
o cheque pré-datado.<br />
Portanto, todas as <strong>de</strong>cisões que envolvem compras ou investimentos estão apoiadas <strong>no</strong> fato<br />
do valor que o dinheiro terá ou teve numa outra data, levando-se em conta a taxa <strong>de</strong> juros<br />
que inci<strong>de</strong> sobre os valores aplicados (po<strong>de</strong> ser a da ca<strong>de</strong>rneta <strong>de</strong> poupança, por exemplo).<br />
Logo, se a taxa vigente para as aplicações (taxa <strong>de</strong> atrativida<strong>de</strong> do mercado) for <strong>de</strong> 3% ao<br />
mês, 100 reais hoje valerão 103 reais em um mês, valerão 106,09 reais em dois meses<br />
(multiplicando 100 x (1,03) 2 ), valerão 109,27 reais em três meses (multiplicando 100 x<br />
(1,03) 3 ), e valerão multiplicando 100 x (1,03) n daqui a n meses.<br />
Verifique que o fato que mostramos nada mais é que a utilização prática da fórmula dos<br />
juros compostos.<br />
Po<strong>de</strong>mos assim resumir o que acabamos <strong>de</strong> mostrar:<br />
Um valor monetário M, valerá daqui a n meses, aplicado sob taxa fixa i, ao<br />
mês, M x (1 + i) n . (com a taxa i expressa na sua forma <strong>de</strong>cimal)<br />
M<br />
VALORIZAÇÃO NO TEMPO<br />
M x (1 + i) n<br />
Analogamente, caso o valor fosse consi<strong>de</strong>rado num período anterior, ou seja, n meses ou<br />
períodos antes, o valor do dinheiro seria igual a M : (1 + i) n<br />
M<br />
DESVALORIZAÇÃO NO TEMPO<br />
M : (1 + i) n<br />
PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROS<br />
COMPOSTOS, TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM COM O QUE ACABAMOS DE<br />
MOSTRAR. O VALOR DO DINHEIRO NUMA DATA FUTURA FICA MULTIPLICADO POR<br />
(1 + i) n (OU F n )E NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR (1 + i) n (OU F n ).
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 34<br />
Exemplo 11:<br />
Lídia comprou um relógio, com uma taxa <strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 5% ao mês e a última parcela, <strong>de</strong> 80<br />
reais, teria <strong>de</strong> ser paga <strong>no</strong> dia 10 <strong>de</strong> setembro <strong>de</strong> 2002. Acontece que Lídia ganhou um<br />
dinheirinho extra e está propondo à loja, pagar a sua dívida <strong>no</strong> dia 10 <strong>de</strong> agosto <strong>de</strong> 2002, ou<br />
seja, um mês antes da data estipulada. Quanto Lídia terá <strong>de</strong> pagar?<br />
Solução:<br />
Como se trata <strong>de</strong> uma antecipação <strong>de</strong> pagamento é claro que Lídia pagará um valor me<strong>no</strong>r.<br />
Aplicando o que vimos anteriormente, o valor será igual a 80 : (1,05) = 76,19 reais.<br />
Exemplo 12:<br />
Vinícius tomou um empréstimo <strong>de</strong> R$ 5000,00 a juros mensais <strong>de</strong> 5%. Dois meses <strong>de</strong>pois,<br />
ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor<br />
<strong>de</strong>sse último pagamento?<br />
Solução:<br />
Enten<strong>de</strong>mos que fica mais fácil perceber o que está ocorrendo mostrando um gráfico da<br />
situação – é o que chamamos <strong>de</strong> fluxo <strong>de</strong> caixa.<br />
5000<br />
0<br />
1 2 3<br />
2500 x<br />
Devemos “empurrar” todos os valores para<br />
uma mesma data (por exemplo para o mês 3)<br />
e igualar as entradas (empréstimo) com as<br />
saídas (pagamentos periódicos).<br />
2500 x 1,05 + x = 5000 x (1,05) 3<br />
2625 + x = 5788,13<br />
x = 3163,13<br />
Resposta: Vinícius <strong>de</strong>verá pagar uma segunda parcela <strong>de</strong> R$ 3163,13<br />
Exemplo 13:<br />
Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais <strong>de</strong><br />
220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa <strong>de</strong> juros sobre o saldo <strong>de</strong>vedor que está sendo<br />
cobrada pela loja?<br />
Solução:<br />
Nesse caso está faltando o valor da taxa <strong>de</strong> juros cobrada, sugerimos chamar a incógnita do<br />
problema <strong>de</strong> F, que é o <strong>no</strong>sso fator <strong>de</strong> correção. Fica mais simples trabalhar com essa<br />
variável do que com 1 + i. No final do problema, subtraindo 1 do valor encontrado, teremos a<br />
taxa procurada.<br />
Vejamos o fluxo <strong>de</strong> caixa do problema.<br />
400<br />
1 2<br />
Sugerimos agora “empurrar” todos os valores<br />
para a data 2 e igualar as entradas (valoa a<br />
vista) com as saídas (prestações).<br />
220 220
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 35<br />
400 . F 2 = 220 . F + 220<br />
40 . F 2 = 22 . F + 22 ou 20. F 2 – 11. F – 11 = 0<br />
Resolvendo a equação do segundo grau, teremos:<br />
11±<br />
121<br />
4.20.( 11)<br />
11±<br />
1001 11±<br />
31,64<br />
F =<br />
=<br />
<br />
40<br />
40 40<br />
42,64<br />
Como só <strong>no</strong>s serve a resposta positiva, teremos F = 1, 067<br />
40<br />
Logo, 1 + i = 1,067 ou i = 0,067 ou ainda i = 6,7%<br />
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 3):<br />
1) Obtenha o sexto termo <strong>de</strong> uma P.G, <strong>de</strong> razão positiva, on<strong>de</strong> o quinto e o sétimo<br />
termos valem, respectivamente 9 e 16.<br />
2) Qual o valor da soma dos sete primeiros termos <strong>de</strong> uma P.G <strong>de</strong>finida por:<br />
n2<br />
a n<br />
= 3 ?<br />
3) A população <strong>de</strong> um país era <strong>de</strong> 3 000 000 <strong>de</strong> pessoas em 1999. Sabe-se que essa<br />
população cresceu a uma taxa constante <strong>de</strong> 2% ao a<strong>no</strong>. Que população o país<br />
atingiu em 2002?<br />
4) Consi<strong>de</strong>re a progressão geométrica (100, 80, 64, ...). Qual a razão <strong>de</strong>ssa P.G e a<br />
sua representação como uma taxa <strong>de</strong> variação?<br />
5) Qual o sétimo termo <strong>de</strong> uma P.G cujo quinto termo vale 5 e o oitavo termo vale 135?<br />
6) Uma bomba <strong>de</strong> vácuo retira, em cada sucção, 2% do gás existente em certo<br />
recipiente. Depois <strong>de</strong> 6 sucções, quanto restará do gás inicialmente existente?<br />
7) Qual a variação da área <strong>de</strong> um retângulo cuja base sofre um aumento <strong>de</strong> 10% e a<br />
altura sofre uma redução <strong>de</strong> 10% do seu valor?<br />
8) A espessura <strong>de</strong> uma folha <strong>de</strong> estanho é 0,1 mm. Forma-se uma pilha com essas<br />
folhas colocando-se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes,<br />
tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente. Depois <strong>de</strong> 33 <strong>de</strong>ssas<br />
operações, a altura da pilha será, aproximadamente:<br />
a) a altura <strong>de</strong> um poste <strong>de</strong> luz.<br />
b) A altura <strong>de</strong> um prédio <strong>de</strong> 40 andares.<br />
c) O comprimento da praia <strong>de</strong> Copacabana.<br />
d) A distância Rio / São Paulo<br />
e) O comprimento do equador terrestre.<br />
9) (Escola Naval)<br />
Divi<strong>de</strong>-se um segmento <strong>de</strong> comprimento L em três <strong>parte</strong>s iguais e retira-se a <strong>parte</strong> do<br />
meio. Divi<strong>de</strong>-se, em seguida, cada uma das <strong>parte</strong>s que sobraram em três <strong>parte</strong>s<br />
iguais e retira-se a <strong>parte</strong> do meio. Repetindo-se essa operação uma infinida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
vezes, qual será a soma dos comprimentos retirados?
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 36<br />
10) (Escola Naval)<br />
Ações <strong>de</strong> certa companhia valorizaram-se 10% ao mês, durante cinco meses<br />
consecutivos. Quem investiu nessas ações obteve, durante esses cinco meses, um<br />
lucro aproximado igual a:<br />
a) 40% b) 50% c) 55% d) 60% e) 70%<br />
11) (UFRJ)<br />
Certa população <strong>de</strong> bactérias dobra a cada hora. Num certo dia, às 8 horas da<br />
manhã, a população é <strong>de</strong> 1000 bactérias. A que horas a população será <strong>de</strong> 512 000<br />
bactérias?<br />
12) (AFA)<br />
A raíz da equação 1 + x + x 2 + x 3 + ... + = 4 é igual a :<br />
13) Luciana comprou um aparelho <strong>de</strong> som em três prestações (30, 60 e 90 dias da data<br />
da compra). O aparelho à vista custava R$ 900,00 e as duas primeiras parcelas<br />
foram <strong>de</strong> R$ 400,00. Se a loja está cobrando juros <strong>de</strong> 6% ao mês, qula será o valor<br />
do terceiro pagamento que Luciana terá <strong>de</strong> fazer?<br />
14) Uma loja oferece duas opções <strong>de</strong> pagamento para as compras. À vista, com 30% <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>sconto ou em duas parcelas iguais, sendo a primeira paga <strong>no</strong> ato da compra.<br />
Quanto está pagando <strong>de</strong> juros, em um mês, a pessoa que escolher a opção em dois<br />
pagamentos?<br />
15) Lídia comprou um relógio, pagando R$ 180,00 um mês após a compra e R$ 200,00<br />
dois meses após a compra. Se foram pagos juros <strong>de</strong> 12% sobre o saldo <strong>de</strong>vedor,<br />
qual era o preço à vista <strong>de</strong>sse relógio?<br />
01) 12 02)<br />
1093<br />
3<br />
GABARITO (SÉRIE 3)<br />
03) 3 183 624<br />
04) q = 0,8 e<br />
redução <strong>de</strong> 20%<br />
05) 45<br />
06) 87,38% 07) reduz 1% 08) D 09) L/2 10) D<br />
11) 17 h 12) ¾ 13) R$198,47 14) 150% 15) R$320,15
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 37<br />
PARTE III – ANÁLISE COMBINATÓRIA<br />
1) “PARA COMEÇAR A CONVERSA”…<br />
O HOMEM QUE SEMPRE GANHAVA NAS CORRIDAS DE CAVALO<br />
“Caso verídico narrado pelo professor Ma<strong>no</strong>el H. Botelho à Revista do Professor <strong>de</strong> Matemática (SBM, nº 18)<br />
Inesperadamente, numa terça-feira, chegou-me uma carta. Envelope branco, sem <strong>no</strong>me do<br />
remetente. Dentro, um papel dizia simplesmente:<br />
“Sr. Ma<strong>no</strong>el.<br />
Sou seu amigo. Sei o cavalo que vai ganhar <strong>no</strong> quarto páreo do<br />
próximo sábado. Será o cavalo nº 3.<br />
Atenciosamente,<br />
Antônio Silva.”<br />
Não sou <strong>de</strong> jogar, por princípios morais e por achar que, enten<strong>de</strong>ndo <strong>de</strong> Matemática e Teoria<br />
das Probabilida<strong>de</strong>s, o jogo não favorece ao jogador. Nem liguei para a enigmática carta. Quem<br />
seria Antônio Silva?<br />
Juro, mas juro mesmo, que a única conseqüência da carta foi eu ler, pela primeira vez na<br />
minha vida, a seção <strong>de</strong> turfe <strong>no</strong> jornal <strong>de</strong> Domingo. Surpresa! Deu o cavalo nº 3 <strong>no</strong> quarto páreo<br />
<strong>de</strong> sábado. Fiquei surpreso, intrigado. Ao ler os comentários do cronista do jornal, entendi tudo. O<br />
cavalo nº 3 era o segundo principal favorito. Sua chance <strong>de</strong> ganhar era gran<strong>de</strong>. Assim, até eu<br />
acerto.<br />
A história terminaria por aí se na outra quarta-feira eu não recebesse uma <strong>no</strong>va cartinha:<br />
“Vai dar o cavalo nº 2 <strong>no</strong> sexto páreo do domingo”.<br />
Aquilo agora era um <strong>de</strong>safio. Corri a ler a seção <strong>de</strong> turfe <strong>no</strong> jornal. Aumentando a minha<br />
expectativa, o comentarista dizia: “No domingo, sexto páreo, o nº 2 não terá chances”. Por<br />
curiosida<strong>de</strong>, ouvi a transmissão da corrida pelo rádio. Suspense! Ganhou o nº 2. Um misto <strong>de</strong><br />
angústia e surpresa me assaltou. Como o Antônio Silva podia saber quem ia ganhar? Afinal, o<br />
número 2 era azarão!<br />
Na terça-feira não recebi a <strong>no</strong>va cartinha, ou seria mais honesto eu dizer, não recebi a tão<br />
esperada cartinha. Chegou a <strong>de</strong>sejada na quarta-feira. Simples e objetiva como sempre.<br />
“Sr. Ma<strong>no</strong>el.<br />
No domingo, primeiro páreo, vai dar o número 1.<br />
Antônio Silva.”<br />
Embora eu não estivesse enten<strong>de</strong>ndo o porquê <strong>de</strong> ser eu o privilegiado receptor <strong>de</strong> tão<br />
certeiros palpites, <strong>de</strong>cidi jogar. A primeira e última vez, prometi eu.<br />
Joguei e ganhei. Infelizmente joguei pouco e por isso pouco ganhei. Fiquei revoltado. Se muito<br />
tivesse jogado, muito teria ganho.<br />
A espera <strong>de</strong> uma <strong>no</strong>va cartinha foi em ambiente <strong>de</strong> alta tensão. E lá veio ela, agora na sextafeira.<br />
Os termos eram algo diferentes:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 38<br />
“Sr. Ma<strong>no</strong>el.<br />
Graças a meus conhecimentos, o Sr. teve três indicações certas para<br />
jogar. O Sr. <strong>de</strong>ve hoje estar rico com o que ganhou. Tenho o <strong>no</strong>me do<br />
cavalo que vai dar <strong>no</strong> próximo sábado. Não quero dinheiro. Quero apenas<br />
que o Sr. jogue em socieda<strong>de</strong> comigo. O Sr. trará <strong>no</strong> mínimo cinqüenta<br />
mil reais e apostaremos esse valor <strong>no</strong> cavalo que eu lhe direi. O Sr. ficará<br />
com a meta<strong>de</strong> do valor da aposta e eu, com a outra meta<strong>de</strong>. Amanhã lhe<br />
telefo<strong>no</strong>. Seu amigo,<br />
Antônio Silva.”<br />
O homem era meu amigo, seguramente. A proposta era muito boa. Ele jogaria junto comigo<br />
(se bem que com meu dinheiro, <strong>de</strong>staque-se). Eta homem seguro <strong>de</strong> seus conhecimentos!<br />
Dinheiro ele não queria. Queria apenas os boletos (poules) do jogo. Retirei o dinheiro do banco e<br />
esperei o telefonema. Não teria sido melhor ele dar o seu telefone? Não entendi o a<strong>no</strong>nimato.<br />
Nem telefone, nem en<strong>de</strong>reço. Só o <strong>no</strong>me, Antônio Silva. Afinal, por que um amigo permanece<br />
incógnito? Seria modéstia? Ou seria acanhamento <strong>de</strong>sse meu amigo?<br />
Sábado <strong>de</strong> manhã o telefone tocou. Era Antônio. Marcamos o encontro. Sábado, <strong>no</strong> centro<br />
da cida<strong>de</strong>, em frente ao Centro <strong>de</strong> Apostas. O meu amigo Antônio me esperaria junto ao poste,<br />
segurando um jornal aberto na Seção <strong>de</strong> Turfe.<br />
Encontrei-o na hora certa.<br />
Quarentão algo gordo, costeletas compridas, camisa <strong>de</strong> seda transparente, cordão <strong>de</strong> ouro<br />
<strong>no</strong> pescoço, <strong>de</strong>nte <strong>de</strong> ouro na boca, relógio <strong>de</strong> ouro <strong>no</strong> pulso. Apresentamo-<strong>no</strong>s e fomos direto ao<br />
guichê. Cinqüenta mil reais <strong>de</strong> aposta, vinte e cinco mil <strong>de</strong> poules para mim e outro tanto para ele.<br />
Junto ao guichê, ele finalmente falou, sussurrando o segredo. “ No quarto páreo, cavalo nº 5.”<br />
Antônio era simpático, mas <strong>de</strong> pouca conversa. Pegou os vinte e cinco mil em poules que lhe<br />
cabiam e <strong>de</strong>spediu-se (estava com um filho com febre). Desapareceu na multidão.<br />
Solitário, fui para casa esperar que <strong>de</strong>sse o cavalo nº 5 <strong>no</strong> quarto páreo. O locutor do rádio<br />
foi dramaticamente claro na chegada <strong>de</strong>sse páreo:<br />
“Os cavalos Príncipe da Alegria (nº 2) e Seta Dourada (nº 6) chegam juntos e cruzam a<br />
linha <strong>de</strong> chegada”.<br />
Perdi. Até hoje não sei o porquê. Antônio nunca mais me procurou.<br />
Peço aos leitores ajuda para <strong>de</strong>slindar esse mistério. O mistério <strong>de</strong> Antônio, o homem que<br />
sempre ganhava (ou quase sempre) nas corridas <strong>de</strong> cavalos.<br />
QUAL A SUA OPINIÃO SOBRE O “TRUQUE” USADO PELO SR. ANTÔNIO. O<br />
QUE SERÁ QUE ELE FAZIA PARA ENGANAR AS PESSOAS?<br />
COMENTÁRIO:<br />
O espertalhão do Sr. Antônio pegou uma lista telefônica, selecio<strong>no</strong>u 10 mil pessoas<br />
(Ma<strong>no</strong>el entre elas) e dividiu-as em <strong>de</strong>z grupos, correspon<strong>de</strong>ntes aos 10 cavalos que<br />
correriam um páreo. A cada grupo enviou cartas indicando um dos cavalos como<br />
vencedor.<br />
Os mil que receberam a indicação certa (obrigatoriamente mil), ele dividiu em 10<br />
grupos <strong>de</strong> 100 e enviou <strong>no</strong>vas dicas <strong>de</strong> cavalos para outro dia, aí por diante.<br />
No final, Antonio sempre ganhava quando dava o bote final.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 39<br />
2) COMBINATÓRIA–PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO<br />
(Adaptação do Projeto Educ@ar (USP / SC) e da aula 48 do Tele-curso, da Fundação Roberto Marinho)<br />
2.1) Elementar: O raciocínio combinatório<br />
Exemplo inicial: "Os sanduíches da padaria Regência<br />
são famosos <strong>no</strong> bairro. O freguês po<strong>de</strong> escolher entre 3<br />
tipos <strong>de</strong> pão: pão <strong>de</strong> forma, pão francês ou pão italia<strong>no</strong>.<br />
Para o recheio há 4 opções: salame, queijo, presunto ou<br />
morta<strong>de</strong>la. Quantos tipos <strong>de</strong> sanduíche a padaria<br />
oferece?"<br />
Quem encontra pela primeira vez esse tipo <strong>de</strong> problema<br />
po<strong>de</strong> não perceber que se trata <strong>de</strong> uma situação que<br />
envolve a multiplicação. É comum, nas primeiras tentativas, somar 3 com 4 ou listar <strong>de</strong><br />
forma <strong>de</strong>sorganizada algumas combinações <strong>de</strong> pão com recheio.<br />
Vejamos como o problema po<strong>de</strong> ser resolvido. Para todas as combinações possíveis,<br />
precisamos pensar <strong>de</strong> maneira organizada. Isto po<strong>de</strong> ser conseguido, por exemplo, com a<br />
ajuda <strong>de</strong> uma tabela retangular.<br />
salame queijo presunto morta<strong>de</strong>la<br />
pão <strong>de</strong><br />
forma<br />
pão <strong>de</strong> forma<br />
com salame<br />
pão <strong>de</strong> forma<br />
com queijo<br />
pão <strong>de</strong> forma<br />
com presunto<br />
pão <strong>de</strong> forma com<br />
morta<strong>de</strong>la<br />
pão<br />
francês<br />
pão<br />
italia<strong>no</strong><br />
pão francês<br />
com salame<br />
pão italia<strong>no</strong><br />
com salame<br />
pão francês<br />
com queijo<br />
pão italia<strong>no</strong><br />
com queijo<br />
pão francês com<br />
presunto<br />
pão italia<strong>no</strong> com<br />
presunto<br />
pão francês com<br />
morta<strong>de</strong>la<br />
pão italia<strong>no</strong> com<br />
morta<strong>de</strong>la<br />
Também po<strong>de</strong>mos organizar a solução do problema <strong>de</strong>ste outro modo:<br />
Este último esquema, que lembra os galhos <strong>de</strong> uma árvore (<strong>de</strong>itada), é conhecido<br />
como árvore das possibilida<strong>de</strong>s.<br />
Tanto com a tabela retangular como com a árvore das possibilida<strong>de</strong>s, po<strong>de</strong>mos<br />
obter a solução do problema: contamos os tipos <strong>de</strong> sanduíche e chegamos a 12 tipos. O<br />
que não se percebe ainda é o que o problema tem a ver com a multiplicação.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 40<br />
Isso po<strong>de</strong> ser percebido com este raciocínio: para cada um dos tipos <strong>de</strong> pão<br />
temos 4 tipos <strong>de</strong> recheio e, portanto, 4 sanduíches diferentes; como são 3 tipos <strong>de</strong> pão, os<br />
sanduíches são 4 + 4 + 4, ou seja, 3 x 4 = 12.<br />
Nesse raciocínio, procuramos combinar os tipos <strong>de</strong> pão com os tipos <strong>de</strong> recheio<br />
para obter todos os tipos <strong>de</strong> sanduíche. É um exemplo <strong>de</strong> raciocínio combinatório, o qual<br />
leva á multiplicação.<br />
Você po<strong>de</strong> <strong>no</strong>tar que a árvore <strong>de</strong> possibilida<strong>de</strong>s é uma espécie <strong>de</strong> "<strong>de</strong>senho" do<br />
raciocínio que fizemos: <strong>de</strong> cada um dos seus 3 "galhos" iniciais saem outros 4 "galhos",<br />
dando um total <strong>de</strong> 12.<br />
Quando po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>senhar a árvore <strong>de</strong> possibilida<strong>de</strong>s ou fazer uma tabela, como<br />
<strong>no</strong> caso do problema dos sanduíches, o problema po<strong>de</strong> ser resolvido sem a multiplicação.<br />
Mas, quando as possibilida<strong>de</strong>s são muitas, a multiplicação facilita os cálculos. Já imagi<strong>no</strong>u<br />
<strong>de</strong>senhar a árvore se fossem 6 os tipos <strong>de</strong> pão e 12 os recheios?<br />
Vejamos outro problema envolvendo o raciocínio combinatório.<br />
• "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números <strong>de</strong> três<br />
algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, não po<strong>de</strong> haver repetição <strong>de</strong><br />
algarismo. Com outras palavras, cada número <strong>de</strong>ve ter três algarismos diferentes. Quantos<br />
números po<strong>de</strong>m ser escritos nestas condições?"<br />
Observe que os números 213 e 312 satisfazem as condições do problema, mas<br />
os números 311, 413 e 1123 não servem. Para resolver o problema vamos <strong>no</strong>s imaginar<br />
escrevendo um número <strong>de</strong> três algarismos, obe<strong>de</strong>cendo as restrições mencionadas <strong>no</strong><br />
problema. Ao escrever o algarismo das centenas temos 3 possibilida<strong>de</strong>s.<br />
Ao escrever o algarismo das <strong>de</strong>zenas não po<strong>de</strong>mos usar aquele que já foi usado<br />
nas centenas. Portanto, para cada uma das maneiras <strong>de</strong> escolher o dígito das centenas<br />
temos duas maneiras <strong>de</strong> escolher o das <strong>de</strong>zenas.<br />
Ao escrever o algarismo das unida<strong>de</strong>s não po<strong>de</strong>mos repetir nenhum dos dois que já foram<br />
usados nas centenas e <strong>de</strong>zenas. Logo, para cada uma das maneiras <strong>de</strong> escrever os dois<br />
primeiros algarismos temos uma só escolha para o último dígito.<br />
Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 2 x 1 = 6 números: 123, 132,<br />
213, 231, 312 e 321.<br />
O problema seguinte é parecido com o anterior. Mas há uma diferença entre eles!<br />
• "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números<br />
<strong>de</strong> três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, po<strong>de</strong><br />
haver repetição <strong>de</strong> algarismos. Quantos e quais números po<strong>de</strong>m ser<br />
escritos nestas condições?"
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 41<br />
Vamos construir a árvore das possibilida<strong>de</strong>s para este problema:<br />
Temos 3 possibilida<strong>de</strong>s para escolher o algarismo das centenas. Para cada uma <strong>de</strong>las, há<br />
3 maneiras <strong>de</strong> escolher o dígito das <strong>de</strong>zenas. Portanto há 3 x 3 = 9 modos <strong>de</strong> escolher<br />
aqueles dois dígitos. Para cada uma <strong>de</strong>stas 9 maneiras há 3 possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> escolha<br />
para o algarismo das unida<strong>de</strong>s. Portanto, nas condições do problema, é possível escrever<br />
3 x 3 x 3 = 27 números. Na árvore das possibilida<strong>de</strong>s po<strong>de</strong>mos ver quais são estes<br />
números.<br />
2.2 ) O princípio fundamental da Contagem (ou multiplicativo)<br />
A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, está diretamente relacionada com<br />
ativida<strong>de</strong>s e técnicas para contagem do número <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> algum conjunto. As<br />
primeiras ativida<strong>de</strong>s matemáticas que vivenciamos envolvem sempre a ação <strong>de</strong> contar<br />
objetos <strong>de</strong> um conjunto, enumerando seus elementos.<br />
As operações <strong>de</strong> adição e multiplicação são exemplos <strong>de</strong> técnicas matemáticas<br />
utilizadas também para a <strong>de</strong>terminação <strong>de</strong> uma quantida<strong>de</strong>. A primeira (adição) reúne ou<br />
junta duas ou mais quantida<strong>de</strong>s conhecidas; e a segunda (multiplicação) é <strong>no</strong>rmalmente<br />
aprendida como uma forma eficaz <strong>de</strong> substituir adição <strong>de</strong> parcelas iguais.<br />
A multiplicação também é a base <strong>de</strong> um raciocínio muito importante em<br />
Matemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo constitui a<br />
ferramenta básica para resolver problemas <strong>de</strong> contagem sem que seja necessário<br />
enumerar seus elementos (como veremos <strong>no</strong>s exemplos).<br />
Os problemas <strong>de</strong> contagem fazem <strong>parte</strong> da chamada análise combinatória.<br />
EXEMPLO 1:<br />
Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usar·, separou 2 saias e 3<br />
blusas. Vejamos <strong>de</strong> quantas maneiras ela po<strong>de</strong> se arrumar.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 42<br />
solução:<br />
O princípio multiplicativo, ilustrado nesse exemplo, também po<strong>de</strong> ser enunciado da<br />
seguinte forma:<br />
Se uma <strong>de</strong>cisão d1 po<strong>de</strong> ser tomada <strong>de</strong> n maneiras e, em seguida, outra<br />
<strong>de</strong>cisão d2 pu<strong>de</strong>r ser tomada <strong>de</strong> m maneiras, o número total <strong>de</strong> maneiras <strong>de</strong><br />
tornarmos as <strong>de</strong>cisões d1 e d2 será n · m.<br />
No exemplo anterior havia duas <strong>de</strong>cisões a serem tomadas:<br />
d1: escolher uma <strong>de</strong>ntre as 3 blusas<br />
d2: escolher uma <strong>de</strong>ntre as 2 saias<br />
Assim, Maria dispõe <strong>de</strong> 3 · 2 = 6 maneiras <strong>de</strong> tomar as <strong>de</strong>cisões d1 e d2, ou seja,<br />
6 possibilida<strong>de</strong>s diferentes <strong>de</strong> se vestir.<br />
EXEMPLO 2:<br />
Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne assada,<br />
salsichão), 2 saladas (ver<strong>de</strong> e russa) e 3 sobremesas (sorvete, romeu e julieta, frutas). De<br />
quantas maneiras diferentes um freguês po<strong>de</strong> se servir consumindo um prato quente, uma<br />
salada e uma sobremesa?<br />
Solução:<br />
Esse e outros problemas da análise combinatória po<strong>de</strong>m ser representados pela<br />
conhecida árvore <strong>de</strong> possibilida<strong>de</strong>s ou grafo. Veja como representamos por uma árvore o<br />
problema do cardápio do restaurante.<br />
Observe que nesse problema temos três níveis <strong>de</strong> <strong>de</strong>cisão:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 43<br />
d1: escolher um <strong>de</strong>ntre os 4 tipo <strong>de</strong> pratos quentes.<br />
d2: escolher uma <strong>de</strong>ntre as 2 varieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> salada.<br />
d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.<br />
Usando o princípio multiplicativo, concluímos que temos 4 · 2 · 3 = 24 maneiras <strong>de</strong><br />
tomarmos as três <strong>de</strong>cisões, ou seja, 24 opções <strong>de</strong> cardápio.<br />
As técnicas da análise combinatória, como o princípio multiplicativo, <strong>no</strong>s fornecem<br />
soluções gerais para atacar certos tipos <strong>de</strong> problema. No entanto, esses problemas exigem<br />
engenhosida<strong>de</strong>, criativida<strong>de</strong> e uma plena compreensão da situação <strong>de</strong>scrita. Portanto, È<br />
preciso estudar bem o problema, as condições dadas e as possibilida<strong>de</strong>s envolvidas, ou<br />
seja, ter perfeita consciência dos dados e da resolução que se busca.<br />
EXEMPLO 3:<br />
Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois preços diferentes, sendo<br />
mais baratas as opções que incluíssem frango ou salsichão com salada ver<strong>de</strong>, <strong>de</strong> quantas<br />
maneiras você po<strong>de</strong>ria se alimentar pagando me<strong>no</strong>s?<br />
Solução:<br />
Note que agora temos uma condição sobre as <strong>de</strong>cisões d1 e d2:<br />
d1: escolher um <strong>de</strong>ntre 2 pratos quentes (frango ou salsichão).<br />
d2: escolher salada ver<strong>de</strong> (apenas uma opção).<br />
d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.<br />
Então há 2 · 1 · 3 = 6 maneiras <strong>de</strong> montar cardápios econômicos. (Verifique os<br />
cardápios mais econômicos na árvore <strong>de</strong> possibilida<strong>de</strong>s do exemplo anterior).<br />
EXEMPLO 4:<br />
Quantos números naturais <strong>de</strong> 3 algarismos distintos existem?<br />
Solução:<br />
Um número <strong>de</strong> 3 algarismos c d u é formado por 3 or<strong>de</strong>ns: Como o algarismo<br />
da or<strong>de</strong>m das centenas não po<strong>de</strong> ser zero, temos então três <strong>de</strong>cisões:<br />
d1: escolher o algarismo da centena diferente <strong>de</strong> zero (9 opções).<br />
d2: escolher o algarismo da <strong>de</strong>zena diferente do que j· foi escolhido para<br />
ocupar a centena (9 opções).<br />
d3: escolher o algarismo da unida<strong>de</strong> diferente dos que j· foram utilizados (8<br />
opções).<br />
Portanto, o total <strong>de</strong> números formados ser· 9 · 9 · 8 = 648 números.<br />
EXEMPLO 5:<br />
De acordo com o exemplo anterior, se <strong>de</strong>sejássemos contar <strong>de</strong>ntre os 648 números <strong>de</strong> 3<br />
algarismos distintos apenas os que são pares (terminados em 0, 2, 4, 6 e 8), como<br />
<strong>de</strong>veríamos proce<strong>de</strong>r?<br />
Solução:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 44<br />
O algarismo das unida<strong>de</strong>s po<strong>de</strong> ser escolhido <strong>de</strong> 5 modos (0, 2, 4, 6 e 8). Se o<br />
zero foi usado como último algarismo, o primeiro po<strong>de</strong> ser escolhido <strong>de</strong> 9 modos (não<br />
po<strong>de</strong>mos usar o algarismo já empregado na última casa). Se o zero não foi usado como<br />
último algarismo, o primeiro só po<strong>de</strong> ser escolhido <strong>de</strong> 8 modos (não po<strong>de</strong>mos usar o zero,<br />
nem o algarismo j· empregado na última casa).<br />
Para vencer este impasse, temos três alternativas:<br />
a) Decompor o problema em casos (que é alternativa mais natural). Contar separadamente<br />
os números que têm zero como último algarismo (unida<strong>de</strong> = 0) e aqueles cujo último<br />
algarismo é diferente <strong>de</strong> zero (unida<strong>de</strong> 0).<br />
Terminando em zero temos 1 modo <strong>de</strong> escolher o último algarismo, 9 modos <strong>de</strong><br />
escolher o primeiro e 8 modos <strong>de</strong> escolher o do meio (algarismo da <strong>de</strong>zena), num total <strong>de</strong> 1<br />
· 9 · 8 = 72 números.<br />
Terminando em um algarismo diferente <strong>de</strong> zero temos 4 modos <strong>de</strong> escolher o<br />
último algarismo (2, 4, 6, ou 8), 8 modos <strong>de</strong> escolher o primeiro algarismo (não po<strong>de</strong>mos<br />
usar o zero, nem o algarismo já usado na última casa) e 8 modos <strong>de</strong> escolher o algarismo<br />
do meio (não po<strong>de</strong>mos usar os dois algarismos já empregados nas casas extremas). Logo,<br />
temos 4 · 8 · 8 = 256 números terminados em um algarismo diferente <strong>de</strong> zero. A resposta é,<br />
portanto, 72 + 256 = 328 números.<br />
b) Ig<strong>no</strong>rar uma das restrições (que é uma alternativa mais sofisticada).<br />
Ig<strong>no</strong>rando o fato <strong>de</strong> zero não po<strong>de</strong>r ocupar a centena, teríamos 5 modos <strong>de</strong><br />
escolher o último algarismo, 9 modos <strong>de</strong> escolher o primeiro e 8 modos <strong>de</strong> escolher o do<br />
meio, num total 5 · 8 · 9 = 360 números. Esses 360 números incluem números começados<br />
por zero, que <strong>de</strong>vem ser <strong>de</strong>scontados. Começando em zero temos 1 modo <strong>de</strong> escolher o<br />
primeiro algarismo (0), 4 modos <strong>de</strong> escolher o último (2, 4, 6 ou 8) e 8 modos <strong>de</strong> escolher o<br />
do meio (n„o po<strong>de</strong>mos usar os dois algarismos já empregados nas casas extremas), num<br />
total <strong>de</strong> 1 · 4 · 8 = 32 números.<br />
A resposta é, portanto, 360 - 32 = 328 números.<br />
c) Claro que também po<strong>de</strong>ríamos ter resolvido o problema <strong>de</strong>terminando todos os números<br />
<strong>de</strong> 3 algarismos distintos (9 · 9 · 8 = 648 números), como é o caso do Exemplo 4, e<br />
abatendo os números ímpares <strong>de</strong> 3 algarismos distintos (5 na última casa, 8 na primeira e<br />
8 na segunda), num total <strong>de</strong> 5 · 8 · 8 = 320 números.<br />
Assim, a resposta seria 648 - 320 = 328 números.<br />
Fonte: “prof. Augusto César <strong>de</strong> Oliveira Morgado <strong>no</strong> livro "Análise Combinatória e<br />
Probabilida<strong>de</strong>" - IMPA/VITAE/1991.<br />
EXEMPLO 6<br />
As placas <strong>de</strong> automóveis eram todas formadas por 2 letras (inclusive K, Y e W) seguidas<br />
por 4 algarismos. Hoje em dia, as placas dos carros estão sendo todas trocadas e<br />
passaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quantas placas <strong>de</strong> cada<br />
tipo po<strong>de</strong>mos formar?<br />
Solução:<br />
No primeiro caso:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 45<br />
Como cada letra (L) po<strong>de</strong> ser escolhida <strong>de</strong> 26 maneiras e cada algarismo (N) <strong>de</strong> 10 modos<br />
distintos, a resposta é:<br />
26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 6 760 000<br />
No segundo caso<br />
26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 26 · 6 760 000 = = 175 760 000<br />
A <strong>no</strong>va forma <strong>de</strong> i<strong>de</strong>ntificação <strong>de</strong> automóveis possibilita uma varieda<strong>de</strong> 26 vezes<br />
maior. A diferença é <strong>de</strong> 169.000.000, ou seja, 169 milhões <strong>de</strong> placas diferentes a mais do<br />
que anteriormente.<br />
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:<br />
Exercício 1.<br />
Numa sala há 5 homens e 5 mulheres. De quantos modos é possível selecionar um casal<br />
homem-mulher?<br />
Exercício 2.<br />
a) Quantos números naturais <strong>de</strong> 2 algarismos distintos existem?<br />
b) Quantos <strong>de</strong>stes números são divisíveis por 5?<br />
Exercício 3.<br />
Quantas palavras contendo 3 letras diferentes po<strong>de</strong>m ser formadas com um alfabeto <strong>de</strong> 26<br />
letras?<br />
Exercício 4.<br />
Quantos são os gabaritos possíveis para um teste <strong>de</strong> 10 questões <strong>de</strong> múltipla escolha, com<br />
5 alternativas por questão?<br />
Exercício: 5.<br />
Em um grupo existem 7 pessoas, entre elas Roberto e Ana. Quantas são as filas que<br />
po<strong>de</strong>m ser formadas, <strong>de</strong> modo que Roberto seja sempre o primeiro e Ana seja sempre a<br />
última <strong>de</strong> cada fila?<br />
Exercício 6:<br />
O segredo <strong>de</strong> um cofre é formado por uma seqüência <strong>de</strong> 4 números distintos <strong>de</strong> 2 dígitos<br />
(<strong>de</strong> 00 a 99). Uma pessoa <strong>de</strong>ci<strong>de</strong> tentar abrir o cofre sem saber a formação do segredo<br />
(por exemplo: 15 - 26 - 00 - 52). Se essa pessoa levar 1 segundo para experimentar cada<br />
combinação possível, trabalhando ininterruptamente e a<strong>no</strong>tando cada tentativa já feita para<br />
não repeti-la, qual ser· o tempo máximo que po<strong>de</strong>rá levar para abrir o cofre?<br />
Exercício 7:<br />
a) Quantas são as placas <strong>de</strong> automóvel que po<strong>de</strong>m ser formadas <strong>no</strong> atual sistema <strong>de</strong><br />
emplacamento Brasileiro?<br />
b) O Sr.José Carlos Me<strong>de</strong>iros gostaria <strong>de</strong> que a placa <strong>de</strong> seu automóvel tivesse as iniciais<br />
do seu <strong>no</strong>me (na or<strong>de</strong>m correta do <strong>no</strong>me). Quantas placas existem nestas condições?
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 46<br />
Exercício 8:<br />
Uma ban<strong>de</strong>ira formada por 7 listras que <strong>de</strong>vem ser coloridas usando-se apenas as cores<br />
ver<strong>de</strong>, azul e cinza. Se cada listra <strong>de</strong>ve ter apenas uma cor e não po<strong>de</strong>m ser usadas cores<br />
iguais em listras adjacentes, <strong>de</strong> quantos modos se po<strong>de</strong> colorir a ban<strong>de</strong>ira?<br />
Exercício 9:<br />
Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Quantos <strong>de</strong>sses divisores são<br />
pares? Quantos são ímpares? Quantos são quadrados perfeitos?<br />
Exercício 10:<br />
Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos?<br />
Exercício 11:<br />
De quantos modos po<strong>de</strong>mos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8×8, <strong>de</strong> modo que não<br />
haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna?<br />
Exercício 12:<br />
O conjunto A possui 4 elementos, e o conjunto B, 7 elementos. Quantas funções f :<br />
A → B existem? Quantas <strong>de</strong>las são injetivas?<br />
Exercício 13:<br />
Quantos são os anagramas da palavra PRATO, que começam por uma consoante?<br />
Exercício 14:<br />
Formando-se todos os números possíveis, <strong>de</strong> 5 algarismos, permutando-se os dígitos<br />
1, 2, 3, 4, 5 e escrevendo-os em or<strong>de</strong>m crescente, responda:<br />
a) Qual será a posição ocupada pelo número 43 251?<br />
b) Qual será o valor da soma <strong>de</strong> todos esses números formados?<br />
Exercício 15:<br />
Quantas siglas, <strong>de</strong> 3 letras distintas, po<strong>de</strong>m ser formadas a partir da escolha <strong>de</strong>ntre as<br />
letras: A, B, C, D, E, F?<br />
DESAFIE O SEU RACIOCÍNIO...<br />
1) PROVÃO – MEC – 1999<br />
A unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> informação <strong>no</strong>s computadores digitais é o bit (abreviatura <strong>de</strong> binary<br />
digit, ou seja, dígito binário), que po<strong>de</strong> estar em dois estados, i<strong>de</strong>ntificados com os<br />
dígitos 0 e 1. Usando uma seqüência <strong>de</strong> bits, po<strong>de</strong>m ser criados códigos capazes <strong>de</strong><br />
representar números, caracteres, figuras, etc. O chamado código ASCII, por<br />
exemplo, utiliza uma seqüência <strong>de</strong> 7 bits para armazenar símbolos usados na escrita<br />
(letras, sinais <strong>de</strong> pontuação, algarismos, etc). Com estes 7 bits, quantos símbolos<br />
diferentes o código ASCII po<strong>de</strong> representar?<br />
(A) 7!<br />
(B) 7<br />
(C) 14<br />
(D) 49<br />
(E) 128
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2) PROVÃO – MEC – 1998<br />
Os clientes <strong>de</strong> um banco <strong>de</strong>vem escolher uma senha, formada por 4 algarismos <strong>de</strong> 0<br />
a 9, <strong>de</strong> tal forma que não haja algarismos repetidos em posições consecutivas<br />
assim, a senha “0120” é válida, mas “2114” não é). O número <strong>de</strong> senhas válidas é:<br />
(A) 10.000<br />
(B) 9.000<br />
(C) 7.361<br />
(D) 7.290<br />
(E) 8.100<br />
GABARITO – PARTE 1 – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO<br />
01) 25 Modos<br />
09) a) 24 divisores<br />
b) 18 divisores pares<br />
c) 4 divisores quadrados<br />
02) A) 81 Números<br />
B) 17 Números<br />
10) 2 n subconjuntos<br />
03) 15 600 palavras 11) 8! = 40 320 modos<br />
04) 9 765 625 gabaritos<br />
12) a) 7 4 = 2401 funções<br />
b) 840 funções injetivas<br />
05) 120 filas 13) 72 anagramas<br />
06) 94 109 400 s 3 a<strong>no</strong>s 14) 90ª posição<br />
07) 10 000 placas 15) 120 Siglas<br />
08) 192 modos PROVÃO 1: E<br />
PROVÃO 2: D
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES<br />
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM<br />
1) Na extração da Loteria Fe<strong>de</strong>ral há um concurso com 80 000 bilhetes, numerados <strong>de</strong><br />
00 000 a 79 999. Quantos são esses bilhetes formados por números <strong>de</strong> algarismos<br />
distintos entre si?<br />
2) Quantos números, distintos entre si e me<strong>no</strong>res que 30 000, têm exatamente 5<br />
algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}?<br />
3) Num aci<strong>de</strong>nte automobilístico, após se ouvirem várias testemunhas, concluiu-se que<br />
o motorista culpado pelo aci<strong>de</strong>nte dirigia o veículo cuja placa era constituída <strong>de</strong> três<br />
vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unida<strong>de</strong>s<br />
era, com certeza o dígito 2. Qual a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> veículos suspeitos?<br />
4) Dispomos <strong>de</strong> quatro cores diferentes entre si; todas elas <strong>de</strong>vem ser usadas para<br />
pintar as cinco letras da palavra FATEC, cada letra <strong>de</strong> uma só cor, e <strong>de</strong> modo que as<br />
vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos isso<br />
po<strong>de</strong>rá ser feito?<br />
5) Um trem <strong>de</strong> passageiros é constituído <strong>de</strong> uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo<br />
um <strong>de</strong>les restaurante. Sabendo-se que a locomotiva <strong>de</strong>ve ir à frente e que o vagãorestaurante<br />
não po<strong>de</strong> ser colocado imediatamente após a locomotiva, <strong>de</strong>terminar o<br />
número <strong>de</strong> modos diferentes <strong>de</strong> montar a composição.<br />
6) Os números dos telefones <strong>de</strong> uma cida<strong>de</strong> eram constituídos <strong>de</strong> 6 dígitos. Sabendose<br />
que o primeiro dígito nessa cida<strong>de</strong> nunca po<strong>de</strong> ser o zero, <strong>de</strong>terminar o aumento<br />
ocorrido na quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>no</strong>vos números, quando os números telefônicos passaram<br />
a ser <strong>de</strong> 7 dígitos, nessa cida<strong>de</strong>.<br />
7) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó <strong>de</strong> cores diferentes.<br />
Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes,<br />
<strong>de</strong>termine a quantida<strong>de</strong> mínima <strong>de</strong> peças que ele <strong>de</strong>verá possuir (número <strong>de</strong> paletós<br />
mais o número <strong>de</strong> calças).<br />
8) Se 5 moedas distinguíveis forem lançadas simultaneamente, qual será o número <strong>de</strong><br />
maneiras distintas <strong>de</strong>las caírem?<br />
9) Consi<strong>de</strong>rando os anagramas da palavra ENIGMA, <strong>de</strong>terminar:<br />
a) o número total <strong>de</strong> anagramas.<br />
b) O número <strong>de</strong> anagramas que começam com a letra A<br />
c) O número <strong>de</strong> anagramas que começam por EN.<br />
d) O número <strong>de</strong> anagramas que começam por uma vogal.<br />
10) Usando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, <strong>de</strong>terminar a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> números <strong>de</strong> 4<br />
algarismos, que po<strong>de</strong>m ser formados com eles, <strong>de</strong> forma que ao me<strong>no</strong>s dois<br />
algarismos sejam iguais.<br />
11) Qual a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> números, formados com algarismos distintos, maiores que<br />
50 000 e me<strong>no</strong>res que 90 000, e que são divisíveis por 5?<br />
12) Deseja-se dispor em fila 05 crianças: Marcelo, Rogério, Reginaldo, Daniele e Márcia.<br />
Calcule o número <strong>de</strong> maneiras distintas que isso po<strong>de</strong>rá ser feito <strong>de</strong> modo que<br />
Rogério e Márcia fiquem sempre vizinhos.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 49<br />
13) Seis pessoas A, B, C, D, E, F ficam <strong>de</strong> pé, uma ao lado da outra, para uma<br />
fotografia. Determinar o número <strong>de</strong> modos que elas po<strong>de</strong>m se dispor, sabendo-se<br />
que A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer sempre uma<br />
ao lado da outra.<br />
14) Quantos são os múltiplos <strong>de</strong> três, <strong>de</strong> quatro algarismos distintos, que po<strong>de</strong>m ser<br />
formados com os algarismos: 2, 3, 4, 6 e 9?<br />
15) (Essa é para os “FERAS”) Num cursinho especializado em Ciências Exatas há 15<br />
professores; cada um <strong>de</strong>les se dispõe <strong>de</strong> uma aula semanal e se ocupa <strong>de</strong> um tema<br />
da Matemática ou da Física ou da Química. Os temas das matérias abordadas são:<br />
Matemática: Álgebra, Geometria, Trigo<strong>no</strong>metria, Geometria Analítica e Análise.<br />
Física: Mecânica, Termologia, Oscilações, Ótica e Eletricida<strong>de</strong>.<br />
Química: Atomística, Química Geral, Físico-Química, Química I<strong>no</strong>rgânica e Química<br />
Orgânica.<br />
No cursinho há três aulas diárias, <strong>de</strong> segunda a sexta, sendo uma <strong>de</strong> Matemática,<br />
uma <strong>de</strong> Física e uma <strong>de</strong> Química. Com os <strong>no</strong>mes dos 15 professores e seus<br />
respectivos temas, quantos são os horários diferentes que po<strong>de</strong>m ser montados para<br />
a semana?<br />
GABARITO<br />
01) 24 192 bilhetes 06) 8 100 000 números 11) 2352 números<br />
02) 240 números 07) 10 peças 12) 48 modos<br />
03) 30 240 suspeitos 08) 32 modos 13) 144 modos<br />
04) 24 modos<br />
09) a) 720 b) 120<br />
c) 24 d) 360<br />
14) 72 números<br />
05) 600 modos 10) 505 números 15) 13 436 928 000<br />
“PARA DESCONTRAIR (COISAS DA SALA DE AULA)”<br />
Sinto que há um braço<br />
levantado, mas acho<br />
que não <strong>de</strong>vo olhar<br />
para trás...
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 50<br />
1) Definição:<br />
II) FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL<br />
Conforme já vimos em alguns problemas estudados anteriormente, em vários casos<br />
surgiram produtos do tipo: 5.4.3.2.1 ou 8.7.6.5.4.3.2.1. Para estes casos é interessante<br />
adotar-se alguma <strong>no</strong>tação que simplifique este tipo <strong>de</strong> produto – surge então a <strong>no</strong>tação<br />
fatorial.<br />
Definimos fatorial <strong>de</strong> um número natural n 2 como sendo o produto <strong>de</strong> todos os<br />
números naturais <strong>de</strong> n até 1 – usamos a <strong>no</strong>tação n !. Logo:<br />
n! = n. (n-1).(n-2).(n-3)....3.2.1 n N, n 2<br />
Definimos também, para os casos n = 0 e n = 1, os valores:<br />
1! = 1 e 0! = 1<br />
Exemplos:<br />
a) 4! = 4.3.2.1 = 24<br />
b) 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320<br />
c) 6! = 6.5.4.3! = 120<br />
3! 3!<br />
Observação: consi<strong>de</strong>remos, por exemplo, o número 6!. Verificamos que 6! = 6.5! ou<br />
6.5.4! ou 6.5.4.3!. Ou ainda, generalizando, temos que: n! = n. (n-1)! = n.(n-1).(n-2)!. Tal<br />
artifício <strong>de</strong> expansão com fatoriais po<strong>de</strong> ser útil em vários casos, principalmente na<br />
resolução <strong>de</strong> equações com fatoriais. Vejamos um exemplo:<br />
Resolva a equação: (n+1)! = 30<br />
(n-1)!<br />
Desenvolvendo o numerador, teremos: (n+1).n(n-1)! = 30 ou ainda (n+1).n = 30.<br />
(n-1)!<br />
Estamos diante da equação quadrática n 2 + n – 30 = 0, cujas raízes são n = 5 ou<br />
n = -6 (não serve).<br />
2) Função Fatorial<br />
Da <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> fatorial é imediato que, dado um número natural n, existe e é único o<br />
número n!. Dessa forma po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir uma função f, <strong>de</strong> N em R, tal que f(x) = x!. Essa<br />
função é chamada função fatorial, seu domínio <strong>de</strong> <strong>de</strong>finição é o conjunto dos números<br />
naturais. Faça uma construção do gráfico <strong>de</strong>sta função. Ela é contínua?<br />
Verificamos que, para todo natural x 1, tem-se: f(x) = x . f(x – 1)<br />
Exemplos e questões propostas:<br />
1) Qual o domínio <strong>de</strong> <strong>de</strong>finição da função <strong>de</strong>finida por f(x) = (x – 3) !?<br />
Como sabemos que só está <strong>de</strong>finido fatorial <strong>de</strong> números naturais, teremos: x – 3 0,<br />
ou x 3. Logo, o domínio pedido será o conjunto: D(f) = {x N | x 3}.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 51<br />
2) Resolva a equação: x! = 24.<br />
Observe que equações do tipo x! = a, mesmo que a seja um número natural, muitas<br />
vezes terá solução vazia, já que a função f(x) = x! não é sobrejetora. No caso proposto,<br />
como 24 = 4!, teremos x! = 4!, o que acarreta a solução x = 4.<br />
3) Será a função f(x) = x! uma função injetora? Justifique a sua resposta.<br />
4) Por que os pontos obtidos <strong>no</strong> gráfico <strong>de</strong> f(x) = x! não foram “ligados”, formando-se<br />
uma curva?<br />
5) Resolva a equação: (n+1)! – n! = 17n<br />
(n –1)!<br />
6) Determine o domínio <strong>de</strong> <strong>de</strong>finição da função dada pela sentença: f(x) = (-x 2 + 1)!<br />
7) Verifique se fatorial <strong>de</strong> um número natural po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>finido da seguinte maneira:<br />
Dado um número n , seu fatorial é o número f(n) = n!, <strong>de</strong>finido por:<br />
f(n) = 1, se n = 0 ou f(n) = n.f(n – 1), se n é natural e n 1.<br />
8) Consi<strong>de</strong>rando ainda a função <strong>de</strong>finida <strong>no</strong> exercício anterior, mostre que:<br />
F(a + 2) – f(a + 1) = (a + 1). f(a + 1) = (a + 1) 2 . f(a), para todo a natural.<br />
3) PROBLEMAS DE CONTAGEM<br />
A) PERMUTAÇÕES SIMPLES<br />
Dados n objetos distintos: a 1<br />
, a 2<br />
, a 3<br />
, .... a n<br />
, cada or<strong>de</strong>nação obtida a partir <strong>de</strong>sses n<br />
objetos é <strong>de</strong><strong>no</strong>minada <strong>de</strong> uma permutação simples (porque todos são distintos) <strong>de</strong>sses<br />
elementos. Assim, como vimos anteriormente <strong>no</strong>s problemas <strong>de</strong> filas ou <strong>de</strong> anagramas, por<br />
exemplo, temos n modos <strong>de</strong> escolha para o primeiro lugar, n – 1 modos <strong>de</strong> escolha para o<br />
segundo lugar, ......1 modo <strong>de</strong> escolha para o último lugar, ou seja:<br />
O número <strong>de</strong> modos <strong>de</strong> or<strong>de</strong>nar n objetos distintos é igual a n!. Po<strong>de</strong>mos representar<br />
o número <strong>de</strong> permutações simples <strong>de</strong> n objetos distintos por P n<br />
. Logo, temos que:<br />
Exemplos:<br />
P n<br />
= n!<br />
1) Quantos são os anagramas da palavra FLAMENGO:<br />
a) Sem quaisquer restrições? - teremos neste caso que <strong>de</strong>terminar o<br />
número <strong>de</strong> permutações simples das 8 letras distintas <strong>de</strong>ssa palavra, ou<br />
seja: P 8<br />
= 8! = 40320 anagramas.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 52<br />
b) Que comecem por uma vogal e terminem por uma consoante? – teremos<br />
nesse caso 3 opções <strong>de</strong> escolha para a primeira letra da palavra, 5<br />
opções <strong>de</strong> escolha para a última letra e P 6<br />
= 6! = 720 para as <strong>de</strong>mais<br />
posições. Logo, aplicando o princípio fundamental da contagem, teremos<br />
um total <strong>de</strong> 3 . 5. 720 = 10 800 anagramas.<br />
c) Que tenham sempre juntas as letras A M, em qualquer or<strong>de</strong>m? Nesse<br />
caso, essas duas letras <strong>de</strong>vem ser consi<strong>de</strong>radas como se fossem uma<br />
única, acarretando a permutação <strong>de</strong> 7 elementos – as duas juntas e as 6<br />
letras restantes, ou seja 7! = 5040 anagramas. Mas como a or<strong>de</strong>m não<br />
foi dbefinida, elas po<strong>de</strong>rão também permutar entre si, gerando 2! = 2<br />
variações. Logo, aplicando <strong>no</strong>vamente o princípio fundamental da<br />
contagem, teremos um total <strong>de</strong> 50 040 x 2 = 10 080 anagramas.<br />
2) Roberta, André e Bernardo fazem <strong>parte</strong> <strong>de</strong> um grupo <strong>de</strong> 7 amigos. Obtenha o<br />
número <strong>de</strong> filas que po<strong>de</strong>mos formar com esses 7 amigos, <strong>de</strong> modo que:<br />
a) Roberta, André e Bernardo estejam sempre juntos? Agora, <strong>de</strong> forma<br />
análoga ao que vimos <strong>no</strong> exemplo anterior, basta que consi<strong>de</strong>remos<br />
esses três amigos como se ocupassem uma única posição na fila,<br />
teremos assim a permutação <strong>de</strong> 5 elementos – os três juntos e os 4<br />
restantes, ou seja 5! = 120 filas. Em seguida, como a or<strong>de</strong>m <strong>de</strong>les não foi<br />
<strong>de</strong>finida, multiplicamos o resultado obtido por 3! = 6, que representa as<br />
possíveis variações <strong>de</strong> posição entre eles. Logo, teremos um total <strong>de</strong> 120<br />
. 6 = 720 filas nas condições do problema.<br />
b) Roberta, André e Bernardo nunca estejam (os três) juntos na fila? Agora<br />
basta <strong>de</strong>terminarmos o totas <strong>de</strong> filas possíveis e subtrair o resultado<br />
obtido na pergunta anterior (Por que?), teremos então 7! – 720 = 4320<br />
anagramas.<br />
3) De quantos modos po<strong>de</strong>mos formar uma roda com 5 crianças?<br />
Devemos tomar um certo cuidado com esse tipo <strong>de</strong> problema, pois o resultado não é<br />
igual a 5! = 120 rodas, como po<strong>de</strong>ríamos pensar “apressadamente”. Verifique que a roda<br />
ABCDE, por exemplo, tem a mesma configuração que a roda EABCD, já que o que importa<br />
agora é a posição relativa das crianças entre si. Dessa forma cada roda po<strong>de</strong> ser virada <strong>de</strong><br />
5 modos que repetem a mesma configuração. Assim, o número <strong>de</strong> rodas distintas que<br />
po<strong>de</strong>mos obter será igual a 120 : 5 = 24 rodas.<br />
O exemplo acima é o que <strong>de</strong>finimos como sendo permutações circulares <strong>de</strong> n<br />
elementos. Se repetirmos o mesmo raciocínio que usamos <strong>no</strong> exemplo anterior, teremos<br />
que as permutações circulares <strong>de</strong> n elementos distintos serão iguais a:<br />
PC n<br />
= n ! = (n –1) !<br />
n<br />
4) Quantos são os anagramas da palavra AMORA?<br />
Esse é outro caso que <strong>de</strong>manda um certo cuidado. A resposta seria 5! = 120<br />
anagramas, caso todas as letras fossem distintas. Como temos duas letras A, é claro que<br />
uma permutação entre essas duas letras não geraria anagramas <strong>no</strong>vos. Assim sendo cada<br />
anagrama foi contado 2! = 2 vezes (que são as letras repetidas). Logo, o número correto <strong>de</strong><br />
anagramas é 120 : 2 = 60 anagramas.<br />
Problemas como esse é o que <strong>de</strong><strong>no</strong>minamos <strong>de</strong> Permutações com alguns<br />
elementos repetidos. No caso da palavra amora, indicaríamos por:<br />
2
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 53<br />
P 5<br />
= 5! = 60 anagramas.<br />
2!<br />
Analogamente, po<strong>de</strong>mos generalizar para P, , ...<br />
n<br />
= n ! .<br />
!.!...<br />
, , ... representam a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> repetições <strong>de</strong> cada um dos elementos<br />
repetidos.<br />
5) Quantos são os anagramas da palavra POROROCA?<br />
Temos uma aplicação direta da fórmula anterior, ou seja:<br />
3, 2<br />
P 8<br />
= 8! = 3 360 anagramas. (o 3 indica as letras O e o 2 indica as letras R).<br />
3! . 2!<br />
6) Essa é para você resolver. Quantos são os anagramas da palavra URUGUAI que<br />
começam por vogal?<br />
7) A figura abaixo representa uma seqüência <strong>de</strong> 6 símbolos.<br />
+ + + ^ ^ ^<br />
Quantas são as possíveis seqüências distintas que po<strong>de</strong>mos formar com esses<br />
símbolos?<br />
Perceba agora que estamos diante <strong>de</strong> permutações com alguns elementos repetidos,<br />
<strong>no</strong> caso, temos:<br />
3, 3<br />
P 6<br />
= 6! = 20 seqüências<br />
3!.3!<br />
B) ARRANJOS SIMPLES<br />
Dados n objetos distintos: a 1<br />
, a 2<br />
, a 3<br />
, .... a n<br />
, cada or<strong>de</strong>nação <strong>de</strong> p objetos (p
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 54<br />
Observe que, para ocupar o lugar da primeira vogal, temos 5 possibilida<strong>de</strong>s; por isso<br />
escrevemos 5 linhas na horizontal. A segunda vogal po<strong>de</strong> ser escolhida entre as 4 restantes;<br />
portanto, separamos quatro grupos em colunas verticais. Por fim, para a terceira vogal,<br />
po<strong>de</strong>mos escolher qualquer uma das três restantes. Indicando o número dos arranjos das 5<br />
vogais tomadas 3 a 3 por A 5,3 <strong>no</strong> total, teremos:<br />
A 5,3 = 5 X 4 X 3 = 60<br />
Este resultado confirma o que já fazíamos com o princípio fundamental da contagem<br />
(princípio multiplicativo).<br />
Enten<strong>de</strong>mos por arranjo os modos que po<strong>de</strong>mos posicionar os objetos em grupo.<br />
Uma alteração na or<strong>de</strong>m <strong>de</strong>terminará um <strong>no</strong>vo agrupamento.<br />
Exemplo 2: Quantas siglas, <strong>de</strong> três letras distintas, po<strong>de</strong>m ser formadas a partir das letras:<br />
A, B, C, D, E, F e G?<br />
Observe que você po<strong>de</strong>ria resolver esse problema usando o princípio fundamental<br />
da contagem (multiplicativo), e teria:<br />
7 escolhas para a primeira letra da sigla, 6 escolhas para a segunda (já que são<br />
letras distintas) e 5 possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> escolha para a terceira letra da sigla. Pelo princípio<br />
fundamental da contagem, teríamos: 7. 6. 5 = 210 siglas.<br />
Observe que as siglas fossem com todas as 7 letras, teríamos um caso <strong>de</strong><br />
permutações simples e o resultado seria 7!. Note que o resultado obtido <strong>no</strong> primeiro caso<br />
(arranjos simples), se for multiplicado por 4!, passará a dar como resultado o segundo caso<br />
(permutações simples). Logo, po<strong>de</strong>mos inferir que (A n,p<br />
). (n – p)! = P n<br />
.<br />
Ou seja:<br />
A n,p<br />
= n! .<br />
(n – p)!<br />
Exemplo 3: Dez cavalos disputam um páreo <strong>no</strong> Jockei Clube. Quantos são os possíveis<br />
trios para as três primeiras colocações nesta corrida?<br />
Solução:<br />
Trata-se <strong>de</strong> um caso <strong>de</strong> arranjos simples, <strong>de</strong> 10 elementos, na taxa 3, ou arranjos <strong>de</strong><br />
10, 3 a 3. Pelo que mostramos anteriormente, teremos:<br />
A 10,3<br />
= 10! = 10.9.8 = 720 possíveis trios <strong>de</strong> resultados.<br />
7!<br />
EXERCÍCIOS:<br />
1) Será que <strong>no</strong> número <strong>de</strong> arranjos simples <strong>de</strong> n elementos distintos, na taxa n, igual ao<br />
número <strong>de</strong> permutações simples, <strong>de</strong>sses mesmos n elementos? Justifique a sua<br />
resposta.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 55<br />
2) De um total <strong>de</strong> 11 romances e 3 dicionários <strong>de</strong>vem-se tirar 4 romances e 1 dicionário<br />
que serão arrumados numa prateleira <strong>de</strong> tal modo que o dicionário fique sempre <strong>no</strong><br />
meio. De quantos modos isso po<strong>de</strong>rá ser feito?<br />
3) 1 mulher e 5 homens <strong>de</strong>vem sentar-se num banco que possui 5 lugares. De quantas<br />
formas isso po<strong>de</strong>rá ser feito se a mulher <strong>de</strong>ve sempre estar sentada em algum<br />
lugar?<br />
4) Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, po<strong>de</strong>mos formar com os<br />
algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?<br />
5) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é<br />
marcado por uma seqüência <strong>de</strong> 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o<br />
cofre, quantas tentativas <strong>de</strong>verá fazer(<strong>no</strong> máximo) para conseguir abri-lo?<br />
1) Sim, pois A n,n<br />
= n! = n !<br />
0!<br />
2) 23 760 modos<br />
3) 600 modos<br />
4) 4 536 números<br />
5) 720 tentativas<br />
GABARITO<br />
ARRANJOS COM REPETIÇÃO<br />
Seja C um conjunto com m elementos distintos e consi<strong>de</strong>re p elementos escolhidos neste<br />
conjunto em uma or<strong>de</strong>m <strong>de</strong>terminada (repetidos ou não). Cada uma <strong>de</strong> tais escolhas é<br />
<strong>de</strong><strong>no</strong>minada um arranjo com repetição <strong>de</strong> m elementos tomados p a p. Acontece que<br />
existem m possibilida<strong>de</strong>s para a colocação <strong>de</strong> cada elemento, logo, o número total <strong>de</strong><br />
arranjos com repetição <strong>de</strong> m elementos escolhidos p a p é dado por m p . Indicamos isto por:<br />
Exemplos:<br />
AR<br />
m, p = mp<br />
a) Quantas são as siglas <strong>de</strong> três letras, escolhidas a partir das letras: A, B, C, D, E, F?<br />
Como dispomos <strong>de</strong> 6 letras, para escolher 3, teremos AR 6, 3<br />
= 6 3 = 216 siglas.<br />
b) De quantas maneiras diferentes po<strong>de</strong>mos respon<strong>de</strong>r a uma prova <strong>de</strong> múltiplaescolha,<br />
com 20 questões <strong>de</strong> 5 opções cada uma?<br />
Como temos 5 opções <strong>de</strong> escolha, para cada uma das 20 questões, teremos neste caso<br />
AR 5, 20<br />
= 5 20<br />
c) Quantas são as formas distintas <strong>de</strong> se preencher um volante da loteria esportiva,<br />
somente com palpites simples, sabendo-se que são 13 jogos e 3 opções <strong>de</strong> escolha<br />
para cada um?
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 56<br />
Agora temos 3 opções <strong>de</strong> escolha, para cada um dos 13 jogos, logo AR 3, 13<br />
= 3 13<br />
d) A senha <strong>de</strong> acesso a um jogo <strong>de</strong> computador consiste em quatro caracteres<br />
alfabéticos ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente alfabético. Qual o<br />
número <strong>de</strong> senhas possíveis?<br />
Como o primeiro caractere da senha é obrigatoriamente uma letra, teremos 26 opções<br />
<strong>de</strong> escolha. Para cada um dos três seguintes, teremos 36 opções <strong>de</strong> escolha (26 letras +<br />
10 algarismos), Logo, a resposta é: 26 x AR 36, 3<br />
= 26 x 36 3<br />
C) COMBINAÇÕES SIMPLES<br />
Dado um conjunto qualquer, com n elementos distintos, <strong>de</strong><strong>no</strong>minamos uma combinação<br />
simples com p elementos distintos, <strong>de</strong>sses n disponíveis, a qualquer subconjunto com p<br />
elementos, do conjunto dado. Indicamos essas combinações, <strong>de</strong> n elementos na taxa p, por<br />
<br />
C<br />
n,p , <br />
n p<br />
C <br />
n<br />
ou (forma bi<strong>no</strong>mial)<br />
p <br />
Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não<br />
importando a or<strong>de</strong>m em que os elementos são colocados.<br />
Exemplo:<br />
No conjunto E= {a,b.c,d} po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar:<br />
a) combinações <strong>de</strong> taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.<br />
b) combinações <strong>de</strong> taxa 3: abc, abd,acd,bcd.<br />
c) combinações <strong>de</strong> taxa 4: abcd.<br />
Observe que enquanto dois arranjos po<strong>de</strong>m se distinguir pela or<strong>de</strong>m ou pela natureza<br />
<strong>de</strong> seus elementos, duas combinações só se distinguem pela natureza <strong>de</strong> seus<br />
elementos.<br />
Contagem do Número <strong>de</strong> Combinações<br />
Consi<strong>de</strong>remos o conjunto A = {a, b, c, d}. Vimos que as combinações três a três que se<br />
po<strong>de</strong>m formar com os quatro elementos <strong>de</strong> B são: abc, abd, acd, bcd. Permutando <strong>de</strong> todas<br />
as formas possíveis os três elementos <strong>de</strong> cada combinação, obtemos os arranjos simples <strong>de</strong><br />
quatro elementos três a três, como indica o quadro:<br />
abc abd acd bcd<br />
abc abd acd bcd<br />
acb adb adc bdc<br />
bac bad cda cdb<br />
bca bda cad cbd<br />
cab dab dac dbc<br />
cba dba dca dcb
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 57<br />
Cada combinação gera, como vemos, 3! = 6 arranjos. Portanto, as quatro combinações<br />
geram 4 x 6 = 24 arranjos. Nesta igualda<strong>de</strong>, 4 é o número <strong>de</strong> combinações e<br />
24 é o número <strong>de</strong> arranjos.<br />
Indicando por C4,<br />
3 o número <strong>de</strong> combinações <strong>de</strong> 4 elementos 3 a 3, vale, portanto, a<br />
relação:<br />
C4 ,3x3!<br />
= A<br />
4,3<br />
ou C4,3<br />
=<br />
Usando esse mesmo raciocínio, po<strong>de</strong>remos generalizar que:<br />
C<br />
A<br />
n,p<br />
n ,p<br />
= =<br />
p!<br />
A<br />
3!<br />
n!<br />
(n - p)!.p!<br />
Exemplo a: Sete pontos pertencem a um círculo. Quantos triângulos são <strong>de</strong>finidos por<br />
esses pontos?<br />
4,3<br />
Solução: Vejamos um dos possíveis triângulos – triângulo AFB - Se trocarmos a or<strong>de</strong>m <strong>de</strong><br />
seus vértices, consi<strong>de</strong>rando por exemplo o triângulo FBA, <strong>no</strong>tamos que trata-se do mesmo<br />
triângulo, logo é um problema <strong>de</strong> combinações simples.<br />
Teremos então<br />
C , 3<br />
7! 7.6.5.4!<br />
=<br />
4!.3! 4!.6<br />
7<br />
=<br />
=<br />
35 triângulos<br />
Exemplo b: Quantos grupos <strong>de</strong> três pessoas po<strong>de</strong>m ser selecionados <strong>de</strong> um conjunto <strong>de</strong><br />
oito pessoas ?<br />
Solução: Também nesse caso, em qualquer grupo <strong>de</strong> três pessoas que formarmos, a or<strong>de</strong>m<br />
das pessoas não influenciará na formação do mesmo, também teremos um caso <strong>de</strong><br />
combinações simples. Ou seja,<br />
C , 3<br />
8!<br />
=<br />
5!.3!<br />
8.7.6.5!<br />
5!.6<br />
8<br />
=<br />
=<br />
56 grupos<br />
Exemplo c: Num pla<strong>no</strong>, marcam-se doze pontos dos quais seis estão em linha reta.<br />
Quantos triângulos po<strong>de</strong>m ser formados unindo-se três quaisquer <strong>de</strong>sses doze pontos?<br />
Solução: É uma questão semelhante a do exemplo a, também <strong>de</strong> combinações simples,<br />
sendo que, pelo fato <strong>de</strong> termos seis pontos alinhados, as combinações <strong>de</strong>sses seis pontos,<br />
três a três, não <strong>de</strong>finirão triângulos. Sendo assim, po<strong>de</strong>remos calcular o total <strong>de</strong><br />
combinações <strong>de</strong>sses 12 pontos, três a três e subtrair as que não formam triângulos, ou seja<br />
a combinação dos 6 pontos alinhados, três a três. Assim sendo, a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> triângulos<br />
que po<strong>de</strong>rão ser formados com os 12 pontos será:<br />
12! 6! 12.11.10.9! 6.5.4.3!<br />
C12 ,3<br />
C6,<br />
3<br />
= - =<br />
= 220 20 = 200 triângulos<br />
9!.3! 3!.3! 9!.3! 3!.3!<br />
Exemplo d: Qual o número <strong>de</strong> diagonais <strong>de</strong> um polígo<strong>no</strong> convexo <strong>de</strong> n lados ?<br />
Solução: Ainda nesse caso, temos combinações simples, já que a diagonal AB, por<br />
exemplo, é a mesma da diagonal BA. Verifique também que teremos que fazer uma<br />
subtração, já que unindo-se, dois a dois, os vértices <strong>de</strong> um polígo<strong>no</strong> convexo, po<strong>de</strong>remos ter<br />
diagonais ou lados <strong>de</strong>sse polígo<strong>no</strong>. Como queremos obter a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> diagonais,<br />
vamos calcular o total <strong>de</strong> segmentos possíveis e subtrair a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> lados. Logo,<br />
teremos:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 58<br />
Solução:<br />
n!<br />
Cn,2<br />
n =<br />
(n 2)!.2!<br />
- n<br />
n.(n - 1).(n - 2)! n.(n 1) n<br />
=<br />
n = n =<br />
(n 2)!.2!<br />
2<br />
2<br />
n 2n<br />
2<br />
n.(n 3)<br />
= diagonais<br />
2<br />
OBS: VERIFIQUE QUE OBTIVEMOS EXATAMENTE A VELHA FÓRMULA QUE<br />
ENSINAMOS NA 7ª SÉRIE DO FUNDAMENTAL, PARA O CÁLCULO DA QUANTIDADE<br />
DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO.<br />
Exemplo e: Uma urna contém 12 bolas das quais 7 são vermelhas e 5 são brancas.<br />
De quantos modos po<strong>de</strong>m ser tiradas 6 bolas das quais 2 são brancas?<br />
Solução: Estamos <strong>no</strong>vamente diante <strong>de</strong> um caso <strong>de</strong> combinações simples (verifique) e,<br />
como queremos retirar 6 bolas, sendo 2 brancas, é lógico que as outras 4 <strong>de</strong>verão ser<br />
vermelhas.<br />
Teremos então que retirar 4, das 7 vermelhas disponíveis e retirar 2 das 5 brancas<br />
disponíveis. Como são fatos simultâneos, os dois resultados <strong>de</strong>verão ser multiplicados<br />
(princípio fundamental da contagem).<br />
7! 5!<br />
7 ,4x C5,<br />
= x = 35 x 10 = 350<br />
3!.4! 3!.2!<br />
C<br />
2<br />
modos.<br />
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (COMBINAÇÕES SIMPLES):<br />
1) De um grupo <strong>de</strong> 7 professores e 10 alu<strong>no</strong>s quantas comissões compostas <strong>de</strong> 2<br />
professores e 4 alu<strong>no</strong>s é possível formar?<br />
2) Tomando-se 8 pontos sobre uma circunferência, quantos segmentos <strong>de</strong> reta, com<br />
extremida<strong>de</strong>s nestes pontos, ficam <strong>de</strong>terminados?<br />
3) Numa assembléia <strong>de</strong> quarenta cientistas, oito são físicos. Quantas comissões <strong>de</strong><br />
cinco membros po<strong>de</strong>m ser formadas incluindo <strong>no</strong> mínimo um físico?<br />
4) Proprieda<strong>de</strong>s: Mostre que:<br />
a) C<br />
n,0<br />
= 1<br />
b) C<br />
n,n<br />
= 1<br />
c) C<br />
n,p<br />
= C<br />
n,<br />
n - p<br />
5) Seis homens e três mulheres inscreveram-se para trabalhar com me<strong>no</strong>res carentes<br />
num projeto da prefeitura local, mas serão escolhidos apenas 5 participantes. De<br />
quantas formas po<strong>de</strong>mos escolher a equipe <strong>de</strong> modo que haja sempre, pelo me<strong>no</strong>s<br />
uma mulher?<br />
6) Quantas partidas foram disputadas em um campeonato <strong>de</strong> futebol, disputado em um<br />
só tur<strong>no</strong> (isto é, dois times se enfrentaram uma única vez), do qual participam 16<br />
times?<br />
7) Uma equipe <strong>de</strong> inspeção tem um chefe, escolhido entre 4 engenheiros e 10 técnicos,<br />
escolhidos entre 15 outros profissionais. De quantas maneiras po<strong>de</strong> ser composta<br />
essa equipe?<br />
8) Qual o número <strong>de</strong> subconjuntos com 2, 3 ou 4 elementos que tem um conjunto <strong>de</strong> 9<br />
elementos?
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 59<br />
9) É dado um conjunto E, <strong>de</strong> 10 elementos. Quantos subconjuntos <strong>de</strong> E não são<br />
conjuntos <strong>de</strong> 4 elementos?<br />
10) Duas retas r e s são paralelas. Existem 4 pontos marcados sobre r e outros 5 pontos,<br />
marcados sobre s. Quantos são os triângulos que po<strong>de</strong>m ser construídos unindo-se<br />
3 <strong>de</strong>sses 9 pontos?<br />
11) Com 7 cardiologistas e 6 neurologistas que trabalham num hospital, quer-se formar<br />
uma junta médica <strong>de</strong> 5 elementos. Quantas juntas po<strong>de</strong>m ser formadas se <strong>de</strong>vem<br />
sempre participar 3 cardiologistas e 2 neurologistas?<br />
12) De quantos modos po<strong>de</strong>mos escolher 6 pessoas, incluindo pelo me<strong>no</strong>s duas<br />
mulheres, em um grupo <strong>de</strong> 7 homens e 4 mulheres?<br />
13) Quantas saladas, contendo exatamente 4 frutas po<strong>de</strong>mos formar se dispomos <strong>de</strong> 10<br />
frutas diferentes?<br />
GABARITO<br />
01) 4410 02) 28 03) 456 632<br />
04) Aplicação direta<br />
da fórmula,<br />
lembrando que 0! = 1<br />
05) 120<br />
06) 120 07) 12012 08) 246 09) 814 10) 70<br />
11) 525 12) 371 13) 210<br />
3) COMPLEMENTOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA<br />
A) OS LEMAS DE KAPLANSKY<br />
Você vai estudar agora uma ferramenta importante do cálculo combinatório e que não<br />
costuma estar presente na maioria dos textos sobre o assunto.<br />
Observe as seguintes questões...<br />
• 3 Provas <strong>de</strong> um concurso <strong>de</strong>vem ser realizadas na primeira semana do a<strong>no</strong>. De<br />
quantos modos é possível escolher os dias <strong>de</strong> provas, <strong>de</strong> modo que não haja<br />
provas em dias consecutivos?<br />
• Dado um icoságo<strong>no</strong>, quantos são os triângulos que po<strong>de</strong>m ser construídos, a partir<br />
<strong>de</strong> vértices não consecutivos <strong>de</strong>sse icoságo<strong>no</strong>?<br />
• Quantos são os anagramas da palavra araraquara que não possuem duas letras a<br />
consecutivas?<br />
VOCÊ CONSEGUE PERCEBER AS SEMELHANÇAS EXISTENTES NAS TRÊS<br />
QUESTÕES PROPOSTAS ACIMA?<br />
Existem dois teoremas (Lemas <strong>de</strong> Kaplansky) que enunciaremos a seguir e que <strong>no</strong>s<br />
permitirão resolver questões semelhantes a que estão propostas.<br />
Lema 1)<br />
De quantos modos é possível formar um p-subconjunto (isto é um subconjunto com p<br />
elementos), a partir do conjunto {1, 2, 3, ...,n}, <strong>no</strong> qual não haja números consecutivos?
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 60<br />
Por exemplo, se o conjunto fosse {1, 2, 3, 4, 5, 6}, teríamos 4 opções <strong>de</strong> formarmos 3-<br />
subconjuntos on<strong>de</strong> não existiriam números consecutivos. Seriam os seguintes subconjuntos:<br />
{1, 3, 5} {1, 3, 6} {1, 4, 6} {2, 4, 6}<br />
É lógico que este processo <strong>de</strong> enumeração é exaustivo e nada prático, então, vamos<br />
<strong>de</strong>monstrar que o número <strong>de</strong> p-subconjuntos, sem que hajam elementos consecutivos, a<br />
partir do conjunto {1, 2, 3, ...,n} é:<br />
f ( n,<br />
p)<br />
= C n p + 1, p<br />
Para facilitar o entendimento da fórmula, vamos usar a <strong>no</strong>tação para os elementos que<br />
farão <strong>parte</strong> do p-subconjunto e a <strong>no</strong>tação para os que não farão <strong>parte</strong> <strong>de</strong>le.<br />
Para o exemplo dado, com um conjunto <strong>de</strong> 6 elementos e subconjuntos <strong>de</strong> 3 elementos,<br />
teríamos 3 símbolos e 3 símbolos e que, em cada subconjunto não po<strong>de</strong>riam estar<br />
seguidos.<br />
Para o subconjunto {1, 3, 5}, a simbologia respectiva seria: <br />
Devemos perceber que, para 6 elementos, ficam <strong>de</strong>finidos 7 posições possíveis (n + 1),<br />
fixando os 3 lugares que seriam preenchidos pelos elementos que não farão <strong>parte</strong> do 3-<br />
subconjunto, sobrariam 4 posições (n – p +1) para serem escolhidas 3 para serem<br />
preenchidas pelos que farão <strong>parte</strong> do p-subconjunto.<br />
<br />
Note que, se temos 3 elementos que não vão participar do p-subconjunto, temos 3 + 1<br />
(n – p +1) posições para serem ocupadas pelos outros 3 elementos, que farão <strong>parte</strong> do<br />
subconjunto. Logo, em <strong>no</strong>sso exemplo, temos uma única posição para os não participantes<br />
() e C 4,3<br />
para os participantes () do 3-subconjunto.<br />
Então, generalizando, teremos a fórmula apresentada:<br />
f<br />
( n,<br />
p)<br />
= C n p + 1, p<br />
Então, o enunciado do Lema 1 é: O número <strong>de</strong> p-subconjuntos <strong>de</strong> {1, 2, 3, ....,,n} <strong>no</strong>s<br />
quais não há números consecutivos é: f n,<br />
p)<br />
( = C n p + 1, p<br />
APLICAÇÕES:<br />
1) As três provas <strong>de</strong> um vestibular <strong>de</strong>vem ser realizadas na primeira semana do a<strong>no</strong>. De<br />
quantos modos é possível escolher os dias das provas, <strong>de</strong> modo que não haja provas<br />
em dias consecutivos?<br />
Solução:<br />
O que se <strong>de</strong>seja é a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 3-subconjuntos, a partir <strong>de</strong> um conjunto <strong>de</strong> 7 elementos<br />
(os dias da semana) e <strong>de</strong> forma que não existam elementos consecutivos.<br />
É uma aplicação imediata do 1º Lema <strong>de</strong> Kaplansky, e, aplicando a fórmula <strong>de</strong>monstrada,<br />
teremos: f ( 7, 3) = C 5 , 3<br />
= 10<br />
2) Uma fila <strong>de</strong> cinema tem 15 ca<strong>de</strong>iras e <strong>de</strong>vem sentar-se 15 alu<strong>no</strong>s <strong>de</strong> um Colégio. De<br />
quantos modos isso po<strong>de</strong>rá ser feito, sabendo que os 5 rapazes do grupo não <strong>de</strong>sejam<br />
estar em ca<strong>de</strong>iras contíguas?<br />
Solução:<br />
Em primeiro lugar, <strong>de</strong>vemos aferir os modos <strong>de</strong> escolha das 5 ca<strong>de</strong>iras, sem que existam<br />
ca<strong>de</strong>iras consecutivas para esses rapazes. De acordo com o 1º Lema <strong>de</strong> Kaplansky,
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 61<br />
teremos: f ( 15, 5) = C 11 , 5<br />
= 462 . Escolhidas as 5 ca<strong>de</strong>iras a serem ocupadas pelos<br />
rapazes, <strong>de</strong>vemos <strong>de</strong>signar um homem para cada uma <strong>de</strong>las, e isso po<strong>de</strong>rá ser feito <strong>de</strong> 5!<br />
modos distintos. Logo, a resposta final do problema será: 462 . 5! = 55 440 modos distintos.<br />
3) Quantos são os anagramas da palavra MISSISSIPI <strong>no</strong>s quais não há duas letras S<br />
consecutivas?<br />
Solução:<br />
Essas letras <strong>de</strong>verão ocupar uma das casas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . Devemos<br />
agora escolher 4 casas sem que haja casas consecutivas para colocar as letras S, o que<br />
= C 35 modos<br />
C10 4<br />
=<br />
po<strong>de</strong> ser feito <strong>de</strong> f(10,4) (Lema 1) = 4+<br />
1, 4 7,<br />
. Em seguida, <strong>de</strong>vemos<br />
arrumar as 6 letras restantes (4 I, 1 M e 1 P) nas 6 casas restantes, o que é um caso <strong>de</strong><br />
6!<br />
permutações com elementos repetidos P 4 6<br />
= = 30 modos. Logo, o número <strong>de</strong><br />
4!<br />
anagramas pedido será igual a 35 x 30 = 1050 anagramas.<br />
Lema 2) O número <strong>de</strong> p-subconjuntos <strong>de</strong> {1, 2, 3, ... n} <strong>no</strong>s quais não há números<br />
consecutivos, consi<strong>de</strong>rando que 1 e n são consecutivos é:<br />
f<br />
n<br />
=<br />
n p<br />
2<br />
( n,<br />
p)<br />
C n p , p<br />
Para esse segundo caso, fica mais fácil imaginar que os n elementos do conjunto estejam<br />
arrumados em círculo, como na figura abaixo (1 e n serão consecutivos)<br />
Faremos a <strong>de</strong>monstração do segundo lema, consi<strong>de</strong>rando o número total <strong>de</strong> p-subconjuntos<br />
on<strong>de</strong> figure o 1, somados com o número <strong>de</strong> p-subconjuntos on<strong>de</strong> não figure o 1.<br />
Caso A) Número <strong>de</strong> subconjuntos que incluem o 1 – Devemos neste caso, escolher p – 1<br />
elementos <strong>no</strong> conjunto {3, 4, 5, ....., n – 1}, pois, se o 1 entra, não entrarão o 2 nem o n, para<br />
serem companheiros do 1, em cada subconjunto, sem que hajam elementos consecutivos.<br />
f ( n 3, p -1) = C n <br />
= C<br />
<br />
Aplicando o Lema 1, teremos: 3(<br />
p1)<br />
+ 1, p-1 n<br />
p1,<br />
p 1<br />
Caso B) Número <strong>de</strong> subconjuntos <strong>no</strong>s quais o elemento 1 não figura. Para formá-los<br />
<strong>de</strong>vemos escolher p elementos em {2, 3, 4, ...., n}, não po<strong>de</strong>ndo ser escolhidos elementos<br />
consecutivos. Aplicando <strong>no</strong>vamente o Lema 1, teremos: f ( n 1,<br />
p) = C n 1<br />
p+<br />
1, p<br />
= Cn<br />
p,<br />
p<br />
Logo, o resultado procurado será a soma das duas respostas obtidas (confirme!), que <strong>no</strong>s<br />
remete à fórmula do Lema 2:<br />
APLICAÇÃO:<br />
n-1<br />
<br />
n<br />
<br />
f<br />
1<br />
2<br />
<br />
n<br />
p<br />
...<br />
<br />
3<br />
<br />
n<br />
n p<br />
2<br />
( , ) = C n p , p
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 62<br />
1) Ana <strong>de</strong>ve ter aula <strong>de</strong> tênis três vezes por semana, durante um semestre. Quantos são os<br />
modos <strong>de</strong> escolher os dias <strong>de</strong> aula, se Ana não <strong>de</strong>seja ter aulas em dias consecutivos?<br />
Solução:<br />
Ana <strong>de</strong>ve escolher 3 dos elementos do conjunto {domingo, segunda-feira, terça-feira,<br />
quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}, não po<strong>de</strong>ndo escolher dois dias consecutivos<br />
e sendo domingo e sábado dias consecutivos.<br />
De acordo com o Lema 2, teremos o seguinte número <strong>de</strong> modos:<br />
f<br />
7<br />
( 7, 3 ) = C73 , 3<br />
7 3<br />
7<br />
= . 4<br />
4<br />
2<br />
=<br />
7<br />
B) COMBINAÇÕES COMPLETAS OU COM REPETIÇÃO<br />
Responda à pergunta: De quantos modos é possível comprar 3 sorvetes em uma loja<br />
que os oferece em 5 sabores?<br />
Normalmente somos levados a respon<strong>de</strong>r que a solução é C 5 , 3<br />
= 10 . Esta<br />
resposta não está correta. Ela estaria certa caso a pergunta fosse: De quantos modos<br />
po<strong>de</strong>mos escolher 3 sorvetes diferentes, em uma loja que os oferece em 5 sabores? Essas<br />
10 possibilida<strong>de</strong>s representam as combinações simples <strong>de</strong> 5 elementos, tomados 3 a 3.<br />
Na questão apresentada, a resposta correta seria CR<br />
5, 3<br />
, que são as combinações<br />
completas <strong>de</strong> 5 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, nesse caso admitiríamos a hipótese da<br />
pessoa escolher sabores repetidos. O cálculo das combinações completas, que veremos a<br />
seguir, seguirá um raciocínio que já vimos anteriormente, ao estudarmos as permutações<br />
com elementos repetidos.<br />
Para que possamos enten<strong>de</strong>r melhor o <strong>no</strong>sso problema inicial, vamos supor que a<br />
loja oferecesse os sabores: manga, abacaxi, goiaba, cereja e limão. Nas combinações<br />
simples, <strong>de</strong>sses 5 sabores, tomados 3 a 3, só teríamos composições do tipo: manga,<br />
abacaxi, goiaba ou goiaba, cereja, limão ou abacaxi, goiaba, limão, etc...Como se po<strong>de</strong><br />
perceber, essa opção das combinações completas dará um resultado maior que na primeira,<br />
que gerou 10 possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> escolha.<br />
Po<strong>de</strong>mos encarar a solução do problema das combinações completas da escolha <strong>de</strong><br />
3 sabores (distintos ou não), numa loja que oferece 5 opções <strong>de</strong> escolha, como sendo as<br />
soluções inteiras e não negativas da equação:<br />
x + x<br />
2<br />
+ x<br />
3<br />
+ x<br />
4<br />
+ x<br />
5<br />
1<br />
=<br />
Temos, portanto, 5 variáveis que representam a quantida<strong>de</strong> comprada, <strong>de</strong> cada um<br />
dos sabores oferecidos.<br />
Se você retornar à página 17 <strong>de</strong> <strong>no</strong>sso curso, verificará que já mostramos uma<br />
solução para esse problema, através <strong>de</strong> permutações com alguns elementos repetidos. Na<br />
ocasião, vimos que a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> soluções inteiras e não negativas <strong>de</strong> uma equação do<br />
n 1, p<br />
tipo: x1 + x2<br />
+ x3<br />
+ ... + ...xn<br />
= p era dado por P n 1+<br />
p .<br />
3,4 7!<br />
No <strong>no</strong>sso exemplo da sorveteria, teremos então CR5 ,3<br />
= P7<br />
= = 35.<br />
3!.4!<br />
3
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 63<br />
Po<strong>de</strong>mos então concluir, sobre as combinações completas <strong>de</strong> n elementos, p a p.<br />
CR n , p<br />
=<br />
P<br />
n 1, p<br />
n1+<br />
p<br />
=<br />
(n -1+<br />
p)!<br />
(n 1)!. p !<br />
Exemplos:<br />
1) De quantos modos po<strong>de</strong>mos comprar 4 salgadinhos em uma lanchonete que oferece<br />
7 opções <strong>de</strong> escolha <strong>de</strong> salgadinhos?<br />
Solução: Pelo que vimos anteriormente, teremos que <strong>de</strong>terminar a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
soluções inteiras e não negativas <strong>de</strong> uma equação do tipo:<br />
+ x + x + x + x + x + x 4 . A solução, como mostramos, será dada por:<br />
x1 2 3 4 5 6 7<br />
=<br />
6,4 10 !<br />
CR7 , 4<br />
= P10<br />
= = 210.<br />
6!.4!<br />
2) Po<strong>de</strong>ndo escolher entre 5 tipos <strong>de</strong> queijo e 4 marcas <strong>de</strong> vinho, <strong>de</strong> quantos modos é<br />
possível fazer um pedido num restaurante, com duas qualida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> queijo e 3<br />
garrafas <strong>de</strong> vinho?<br />
Solução: temos que escolher os dois tipos <strong>de</strong> queijo, entre os 5 disponíveis (distintos<br />
4,2 6 !<br />
ou não). Isto será igual a CR5 , 2<br />
= P6<br />
= = 15.<br />
Em seguida, temos que escolher<br />
4!.2!<br />
3,3 6 !<br />
3 garrafas entre os 4 vinhos disponíveis, ou seja, CR<br />
4 , 3<br />
= P6<br />
= = 20.<br />
Logo, o<br />
3!.3!<br />
número <strong>de</strong> pedidos <strong>de</strong> queijo e vinho, da acordo como proposto na questão, será<br />
dado por 15 x 20 = 300.<br />
C) PRINCÍPIO DAS GAVETAS – DIRICHLET<br />
Na análise combinatória muitas vezes somos levados a muito mais do que simplesmente<br />
contar os elementos <strong>de</strong> conjuntos ou seqüências. Em algumas ocasiões o que se preten<strong>de</strong> é<br />
verificar a existência, ou não, <strong>de</strong> conjuntos que satisfaçam a <strong>de</strong>terminadas proprieda<strong>de</strong>s.<br />
Uma importante ferramenta para essas situações é o princípio das gavetas <strong>de</strong> Dirichlet<br />
(1805 – 1859, matemático alemão).<br />
PRINCÍPIO DAS GAVETAS - Se dispomos <strong>de</strong> n objetos para colocar em, <strong>no</strong> máximo, n –<br />
1, gavetas, então ao me<strong>no</strong>s uma <strong>de</strong>las conterá pelo me<strong>no</strong>s dois objetos.<br />
Prova (por absurdo) – se cada uma das gavetas contiver, <strong>no</strong> máximo, 1 objeto, o número<br />
total <strong>de</strong> objetos colocados será igual a n – 1, o que contraria a hipótese <strong>de</strong> dispormos <strong>de</strong> n<br />
objetos. Logo, em uma das gavetas pelo me<strong>no</strong>s teremos que colocar 2 objetos, ao me<strong>no</strong>s.<br />
EXEMPLOS:<br />
1) Em um grupo <strong>de</strong> k pessoas, pelo me<strong>no</strong>s duas <strong>de</strong>las terão <strong>de</strong> aniversariar <strong>no</strong> mesmo<br />
mês, <strong>de</strong> acordo com o princípio das gavetas <strong>de</strong> Dirichlet, qual <strong>de</strong>ve ser o me<strong>no</strong>r valor<br />
<strong>de</strong> k?<br />
Solução:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 64<br />
Como são 12 os meses do a<strong>no</strong> e queremos o valor mínimo <strong>de</strong> k, teremos, pelo princípio<br />
das gavetas que k <strong>de</strong>verá ser igual a 13.<br />
2) Quantas pessoas <strong>de</strong>vemos tomar, em um grupo, <strong>no</strong> mínimo, <strong>de</strong> modo a que<br />
possamos garantir que duas <strong>de</strong>las nasceram <strong>no</strong> mesmo dia da semana?<br />
Solução:<br />
Analogamente ao caso anterior, como são 7 os dias da semana, <strong>de</strong>vemos ter um<br />
mínimo <strong>de</strong> oito pessoas <strong>no</strong> grupo (7 + 1)<br />
3) Quantas pessoas <strong>de</strong>vemos tomar, em um grupo, <strong>no</strong> mínimo, <strong>de</strong> modo a que<br />
possamos garantir que três <strong>de</strong>las nasceram <strong>no</strong> mesmo dia da semana?<br />
Solução:<br />
Temos agora a proposta <strong>de</strong> que possamos garantir que três <strong>de</strong>ssas pessoas<br />
nasceram <strong>no</strong> mesmo dia da semana. Teremos nesse caso um mínimo <strong>de</strong> 15 pessoas (2<br />
x 7 + 1)<br />
4) Em uma caixa há 12 meias brancas e 12 meias pretas. Quantas meias <strong>de</strong>vemos<br />
retirar, ao acaso, <strong>no</strong> mínimo, para que possamos garantir que retiramos um par <strong>de</strong><br />
meias <strong>de</strong> mesma cor?<br />
Solução:<br />
As quantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> meias que estão registradas nesse exemplo só servem para <strong>no</strong>s<br />
confundir, pois se queremos obter um par <strong>de</strong> meias <strong>de</strong> mesma cor, teremos que retirar<br />
<strong>no</strong> mínimo três meias, já que só existem duas cores distintas.<br />
5) Qual o número mínimo <strong>de</strong> pessoas que <strong>de</strong>ve haver em um grupo para que<br />
possamos garantir que nele haja, pelo me<strong>no</strong>s, 5 pessoas nascidas <strong>no</strong> mesmo mês?<br />
Solução:<br />
Devemos ter nesse grupo um mínimo <strong>de</strong> 49 pessoas, pois nesse caso, até 48<br />
pessoas ainda não po<strong>de</strong>ríamos garantir que 5 <strong>de</strong>las teriam nascido <strong>no</strong> mesmo mês,<br />
12 meses x 4 = 48 pessoas.<br />
EXERCÍCIOS GERAIS – MATEMÁTICA COMBINATÓRIA<br />
Até agora estudamos vários tópicos importantes da Matemática Combinatória.<br />
Todos esses tópicos vieram acompanhados <strong>de</strong> exemplos ilustrativos e exercícios<br />
propostos. Vamos agora, antes <strong>de</strong> continuarmos <strong>no</strong>sso estudo, resolver uma série <strong>de</strong><br />
exercícios sobre todos os tópicos já estudados, a saber: Princípio Fundamental da<br />
Contagem, Arranjos, Combinações e Permutações Simples, Arranjos, Permutações e<br />
Combinações com Repetição e Lemas <strong>de</strong> Kaplansky.<br />
Todos os exercícios virão com os respectivos gabaritos e você <strong>de</strong>ve, sempre que<br />
necessário, recorrer à teoria contida na apostila para tirar as suas dúvidas.<br />
1) Dez estudantes prestam um concurso. De quantas maneiras po<strong>de</strong> ser composta<br />
a lista dos 4 primeiros colocados?<br />
2) Quantos são os subconjuntos, com 5 elementos, do conjunto {a, b, c, d, e, f, g},<br />
sendo que em cada subconjunto a e b estejam sempre presentes?<br />
3) Ainda com relação ao problema anterior, quantos são os subconjuntos <strong>de</strong> 5<br />
elementos, do conjunto dado, aos quais não pertençam os elementos a e b?<br />
4) Sete pessoas, entre elas José e Pedro, estão reunidas para formar uma chapa<br />
com presi<strong>de</strong>nte, secretário, segundo-secretário e tesoureiro para concorrer às<br />
eleições <strong>de</strong> um clube. Determine em quantas das possíveis chapas:<br />
a) José é o presi<strong>de</strong>nte e Pedro é o tesoureiro<br />
b) José não é o presi<strong>de</strong>nte e Pedro não é o tesoureiro.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 65<br />
5) Um <strong>de</strong>putado quer convocar 5 entre 8 políticos <strong>de</strong> seu grupo para uma reunião.<br />
No entanto, dois <strong>de</strong>sses políticos têm forte rixa pessoal. De quantos modos po<strong>de</strong><br />
ser feita a convocação <strong>de</strong> maneira que não compareçam simultaneamente os<br />
dois citados?<br />
6) De quantas maneiras diferentes uma família <strong>de</strong> 4 pessoas po<strong>de</strong> pedir almoço (um<br />
prato para cada pessoa), em um restaurante que oferece 8 tipos <strong>de</strong> pratos?<br />
7) Quantas são as funções injetoras que po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir do conjunto A, com 5<br />
elementos, <strong>no</strong> conjunto B, com 8 elementos?<br />
8) Os conjuntos E e F têm, respectivamente, 4 e 10 elementos. Quantas são as<br />
funções, <strong>de</strong> E em F, que não são injetoras?<br />
9) Escrevendo-se em or<strong>de</strong>m crescente a lista <strong>de</strong> todos os números <strong>de</strong> 5 algarismos<br />
distintos, formados com os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9, que lugar ocupa o número<br />
78 695?<br />
10) Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 formam-se todos os números <strong>de</strong> 5 algarismos<br />
distintos possíveis. Determine a soma <strong>de</strong> todos esses números.<br />
11) Quantos são os anagramas da palavra BUTANOL, que apresentam a sílaba TO?<br />
12) Quantos são os anagramas da palavra BARBARIDADE?<br />
13) O diagrama abaixo representa algumas ruas <strong>de</strong> uma cida<strong>de</strong>. De quantos modos<br />
uma pessoa po<strong>de</strong> dirigir-se do ponto A ao ponto B, utilizando-se sempre dos<br />
caminhos mais curtos (uma unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> quadradinho <strong>de</strong> cada vez, horizontal ou<br />
vertical)?<br />
B<br />
A<br />
14) Resolva a equação:<br />
(x + 4)! + (x + 2)!<br />
=<br />
3.[(x + 3)]!<br />
7<br />
6<br />
15) Quantas são as soluções inteiras e não negativas da equação abaixo?<br />
x + y + z + w + g + p = 5<br />
16) Quantos são os números inteiros, maiores que 4000 e me<strong>no</strong>res que 9000,<br />
formados por algarismos distintos e que são múltiplos <strong>de</strong> 5?<br />
17) Aninha <strong>de</strong>ve freqüentar a aca<strong>de</strong>mia <strong>de</strong> musculação duas vezes por semana,<br />
durante todo o a<strong>no</strong>. Quantos são os modos <strong>de</strong>la escolher os dias <strong>de</strong> suas aulas<br />
se não <strong>de</strong>seja ter aulas em dias consecutivos?
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 66<br />
18) Se os telefones <strong>de</strong> uma certa vila <strong>de</strong>vem ter números <strong>de</strong> 5 algarismos, todos<br />
começando com 23 e todos múltiplos <strong>de</strong> 5, então o número máximo <strong>de</strong> telefones<br />
que a vila po<strong>de</strong> ter é:<br />
19) 12 professores, sendo 4 <strong>de</strong> matemática, 4 <strong>de</strong> geografia e 4 <strong>de</strong> inglês, participam<br />
<strong>de</strong> uma reunião com o objetivo <strong>de</strong> formar uma comissão que tenha 9 professores,<br />
sendo 3 <strong>de</strong> cada disciplina. O número <strong>de</strong> formas distintas <strong>de</strong> se compor essa<br />
comissão é:<br />
20) número natural 8 . 5 k tem 24 divisores inteiros e positivos. Determine o valor <strong>de</strong><br />
k.<br />
21) De quantas maneiras três mães e seus respectivos três filhos po<strong>de</strong>m ocupar uma<br />
fila com seis ca<strong>de</strong>iras, <strong>de</strong> modo que cada mãe sente junto <strong>de</strong> seu filho?<br />
22) Quantas são as maneiras <strong>de</strong> um cientista escolher pelo me<strong>no</strong>s duas cobaias,<br />
num grupo <strong>de</strong> seis cobaias?<br />
23) Um feixe <strong>de</strong> 8 retas paralelas intersecta outro conjunto <strong>de</strong> 5 retas paralelas.<br />
Quantos são os paralelogramos <strong>de</strong>terminados por essas retas?<br />
24) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto.<br />
Se todos os filhos <strong>de</strong>vem ficar entre os pais, <strong>de</strong> quantos modos distintos os seis<br />
po<strong>de</strong>m posar para a foto?<br />
25) Observe o código abaixo, composto por 10 sinais, <strong>de</strong> dois tipos: e (cinco <strong>de</strong><br />
cada um). Quantos códigos distintos po<strong>de</strong>remos obter com esses 10 símbolos?<br />
<br />
26) Sejam duas retas paralelas r e s. Tomam-se 5 pontos distintos em r e 4 pontos<br />
distintos em s. Qual a razão entre o número total <strong>de</strong> quadriláteros convexos e o<br />
número total <strong>de</strong> triângulos que po<strong>de</strong>m ser formados com vértices nesses pontos?<br />
27) Sobre uma mesa colocam–se seis moedas em linha. De quantos modos<br />
po<strong>de</strong>mos obter duas caras e quatro coroas voltadas para cima?<br />
28) Qual a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> anagramas da palavra ERNESTO que começam e<br />
terminam por consoantes?<br />
29) Quantos são os números inteiros positivos, <strong>de</strong> cinco algarismos, em que dois<br />
algarismos adjacentes nunca sejam iguais?<br />
30) Um professor propôs para uma <strong>de</strong> suas turmas uma prova com 7 questões, das<br />
quais cada alu<strong>no</strong> <strong>de</strong>veria escolher exatamente 5 questões para respon<strong>de</strong>r. Sabese<br />
que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos os alu<strong>no</strong>s<br />
da turma. Determine o número máximo <strong>de</strong> alu<strong>no</strong>s que essa turma po<strong>de</strong>ria ter.<br />
31) Dado um <strong>de</strong>cágo<strong>no</strong>, quantos são os triângulos cujos vértices são vértices não<br />
consecutivos <strong>de</strong>sse polígo<strong>no</strong>?<br />
32) Quantos são os anagramas da palavra ARARAQUARA que não possuem duas<br />
letras a consecutivas?
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 67<br />
Gabarito (exercícios gerais)<br />
1) 5040 2) 10 3) 11 4) a) 20<br />
5) 36<br />
b) 820<br />
6) 1 663 200 7) 6 720 8) 4 960 9) 64º 10) 5 333 280<br />
11) 720 12) 831 600 13) 35 14) x = -1 15) 252<br />
16) 504 17) 14 18) 200 19) 64 20) k = 5<br />
21) 48 22) 57 23) 280 24) 48<br />
26) 6 / 7 27) 15 28) 720 29) 59 049<br />
31) 50 32) 120<br />
25) 252<br />
30) 21<br />
4) BINÔMIO DE NEWTON<br />
Um binômio é qualquer expressão da forma x + y, ou seja, é a representação da soma<br />
algébrica <strong>de</strong> duas quantida<strong>de</strong>s distintas.<br />
Consi<strong>de</strong>re o produto dos três binômios.<br />
m + n p + q r + s = mpr + mps + mqr + mqs + npr + nps nqr ++<br />
( )( )( ) nqs<br />
Observe que consiste <strong>de</strong> oito termos, cada um dos quais possuindo três letras, sendo cada<br />
letra escolhida <strong>de</strong>ntre as duas, <strong>de</strong> cada um dos binômios. O princípio multiplicativo e a<br />
proprieda<strong>de</strong> distributiva <strong>no</strong>s oferecem a possibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> contar o número <strong>de</strong> termos <strong>de</strong><br />
produtos <strong>de</strong>sse tipo, pois se <strong>de</strong> cada um dos três parênteses vamos escolher uma letra<br />
3<br />
entre as duas existentes, temos que o número <strong>de</strong> termos do produto será 2 . Naturalmente<br />
que este raciocínio po<strong>de</strong> ser estendido para um produto contendo um número qualquer <strong>de</strong><br />
binômios. Se o produto for constituído <strong>de</strong> 4, 5 ou n binômios o número <strong>de</strong> termos do<br />
4<br />
5<br />
n<br />
<strong>de</strong>senvolvimento será respectivamente, 2 = 16, 2 = 32 ou 2<br />
Vamos tomar agora o produto <strong>de</strong> seis binômios, todos iguais. Por exemplo:<br />
x + a x + a x + a x + a x + a x + a .<br />
( )( )( )( )( )( )
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 68<br />
Como temos 64 maneiras <strong>de</strong> selecionarmos 6 letras, uma <strong>de</strong> cada binômio, e como todos os<br />
binômios são iguais a ( x + a)<br />
teremos termos repetidos. Por exemplo, se tomarmos a letra a<br />
<strong>no</strong>s 2 primeiros e a letra x <strong>no</strong>s 4 últimos, teremos a<br />
2 x 4 , que irá aparecer toda vez que a<br />
letra a for escolhida em exatamente 2 dos 6 binômios e a letra x <strong>no</strong>s 4 restantes. Como isto<br />
2<br />
po<strong>de</strong> ser feito <strong>de</strong> C6<br />
maneiras diferentes, afirmamos que o termo a<br />
2 x 4 irá aparecer este<br />
número <strong>de</strong> vezes, o que equivale a dizer que o coeficiente <strong>de</strong> a 2 x 4 é igual a C 2 6<br />
.<br />
Observando que qualquer termo consiste do produto <strong>de</strong> 6 letras, o termo geral é da forma<br />
a<br />
p x q<br />
p<br />
, on<strong>de</strong> p + q = 6, ou seja, cada termo é da forma a p 6<br />
x . Como esse termo aparece<br />
p<br />
C 6<br />
vezes a expansão acima, organizada segundo as potências <strong>de</strong>crescentes <strong>de</strong> x, é dada<br />
por<br />
6<br />
6<br />
+ = <br />
p=<br />
0<br />
( x a)<br />
= C<br />
0<br />
6<br />
a<br />
C<br />
0<br />
p<br />
6<br />
x<br />
a<br />
6<br />
p<br />
x<br />
+ C<br />
6<br />
p<br />
1<br />
6<br />
a<br />
1<br />
x<br />
5<br />
+ C<br />
2<br />
6<br />
a<br />
2<br />
x<br />
4<br />
+ C<br />
6 5 2 4 3 3 4 2 5 6<br />
= x + 6ax<br />
+ 15a<br />
x + 20a<br />
x + 15a<br />
x + 6a<br />
+ ax<br />
No caso geral ( x + a) n<br />
p<br />
, cada termo será da forma a<br />
p x n<br />
p<br />
. Note que o termo a<br />
p x n <br />
irá<br />
aparecer para cada escolha da letra a em p dos n fatores. Como tal escolha po<strong>de</strong> ser feita<br />
<strong>de</strong><br />
n<br />
p<br />
n<br />
Cn<br />
formas diferentes, temos: ( x + a) = <br />
p=<br />
0<br />
n<br />
( a) ( a x) n<br />
n<br />
n<br />
p p n<br />
p<br />
( a + x) = Cn<br />
x a<br />
C<br />
3<br />
6<br />
a<br />
p<br />
n<br />
a<br />
3<br />
x<br />
p<br />
3<br />
x<br />
+ C<br />
n<br />
p<br />
4<br />
6<br />
a<br />
4<br />
x<br />
2<br />
+ C<br />
5<br />
6<br />
a<br />
5<br />
x<br />
1<br />
+ C<br />
. Além disso, como,<br />
x + += , po<strong>de</strong>mos concluir que, permutando-se as letras x e a teremos,<br />
p=<br />
0<br />
, e isto <strong>no</strong>s garante o fato já conhecido <strong>de</strong> que<br />
6<br />
6<br />
a<br />
6<br />
x<br />
p n<br />
p<br />
C n<br />
Cn<br />
0<br />
= , uma vez<br />
n p p<br />
que, pelo argumento apresentado, o coeficiente <strong>de</strong> a <br />
n p<br />
x é dado por C <br />
n<br />
ou, em outras<br />
palavras, que , na expansão <strong>de</strong> ( x + a) n<br />
, os coeficientes dos termos eqüidistantes dos<br />
extremos são iguais.<br />
n<br />
n<br />
p p n<br />
p<br />
Na expansão <strong>de</strong> ( x + a) = Cn<br />
a x<br />
p=<br />
0<br />
De<strong>no</strong>tamos o termo geral por T<br />
p+ 1<br />
, o qual é dado por<br />
Exemplo 1 Calcular o quarto termo da expansão <strong>de</strong> ( 1+ k)<br />
8 .<br />
T<br />
p p n<br />
p<br />
p+ 1<br />
= Cn<br />
a x .<br />
Solução: Temos aqui, x = 1, a = k, n = 8 e p + 1 = 4. Logo p = 3 e<br />
3 3 83<br />
3<br />
T = T C k 1 ==<br />
56 .<br />
4 3+<br />
1 8<br />
k<br />
x 5y<br />
10<br />
Exemplo 2 Calcular o sexto termo da expansão <strong>de</strong> ( ) .<br />
Solução: Neste caso a = -5y, n =10, p + 1 = 6 e p = 5. Portanto,<br />
T<br />
5 5<br />
( )<br />
5<br />
6<br />
= C10<br />
5 xy<br />
T<br />
5 5 5<br />
5 5<br />
( 5) x y = 787.500x<br />
.<br />
5<br />
6<br />
= C10<br />
y<br />
Exemplo 3 Demonstrar a seguinte i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 69<br />
<br />
p p n<br />
p<br />
Solução: Como ( x + a) = C a x ,<br />
n<br />
n<br />
p=<br />
0<br />
n<br />
p o 1 2<br />
n n<br />
Cn<br />
= Cn<br />
+ Cn<br />
+ Cn<br />
+ ... + Cn<br />
= 2.<br />
p=<br />
0<br />
n<br />
é fácil ver que, para x = a = 1, o lado direito <strong>de</strong>sta<br />
igualda<strong>de</strong> <strong>no</strong>s dá a soma pedida, que será igual a 2 n . Este valor representa também, o<br />
número <strong>de</strong> subconjuntos <strong>de</strong> um conjunto contendo n elementos.<br />
Observe que o exemplo 3 <strong>no</strong>s oferece uma importante proprieda<strong>de</strong> das combinações e que<br />
será muito útil na resolução <strong>de</strong> alguns problemas clássicos <strong>de</strong> Matemática Combinatória.<br />
Vamos <strong>no</strong>vamente <strong>de</strong>stacar essa proprieda<strong>de</strong>:<br />
C + C + C + .... + C = 2<br />
o 1 2<br />
n n<br />
n n n n<br />
Exemplo 4: Quantas comissões, com <strong>no</strong> mínimo duas pessoas, po<strong>de</strong>mos formar a partir <strong>de</strong><br />
um grupo <strong>de</strong> 15 pessoas.<br />
Solução: É fácil constatar que a solução <strong>de</strong>sse problema será dada pela soma <strong>de</strong> várias<br />
combinações, já que as comissões po<strong>de</strong>rão ter <strong>de</strong> 2 a 15 pessoas, ou seja:<br />
C + C + C + .... + C<br />
2 3 4 15<br />
15 15 15 15<br />
Repare que, para ficarmos <strong>de</strong> acordo com a proprieda<strong>de</strong> mostrada anteriormente, visando<br />
facilitar <strong>no</strong>ssos cálculos, po<strong>de</strong>remos acrescentar as combinações que estão faltando (são<br />
duas) e <strong>de</strong>pois, subtrair da resposta obtida o valor que foi acrescentado. Logo, teremos:<br />
C + + ..... CC<br />
=+<br />
Mas, C 16<br />
0 1 2 3 4<br />
15 15<br />
15<br />
C15<br />
+ C15<br />
+ C15<br />
+<br />
15<br />
15<br />
2<br />
0 1<br />
15<br />
+ C15<br />
=<br />
Dessa forma, a resposta procurada será igual a<br />
15<br />
2 - 16 = 32 752 comissões.<br />
Listamos abaixo a expansão <strong>de</strong> ( a + b) n<br />
para alguns valores <strong>de</strong> n.<br />
0<br />
( a + b)<br />
1<br />
( a + b)<br />
= 1<br />
= a + b<br />
2<br />
( a + b)<br />
2<br />
= a<br />
2<br />
+ 2ab<br />
+ b<br />
3<br />
( a + b)<br />
3<br />
= a<br />
2<br />
2<br />
+ 3a<br />
b + 3ab<br />
3<br />
+ b<br />
4<br />
( a + b)<br />
4<br />
= a<br />
3 2 2<br />
+ 4a<br />
b + 6a<br />
b<br />
3<br />
+ 4ab<br />
4<br />
+ b<br />
5<br />
( a + b)<br />
5<br />
= a<br />
4<br />
3 2<br />
+ 5a<br />
b + 10a<br />
b<br />
2 3<br />
+ 10a<br />
b<br />
4<br />
+ 5ab<br />
5<br />
+ b<br />
6<br />
( a + b) 6<br />
= a<br />
5<br />
4 2<br />
+ 6a<br />
b + 15a<br />
b<br />
3 3<br />
+ 20a<br />
b<br />
2 4<br />
+ 15a<br />
b<br />
5<br />
+ 6ab<br />
6<br />
+ b
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 70<br />
Coeficientes Bi<strong>no</strong>minais – Triângulo <strong>de</strong> Pascal<br />
Chamamos “Triângulo <strong>de</strong> Pascal” ao triângulo formado pelos coeficientes das expansões<br />
acima, isto é,<br />
• Os números que surgem em cada linha do triângulo <strong>de</strong> Pascal são exatamente os<br />
mesmos coeficientes dos termos da expressão <strong>de</strong> ( a + b) n<br />
• Observe também que a soma <strong>de</strong> dois termos consecutivos <strong>de</strong> uma mesma linha do<br />
p p 1 + 1<br />
triângulo correspon<strong>de</strong> ao termo da linha imediatamente inferior, isto é,<br />
+ p<br />
C<br />
n<br />
+ Cn<br />
= Cn+<br />
1<br />
.<br />
Esta proprieda<strong>de</strong> é conhecida como relação <strong>de</strong> Stifel<br />
Linha 0 1<br />
1ª linha 1 1<br />
2ª linha 1 2 1<br />
1 3 3 1<br />
1 4 6 4 1<br />
1 5 10 10 5 1<br />
1 6 15 20 15 6 1<br />
.................................<br />
col 0<br />
Enumeramos as linhas <strong>de</strong>ste triângulo <strong>de</strong> acordo com o expoente da potência da qual os<br />
coeficientes foram retirados, isto é, a 1ª linha é “1 1” a 2ª “1 2 1” e assim sucessivamente.<br />
Enumeramos as colunas da mesma forma, isto é, a formada só <strong>de</strong> dígitos iguais a 1 é a <strong>de</strong><br />
número zero e assim por diante. Observe que a soma dos elementos da linha 5 é:<br />
0 1 2 3 4 5<br />
5<br />
C<br />
5<br />
+ C5<br />
+ C5<br />
+ C5<br />
+<br />
5<br />
+ CC<br />
5<br />
= 32 = 2 . Para somarmos os elementos da n-ésima linha, só<br />
0 1 2 n<br />
precisamos lembrar que C<br />
n<br />
+ Cn<br />
+ Cn<br />
+ .... Cn<br />
, representa o número <strong>de</strong> subconjuntos <strong>de</strong> um<br />
0 1 2 n n<br />
conjunto <strong>de</strong> n elementos e assim, Cn<br />
+ Cn<br />
+ Cn<br />
+ ... Cn<br />
= 2.<br />
n<br />
Já mostramos que a soma dos elementos da n-ésima linha é igual a 2 e que numa mesma<br />
linha termos eqüidistantes dos extremos são iguais. No exemplo 4 mostraremos que a soma<br />
dos n primeiros elementos da coluna p é igual ao n-ésimo elemento da<br />
p +1 coluna<br />
( ) ésima<br />
1ª col<br />
2ª col<br />
Cada elemento do triângulo <strong>de</strong> Pascal é um número bi<strong>no</strong>mial e sua posição <strong>no</strong> triângulo fica<br />
<strong>de</strong>terminada por um par or<strong>de</strong>nado que indica a linha e a coluna ocupada pelo bi<strong>no</strong>mial. Se o
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 71<br />
n<br />
<br />
bi<strong>no</strong>mial ocupa a linha n e a coluna p sua representação será , on<strong>de</strong> n é chamado<br />
p<br />
n p<br />
numerador e p é o <strong>de</strong><strong>no</strong>minador do bi<strong>no</strong>mial. Devemos observar também que = C n<br />
.<br />
p<br />
Por uma questão <strong>de</strong> comodida<strong>de</strong> iremos evitar a <strong>no</strong>tação <strong>de</strong> número bi<strong>no</strong>mial dando<br />
preferência a <strong>no</strong>tação <strong>de</strong> combinações por ser um pouco mais familiar aos estudantes que<br />
já completaram um curso <strong>de</strong> análise combinatória. É claro que todas as proprieda<strong>de</strong>s das<br />
combinações são naturalmente legadas aos números bi<strong>no</strong>miais<br />
Veja que interessante: Uma outra justificativa do método apresentado para o<br />
<strong>de</strong>senvolvimento dos (n + 1) termos <strong>de</strong> ( x + a) n .<br />
x + a = (x + a) . (x + a), proce<strong>de</strong>ndo<br />
da seguinte maneira:<br />
• Multiplicando cada termo <strong>de</strong> (x + a) por x<br />
• Multiplicando cada termo <strong>de</strong> (x + a) por a<br />
• Somando os termos obtidos e efetuando a redução dos termos semelhantes.<br />
Você sabe que, po<strong>de</strong>mos obter o <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong> ( ) 2<br />
Analogamente, após a obtenção <strong>de</strong> ( x + a) 2<br />
po<strong>de</strong>mos obter os termos <strong>de</strong><br />
3<br />
2<br />
( x + a) = ( x a)<br />
.( x ++<br />
a)<br />
, proce<strong>de</strong>ndo da seguinte maneira:<br />
• Multiplicando cada termo <strong>de</strong> ( x + a) 2<br />
por x<br />
• Multiplicando cada termo <strong>de</strong> ( ) 2<br />
x + a por a<br />
• Somando os termos obtidos e efetuando a redução dos termos semelhantes.<br />
Seguindo <strong>de</strong>ssa mesma forma, sucessivamente, po<strong>de</strong>mos obter ( x a) ,( x a) ,...<br />
raciocínio proposto <strong>no</strong>s conduz ao seguinte diagrama:<br />
(x + a) 1 = x + a<br />
x a x a<br />
x + = x 2 + 2ax + a 2<br />
( a) 2<br />
x a x a x a<br />
( x + a) 3<br />
= x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3<br />
x a x a x a x a<br />
( x + a) 4<br />
= x 4 + 4ax 3 + 6a 2 x 2 + 4a 3 x + a 4<br />
...................................................................................................<br />
4<br />
5<br />
++O<br />
No diagrama anterior olhando apenas os coeficientes dos termos, vemos claramente a<br />
formação do triângulo <strong>de</strong> Pascal, com seus “lados” sempre começando e terminando por 1,<br />
tendo como “miolo” os números bi<strong>no</strong>miais que po<strong>de</strong>m ser obtidos através da soma dos<br />
números “vizinhos” da linha anterior. (Idéia extraída do livro “O que é a matemática?” <strong>de</strong><br />
Courant e Robbins).<br />
Exemplo 5 Demonstrar a seguinte i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong> (teorema das colunas).
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 72<br />
C<br />
p<br />
p<br />
+ C<br />
p<br />
p<br />
p<br />
p<br />
+ 1<br />
+ C<br />
p+<br />
2<br />
+ . . . C<br />
p+<br />
n<br />
= C<br />
p+<br />
1<br />
p+<br />
n+<br />
1<br />
.<br />
A principal proprieda<strong>de</strong> do triângulo <strong>de</strong> Pascal (Relação <strong>de</strong> Stifel)<br />
p p p<br />
C + 1<br />
n<br />
C<br />
+ 1<br />
+ 1 n<br />
+=<br />
Cn<br />
Justifica a seqüência <strong>de</strong> igualda<strong>de</strong>s abaixo:<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
p+<br />
1<br />
p+<br />
1<br />
p+<br />
1<br />
p+<br />
2<br />
p+<br />
1<br />
p+<br />
3<br />
p+<br />
1<br />
p+<br />
n<br />
p+<br />
1<br />
p+<br />
n+<br />
1<br />
= C<br />
= C<br />
= C<br />
= C<br />
p+<br />
1<br />
p<br />
p+<br />
1<br />
p+<br />
1<br />
p+<br />
1<br />
p+<br />
2<br />
= C<br />
p+<br />
1<br />
p+<br />
n1<br />
p+<br />
1<br />
p+<br />
n<br />
+ C<br />
+ C<br />
+ C<br />
p<br />
p<br />
p<br />
p+<br />
1<br />
p<br />
p+<br />
2<br />
...............................<br />
+ C<br />
+ C<br />
p<br />
p+<br />
n1<br />
p<br />
p+<br />
n<br />
Se somarmos membro a membro estas igualda<strong>de</strong>s (cancelando termo iguais), teremos<br />
p+<br />
1 p+<br />
1 p p p<br />
p<br />
= C + C + C + C + .... C , que é a igualda<strong>de</strong> pedida, uma vez que<br />
C<br />
p+ n+<br />
1 p p p+<br />
1 p+<br />
2<br />
+<br />
p+<br />
n<br />
C<br />
p+1 p<br />
= 0 . Na figura abaixo ilustramos o que acabamos <strong>de</strong> <strong>de</strong>monstrar.<br />
1<br />
1 1<br />
1 2 1<br />
1 3 3 1<br />
1 4 6 4 1<br />
1 5 10 10 5 1<br />
1 6 15 20 15 6 1<br />
1 7 21 35 35 21 7 1<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
Exemplo 6: Achar uma fórmula para a soma dos n primeiros inteiros positivos.<br />
Solução: Isto é <strong>de</strong>corrência do exemplo anterior, pois,<br />
1 1 1<br />
1 2<br />
1+ 2 + 3 + ..... + n = C1<br />
+ C2<br />
+ C3<br />
+ ...... + Cn<br />
= Cn+<br />
1<br />
=<br />
n<br />
( n + 1)<br />
2<br />
0 1 2 3<br />
n n<br />
Exemplo 7: Prove que C C + C C + .... + ( 1)<br />
C = 0<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 73<br />
n<br />
Devemos lembrar que ( x + a) = <br />
n<br />
p=<br />
0<br />
C<br />
p<br />
n<br />
a<br />
p<br />
x<br />
n<br />
p<br />
, portanto basta tomarmos x = 1 e a = -1.<br />
2 1 <br />
Exemplo 8: Calcule o termo in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> x <strong>no</strong> <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong> x +<br />
3 <br />
x<br />
p 1 2<br />
Escrevemos inicialmente o termo geral do <strong>de</strong>senvolvimento que é T = C ( x )<br />
portanto,<br />
T<br />
p 1<br />
10<br />
<br />
+ 10 3<br />
<br />
x <br />
p 3<br />
p 202<br />
p p 205<br />
p<br />
p+ 1<br />
= C10<br />
x x = C10<br />
x . Como queremos que o termo in<strong>de</strong>penda <strong>de</strong> x,<br />
<strong>de</strong>vemos fazer 20 – 5p = 0. Logo p = 4 e assim o termo procurado é o quinto termo e seu<br />
4<br />
valor é T = C 210 .<br />
5 10<br />
=<br />
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – BINÔMIO DE NEWTON:<br />
1. Determine o termo central ou médio do <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong>:<br />
<br />
x<br />
<br />
2<br />
1 <br />
<br />
2 x<br />
2. Calcule os dois termos médios do <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong>: ( ) 7<br />
10<br />
3x+<br />
2a<br />
p<br />
10<br />
p<br />
,<br />
3. Calcule a soma dos coeficientes do <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong><br />
3<br />
<br />
3<br />
x<br />
<br />
1<br />
2 y<br />
<br />
<br />
<br />
6<br />
4. No <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong> ( ) n<br />
Determine n.<br />
1 + x , os coeficientes do 14º e do 28º termos são iguais.<br />
5. Determine o quinto termo do <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong><br />
1<br />
3<br />
2<br />
<br />
x <br />
x <br />
7<br />
.<br />
Supondo o <strong>de</strong>senvolvimento or<strong>de</strong>nado segundo as potências <strong>de</strong>crescentes da primeira<br />
parcela<br />
.<br />
6. Determine o termo in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> x <strong>no</strong> <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong><br />
<br />
x<br />
<br />
2<br />
<br />
x<br />
1 <br />
10<br />
3<br />
<br />
<br />
.<br />
7. Determine o coeficiente <strong>de</strong><br />
3<br />
x<br />
<strong>no</strong> <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong><br />
<br />
3x<br />
<br />
4<br />
2 <br />
x <br />
12<br />
.<br />
x + y<br />
4 x y<br />
8. Calcule: ( ) ( ) 4<br />
+
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 74<br />
9. Explique porque não existe termo in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> x <strong>no</strong> <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong><br />
2n+<br />
1<br />
1 <br />
x + .<br />
<br />
x <br />
m<br />
m<br />
m<br />
m<br />
<br />
10. Calcule m sabendo que + + + .... + = 254 .<br />
1<br />
2<br />
3<br />
m<br />
1<br />
01)<br />
GABARITO – BINÔMIO DE NEWTON<br />
63 5<br />
T6<br />
= x<br />
8<br />
06) T 5<br />
= 210<br />
3 4<br />
T4<br />
= 22680a<br />
x<br />
T = 15120a<br />
x<br />
07) 3041280<br />
02) 4 3<br />
03)<br />
5<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
6<br />
08)<br />
04) n = 40 09)<br />
05)<br />
T<br />
35<br />
16<br />
9<br />
5<br />
= x <br />
10) m = 8<br />
4 2 2 2<br />
2 12y<br />
2yx<br />
x ++<br />
2n<br />
+ 1<br />
p = , logo ñ seria natural<br />
2<br />
5.1) Origem Histórica<br />
É possível quantificar o acaso?<br />
5) PROBABILIDADES<br />
Para iniciar, vamos consi<strong>de</strong>rar algumas hipóteses: Rita espera ansiosamente o nascimento<br />
<strong>de</strong> seu filho, mas ela ainda não sabe qual será o sexo da criança. Em outro caso, antes do<br />
início <strong>de</strong> um jogo <strong>de</strong> futebol, o juiz tira "cara ou coroa" com uma moeda para <strong>de</strong>finir o time<br />
que ficará com a bola. Numa terceira hipótese, toda semana, milhares <strong>de</strong> pessoas arriscam<br />
a sorte na loteria. Problemas como os acima são, hoje, objeto <strong>de</strong> estudo das probabilida<strong>de</strong>s.<br />
Os primeiros estudos envolvendo probabilida<strong>de</strong>s foram motivados pela análise <strong>de</strong> jogos <strong>de</strong><br />
azar. Sabe-se que um dos primeiros matemáticos que se ocupou com o cálculo das<br />
probabilida<strong>de</strong>s foi Carda<strong>no</strong> (1501-1576). Data <strong>de</strong>ssa época (na obra Liber Ludo Alae) a<br />
expressão que utilizamos até hoje para o cálculo da probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um evento (número <strong>de</strong><br />
casos favoráveis dividido pelo número <strong>de</strong> casos possíveis). Posteriormente tal relação foi<br />
difundida e conhecida como relação <strong>de</strong> Laplace.<br />
Com Fermat (1601-1665) e Pascal (1623-1662), a teoria das probabilida<strong>de</strong>s começou a<br />
evoluir e ganhar mais consistência, passando a ser utilizada em outros aspectos da vida<br />
social, como, por exemplo, auxiliando na <strong>de</strong>scoberta da vacina contra a varíola <strong>no</strong> século<br />
XVIII.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 75<br />
Laplace foi, certamente, o que mais contribuiu para a teoria das probabilida<strong>de</strong>s. Seus<br />
inúmeros trabalhos nessa área foram reunidos <strong>no</strong> monumental Tratado Analítico das<br />
Probabilida<strong>de</strong>s, on<strong>de</strong> são introduzidas técnicas po<strong>de</strong>rosas como a das funções geradoras,<br />
que são aproximações para probabilida<strong>de</strong>s com o uso do cálculo integral.<br />
Atualmente, a teoria das probabilida<strong>de</strong>s é muito utilizada em outros ramos da Matemática<br />
(como o Cálculo e a Estatística), da Biologia (especialmente <strong>no</strong>s estudos da Genética), da<br />
Física (como na Física Nuclear), da Eco<strong>no</strong>mia, da Sociologia, das Ciências Atuariais, da<br />
Informática, etc.<br />
A roleta, um dos jogos <strong>de</strong> azar preferidos<br />
pelos apostadores <strong>no</strong>s cassi<strong>no</strong>s, teve sua<br />
origem na França do século XVIII. É<br />
formada por 36 elementos dispostos em três<br />
colunas <strong>de</strong> 12 números e um espaço<br />
reservado para o zero. As chamadas<br />
apostas simples são: sair par ou sair ímpar,<br />
sair vermelho ou sair preto, e sair números<br />
me<strong>no</strong>res (<strong>de</strong> 1 a 18) ou sair números<br />
maiores (<strong>de</strong> 19 a 36)<br />
Exemplo: A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ao lançarmos um dado sair um número ímpar é 1/2.<br />
Esta <strong>de</strong>finição a penas po<strong>de</strong> ser usada quando o conjunto dos casos é finito sendo que<br />
todos têm a mesma possibilida<strong>de</strong> ocorrer (equiprováveis)!<br />
5.2) Probabilida<strong>de</strong>s Discretas<br />
Definições:<br />
Experimento Aleatório: Dizemos que um experimento qualquer é aleatório quando, se<br />
repetido diversas vezes nas mesmas condições, po<strong>de</strong> gerar resultados diferentes.<br />
Experimentos aleatórios acontecem a todo momento <strong>no</strong> <strong>no</strong>sso cotidia<strong>no</strong> perguntas do tipo:<br />
será que vai chover? Qual será o resultado da partida <strong>de</strong> futebol? Quantos serão os<br />
ganhadores da Mega-Sena da semana? São questões associadas a experimentos<br />
aleatórios e que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>m do acaso. Experimentos aleatórios são os objetos <strong>de</strong> estudo do<br />
cálculo <strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong>s.<br />
Espaço Amostral: (ou <strong>de</strong> casos ou resultados): <strong>de</strong> uma experiência é o conjunto <strong>de</strong> todos<br />
os resultados possíveis.<br />
Acontecimento ou evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral.<br />
A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um acontecimento E, que é um subconjunto finito <strong>de</strong> um espaço<br />
amostral S, <strong>de</strong> resultados igualmente prováveis, é: p(E) =<br />
nE ( )<br />
nS ( )<br />
sendo n(E) e n(S) as<br />
quantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> E e <strong>de</strong> S, respectivamente.<br />
Exemplo:<br />
a) Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong>, ao lançarmos dois dados distintos, a soma dos dois números ser<br />
7?<br />
Solução:<br />
O Espaço amostral será aqui representado pelos 36 pares or<strong>de</strong>nados representativos das<br />
pontuações possíveis <strong>de</strong>sses dois dados. Po<strong>de</strong>remos representá-lo por uma tabela <strong>de</strong> dupla<br />
entrada, vejamos:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 76<br />
dados 1 2 3 4 5 6<br />
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)<br />
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)<br />
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)<br />
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)<br />
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)<br />
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)<br />
Assinalamos os pares or<strong>de</strong>nados que aten<strong>de</strong>m à condição proposta (soma 7), logo, a<br />
6 1<br />
probabilida<strong>de</strong> pedida será: p = = 16,67 %<br />
36 6<br />
PROBABILIDADE X INTUIÇÃO<br />
Lance a questão a seguir para seus alu<strong>no</strong>s, logo nas aulas iniciais sobre probabilida<strong>de</strong>s e<br />
solicite que tentem estimar o resultado, intuitivamente, antes <strong>de</strong> aplicar a <strong>de</strong>finição ou qualquer<br />
processo <strong>de</strong> resolução.<br />
“Num <strong>de</strong>terminado país sabe-se que 10% da população está infectada pelo vírus do HIV.<br />
Sabe-se também que, <strong>no</strong>s exames para <strong>de</strong>tectar a doença, há 90% <strong>de</strong> acerto para o<br />
grupo dos infectados e 80% <strong>de</strong> acerto para os não infectados. Determine”:<br />
1. A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que uma pessoa, cujo exame <strong>de</strong>u positivo para a doença, esteja<br />
realmente infectada.<br />
2. A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que uma pessoa, cujo exame <strong>de</strong>u negativo para a doença, esteja<br />
realmente sadia.<br />
Solução:<br />
Para facilitar, vamos supor que a cida<strong>de</strong> tivesse uma população <strong>de</strong> 1000 habitantes. De<br />
acordo com o texto, teremos que 100 são portadores do vírus HIV e 900 não são portadores.<br />
1) Total <strong>de</strong> portadores <strong>de</strong>tectados pelo exame: 90 % <strong>de</strong> 100 + 20 % <strong>de</strong> 900 = 270 pessoas.<br />
Logo, para respon<strong>de</strong>rmos à primeira pergunta, temos que 90 pessoas em 270 são realmente<br />
portadores do vírus, ou probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 90 / 270 = 33,3%.<br />
É por esse motivo que, <strong>no</strong>rmalmente quando um exame HIV tem re1sultado positivo, os<br />
médicos <strong>no</strong>rmalmente recomendam que o mesmo seja repetido.<br />
2) Total <strong>de</strong> não portadores <strong>de</strong>tectados pelo exame: 10 % <strong>de</strong> 100 + 80% <strong>de</strong> 900 = 730<br />
pessoas, das quais 720 são realmente não portadores <strong>de</strong>sse vírus. Logo, temos a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 720 / 730 = 98,6 % <strong>de</strong> que uma pessoa, cujo exame <strong>de</strong>u negativo para a<br />
doença esteja realmente sadia.<br />
COMENTÁRIO:<br />
Essa questão, que foi originalmente proposta aos candidatos ao Projeto Sapiens (Uma<br />
espécie <strong>de</strong> vestibular em etapas, <strong>no</strong> Rio <strong>de</strong> Janeiro), propicia através <strong>de</strong> uma abordagem<br />
simples e intuitiva, o enfoque <strong>de</strong> uma questão atual e <strong>de</strong> interesse <strong>de</strong> todos nas aulas <strong>de</strong><br />
matemática e po<strong>de</strong>, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ndo <strong>de</strong> <strong>no</strong>ssos objetivos, propiciar outras discussões como<br />
probabilida<strong>de</strong> condicional, por exemplo.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 77<br />
5.3) Combinação <strong>de</strong> eventos<br />
Teorema: Seja E um evento <strong>no</strong> espaço amostral S. A probabilida<strong>de</strong> do acontecimento<br />
complementar,<br />
__<br />
E , é dada por: p( E ) = 1- p(E)<br />
__<br />
Teorema: Sejam E1 e E2 dois eventos do mesmo espaço amostral S. Então:<br />
p(E1 E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1 E2)<br />
Exemplo:<br />
Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um número inteiro positivo selecionado aleatoriamente do conjunto<br />
dos inteiros positivos me<strong>no</strong>res ou iguais a 100 ser divisível por 2 ou por 5?<br />
Solução:<br />
Sabemos que <strong>no</strong> Universo dos inteiros positivos, inferiores ou iguais a 100 (n(S) = 100), a<br />
quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> números divisíveis por 2 é 50 (os pares) e a quantida<strong>de</strong> dos números<br />
divisíveis por 5 é 20 (os terminados em zero ou em cinco). Sendo que os que são divisíveis<br />
ao mesmo tempo por 2 ou por 5 (os múltiplos <strong>de</strong> 10) são 10. Logo, teremos:<br />
50 1<br />
pE (<br />
1)<br />
= =<br />
100 2<br />
20 1<br />
pE (<br />
2)<br />
= =<br />
100 5<br />
10 1<br />
pE (<br />
1<br />
E)<br />
2<br />
= =<br />
100 10<br />
1 1 1 3<br />
Logo, p( E1 E<br />
2) = + = = 60%<br />
2 5 10 5<br />
Vamos a seguir apresentar mais alguns casos <strong>de</strong> combinação <strong>de</strong> eventos, a partir<br />
<strong>de</strong> alguns exemplos propostos pelo professor Luiz Márcio Imenes em apostila da<br />
Fundação Roberto Marinho.<br />
EXEMPLO 1<br />
Num grupo <strong>de</strong> jovens estudantes a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que um jovem, escolhido ao acaso,<br />
tenha média acima <strong>de</strong> 7,0 é 1/5. Nesse mesmo grupo, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que um jovem<br />
saiba jogar futebol é 5/6. Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> escolhermos um jovem (ao acaso) que<br />
tenha média maior que 7,0 e saiba jogar futebol?<br />
Solução:<br />
O fato <strong>de</strong> ter média maior que 7,0 não <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do fato <strong>de</strong> saber jogar futebol, e vice-versa.<br />
Quando isso ocorre, dizemos que os eventos são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes.<br />
Consi<strong>de</strong>re então os eventos:<br />
A: ter média acima <strong>de</strong> 7,0.<br />
B: saber jogar futebol.<br />
A e B: ter média acima <strong>de</strong> 7,0 e saber jogar futebol.<br />
Como queremos calcular P (A e B), pense o seguinte: <strong>de</strong> todos os jovens, 1/5 têm média<br />
acima <strong>de</strong> 7,0 e 5/6 sabem jogar futebol. Ora, 5/6 <strong>de</strong> 1/5 ou seja, 5/6 . 1/5 = 1/6 sabem jogar<br />
futebol e têm média acima <strong>de</strong> 7,0. Portanto, P (A e B) = 1/6 .<br />
Repare que para encontrarmos P (A e B) efetuamos P (A) · P (B). Então, concluímos que,<br />
quando A e B são eventos in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes (não têm “nada a ver” um com o outro):
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 78<br />
P (A e B) = P (A) P (B)<br />
EXEMPLO 2<br />
Dos 30 funcionários <strong>de</strong> uma empresa, 10 são canhotos e 25 vão <strong>de</strong> ônibus para o trabalho.<br />
Escolhendo ao acaso um <strong>de</strong>sses empregados, qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que ele seja canhoto<br />
e vá <strong>de</strong> ônibus para o trabalho?<br />
Consi<strong>de</strong>re os eventos:<br />
A : ser canhoto<br />
B : ir <strong>de</strong> Ônibus para o trabalho<br />
Solução:<br />
Claro que A e B são eventos in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, portanto um não <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> em nada do outro. A<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> os dois eventos (A e B) ocorrerem simultaneamente é calculada por<br />
P(A e B) = P (A) · P (B).<br />
Calculando:<br />
P (A) = 10/30 = 1/3<br />
P (B) = 25/30 = 5/6<br />
P (A e B) = P (A) · P (B) = 1/3 . 5/6 = 5/18<br />
A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que ele seja canhoto e vá <strong>de</strong> ônibus para o trabalho é <strong>de</strong> 5/18.<br />
EXEMPLO 3:<br />
Alguns atletas participam <strong>de</strong> um triathlon (prova formada por 3 etapas consecutivas:<br />
(natação, corrida e ciclismo). A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que um atleta escolhido ao acaso termine a<br />
primeira etapa (natação) é 4/7. Para continuar na competição com a segunda etapa (corrida)<br />
o atleta precisa ter terminado a natação. Dos atletas que terminam a primeira etapa, a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que um <strong>de</strong>les, escolhido ao acaso, termine a segunda é ¾. Qual a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que um atleta que iniciou a prova, e seja escolhido ao acaso, termine a<br />
primeira e a segunda etapas?<br />
A : terminar a 1 a etapa da prova (natação).<br />
B : terminar a 2 a etapa da prova (corrida), tendo terminado a 1 a .<br />
Note que A e B não são eventos in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, pois, para começar a 2 a etapa é<br />
necessário, antes, terminar a 1 a . Nesse caso dizemos que a ocorrência do evento B<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> (esta condicionada) à ocorrência do evento A.<br />
Utilizamos então a <strong>no</strong>tação B/A, que significa a <strong>de</strong>pendência dos eventos, ou melhor, que o<br />
evento B/A <strong>de</strong><strong>no</strong>ta a ocorrência do evento B, sabendo que A já ocorreu. No caso <strong>de</strong>ste<br />
exemplo, temos: B/A terminar a 2 a etapa (corrida), sabendo que o atleta termi<strong>no</strong>u a 1 a etapa<br />
(natação).<br />
E agora? Como calcular P (A e B)?<br />
Simples: <strong>no</strong> lugar <strong>de</strong> usarmos P(B) na fórmula P(A e B) = P(A) · P(B), usaremos P(B/A) já<br />
que a ocorrência <strong>de</strong> B <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da ocorrência <strong>de</strong> A.<br />
O enunciado <strong>de</strong>ste problema <strong>no</strong>s diz que P(A) = 4/7 e P B/A = 3/4; assim,<br />
P(A e B) = P(A) · P B/A = 4/7 . ¾ = 3/7.<br />
A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que um atleta, escolhido ao acaso, termine a 1 a e a 2ª etapas é 3/7.<br />
Quando A e B não são eventos in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrência <strong>de</strong> A e B é<br />
calculada por: P (A e B) = P (A) · P (B/A) on<strong>de</strong> P (B/A) é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> B, dado que A<br />
já ocorreu (Probabilida<strong>de</strong> Condicional).<br />
EXEMPLO 4
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 79<br />
No exame para tirar a carteira <strong>de</strong> motorista, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> aprovação na prova escrita é<br />
9/10. Depois <strong>de</strong> ser aprovado na <strong>parte</strong> teórica, há uma prova prática <strong>de</strong> direção para os que<br />
já passaram <strong>no</strong> exame escrito, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> passar nessa prova prática é 2/3.<br />
Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que, escolhido um candidato ao acaso, ele seja aprovado em<br />
ambas as provas escrita e prática e tire a carteira <strong>de</strong> motorista?<br />
Solução:<br />
Consi<strong>de</strong>re os eventos:<br />
A: aprovação na prova escrita.<br />
B: aprovação na prova prática <strong>de</strong> direção.<br />
Os eventos A e B não são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, pois é preciso ter aprovação na prova escrita<br />
para fazer a prova prática <strong>de</strong> direção. Como a ocorrência <strong>de</strong> B está condicionada à<br />
ocorrência <strong>de</strong> A, criamos o evento: B/A: ter aprovação na prova prática <strong>de</strong> direção, sabendo<br />
que o candidato foi aprovado na prova escrita.<br />
Para calcular P(A e B), usamos: P(A e B) = P(A) · P(B/A)<br />
Calculando:<br />
P(A) = 9/10<br />
P(B/A) = 2/3<br />
P(A e B) = 9/10 . 2/3 = 3/5<br />
A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> passar na prova escrita e na prova <strong>de</strong> direção é 3/5.<br />
EXEMPLO 5:<br />
Uma urna contém 4 bolas brancas e 2 vermelhas. Uma bola é retirada e, sem reposição,<br />
uma segunda bola é retirada.<br />
Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ambas serem brancas?<br />
Consi<strong>de</strong>re os eventos:<br />
A: retirada da primeira bola branca.<br />
B: retirada da segunda bola branca.<br />
Eles são <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, pois a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrência <strong>de</strong> B <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do que ocorreu na<br />
retirada da primeira bola.<br />
Então: P(A) =<br />
Tendo sido retirada uma bola branca e não havendo reposição na urna, restam 5 bolas<br />
sendo 3 brancas, logo, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> retirar-se outra bola branca é<br />
P(B\A) = 5<br />
3<br />
Portanto P(A B) = P(A) P(B\A) =<br />
2<br />
.<br />
3<br />
3<br />
5<br />
C<br />
OBS: Este resultado po<strong>de</strong>ria ser obtido diretamente da <strong>de</strong>finição P(A B) =<br />
C<br />
=<br />
2<br />
5<br />
4,2<br />
6,2<br />
=<br />
4.3<br />
2<br />
6.5<br />
2<br />
=<br />
2<br />
5
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 80<br />
EXEMPLO 6:<br />
Na Copa América <strong>de</strong> 1995, o Brasil jogou com a Colômbia. No primeiro tempo, a seleção<br />
brasileira cometeu 10 faltas, sendo que 3 foram cometidas por Leonardo e outras 3 por<br />
André Cruz. No intervalo, os melhores lances foram reprisados, <strong>de</strong>ntre os quais uma falta<br />
cometida pelo Brasil, escolhida ao acaso. Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que a falta escolhida seja<br />
<strong>de</strong> Leonardo ou <strong>de</strong> André Cruz?<br />
Solução:<br />
Das 10 faltas, 3 foram <strong>de</strong> Leonardo e 3 <strong>de</strong> André Cruz. Portanto, os dois juntos cometeram 6<br />
das 10 faltas do Brasil. Assim, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que uma das faltas seja a escolhida <strong>de</strong>ntre<br />
as 10 é 6/10 = 3/5 .<br />
Também po<strong>de</strong>mos resolver este problema da seguinte maneira:<br />
Probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ser escolhida uma falta do Leonardo = 3/10 .<br />
Probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ser escolhida uma falta do André Cruz = 3/10 .<br />
A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ser escolhida uma falta <strong>de</strong> um <strong>de</strong>stes dois jogadores = 3/10 + 3/10 =<br />
6/10 = 3/5.<br />
Lembre-se <strong>de</strong> que qualquer uma das duas escolhas terá um resultado favorável.<br />
Se A e B são os eventos (escolher uma falta <strong>de</strong> Leonardo ou escolher uma falta <strong>de</strong> André<br />
Cruz), estamos interessados na probabilida<strong>de</strong> do evento A ou B.<br />
Temos então, para esse caso que: P(A ou B) = P(A) + P(B)<br />
Note que isso vale porque uma falta não po<strong>de</strong> ser cometida pelos dois jogadores ao mesmo<br />
tempo, ou seja, o evento A e B é impossível.<br />
5.3) Conceito <strong>de</strong> Probabilida<strong>de</strong> (generalização):<br />
Problema: Se eu tiver uma moeda viciada e a lançar várias vezes o que posso esperar como<br />
resultado?<br />
Definição: Dado um espaço <strong>de</strong> amostras S, <strong>de</strong> um experimento com um número finito <strong>de</strong><br />
resultados possíveis, chama-se probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um resultado, p(s), a um valor:<br />
0 ps ( ) 1,<br />
s S<br />
s = 1<br />
s S<br />
Mo<strong>de</strong>lar uma experiência <strong>de</strong>ve ser medir a freqüência relativa <strong>de</strong> um acontecimento quando<br />
o número <strong>de</strong> experiências se torna muito gran<strong>de</strong>.<br />
Exemplo: Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair caras ou coroas numa moeda viciada em que a<br />
chance <strong>de</strong> aparecer cara é duas vezes a chance <strong>de</strong> aparecer coroa.<br />
Solução:<br />
1) p(CA) =2 p(CO)<br />
2) p(CA) + p(CO) = 1, por <strong>de</strong>finição.<br />
3) 2 p(CO) + p(CO) = 3 p(CO) = 1, <strong>de</strong> 1) e 2)<br />
p(CO) = 1/3<br />
p(CA) = 2/3<br />
Definição: A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um acontecimento E é igual à soma das probabilida<strong>de</strong>s dos<br />
resultados em E.<br />
p(E) = s<br />
s E<br />
Exemplo: Admita que tem um dado viciado <strong>de</strong> modo que o número 3 aparece duas vezes<br />
mais que qualquer dos outros números. Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair um número ímpar<br />
quando lançamos o dado uma vez?<br />
Solução:<br />
P(3) = 2s
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 81<br />
P(1) = p(2) = p(4) = p(5) = p(6) = s<br />
Logo, 2 s + 5 s = 1 ou s = 1/7<br />
Seja E o evento esperado (sair um número ímpar), teremos: p(E) = p(1) + p(3) + p(5) = 4/7<br />
Uma ativida<strong>de</strong> exploratória:<br />
Um jogo <strong>de</strong> cinco dados<br />
Uma boa experiência que po<strong>de</strong> ser feita em classe e que, através do aumento do número <strong>de</strong><br />
registros, po<strong>de</strong>mos verificar a aproximação do resultado obtido na prática, com o teórico.<br />
Lançam-se cinco dados. Para ganharmos tem <strong>de</strong> sair o número 5 mas não po<strong>de</strong> sair o 6. Qual é<br />
a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ganhar?<br />
Numa fase inicial do estudo das probabilida<strong>de</strong>s, os alu<strong>no</strong>s ainda não têm conhecimentos que<br />
lhes permitam respon<strong>de</strong>r à pergunta com o valor exato. No entanto, po<strong>de</strong>m obter<br />
experimentalmente uma aproximação razoável.<br />
Para isso, a cada grupo <strong>de</strong> alu<strong>no</strong>s <strong>de</strong>ve ser distribuído um conjunto <strong>de</strong> 5 dados (ou solicitar que<br />
eles tragam <strong>de</strong> casa), pedimos que cada grupo faça uma série <strong>de</strong> sorteios (50, por exemplo) e<br />
que registre os resultados obtidos, <strong>de</strong>stacando <strong>de</strong> alguma forma os casos que forem favoráveis<br />
ao evento proposto. Caso haja condições, po<strong>de</strong>mos até simular tais sorteios numa calculadora<br />
gráfica (TI-83, por exemplo).<br />
Seja, por exemplo os seguintes resultados que po<strong>de</strong>riam ser obtidos por um grupo:<br />
1 2 2 3 3<br />
2 2 5 6 4<br />
5 1 2 3 3<br />
Verificamos facilmente que dos três sorteios anteriores, o único que <strong>no</strong>s é favorável é o terceiro,<br />
ou seja, num universo <strong>de</strong> 3 sorteios, obtivemos a freqüência relativa <strong>de</strong> 1/3, ou 33%.<br />
Se, numa turma, cada grupo fizer uns 50 sorteios, registrando o número <strong>de</strong> experiências e o<br />
número <strong>de</strong> vezes favoráveis, facilmente chegamos a 500 resultados. Po<strong>de</strong>mos juntar os<br />
resultados <strong>de</strong> duas turmas, por exemplo e chegamos a 1000 experiências.<br />
Num dos Colégios em que fizemos a experiência, em 1000 experiências, a<strong>no</strong>tamos 276<br />
sucessos, o que correspon<strong>de</strong> a uma freqüência relativa <strong>de</strong> 0,276 ou 27,6%.<br />
Po<strong>de</strong>mos então prever que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ganhar numa jogada vai ser próxima <strong>de</strong>ste valor,<br />
não longe dos 28%.<br />
Claro que quantas mais experiências fizermos, mais confiança po<strong>de</strong>remos ter <strong>no</strong>s resultados ( e<br />
isso <strong>de</strong>vemos passar a <strong>no</strong>ssos alu<strong>no</strong>s, a experiência com gran<strong>de</strong>s números). Se conseguirmos<br />
juntar os resultados <strong>de</strong> várias turmas (10 000 sorteios, por exemplo), verificaremos que a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrência do evento estará perto <strong>de</strong> 27%. Em seguida veremos o resultado<br />
exato <strong>de</strong>sta probabilida<strong>de</strong>, com o auxílio da Análise Combinatória.<br />
Cálculo da probabilida<strong>de</strong><br />
Lançam-se cinco dados. Para ganharmos tem <strong>de</strong> sair o número 5 mas não po<strong>de</strong> sair o 6. Qual é<br />
a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ganhar?
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 82<br />
Já vimos, experimentalmente, que o resultado procurado está próximo dos 27%. Agora vamos<br />
obter o resultado exato.<br />
O número <strong>de</strong> casos possíveis quando lançamos 5 dados são os arranjos com repetição dos 6<br />
números, ou, pelo princípio multiplicativo: 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 5 = 7776<br />
O número <strong>de</strong> casos favoráveis (sair 5 mas não sair 6) tem <strong>de</strong> ser feito em duas etapas:<br />
Primeiro, não po<strong>de</strong> sair 6: são os arranjos com repetição dos números <strong>de</strong> 1 a 5.<br />
Casos em que não sai 6 = AR 5,5<br />
= 5 5 = 3125<br />
Segundo, não po<strong>de</strong> sair 6 mas tem <strong>de</strong> sair 5. Então, aos 3125 casos anteriores temos <strong>de</strong><br />
subtrair os casos em que também não sai 5.<br />
Casos em que não sai 6 nem 5 = AR 4,5<br />
= 4 5 = 1024<br />
Casos em que não sai 6 mas sai 5 = 3125 – 1024 = 2101<br />
Logo: P(sair 5 mas não sair 6) = 2101<br />
7776 x 0,27019<br />
A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ganhar o jogo é praticamente igual a 27%.<br />
Reparemos que o valor obtido experimentalmente está bastante perto do valor teórico.<br />
5.4) AS LOTERIAS E AS PROBABILIDADES<br />
Probabilida<strong>de</strong>s e a Mega Sena<br />
Tudo pelos milhões<br />
Prêmio da Mega-sena será sorteado hoje<br />
O prêmio acumulado <strong>de</strong> R$ 32 milhões da Mega-sena movimentou ontem milhares <strong>de</strong><br />
cariocas, em filas intermináveis nas casas lotéricas. O prêmio está acumulado há seis<br />
semanas e, segundo a Caixa Econômica Fe<strong>de</strong>ral, <strong>de</strong>verão ser feitas 59 milhões <strong>de</strong> apostas.<br />
O sorteio será realizado hoje, às 20 horas, na cida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Santo Antonio da Platina, <strong>no</strong><br />
Paraná.<br />
Ontem, <strong>no</strong> Rio, casas lotéricas fizeram promoções, como a da Novo México, se propondo a<br />
trocar um mosquito Ae<strong>de</strong>s Aegypti, por um bilhete com seis <strong>de</strong>zenas. Outra promoção nessa<br />
loja era a troca <strong>de</strong> um bilhete da Mega-sena para quem pagasse a conta <strong>de</strong> luz com baixo<br />
consumo.<br />
Os apostadores estão confiantes e já fazem pla<strong>no</strong>s com o prêmio acumulado. ''Tenho fortes<br />
esperanças <strong>de</strong> ganhar. Faço apostas há <strong>de</strong>z a<strong>no</strong>s com os mesmos números e doaria a<br />
meta<strong>de</strong> do prêmio para uma instituição <strong>de</strong> carida<strong>de</strong>'', disse o administrador <strong>de</strong> empresas<br />
Jorge Luiz Campos.<br />
As loterias dos shoppings e da Zona Sul ficarão abertas até uma hora antes do sorteio das<br />
<strong>de</strong>zenas. Em alguns sites da Internet, é possível apostar as 19h45.<br />
As repetidas - Para quem acompanha os sorteios da Mega-sena existem algumas<br />
probabilida<strong>de</strong>s que po<strong>de</strong>rão fazer algum milionário <strong>no</strong> teste <strong>de</strong> logo mais. As <strong>de</strong>zenas que<br />
mais apareceram <strong>no</strong>s resultados até agora são: 42 (34 vezes), 13 (33 vezes), 41 e 43 (30<br />
vezes); 25, 37 e 53, que saíram 29 vezes.<br />
Jornal do Brasil – sábado, 24 <strong>de</strong> março <strong>de</strong> 2001
INTRODUÇÃO<br />
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 83<br />
Entre todas as loterias existentes <strong>no</strong> Brasil, a Mega Sena é, ao me<strong>no</strong>s em <strong>de</strong>terminadas<br />
ocasiões, a que <strong>de</strong>sperta o maior interesse na população. Isso se <strong>de</strong>ve ao fato <strong>de</strong> que, pelas<br />
regras do jogo, <strong>de</strong> vez em quando, as quantias oferecidas serem bastante respeitáveis. A mídia<br />
dá ampla divulgação ao fato, tratando <strong>de</strong>s<strong>de</strong> as chances <strong>de</strong> que alguém ganhe o prêmio<br />
máximo até o que o ganhador po<strong>de</strong>ria fazer com todo aquele dinheiro ganho.<br />
Nós, professores <strong>de</strong> matemática, somos sempre consultados sobre o funcionamento do jogo e<br />
especialmente sobre a existência <strong>de</strong> alguma estratégia que possa melhorar as possibilida<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> vitória. O presente artigo faz um breve relato sobre o jogo, mostra respostas às perguntas<br />
mais comuns e, tem como maior contribuição, o mérito do aproveitamento <strong>de</strong> um tema <strong>de</strong><br />
interesse <strong>de</strong> todos em <strong>no</strong>ssas aulas <strong>de</strong> matemática do Ensi<strong>no</strong> Médio.<br />
O JOGO<br />
Faremos um breve relato do jogo para os que por princípios ou por inteligência nunca se<br />
interessaram pelo mesmo.<br />
As apostas po<strong>de</strong>m ser feitas escolhendo-se <strong>no</strong> mínimo 6 e <strong>no</strong> máximo 15 <strong>de</strong>zenas <strong>de</strong>ntre as 60<br />
disponíveis, e enumeradas <strong>de</strong> 1 a 60. Cada aposta simples <strong>de</strong> 6 <strong>de</strong>zenas custa 1 real e, se<br />
você marca 8 <strong>de</strong>zenas, por exemplo, terá <strong>de</strong> pagar 28 reais (pois estas 8 <strong>de</strong>zenas lhe<br />
possibilitam concorrer com 28 jogos simples, que é o resultado <strong>de</strong> C 8,6<br />
). A Caixa Econômica<br />
Fe<strong>de</strong>ral, que administra o jogo, sorteia seis <strong>de</strong>zenas distintas e são premiadas as apostas que<br />
contêm 4 (quadra), 5 (quina) ou todas as seis (sena) <strong>de</strong>zenas sorteadas. Se num <strong>de</strong>terminado<br />
concurso ninguém acerta as seis <strong>de</strong>zenas, o prêmio fica acumulado para o concurso seguinte.<br />
Existem C 60,6<br />
resultados possíveis para um sorteio. Esse número é superior a 50 milhões, mais<br />
precisamente, ele é igual a 50 063 860. Acho que todos concordamos que só alguém muito<br />
otimista acredita que vai ganhar com uma única aposta.<br />
VOCÊ SABIA?<br />
Que é mais fácil obter 25 caras em 25 lançamentos <strong>de</strong> uma moeda<br />
perfeita do que acertar na Mega Sena com um único jogo <strong>de</strong> 6<br />
<strong>de</strong>zenas?<br />
AS PROBABILIDADES DE SUCESSO NA MEGA-SENA<br />
O cálculo das probabilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> que um apostador ganhe os prêmios oferecidos é um exercício<br />
simples e interessante <strong>de</strong> Análise Combinatória. Vamos, através <strong>de</strong> um exemplo, mostrar como<br />
ele é resolvido.<br />
Vamos supor que um apostador fez um jogo com 10 <strong>de</strong>zenas e estará, portanto, concorrendo<br />
com C 10,6<br />
(210) jogos simples <strong>de</strong> 6 <strong>de</strong>zenas. Verificamos que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ganhar a sena<br />
vale 210 / 50 063 860, ou aproximadamente 0,00042 %. Para que este apostador ganhe a<br />
quadra, é necessário que quatro das seis <strong>de</strong>zenas apostadas estejam entre as <strong>de</strong>z nas quais<br />
ele apostou e duas estejam entre as outras 50. As quatro po<strong>de</strong>m ser escolhidas <strong>de</strong> C 10,4<br />
= 210<br />
maneiras e as outras duas <strong>de</strong> C 50,2<br />
= 1225 maneiras. Existem, portanto 210 x 1225 = 257 250<br />
resultados que dariam o prêmio da quadra para o apostador. De modo análogo mostra-se que<br />
existem 12 600 resultados que dariam ao apostador o prêmio da quina.<br />
Logo, os valores aproximados das probabilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> que um apostador, que jogou 10 <strong>de</strong>zenas,<br />
ganhe os prêmios da sena, quina e quadra são, respectivamente iguais a: 0,00042%; 0,025 %<br />
e 0,514 %. Com raciocínio análogo são calculadas as probabilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> apostas com um<br />
número qualquer <strong>de</strong> <strong>de</strong>zenas.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 84<br />
A ACUMULAÇÃO PROGRAMADA<br />
Nas diversas loterias administradas pela Caixa, sempre que o prêmio maior não saía e a<br />
quantia ele <strong>de</strong>stinada acumulava para o concurso seguinte, o interesse dos apostadores<br />
crescia, resultando num aumento consi<strong>de</strong>rável <strong>no</strong> número <strong>de</strong> apostas. Embora essa situação<br />
fosse interessante para a Caixa, o gover<strong>no</strong> e os lotéricos, a sua ocorrência <strong>de</strong>pendia do acaso.<br />
Com o objetivo <strong>de</strong> manter o interesse dos apostadores e conseqüentemente aumentar a<br />
arrecadação, foi criada a acumulação forçada que reserva uma <strong>parte</strong> do prêmio (20% do total<br />
<strong>de</strong>stinado à Sena) para ser acrescentada ao rateio dos concursos cujos números terminam em<br />
zero. Assim, por exemplo, em cada um dos concursos <strong>de</strong> números 201, 202, ... 209, vinte por<br />
cento do prêmio da Sena ficam retidos para serem acrescentados ao prêmio do concurso 210.<br />
No segundo semestre <strong>de</strong> 1999, repetidas acumulações fizeram com que o prêmio superasse<br />
60 milhões <strong>de</strong> reais. Esse valor, em tor<strong>no</strong> <strong>de</strong> 30 milhões <strong>de</strong> dólares, está <strong>no</strong> nível dos prêmios<br />
<strong>de</strong> loterias do primeiro mundo, principalmente se levarmos em conta que, aqui <strong>no</strong> Brasil, ele é<br />
isento <strong>de</strong> imposto <strong>de</strong> renda.<br />
PERGUNTAS MAIS FREQÜENTES<br />
1. Intuitivamente o que significa ter uma chance em cinqüenta milhões?<br />
Usualmente as pessoas solicitam que se façam comparações entre a possibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> se<br />
ganhar na Mega Sena, com outros eventos, como morrer <strong>de</strong> um <strong>de</strong>sastre <strong>de</strong> avião, ser atingido<br />
por um raio ou mesmo morrer <strong>de</strong> câncer. A maior dificulda<strong>de</strong> em fazer tais comparações está<br />
<strong>no</strong> fato <strong>de</strong> que nem todos os indivíduos da população têm a mesma probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sofrer<br />
uma <strong>de</strong>ssas <strong>de</strong>sgraças, enquanto que todos os que apostam 6 <strong>de</strong>zenas, por exemplo, têm a<br />
mesma chance <strong>de</strong> ganhar. Fica mais fácil as pessoas enten<strong>de</strong>rem usando exemplos<br />
puramente aleatórios. Por exemplo, o número <strong>de</strong> habitantes do Brasil é quase igual a três<br />
vezes o número <strong>de</strong> resultados possíveis do sorteio. Se fosse realizado um sorteio <strong>de</strong> três<br />
prêmios entre todas os brasileiros, a sua chance <strong>de</strong> ganhar um <strong>de</strong>sses prêmios seria<br />
praticamente igual à <strong>de</strong> ganhar o prêmio máximo da Mega Sena com um jogo mínimo, <strong>de</strong> 6<br />
<strong>de</strong>zenas.<br />
2. Existe alguma forma <strong>de</strong> apostar que melhore as chances do apostador?<br />
Essa pergunta é geralmente feita na sala <strong>de</strong> aula por alu<strong>no</strong>s curiosos em saber se conhecemos<br />
algum “truque” que <strong>no</strong>s facilite ganhar o prêmio. A análise dos sorteios realizados até hoje<br />
indica que toas as <strong>de</strong>zenas são igualmente prováveis e que os resultados <strong>de</strong> diferentes<br />
sorteios são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes. Não existem elementos concretos que <strong>no</strong>s permitam construir um<br />
sistema que melhore <strong>no</strong>ssas chances <strong>de</strong> vitória (se existisse, provavelmente não estaríamos<br />
dando mais aulas).<br />
3. Se eu estiver disposto a jogar 28 reais, é melhor fazer um único jogo <strong>de</strong> 8 <strong>de</strong>zenas ou vinte e<br />
oito jogos <strong>de</strong> 6 <strong>de</strong>zenas?<br />
Essa é uma questão interessante, pois, embora as duas formas <strong>de</strong> jogar sejam equivalentes<br />
(supondo 28 jogos distintos <strong>de</strong> 6 <strong>de</strong>zenas) <strong>no</strong> que diz respeito à sena, isso não é verda<strong>de</strong> com<br />
relação à quadra e à quina. De fato, com um único jogo <strong>de</strong> 8 <strong>de</strong>zenas existirão C 8,5<br />
. C 52,1<br />
=<br />
2912 resultados possíveis que darão o prêmio da quina ao apostador. Com um único jogo <strong>de</strong> 6<br />
<strong>de</strong>zenas, o apostador terá C 6,5<br />
. C 54,1<br />
= 324 resultados contendo uma quina. Se os 28 jogos não<br />
tiverem nenhuma quina em comum, o total <strong>de</strong> resultados favoráveis será igual a 28 x 324 =<br />
9072. A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> acertarmos uma quina com o segundo sistema é mais do que três<br />
vezes maior do que com o primeiro. Essa diferença é, pelo me<strong>no</strong>s parcialmente, compensada<br />
pelo fato <strong>de</strong> que, acertando uma quina com o jogo <strong>de</strong> 8 <strong>de</strong>zenas, receberemos três vezes o<br />
valor do prêmio.<br />
4. Vale a pena jogar?
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 85<br />
Do ponto <strong>de</strong> vista teórico, é fácil ver que a resposta é não. De fato, você estaria colocando<br />
dinheiro num jogo que <strong>de</strong>stina apenas 44% da arrecadação para os prêmios e <strong>no</strong> qual a sua<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ganhar alguma coisa que valha a pena é muito pequena. Para aqueles que<br />
acreditam na sorte e gostam <strong>de</strong> arriscar <strong>de</strong> vez em quando, vejam algumas sugestões:<br />
a) Nunca aposte muito dinheiro – <strong>de</strong> fato, com a aposta <strong>de</strong> 15 <strong>de</strong>zenas, que custará 5005 reais<br />
(verifique), a sua probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ganhar o prêmio é aproximadamente igual a 1/10000 ou<br />
0,01%. Portanto, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que você perca o seu dinheiro é bem gran<strong>de</strong> (99,99%). Se<br />
você é capaz <strong>de</strong> per<strong>de</strong>r cerca <strong>de</strong> 5000 reais sem se importar, é lógico que é uma pessoa que<br />
não precisa <strong>de</strong> loterias.<br />
b) Aposte, <strong>de</strong> preferência <strong>no</strong>s concursos <strong>de</strong> final zero – Nesses concursos você não estará<br />
contribuindo para o prêmio <strong>de</strong> futuros ganhadores, estará concorrendo a um prêmio maior e<br />
principalmente a quantias que os outros já per<strong>de</strong>ram.<br />
Para justificar a fraqueza <strong>de</strong> alguns em arriscar <strong>de</strong> vez em<br />
quando, veja que, se você po<strong>de</strong>, sem sacrifício dispor <strong>de</strong> 10 reais<br />
por semana e <strong>de</strong>cidir aplicá-los num investimento <strong>de</strong> cerca <strong>de</strong> 1%<br />
<strong>de</strong> juros ao mês, teria, em valores corrigidos, cerca <strong>de</strong> 678 reais<br />
após um a<strong>no</strong> e. conseqüentemente, cerca <strong>de</strong> 52 000 reais após<br />
20 a<strong>no</strong>s. Com esse procedimento, sua probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ficar rico<br />
é zero. Se você jogar 10 reais por semana, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que<br />
fique rico é quase zero, mas não é zero...(po<strong>de</strong>remos conferir<br />
esses dados <strong>no</strong> curso <strong>de</strong> Matemática Financeira Básica).<br />
Adaptado da Revista do Professor <strong>de</strong> Matemática, nº 43 - Flavio Wagner Rodrigues (IME-USP)<br />
EXERCÍCIOS:<br />
1) DETERMINE AS PROBABILIDADES DE ACERTAR NA SENA, NA QUINA E NA<br />
QUADRA, DE UM CONCURSO DA MEGA SENA, PARA UM APOSTADOR QUE JOGOU<br />
12 DEZENAS.<br />
2) QUANTAS QUADRAS E QUINAS ACERTOU TAMBÉM UM JOGADOR QUE APOSTOU<br />
10 DEZENAS E ACERTOU A SENA?<br />
3) VAMOS CONFERIR, USANDO A ANÁLISE COMBINATÓRIA, TODOS OS DADOS<br />
CONTIDOS NAS TABELA DA MEGA-SENA APRESENTADA A SEGUIR:<br />
Valor das Probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Acerto (1 em .......)<br />
Jogadas<br />
Apostas Sena Quina Quadra<br />
6 1,00 50.063.860 154.518 2.332<br />
7 7,00 7.151.980 44.981 1.038<br />
8 28,00 1.787.995 17.192 539<br />
9 84,00 595.998 7.791 312<br />
10 210,00 238.399 3.973 195<br />
11 462,00 108.363 2.211 129<br />
12 924,00 54.182 1.317 90<br />
13 1.716,00 29.175 828 65<br />
14 3.003,00 16.671 544 48<br />
15 5.005,00 10.003 370 37<br />
5.5. VERIFIQUE QUE NÃO HÁ UM ÚNICO CAMINHO CORRETO...<br />
Uma questão que se coloca muitas vezes perante os problemas <strong>de</strong> Probabilida<strong>de</strong>s é o fato <strong>de</strong><br />
que eles <strong>no</strong>rmalmente possibilitam várias formas distintas <strong>de</strong> solução.<br />
Quase sempre isso ocorre porque, perante a situação <strong>de</strong>scrita <strong>no</strong> problema, po<strong>de</strong>mos encontrar<br />
diversos espaços amostrais, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ndo da abordagem que se faça. Para calcular a<br />
probabilida<strong>de</strong> aplicando a <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> Carda<strong>no</strong>/Laplace, <strong>de</strong>vemos dividir o número <strong>de</strong> casos<br />
favoráveis pelo número <strong>de</strong> casos possíveis. Ora, a cada espaço <strong>de</strong> resultados irá
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 86<br />
correspon<strong>de</strong>r um diferente número <strong>de</strong> casos possíveis e, claro, um diferente número <strong>de</strong> casos<br />
favoráveis.<br />
O principal cuidado a ter é usar exatamente o mesmo método na contagem dos casos favoráveis<br />
e na contagem dos casos possíveis, ou seja, não mudar <strong>de</strong> espaço <strong>de</strong> resultados durante a<br />
resolução.<br />
Vamos tomar como exemplo um problema e os vários modos <strong>de</strong> resolvê-lo:<br />
Três bilhetes <strong>de</strong> cinema<br />
A professora <strong>de</strong> História resolveu levar os seus 15 alu<strong>no</strong>s para ver um filme. Como o cinema<br />
tem filas <strong>de</strong> precisamente 15 ca<strong>de</strong>iras, comprou uma fila inteira e distribuiu os bilhetes ao<br />
acaso pelos alu<strong>no</strong>s. As alunas Ana, Beth e Carla, por serem muito amigas, gostariam <strong>de</strong><br />
ficar juntas e numa das extremida<strong>de</strong>s da fila.<br />
Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que isso ocorra?<br />
Fazer um esquema ajuda, muitas vezes, a visualizar melhor o que se passa.<br />
As três amigas querem ficar <strong>no</strong>s lugares 1, 2 e 3 ou 13, 14 e 15. Existem pelo me<strong>no</strong>s quatro<br />
processos <strong>de</strong> resolver o problema.<br />
1º Processo<br />
Vamos pensar apenas <strong>no</strong>s três bilhetes <strong>de</strong>stinados às três amigas, não <strong>no</strong>s interessando a<br />
or<strong>de</strong>m como elas ocuparão <strong>de</strong>pois esses três lugares.<br />
O espaço <strong>de</strong> resultados é o conjunto dos ter<strong>no</strong>s não or<strong>de</strong>nados. Por exemplo, um dos seus<br />
elementos é o ter<strong>no</strong> {5, 7, 15}, que correspon<strong>de</strong> às três amigas receberem os bilhetes 5, 7 e 15<br />
embora não saibamos o lugar exato em que cada uma <strong>de</strong>las se vai sentar.<br />
Os casos possíveis são as diferentes maneiras <strong>de</strong>las receberem os 3 bilhetes <strong>de</strong> um conjunto <strong>de</strong><br />
15, ou seja, todos os ter<strong>no</strong>s não or<strong>de</strong>nados formados a partir do conjunto <strong>de</strong> 15 bilhetes.<br />
Casos Possíveis = C 15,3<br />
= 455<br />
Os casos favoráveis são apenas 2: ou recebem os bilhetes 1-2-3 ou os bilhetes 13-14-15.<br />
P(ficarem juntas numa ponta) = 2<br />
455<br />
2º Processo<br />
Vamos pensar <strong>no</strong>s três bilhetes <strong>de</strong>stinados às três amigas, mas interessando-<strong>no</strong>s agora a or<strong>de</strong>m<br />
como elas ocuparão <strong>de</strong>pois esses três lugares. Continuamos a ig<strong>no</strong>rar os outros 12 bilhetes.<br />
O espaço <strong>de</strong> resultados é o conjunto dos ter<strong>no</strong>s or<strong>de</strong>nados. Por exemplo, um dos seus<br />
elementos é o ter<strong>no</strong> {5, 7, 15}, ou seja, a Ana fica <strong>no</strong> lugar 5, a Bela <strong>no</strong> 7 e a Carla <strong>no</strong> 15.<br />
Os casos possíveis são, portanto as diferentes maneiras <strong>de</strong> elas receberem 3 bilhetes <strong>de</strong> um<br />
conjunto <strong>de</strong> 15, mas em que a or<strong>de</strong>m por que recebem os bilhetes é importante.<br />
Casos Possíveis = A 15,3<br />
= 2730<br />
Se os bilhetes que elas receberem forem 1, 2 e 3, como a or<strong>de</strong>m interessa, há seis maneiras <strong>de</strong><br />
elas os ocuparem (são as permutações <strong>de</strong> 3). O mesmo se passa para os bilhetes 13, 14 e 15.<br />
Logo, os casos favoráveis são 2 × P 3 , ou seja, 12.<br />
P(ficarem juntas numa ponta) = 12<br />
2730 = 2<br />
455<br />
3º Processo<br />
Desta vez vamos consi<strong>de</strong>rar todas as maneiras como os 15 alu<strong>no</strong>s po<strong>de</strong>m sentar-se <strong>no</strong>s 15<br />
lugares.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 87<br />
O espaço <strong>de</strong> resultados é constituído por todas as permutações dos 15 alu<strong>no</strong>s pelas ca<strong>de</strong>iras.<br />
Os casos possíveis são, portanto as permutações <strong>de</strong> 15. Casos Possíveis = P 15 = 15!<br />
Se as três amigas ficarem <strong>no</strong>s lugares 1, 2 e 3, po<strong>de</strong>m permutar entre si, e os outros 12 alu<strong>no</strong>s<br />
também. O mesmo se passa se ficarem <strong>no</strong>s três últimos lugares. Então:<br />
Casos Favoráveis = 2 × P 3 × P 12<br />
P(ficarem juntas numa ponta) = 2 × P 3 × P 12<br />
P 15<br />
= 2<br />
455<br />
4º Processo<br />
Vamos calcular a probabilida<strong>de</strong> pedida admitindo que os bilhetes vão ser entregues um a um às<br />
três amigas.<br />
A primeira vai receber o seu bilhete. Dos 15 lugares, há 6 que lhe servem (os três primeiros e os<br />
três últimos).<br />
Chegou a vez da segunda. Há 14 bilhetes e a ela só servem os dois lugares que restam na<br />
ponta on<strong>de</strong> a primeira ficou.<br />
Finalmente, a terceira, dos 13 bilhetes restantes, tem <strong>de</strong> receber o único que sobra na ponta<br />
on<strong>de</strong> estão as amigas.<br />
P(ficarem juntas numa ponta) = 6<br />
15 × 2<br />
14 × 1<br />
13 = 12<br />
2730 = 2<br />
455 .<br />
5.6) Probabilida<strong>de</strong> e Favorabilida<strong>de</strong>:<br />
(Erros comuns que são cometidos <strong>no</strong> cotidia<strong>no</strong>)<br />
Trataremos agora <strong>de</strong> alguns aspectos simples da Teoria das Probabilida<strong>de</strong>s e que<br />
<strong>no</strong>rmalmente não são explorados em sala <strong>de</strong> aula.<br />
• confusão entre as duas medidas usuais <strong>de</strong> chance ou acaso: probabilida<strong>de</strong> e<br />
favorabilida<strong>de</strong> (Chance)<br />
• a <strong>no</strong>ção <strong>de</strong> valor esperado ou esperança matemática.<br />
a) Confusão entre as medidas usuais <strong>de</strong> chance ou acaso<br />
Existem duas medidas <strong>de</strong> chance: a probabilida<strong>de</strong> e a favorabilida<strong>de</strong>. As duas são<br />
facilmente relacionáveis, mas enquanto a escola trata exclusivamente da probabilida<strong>de</strong>,<br />
muitas são as situações do cotidia<strong>no</strong> on<strong>de</strong> se usa exclusivamente a favorabilida<strong>de</strong>, como é<br />
o caso dos jogos esportivos e as apostas em jogos <strong>de</strong> azar. Além disso, a <strong>no</strong>ção <strong>de</strong><br />
favorabilida<strong>de</strong> está mais próxima da medida subjetiva <strong>de</strong> chance. Está assim <strong>de</strong>lineada uma<br />
situação que ten<strong>de</strong> a produzir confusões. Vale a pena recordarmos esses conceitos:<br />
<br />
A probabilida<strong>de</strong> p <strong>de</strong> ocorrer um evento é o quociente entre a quantida<strong>de</strong> ou<br />
medida dos casos favoráveis pela quantida<strong>de</strong> ou medida <strong>de</strong> todas as possibilida<strong>de</strong>s<br />
(favoráveis ou <strong>de</strong>sfavoráveis). Já a favorabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong>sse evento é o quociente entre<br />
as quantida<strong>de</strong> ou medida <strong>de</strong> casos favoráveis pela dos casos <strong>de</strong>sfavoráveis.<br />
No caso <strong>de</strong> um evento com um número finito <strong>de</strong> resultados, b bons ou favoráveis e r ruins<br />
ou <strong>de</strong>sfavoráveis, temos que essas <strong>de</strong>finições po<strong>de</strong>m ser escritas como:<br />
p = b / ( r + b )<br />
f = b / r<br />
É imediato ver que o valor <strong>de</strong> p (da probabilida<strong>de</strong>) sempre tem <strong>de</strong> estar entre 0 e 1, e o valor<br />
f (da favorabilida<strong>de</strong>) entre 0 e infinito.<br />
As duas medidas implicam um modo diferente <strong>de</strong> pensar. Por exemplo:<br />
• em termos <strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong>, um evento tem mais chance <strong>de</strong> ocorrer do que <strong>de</strong> não<br />
ocorrer quando sua probabilida<strong>de</strong> for maior do que 0.5 = 50%.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 88<br />
• em termos <strong>de</strong> favorabilida<strong>de</strong>, um evento tem mais chance <strong>de</strong> ocorrer do que <strong>de</strong> não<br />
ocorrer quando sua favorabilida<strong>de</strong> for maior do que um.<br />
Apesar <strong>de</strong>ssa diferença, as duas <strong>no</strong>ções estão relacionadas. Com efeito, uma rápida<br />
manipulação algébrica <strong>no</strong>s permite expressar uma em termos da outra:<br />
p = f / ( 1 + f )<br />
f = p / ( 1 - p ) (VERIFIQUE)<br />
EXEMPLO 1<br />
Um micro-empresário concluiu que há uma chance <strong>de</strong> 3 em 2 que seu <strong>no</strong>vo negócio tenha<br />
sucesso. Traduzir isso em termos <strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong>.<br />
Solução:<br />
O empresário expressou-se da maneira comum <strong>no</strong> cotidia<strong>no</strong>. Traduzindo isso para a<br />
termi<strong>no</strong>logia matemática, ele disse que a favorabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> seu negócio ter sucesso é f = 3/2<br />
= 1,5, <strong>de</strong> modo que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sucesso é p = 1,5/2,5 = 0.6 = 60% .<br />
EXEMPLO 2<br />
Vejamos agora uma situação mais propensa a confusões: tratemos <strong>de</strong> expressar a chance<br />
<strong>de</strong> tirarmos um 3 ao lançarmos um dado.<br />
Se usarmos a probabilida<strong>de</strong> como medida <strong>de</strong> chance, diremos que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
sucesso é 1 / 6.<br />
Mas o jogador prefere dizer que a favorabilida<strong>de</strong> do sucesso é 1 / 5. Claro que maior<br />
confusão resultará se o jogador afirmar que a chance <strong>de</strong> sucesso é 1 / 5. O ouvinte po<strong>de</strong>rá<br />
enten<strong>de</strong>r que ele estava se referindo à probabilida<strong>de</strong>.<br />
A principal razão dos apostadores preferirem a favorabilida<strong>de</strong>, em vez <strong>de</strong> a<br />
probabilida<strong>de</strong>, é que essa lhe permite formular diretamente suas apostas. Com efeito, se ele<br />
acha que tem favorabilida<strong>de</strong> 3/2 <strong>de</strong> ganhar, ele está pronto para apostar R$ 3 000 contra<br />
R$ 2 000, ou R$ 150 contra R$ 100, etc.<br />
Isso leva a outro aspecto interessante. A maioria dos jogadores escolhe sua aposta <strong>de</strong> um<br />
modo intuitivo e assim, ao dizer que aposta R$ 300 contra $ 200, nem sempre significa que<br />
ele tenha calculado o verda<strong>de</strong>iro valor da favorabilida<strong>de</strong> e que a mesma tenha dado f = 3/2.<br />
Caso isso efetivamente ocorra, dizemos que a aposta é honesta.<br />
EXEMPLO 3<br />
O time <strong>de</strong> José mantém uma performance <strong>de</strong> 8 vitórias por cada 9 partidas jogadas e José,<br />
confiante, aposta R$ 30 contra R$ 4 que seu time <strong>de</strong> futebol ganha a próxima partida.<br />
Pergunta-se: essa aposta é honesta?<br />
Solução:<br />
Para respon<strong>de</strong>r, precisamos calcular a chance <strong>de</strong> vitória <strong>de</strong> seu time.<br />
Po<strong>de</strong>remos dizer que p = 8/9 e que f = 8/9 / ( 1 - 8/9 ) = 8. De modo que a aposta seria<br />
honesta se fosse R$ 32 contra R$ 4. Como são apenas R$ 30 contra os R$ 4, José está<br />
fazendo uma aposta <strong>de</strong>sonesta e que o favorece.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 89<br />
c) Esperança Matemática ou Valor Esperado<br />
Esse conceito surgiu antes da <strong>no</strong>ção <strong>de</strong> probabilida<strong>de</strong>. Historicamente, foi introduzido para<br />
quantificar o provável ganho <strong>de</strong> um jogador, mas hoje é aplicado nas mais diversas<br />
situações. Como é muito mal entendido, vale a pena recordar sua <strong>de</strong>finição:<br />
DEFINICÃO:<br />
Se uma variável aleatória assume valores v 1 , v 2 , ... , v n cujas probabilida<strong>de</strong>s são,<br />
respectivamente: p 1 , p 2 , ... , p n, sendo que p 1 + p 2 + ... + p n = 1, então o valor<br />
esperado <strong>de</strong>ssa variável é:<br />
v 1 p 1 + v 2 p 2 + ... + v n p n<br />
EXEMPLO 1<br />
O gover<strong>no</strong> avalia em 22%, 36%, 28% e 14% a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que a venda da estatal XYZ<br />
renda um lucro <strong>de</strong> R$ 2 500, R$ 1 500 e R$ 500, ou um prejuízo <strong>de</strong> R$ 500 (em milhares <strong>de</strong><br />
reais). Qual o lucro esperado?<br />
Solução:<br />
valor esperado = 2 500*0.22 + 1500*0.36 + 500*0.28 - 500*0.14 = 1 160 milhares <strong>de</strong> reais.<br />
EXEMPLO 2<br />
Usando a <strong>no</strong>ção <strong>de</strong> valor esperado, po<strong>de</strong>mos facilmente ver o quão equivocada é a<br />
expectativa dos apostadores <strong>de</strong> jogos <strong>de</strong> cassi<strong>no</strong>, jogo do bicho e loterias. Nesses jogos, em<br />
média, o jogador sempre per<strong>de</strong>.<br />
Comecemos por uma loteria simples e fácil <strong>de</strong> enten<strong>de</strong>r: jogadores apostam $5 em um<br />
número <strong>de</strong> 000 a 999, recebendo $ 2 500 se o mesmo for sorteado. Interessado? Vejamos:<br />
as probabilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> acertar e errar são: 0.001 e 0.999, <strong>de</strong> modo que, em cada aposta, o<br />
jogador em média recebe: 2500 * 0.001 - 5 * 0.999 = -2,495, ou seja: ele per<strong>de</strong>, em média,<br />
$ 2.50 cada vez que jogar.<br />
No caso da roleta mais comumente usada <strong>no</strong> Brasil: a roda traz os números <strong>de</strong> 1 a 36 e<br />
mais duas casas especiais <strong>de</strong><strong>no</strong>tadas por 0 e 00. Na aposta chamada "jogo <strong>no</strong> ple<strong>no</strong>" o<br />
jogador aposta num <strong>de</strong>sses 38 números e o cassi<strong>no</strong> paga $36 por cada $1 apostado.<br />
Conseqüentemente, o ganho esperado do jogador é:<br />
36 * 1/38 - 1 * 37/38 = -0.0263<br />
Ou seja, o jogador per<strong>de</strong>, em média, $ 0.0263 por cada $1 jogado. Observe que é mais<br />
lucrativo ter cassi<strong>no</strong> do que loteria. Procure verificar que o roubo ainda é maior se forem<br />
usadas mais duas casas, lua e meia-lua, e que fica me<strong>no</strong>r <strong>no</strong> caso das chamadas roletas<br />
internacionais, que tem os números <strong>de</strong> 1 a 36 e mais uma casa 0. Deu para enten<strong>de</strong>r por<br />
que tantas "boas almas" querem a legalização dos cassi<strong>no</strong>s <strong>no</strong> Brasil ?<br />
Probabilida<strong>de</strong> X Genética<br />
5.7) Aplicações na Área Biomédica – Genética<br />
Um dos ramos <strong>de</strong> gran<strong>de</strong> aplicabilida<strong>de</strong> do cálculo combinatório e das probabilida<strong>de</strong>s é a<br />
Genética. Vamos agora enfocar os elementos básicos para que um professor <strong>de</strong> matemática<br />
possa usar em suas aulas, exemplos relacionados com a biologia ou mesmo com a medicina.<br />
A) Elementos <strong>de</strong> Genética:<br />
Nos organismos vivos existem duas <strong>parte</strong>s componentes: o soma e o gérmem. A segunda <strong>parte</strong><br />
é relacionada com a reprodução, que <strong>no</strong>s animais correspon<strong>de</strong> aos gametas (óvulo e<br />
espermatozói<strong>de</strong>). Esses gametas, tanto os masculi<strong>no</strong>s como os femini<strong>no</strong>s, transportam 23
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 90<br />
cromossomas que são estruturas em forma <strong>de</strong> filamentos. Nos cromossomas é que estão<br />
contidos os gens, que são os responsáveis pela transmissão dos caracteres hereditários.<br />
Quando há fecundação (união do espermatozói<strong>de</strong> ao óvulo) forma-se a célula ovo ou zigoto,<br />
com 46 cromossomas, dispostos aos pares – é o início <strong>de</strong> uma <strong>no</strong>va vida. Os dois cromossomas<br />
que constituem cada par são <strong>de</strong><strong>no</strong>minados cromossomas homólogos e os gens que se localizam<br />
<strong>no</strong> mesmo lugar <strong>no</strong>s cromossomas homólogos são os que chamamos <strong>de</strong> alelos.<br />
Os gens po<strong>de</strong>m ser dominantes ou recessivos e costuma-se indicar os dominantes por letras<br />
maiúsculas e os recessivos por letras minúsculas, <strong>de</strong>ssa forma, um par representado por AA<br />
significa dois gens dominantes.<br />
Quando um organismo tem dois alelos iguais para uma <strong>de</strong>terminada característica (AA, se dois<br />
dominantes ou aa, se dois recessivos) dizemos que os gens para esse caráter estão em<br />
homozigose e o organismo, para essa característica é homozigoto. Quando os gens são<br />
diferentes (Aa, um dominante e um recessivo), dizemos que há heterozigose e o organismo é<br />
dito heterozigoto para essa característica.<br />
O gen dominante quer esteja em homozigose ou em heterozigose manifesta seu caráter. O gen<br />
recessivo só po<strong>de</strong> se expressar quando estiver em homozigose (aa).<br />
B) Mo<strong>de</strong>lo Matemático:<br />
Geração parental (gametas – 50% A e 50% a) A é dominante e a é recessivo.<br />
Aa x Aa<br />
A a A a<br />
AA Aa aA aa<br />
1<br />
1<br />
4 4 4 4<br />
1<br />
1<br />
O quadro <strong>de</strong> possibilida<strong>de</strong>s com suas respectivas probabilida<strong>de</strong>s é o seguinte:<br />
A<br />
1<br />
2<br />
a<br />
1<br />
2<br />
A<br />
a<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
AA<br />
Aa<br />
1<br />
4<br />
1<br />
4<br />
Aa<br />
aa<br />
1<br />
4<br />
1<br />
4<br />
APLICAÇÕES:<br />
1) Um casal heterozigoto com pigmentação <strong>no</strong>rmal teve como primogênito uma criança albina.<br />
Determinar a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que seus dois próximos filhos sejam albi<strong>no</strong>s, lembrando que<br />
albinismo é <strong>de</strong>terminado por um gene recessivo a.<br />
SOLUÇÃO<br />
Se olharmos a tabela e o mo<strong>de</strong>lo mostrados anteriormente, <strong>no</strong>tamos que, pelo fato <strong>de</strong> ser um<br />
gene recessivo, essa característica só se manifestará <strong>no</strong> caso aa ( 4<br />
1 ). Lembramos também que
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 91<br />
o fato da primeira criança ter sido albina não influenciará, nesse aspecto, o hereditarieda<strong>de</strong> das<br />
1<br />
futuras crianças. Logo, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> nascer uma criança albina será <strong>de</strong> , e a <strong>de</strong> que os<br />
4<br />
1 1 1<br />
dois próximos filhos sejam albi<strong>no</strong>s será <strong>de</strong> . = = 6,25%.<br />
4 4 16<br />
2) A queratose (a<strong>no</strong>malia na pele) é <strong>de</strong>vida a um gene dominante Q. Uma mulher com<br />
queratose, cujo pai era <strong>no</strong>rmal, casa-se com um homem com queratose, cuja mãe era <strong>no</strong>rmal.<br />
Se esse casal tiver 3 filhos, <strong>de</strong>termine a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que os três apresentem queratose.<br />
SOLUÇÃO:<br />
Mulher<br />
Homem<br />
Qq x Qq<br />
QQ Qq Qq qq<br />
Q é dominante, logo p = 4<br />
3 para cada filho nascido com queratose. Como os eventos<br />
são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, teremos para os três nascerem com a a<strong>no</strong>malia, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong>:<br />
3 3 3 27 . . = = 42,19%<br />
4 4 4 64<br />
5.8) DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL EM PROBABILIDADES<br />
Consi<strong>de</strong>remos um experimento com apenas dois resultados possíveis, que chamaremos <strong>de</strong><br />
sucesso e seu complementar, que chamaremos <strong>de</strong> fracasso. Vamos representar por s, a<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrência do sucesso e por f = 1 – s, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrência do<br />
fracasso.<br />
Por exemplo:<br />
Jogamos um dado honesto e consi<strong>de</strong>ramos sucesso a obtenção do números 3 ou 4. O fracasso<br />
2 1 4 2<br />
será constituído dos resultados: 1, 2, 5 ou 6. Teremos, nesse caso, s = = e f = = .<br />
6 3 6 3<br />
Note, <strong>no</strong>s dois exemplos apresentados que s + f = 1 ou 100%.<br />
Temos o seguinte teorema, <strong>de</strong><strong>no</strong>minado Teorema Bi<strong>no</strong>mial em Probabilida<strong>de</strong>:<br />
“A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrerem exatamente k sucessos em uma seqüência <strong>de</strong> n provas<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, na qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sucesso em cada prova é s e a <strong>de</strong> fracasso é f<br />
k nk<br />
= 1 - s, é igual a Cn<br />
,<br />
s . f ”<br />
k.<br />
Vamos fixar da seguinte forma: obtenção dos sucessos nas k primeiras provas e dos fracassos,<br />
nas n – k provas seguintes. Dessa forma, aplicando o princípio multiplicativo, teremos a<br />
k nk<br />
probabilida<strong>de</strong> s.s.s..... (k fatores). f.f.f.f... (n – k) fatores, ou seja: s . f
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 92<br />
É claro que, em outra or<strong>de</strong>m, a probabilida<strong>de</strong> seria a mesma pois apenas a or<strong>de</strong>m dos fatores se<br />
alteraria. A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> obtermos k sucessos e n – k fracassos, em qualquer or<strong>de</strong>m é:<br />
k nk<br />
s . f . Como temos C<br />
n , k or<strong>de</strong>ns possíveis, teremos o resultado esperado:<br />
. k nk<br />
Cn<br />
, k<br />
s . f<br />
APLICAÇÕES:<br />
1) Um alu<strong>no</strong> marca, ao acaso, as respostas em um teste <strong>de</strong> múltipla-escolha, com 10<br />
questões e cinco alternativas para cada uma, com apenas uma certa. Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong>le<br />
acertar exatamente 4 questões?<br />
Solução:<br />
Sabemos que s = 1/5 ou 0,2 e que f = 4/5 ou 0,8. Como queremos exatamente 4 sucessos em<br />
n = 10 provas e os eventos são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, po<strong>de</strong>mos aplicar o teorema bi<strong>no</strong>mial:<br />
4 6<br />
P = C 10<br />
.0,2 .0,8 = 0,088 ou 8,8%<br />
, 4<br />
2) Risco do efeito fatal – Admitamos que a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que uma pessoa não morra, <strong>no</strong><br />
prazo <strong>de</strong> um mês após uma <strong>de</strong>terminada operação <strong>de</strong> câncer é 82%. Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
que três pessoas que fizeram tal operação sobrevivam, ou seja, não morram em até um mês da<br />
cirurgia?<br />
Solução:<br />
Temos, neste caso, s = 0,82 e f = 0,18. Estamos querendo que os três sobrevivam, ou seja,<br />
k= 3, então teremos:<br />
3 0<br />
P= C 3<br />
.0,82 .0,18 = 0,5514 ou 55,14%<br />
,3<br />
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – PROBABILIDADES<br />
1 – Uma moeda é viciada, <strong>de</strong> forma que as caras são três vezes mais prováveis <strong>de</strong><br />
aparecer do que as coroas. Determine a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> num lançamento sair coroa.<br />
Solução:<br />
Seja k a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair coroa. Pelo enunciado, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair cara é igual a<br />
3k. A soma <strong>de</strong>stas probabilida<strong>de</strong>s tem <strong>de</strong> ser igual a 1.<br />
Logo, k + 3k = 1 então k = 1/4.<br />
Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%.<br />
2 – Um dado é viciado, <strong>de</strong> modo que cada número par tem duas vezes mais chances <strong>de</strong><br />
aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> num<br />
lançamento aparecer um número primo.<br />
Solução:<br />
Pelo enunciado, po<strong>de</strong>mos escrever: p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5).<br />
Seja p(2) = k. Po<strong>de</strong>remos escrever: p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1,<br />
ou seja: a soma das probabilida<strong>de</strong>s dos eventos elementares é igual a 1.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 93<br />
Então, substituindo, vem:<br />
k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1, logo, teremos k = 2/9.<br />
Assim, temos:<br />
p(2) = p(4) = p(6) = 2/9<br />
p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.<br />
O evento sair número primo correspon<strong>de</strong> a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo,<br />
p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.<br />
3 – Das 10 alunas <strong>de</strong> uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas <strong>de</strong>las são escolhidas ao acaso,<br />
qual é a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ambas terem os olhos azuis?<br />
Solução:<br />
Existem C 10,2 possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C 3,2<br />
possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> escolher duas alunas <strong>de</strong> olhos azuis entre as três. Logo, a probabilida<strong>de</strong><br />
procurada será igual a:<br />
P = C 3,2 / C 10,2 = 3/45 = 1/15<br />
4) Lança-se um dado 8 vezes. Qual a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair exatamente 5 números iguais a<br />
3?<br />
Solução:<br />
Sejam os eventos: Evento A: sair o número 3; Evento complementar <strong>de</strong> A = A’: não sair o<br />
número 3. Teremos: p(A) = 1/6 = p e p(A’) = 1 – 1/6 = 5/6<br />
Portanto, a probabilida<strong>de</strong> procurada, aplicando-se o teorema bi<strong>no</strong>mial, será dada por:<br />
0,0042 ou 0,42%<br />
5) UNESP 2000 - Numa cida<strong>de</strong> com 30000 domicílios, 10000 domicílios recebem<br />
regularmente o jornal da loja <strong>de</strong> eletrodomésticos X, 8000 recebem regularmente o jornal do<br />
supermercado Y e meta<strong>de</strong> do número <strong>de</strong> domicílios não recebe nenhum dos dois jornais.<br />
Determine a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um domicílio da cida<strong>de</strong>, escolhido ao acaso, receber o jornal<br />
da loja <strong>de</strong> eletrodoméstico X e não receber o jornal do supermercado Y.<br />
SOLUÇÃO:<br />
Seja n o número <strong>de</strong> pessoas que recebem os dois<br />
jornais:<br />
Teremos: 10000 - n + n + 8000 - n = 15 000<br />
Logo, n = 3000.<br />
Portanto, 3000 domicílios recebem os dois<br />
jornais.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 94<br />
Dessa forma, teremos 10 000 – 3000 = 7000 domicílios que só recebem o jornal do<br />
supermercado X. Logo, a probabilida<strong>de</strong> procurada será 7000 / 30 000 = 0,233 = 23,3 %<br />
EXERCÍCIOS GERAIS – PROBABILIDADES – QUESTÕES DE CONCURSOS<br />
1)(Concurso para Professores do Ensi<strong>no</strong> Médio – Gover<strong>no</strong> do Estado do Rio <strong>de</strong><br />
Janeiro – 1990)<br />
A tabela seguinte fornece, por sexo e por curso, o número <strong>de</strong> estudantes matriculados<br />
num colégio estadual.<br />
Homens Mulheres<br />
Form. Geral 400 200<br />
Form. De<br />
Professores<br />
80 320<br />
Escolhendo, ao acaso, um <strong>de</strong>sses estudantes obtenha as seguintes probabilida<strong>de</strong>s:<br />
A) do elemento escolhido ser homem ou ser do curso <strong>de</strong> formação geral<br />
B) do elemento escolhido ser mulher, dado que é do curso <strong>de</strong> formação <strong>de</strong> professores.<br />
2) (Concurso para Professores – Macaé – Ensi<strong>no</strong> Fundamental)<br />
Uma comissão <strong>de</strong> 3 elementos será escolhida entre os alu<strong>no</strong>s: Ari, Bernardo, Carlos,<br />
David, Eurico, Fernando e Gustavo. A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Gustavo pertencer a essa<br />
comissão é <strong>de</strong>, aproximadamente:<br />
a) 43% b) 45% c) 47% d) 49%<br />
3) (Concurso para Professores CEI – RJ – 1996)<br />
Observe a figura abaixo.<br />
0<br />
1 1<br />
2 3<br />
2<br />
Esta figura sugere uma roleta <strong>de</strong> um programa <strong>de</strong> televisão. Gira-se o ponteiro e a<strong>no</strong>tase<br />
o número que ele aponta ao parar; repete-se a operação. A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que o<br />
produto dos números obtidos seja igual a 6, é:<br />
a) 1/9 b) 1/6 c) ¼ d) 1/3 e) ½<br />
4) (Concurso para Professores – Ensi<strong>no</strong> Médio – Re<strong>de</strong> Estadual RJ – 1997)<br />
Um jogo <strong>de</strong> loteria, conhecido como Quina da Felicida<strong>de</strong>, é composto <strong>de</strong> uma cartela<br />
numerada <strong>de</strong> 1 a 50 (01, 02, ....50). É consi<strong>de</strong>rado vencedor o apostador que conseguir<br />
acertar a quina (coleção <strong>de</strong> 5 números) sorteada <strong>de</strong>ntre os 50 números. João fez apenas<br />
um jogo com 10 <strong>de</strong>zenas e Pedro fez 50 jogos distintos <strong>de</strong> 5 <strong>de</strong>zenas. Quem tem maior<br />
probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> vencer? Quais são essas probabilida<strong>de</strong>s?<br />
5) (Concurso para Professores – Ensi<strong>no</strong> Fundamental – SME Valença RJ – 1998)<br />
A turma 801 da Escola Esperança é constituída <strong>de</strong> 12 meninas e 8 meni<strong>no</strong>s. Com o<br />
objetivo <strong>de</strong> organizar uma gincana na escola, <strong>de</strong>seja-se selecionar 3 alu<strong>no</strong>s para<br />
representantes <strong>de</strong> turma. Qual a probabilida<strong>de</strong> aproximada <strong>de</strong> que essa comissão <strong>de</strong><br />
representantes tenha exatamente 2 meninas e 1 meni<strong>no</strong>?<br />
6) (Concurso para Professores – Ensi<strong>no</strong> Fundamental – SME <strong>de</strong> São Gonçalo RJ –<br />
1998)<br />
Dois dados (cúbicos) distintos e honestos são lançados sobre uma mesa. A<br />
probabilida<strong>de</strong> da soma dos valores obtidos nas faces superiores ser igual a 5 é <strong>de</strong>:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 95<br />
a) 1/3 b) ¼ c) 1/5 d) 1/6 e) 1/9<br />
7) (Concurso para Professores – Ensi<strong>no</strong> Médio – FAETEC RJ – 1998)<br />
Num setor em que trabalham 6 homens e 4 mulheres, será escolhida, por sorteio, uma<br />
comissão <strong>de</strong> 2 representantes <strong>de</strong>sse setor. A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que a comissão venha a<br />
ser formada somente por homens é <strong>de</strong>:<br />
a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6<br />
8) (Concurso para Professores – Fundação Educacional <strong>de</strong> Barra Mansa – 1998)<br />
Uma caixa contém 200 bolas numeradas <strong>de</strong> 1 a 200. Retirando-se uma <strong>de</strong>las ao acaso,<br />
a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que ela esteja numerada com um número múltiplo <strong>de</strong> 13 é <strong>de</strong>:<br />
a) 6,5% b) 7,0% c) 7,5% d) 8,0% e) 8,5%<br />
9) (Concurso <strong>de</strong> Professores – SME do Rio <strong>de</strong> Janeiro – 1998)<br />
Teresa <strong>de</strong>seja comprar 2 periquitos numa loja que tem igual número <strong>de</strong> machos e<br />
fêmeas. Se Teresa escolhe ao acaso dois periquitos, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que ela compre<br />
dos periquitos machos é:<br />
a) 25% b) 50% c) 75% d) 80% e) 85%<br />
8) (Concurso <strong>de</strong> Professores – SME <strong>de</strong> Mesquita – 2002)<br />
Retirando-se 4 bolas <strong>de</strong> uma caixa contendo 3 bolas brancas, 4 bolas vermelhas e 5<br />
bolas pretas, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que pelo me<strong>no</strong>s uma das 4 bolas retiradas seja branca<br />
é:<br />
a) 41/55 b) 14/55 c) 55/14 d) 1/55<br />
12) (Concurso para Professores – Ensi<strong>no</strong> Médio – Re<strong>de</strong> Estadual RJ – 2001)<br />
Marcos e Celia querem ter 3 filhos. A chance <strong>de</strong> que o casal tenha três filhas é <strong>de</strong>:<br />
a) 11% b) 12,5% c) 33,3% d) 37,5%<br />
13) (Concurso para Professores – Ensi<strong>no</strong> Médio – Re<strong>de</strong> Estadual RJ – 2001)<br />
Oito pontos sobre uma circunferência são os vértices <strong>de</strong> um octógo<strong>no</strong> regular. Se 4<br />
<strong>de</strong>sses oito pontos forem escolhidos aleatoriamente, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> se obter um<br />
quadrado é:<br />
a) 1/70 b) 1/35 c) 2/35 d) 2/7<br />
14) (Concurso para Professores – Ensi<strong>no</strong> Fundamental – SME <strong>de</strong> Duque <strong>de</strong> Caxias – 2002)<br />
Em um grupo <strong>de</strong> 20 pessoas, a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> que nele haja, pelo me<strong>no</strong>s, duas<br />
pessoas nascidas num mesmo mês é igual a:<br />
a) 0,12 b) 0,6 c) 0,8 d) 1 e) 5/3<br />
15) (Concurso para Professores – Ensi<strong>no</strong> Fundamental – SME <strong>de</strong> Niterói – 2003)<br />
Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. A probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sair a soma<br />
me<strong>no</strong>r do que 5, nas faces voltadas para cima <strong>de</strong>sses dois dados, é:<br />
a) 1/18 b) 5/18 c) 1/9 d) 1/36 e) 5/9<br />
01) a) 68%<br />
b) 80%<br />
GABARITO<br />
02) A 03) A<br />
04) João<br />
0,000119 e<br />
0,000024<br />
05) 46 %<br />
06) E 07) B 08) C 09) A 10) 1,98 %<br />
11) A 12) B 13) B 14) D 15) B<br />
Nem mesmo toda a ciência do homem lhe bastaria<br />
para conhecer a extensão da sua ig<strong>no</strong>rância."<br />
(Leoni Kaseff)
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 96<br />
V) Matrizes e Determinantes<br />
1. Introdução<br />
Quando utilizamos programas gráficos <strong>no</strong>s computadores não <strong>no</strong>s damos conta do<br />
que está por <strong>de</strong>trás das operações que efetuamos, mas é bom que saibamos que estas<br />
operações só são possíveis porque antes mesmo <strong>de</strong> serem <strong>de</strong>senvolvidos os<br />
computadores, o homem já havia <strong>de</strong>senvolvido a teoria das matrizes. Programas como o<br />
Word, o Excel e outros, não po<strong>de</strong>riam ser criados se não existissem as matrizes. Cada<br />
movimento executado com uma figura colocada na tela <strong>de</strong> seu computador correspon<strong>de</strong> a<br />
uma operação <strong>de</strong> matrizes. A geração dos movimentos e <strong>de</strong>formações que vemos <strong>no</strong>s<br />
efeitos especiais <strong>de</strong> cinema, da televisão, dos games <strong>de</strong> computadores e em inúmeras<br />
simulações científicas está baseada na multiplicação <strong>de</strong> matrizes. Nestas aplicações, <strong>no</strong>sso<br />
problema resi<strong>de</strong> na rapi<strong>de</strong>z com que precisamos realizar as multiplicações para que os<br />
resultados pareçam mais realísticos. É aí, exatamente que entra a informática e quanto mais<br />
ágeis forem os co-processadores <strong>de</strong> <strong>no</strong>ssos computadores, tanto mais e melhores serão os<br />
benefícios que <strong>de</strong>les po<strong>de</strong>mos usufruir. Problemas que envolvem campos elétricos,<br />
magnéticos, <strong>de</strong> tensões elásticas, térmicas, e etc, são reduzidos a sistemas <strong>de</strong> equações<br />
lineares com número excessivamente gran<strong>de</strong> <strong>de</strong> equações e incógnitas cuja solução só é<br />
plausível com o uso <strong>de</strong> matrizes. Só para termos uma idéia <strong>de</strong> o quanto as matrizes fazem<br />
<strong>parte</strong> <strong>de</strong> <strong>no</strong>ssas vidas, basta saber que a distribuição <strong>de</strong> energia elétrica, <strong>de</strong> gás e outros<br />
serviços como telecomunicação seriam absolutamente inviáveis em gran<strong>de</strong> escala, como<br />
nas re<strong>de</strong>s estaduais, não fosse o uso <strong>de</strong> matrizes gigantescas operadas por computadores.<br />
É bem comum <strong>no</strong> <strong>no</strong>sso cotidia<strong>no</strong> estarmos interessados em comparar medidas ou<br />
aspectos <strong>de</strong> diversos objetos. A forma mais eficiente <strong>de</strong> fazermos isso é, através <strong>de</strong> uma<br />
tabela <strong>de</strong> dupla entrada on<strong>de</strong>, numa das entradas relacionamos os objetos a serem<br />
observados e na outra, as medidas ou aspectos que queremos comparar. Por exemplo,<br />
suponha que estamos precisando comprar feijão, arroz, açúcar e café. Vamos pesquisar os<br />
me<strong>no</strong>res preços <strong>no</strong>s supermercados Baratão, Bom Demais e Pague Pouco e para<br />
a<strong>no</strong>tarmos seus preços fazemos a seguinte tabela:<br />
Feijão(Kg) Arroz(Kg) Açúcar(Kg) Café(Kg)<br />
Baratão 1,98 2,20 2,55 4,30<br />
Bom Demais 2,10 2,38 2,15 3,95<br />
Pague Pouco 1,80 2,40 2,30 4,15<br />
Uma matriz é exatamente uma tabela como a que construímos acima com a única<br />
diferença que não enfatizamos os significados das linhas e colunas (talvez por já estar<br />
explícito).<br />
1,98<br />
<br />
2,10<br />
<br />
1,80<br />
2,20<br />
2,38<br />
2,40<br />
2,55<br />
2,15<br />
2,30<br />
4,30<br />
% 1,98<br />
<br />
3,95 ou<br />
#<br />
#<br />
2,10<br />
4,15 <br />
# $ 1,80<br />
2,20<br />
2,38<br />
2,40<br />
2,55<br />
2,15<br />
2,30<br />
4,30"<br />
3,95<br />
4,15!<br />
Se o número <strong>de</strong> objetos a serem observados, for muito gran<strong>de</strong> a disposição em forma <strong>de</strong><br />
matriz torna-se ainda mais eficiente. Naturalmente que o número <strong>de</strong> linhas e colunas da<br />
matriz, isto é, o tipo <strong>de</strong> matriz, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> exclusivamente do problema que está sendo<br />
analisado. Em geral <strong>no</strong>meamos as matrizes com as letras latinas maiúsculas. Uma matriz A<br />
que possui m linhas e n colunas po<strong>de</strong> ser representada por:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 97<br />
a11<br />
a12<br />
a13<br />
. . . a1<br />
n <br />
<br />
<br />
a21<br />
a22<br />
a23<br />
. . . a2n<br />
<br />
<br />
a a a a<br />
<br />
<br />
31 32 33<br />
. . .<br />
3n<br />
<br />
A<br />
mxn<br />
= .<br />
. . . . . =<br />
<br />
<br />
<br />
. . . . . . .<br />
<br />
.<br />
. . . . . <br />
<br />
<br />
am1<br />
. . . . . amn<br />
<br />
( aij<br />
) mxn<br />
Qualquer elemento da matriz A é da forma a ij<br />
, on<strong>de</strong> os índices i e j servem apenas para<br />
indicar, respectivamente a linha e a coluna do elemento consi<strong>de</strong>rado.<br />
2.Tipos Especiais <strong>de</strong> Matrizes<br />
2.1 Matriz linha<br />
É uma matriz da forma 1xn. Por exemplo: [ 2 0 7]<br />
B1 x 3<br />
=<br />
2.2 Matriz Coluna<br />
É uma matriz da forma mx1. Por exemplo :<br />
2.3 Matriz Nula<br />
C 5x1<br />
% 1<br />
"<br />
#<br />
#<br />
3<br />
= # 6<br />
#<br />
# 0<br />
#<br />
$ 4!<br />
È uma matriz <strong>de</strong> qualquer tipo, cujos elementos são todos nulos. Exemplo<br />
D 2x3<br />
% 0 0 0"<br />
= #<br />
$ 0 0 0!<br />
2.4 Matriz Quadrada<br />
% 1 3"<br />
É uma matriz que tem o mesmo número <strong>de</strong> linhas e colunas. Ex E<br />
2x2<br />
= # .<br />
$ 0 5!<br />
Uma matriz quadrada <strong>de</strong> n linhas e n colunas é <strong>de</strong><strong>no</strong>minada matriz quadrada <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m n<br />
ou matriz nxn.<br />
Existem dois conjuntos <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> uma matriz quadrada que merecem <strong>de</strong>staque, e<br />
que são chamados <strong>de</strong> Diagonal Principal e Diagonal Secundária. Os elementos <strong>de</strong> uma<br />
matriz quadrada A <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m n tais que i = j, constituem a Diagonal Principal e os elementos<br />
<strong>de</strong>ssa mesma matriz A tais que i + j = n + 1, constituem a Diagonal Secundária. Exemplo.<br />
% 2 4 6"<br />
#<br />
Seja a matriz A =<br />
#<br />
0 1 3<br />
# $ 2 5 9!<br />
A Diagonal Principal é o conjunto DP = { 2,1,9}<br />
e a Diagonal Secundária é o conjunto<br />
DS =<br />
{ 6,1,2}<br />
2.5 Matriz Triangular<br />
É uma matriz quadrada on<strong>de</strong> todos os elementos acima ou todos os elementos<br />
abaixo da diagonal principal são nulos.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 98<br />
Ex<br />
M<br />
% 3<br />
=<br />
#<br />
#<br />
2<br />
# $ 1<br />
0<br />
2<br />
5<br />
0"<br />
0<br />
7!<br />
N<br />
% 1<br />
=<br />
#<br />
#<br />
0<br />
# $ 0<br />
2<br />
1<br />
0<br />
5 "<br />
4<br />
3!<br />
2.6 Matriz Diagonal<br />
É uma matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são todos nulos.<br />
% 3 0 0 0"<br />
#<br />
Ex. = #<br />
0 5 0 0<br />
F<br />
# 0 0 1 0<br />
#<br />
$ 0 0 0 4 !<br />
2.7 Matriz I<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong><br />
É uma matriz diagonal na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a<br />
unida<strong>de</strong>. Abaixo apresentamos exemplos <strong>de</strong> matrizes i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> 1ª, 2ª e 3ª or<strong>de</strong>m.<br />
% 1 0 0"<br />
% 1 0"<br />
I<br />
1<br />
= [ 1]<br />
I 2<br />
= # I<br />
#<br />
3<br />
=<br />
$ 0 1 #<br />
0 1 0<br />
!<br />
# $ 0 0 1!<br />
2.8 Matriz Simétrica<br />
É uma matriz quadrada on<strong>de</strong> se observa a<br />
ij<br />
= a<br />
ji<br />
2.9 Matriz Anti-simétrica<br />
É uma matriz quadrada on<strong>de</strong> se observa a = a<br />
3. Igualda<strong>de</strong> <strong>de</strong> Matrizes<br />
ij<br />
Duas matrizes A e B são iguais quando são do mesmo tipo mxn e apresentam elementos<br />
que ocupam a mesma posição, iguais.<br />
A a e B ==<br />
b , então A = B * a ij<br />
= bij<br />
Se ( ) ( ) ij mxn<br />
ij mxn<br />
4.Matriz Transposta<br />
Consi<strong>de</strong>re uma matriz M do tipo mxn, chamamos <strong>de</strong> matriz transposta <strong>de</strong> M (representamos<br />
t<br />
por M ) a matriz do tipo nxm que se obtém trocando or<strong>de</strong>nadamente as linhas pelas<br />
% 1 7 0"<br />
% 1 8 2 "<br />
#<br />
t<br />
colunas da matriz M. Ex. M =<br />
#<br />
8 6 1 a transposta será a matriz M =<br />
#<br />
#<br />
7 6 4<br />
# $ 2 4 3!<br />
# $ 0 1 3!<br />
5. Operações <strong>de</strong> Matrizes<br />
5.1 Adição <strong>de</strong> matrizes<br />
Duas matrizes são conformes para a adição se forem do mesmo tipo, e isto significa que se<br />
as matrizes não forem do mesmo tipo não estará <strong>de</strong>finida a adição entre elas. Dadas duas<br />
matrizes do mesmo tipo mxn A ( a )mxn B = , a adição <strong>de</strong>stas matrizes tem como<br />
=<br />
ij<br />
e ( b ij<br />
) mxn<br />
ji
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 99<br />
resultado uma outra matriz do mesmo tipo , digamos ( c ij<br />
) mxn<br />
todo i { 1,<br />
2,3, ....m}<br />
e todo j { 1, 2,3, ......,n}<br />
C = tal que c<br />
ij<br />
aij<br />
+=para bij<br />
5.1.1 Proprieda<strong>de</strong>s da Adição <strong>de</strong> Matrizes<br />
A justificativa para a valida<strong>de</strong> das proprieda<strong>de</strong>s abaixo apresentadas <strong>de</strong>corre do fato <strong>de</strong> que<br />
adicionar matrizes implica adicionar elementos (números reais) que ocupam as mesmas<br />
posições nas matrizes. Como a adição <strong>de</strong> números reais apresenta estas proprieda<strong>de</strong>s, elas<br />
serão preservadas para a adição <strong>de</strong> matrizes.<br />
A + B = B + A<br />
Proprieda<strong>de</strong> Comutativa<br />
Proprieda<strong>de</strong> Associativa<br />
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C<br />
Existência do Elemento Neutro<br />
A + 0 = 0 + A = A<br />
O símbolo 0, aqui usado, representa a matriz nula <strong>de</strong> mesmo tipo que A<br />
Existência do Elemento Oposto<br />
A + (-A) = 0<br />
A matriz oposta representada pelo símbolo –A, é a matriz que se obtém quando trocamos o<br />
sinal <strong>de</strong> todos os elementos da matriz A.<br />
Transposta da Soma<br />
t t<br />
(A + B) = A +<br />
B<br />
t<br />
Convém enfatizar que se A é uma matriz anti-simétrica, então A t = A<br />
. Exemplo <strong>de</strong> uma<br />
matriz anti-simétrica:<br />
0 - 2 1 <br />
<br />
<br />
A = 2 0 3 . Observe que os elementos da diagonal principal são todos nulos.<br />
<br />
<br />
1<br />
3 0 <br />
6. Multiplicação <strong>de</strong> uma Matriz por um Escalar<br />
Consi<strong>de</strong>rada uma matriz A do tipo mxn e um número real , o produto .A é a matriz do<br />
tipo mxn que se obtém multiplicando todos os elementos <strong>de</strong> A por , ou seja,<br />
Se A = a e , + .A = .a , i<br />
e .<br />
( ) ( ) j<br />
ij<br />
mxn<br />
6.1 Proprieda<strong>de</strong>s da multiplicação <strong>de</strong> matriz por escalar<br />
ij<br />
mxn<br />
Sejam A e B matrizes do mesmo tipo e e<br />
. A = . . .<br />
A + B = .A + .<br />
+ . A = .A + <br />
6.1.1 ( ) ( )A<br />
6.1.2 ( ) .B<br />
6.1.3 ( ) .B<br />
números reais.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 100<br />
t<br />
6.1.4 ( . A) = .A .<br />
6.1.5 1. A = A.<br />
t<br />
6.2 Multiplicação <strong>de</strong> Matrizes<br />
A = a Be = b<br />
Sejam as matrizes (<br />
ij<br />
) (<br />
jk<br />
)<br />
mxn<br />
nxp<br />
. O produto <strong>de</strong> A por B ( representa-se A.B ou<br />
AB) é a matriz C = ( c ik<br />
) mxp<br />
, on<strong>de</strong> qualquer elemento c ik<br />
é a soma dos produtos dos<br />
elementos da i-ésima linha <strong>de</strong> A pelos correspon<strong>de</strong>ntes elementos da k-ésima coluna <strong>de</strong> B.<br />
c<br />
ik<br />
= ai<br />
1<br />
. b1<br />
k<br />
+ ai2.<br />
b2k<br />
+ ai3.<br />
b3k<br />
+ ..... + aim..<br />
bnk<br />
.<br />
Observe que para <strong>de</strong>finir multiplicação <strong>de</strong> matrizes é condição sine qua <strong>no</strong>n que as matrizes<br />
tenham as seguintes características: o número <strong>de</strong> colunas da primeira matriz tem que ser<br />
igual ao número <strong>de</strong> linhas da segunda e a matriz resultante terá, por via <strong>de</strong> conseqüência, o<br />
número <strong>de</strong> linhas e colunas respectivamente iguais ao número <strong>de</strong> linhas da primeira e ao<br />
número <strong>de</strong> colunas da segunda matriz.<br />
Da <strong>de</strong>finição acima, <strong>de</strong>corre que a multiplicação <strong>de</strong> matrizes não é comutativa, ou<br />
seja, se A e B são duas matrizes é falso afirmar que A.B = B.A. Entretanto se as matrizes A<br />
e B forem quadradas e <strong>de</strong> mesma or<strong>de</strong>m po<strong>de</strong> acontecer <strong>de</strong> que A.B = B.A. Neste caso,<br />
dizemos que as matrizes A e B, comutam.<br />
Há um dispositivo prático que facilita sobremodo a multiplicação matricial que<br />
-1<br />
3 0 -<br />
2 1 <br />
<br />
passaremos a expor. Consi<strong>de</strong>re as matrizes A = 2 1 1 e B = 0 5 O produto<br />
<br />
4 5 3 7 8<br />
<strong>de</strong> A por B se obtém armando um dispositivo semelhante a um jogo da velha e escrevendose<br />
os elementos das matrizes como mostramos a seguir:<br />
.<br />
-2 1<br />
A.B<br />
0 5<br />
7 8<br />
-1 3 0<br />
2 1 1<br />
4 5 -3<br />
-1(-2) + 3.0 +0.7<br />
2.(-2 ) + 1.0 +1.7<br />
4(-2) + 5.0 +(-3).7<br />
-1.1 + 3.5 +0.8<br />
2.1 + 1.5 +1.8<br />
4.1 + 5.5 +(-3).8<br />
A soma dos produtos dos elementos das linhas da matriz A pelos elementos das colunas da<br />
matriz B são colocados <strong>no</strong> 4º quadrante do jogo da velha. Assim, o resultado procurado é<br />
2 14<br />
<br />
A.B = 3 15 <br />
<br />
<br />
29 5 <br />
Convém <strong>no</strong>tar que o produto B.A sequer é possível e a matriz A.B tem o mesmo número <strong>de</strong><br />
linhas da matriz A e o mesmo número <strong>de</strong> colunas da matriz B.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 101<br />
6.3 Matriz Inversa<br />
Dada uma matriz quadrada A, chamamos <strong>de</strong> matriz inversa <strong>de</strong> A e representamos por<br />
-1 -1<br />
matriz que aten<strong>de</strong> a seguinte condição A.A = A .A = I<br />
-1<br />
A<br />
a<br />
6.4 Proprieda<strong>de</strong>s do Produto <strong>de</strong> Matrizes<br />
Associativa<br />
A.(B.C) =(A.B).C<br />
Distributiva à Direita em Relação à Adição<br />
(A + B).C = A.C + B.C<br />
Distributiva à Esquerda em Relação à Adição<br />
A.(B + C) = A.B + A.C<br />
Transposta do Produto<br />
t<br />
A.B t<br />
= B .A<br />
( )<br />
t<br />
Inversa do Produto<br />
1<br />
1<br />
<br />
A.<br />
B = . AB<br />
( )<br />
1<br />
Também é válida a seguinte proprieda<strong>de</strong> : (A.B) = ( .A).B = A.( .B),<br />
,<br />
A =<br />
a ij<br />
1. Consi<strong>de</strong>re a matriz ( ) 2x3<br />
Exercícios<br />
tal que<br />
/ 3i<br />
2 j se i < 2,<br />
a ij<br />
= .<br />
Construa a matriz A.<br />
-i<br />
+ 2 j se i 2<br />
2. Consi<strong>de</strong>re a seguinte matriz, quadrada <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m 3:<br />
% 4 + m ... ... "<br />
A =<br />
#<br />
#<br />
m n + 8 ... .<br />
# $ n p 2 p 6!<br />
Sendo A uma matriz anti-simétrica, <strong>de</strong>termine os termos a a e .<br />
12<br />
,<br />
13<br />
a23<br />
3. Seja A uma matriz quadrada <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m 2,<br />
02<br />
a matriz nula <strong>de</strong> mesma or<strong>de</strong>m, e<br />
t<br />
A a matriz transposta <strong>de</strong> A.<br />
. A O2<br />
Demonstre que, se A t = , então A = O 2<br />
.<br />
A =<br />
a ij<br />
4. Seja ( ) 2x2<br />
a matriz dos elementos<br />
a ij<br />
( j)<br />
,<br />
/ cos se i = j<br />
1<br />
= . i<br />
. Determine a matriz<br />
1sen<br />
, se i j<br />
- 2 <br />
2<br />
A .
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 102<br />
5. Consi<strong>de</strong>re as matrizes:<br />
A =<br />
% 1<br />
# 2<br />
#<br />
# $ 0<br />
5<br />
1<br />
"<br />
<br />
2!<br />
e<br />
% 0 3 "<br />
#<br />
B = # 1<br />
1<br />
.<br />
#<br />
$ 4 7!<br />
a) <strong>de</strong>termine o termo x 21<br />
b) <strong>de</strong>termine o termo x 22<br />
da matriz ( A.B).<br />
da matriz (A.B).<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3 <br />
6. Sejam as matrizes A = e B = .<br />
3<br />
1 3<br />
1<br />
-1<br />
Determine a matriz X, tal que X = A . B<br />
7. Obter a segunda linha da matriz A sabendo que:<br />
A<br />
1<br />
% 16<br />
=<br />
#<br />
#<br />
13<br />
# $ 11<br />
1<br />
1<br />
1<br />
10"<br />
8<br />
7 !<br />
1<br />
8. Calcular ( A + A )<br />
2 , sabendo que<br />
A<br />
1<br />
% 2<br />
= #<br />
$ 5<br />
3"<br />
8!<br />
1 1<br />
9. Calcular ( A A )( )<br />
+ AA sabendo que<br />
% 1<br />
A = #<br />
$ 8<br />
2 "<br />
17!<br />
10. Calcular, supondo que exista, a inversa da matriz<br />
sobre a, b, c, d para que exista<br />
1<br />
A ?<br />
% a<br />
A = #<br />
$ c<br />
b"<br />
. Qual é a condição<br />
d !<br />
Respostas<br />
1<br />
1<br />
3<br />
1. A = <br />
2. a12 = 4;<br />
13<br />
= 8; aa<br />
23<br />
= 3<br />
3. Tome uma matriz <strong>de</strong><br />
4<br />
6 8 <br />
2ª or<strong>de</strong>m qualquer, construa a transposta efetue o produto e use a igualda<strong>de</strong> <strong>de</strong> matrizes.<br />
2 1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
4. A = <br />
5. x21 = 1+<br />
4 2 x22 = 1+<br />
14 6. X = <br />
0<br />
1<br />
0<br />
2<br />
10<br />
0 <br />
7. a21 = 3;<br />
22<br />
= 2;<br />
aa<br />
23<br />
= 2<br />
8. <br />
9.<br />
0<br />
10<br />
288 72 <br />
<br />
<br />
288 288
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 103<br />
10.<br />
d b <br />
<br />
<br />
ad bc ad bc<br />
A 1 =<br />
e ad bc 0<br />
c a <br />
<br />
<br />
ad bc ad bc <br />
Testes <strong>de</strong> Vestibulares<br />
1. (Fatec-SP) Seja A = ( a ij<br />
) uma matriz quadrada <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m 2 tal que<br />
i+<br />
j<br />
1/<br />
2 para i < j<br />
aij<br />
= .<br />
. Nestas condições:<br />
2<br />
1- i + 1 para i j<br />
2<br />
4<br />
2<br />
8<br />
2<br />
8<br />
a) A = <br />
b) A = <br />
c) A = <br />
8<br />
5 <br />
5<br />
6<br />
5<br />
5<br />
2<br />
8<br />
d) A = <br />
e) nda.<br />
2<br />
5<br />
2. (UFMT) Sejam as matrizes ( ) 2x3<br />
2<br />
b ij<br />
= 2i<br />
+ j e C = ( c ij<br />
) 2x2<br />
tal que c ij<br />
= ij<br />
A = tal que a ij<br />
j 3i<br />
a ij<br />
= ; B ( b ) 3x2<br />
= tal que<br />
. O elemento <strong>de</strong> maior módulo <strong>de</strong>ntre os que<br />
formam a diagonal principal da matriz P, on<strong>de</strong> P = AB + 20C<br />
, é:<br />
a) 20 b) 9 c) 0 d) -12 e) -15<br />
2 8 0 <br />
1<br />
3. (UFU-MG) Se A é uma matriz diagonal <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m 2 tal que A = , então A<br />
0 27<br />
é a matriz:<br />
1 <br />
0<br />
1 <br />
1 <br />
a) 2 <br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
b)<br />
1 <br />
2 <br />
c) 2 <br />
d) <br />
0<br />
<br />
0<br />
1<br />
<br />
0<br />
3<br />
0<br />
1<br />
<br />
3 <br />
1 <br />
0<br />
e) 2 <br />
1 1 <br />
4. (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções <strong>de</strong> arroz, carne e salada,<br />
usados num restaurante. A matriz P fornece o número <strong>de</strong> porções <strong>de</strong> arroz, carne e salada<br />
usados na composição dos pratos tipo P1 ,<br />
2<br />
, PP<br />
3<br />
<strong>de</strong>sse restaurante.<br />
arroz carne salada<br />
1<br />
arroz<br />
2<br />
1 1 prato P1<br />
<br />
<br />
<br />
C = 3<br />
carne P = 1<br />
2 1 prato P2<br />
<br />
2<br />
salada<br />
<br />
<br />
2<br />
2 0<br />
prato P3<br />
A matriz que fornece o custo <strong>de</strong> produção, em reais, dos pratos P1 , P2<br />
, P3<br />
é:<br />
ij<br />
a)<br />
7<br />
<br />
9<br />
<br />
8<br />
<br />
b)<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
c)<br />
9 <br />
<br />
11<br />
<br />
4 <br />
d)<br />
2<br />
<br />
6<br />
<br />
8<br />
<br />
e)<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
4
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 104<br />
5. (ITA-SP) Sendo<br />
1<br />
<br />
A = 0<br />
<br />
3<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
2 , então o elemento da terceira linha e primeira<br />
2 <br />
<br />
coluna <strong>de</strong> sua inversa será igual a:<br />
a) 8<br />
5<br />
9<br />
b) 11<br />
6<br />
c) 11<br />
d)<br />
2<br />
1<br />
e)<br />
13<br />
13<br />
6. (UFU-MG) A solução da equação matricial A t X = B<br />
, on<strong>de</strong><br />
A<br />
1 0 0 <br />
<br />
<br />
2 2 2 <br />
<br />
3 3 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
, B = 2 e<br />
2<br />
<br />
<br />
t<br />
= <br />
é a transposta <strong>de</strong> A , é:<br />
A<br />
a)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
0<br />
0 <br />
<br />
1 <br />
<br />
0<br />
<br />
b) ( 2 0)<br />
1 c)<br />
<br />
3<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
6<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0 <br />
<br />
2 2 <br />
<br />
2 <br />
d)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
<br />
2 <br />
<br />
0<br />
<br />
e) não existe a matriz X.<br />
7. (MACKENZIE-SP) Com relação à matriz<br />
0 1 0<br />
<br />
<br />
A = 1 1<br />
1<br />
a alternativa correta é:<br />
<br />
<br />
0 0 1<br />
19<br />
a) A = I<br />
3<br />
b) A 20 = A<br />
c)<br />
21 2<br />
A = A d)<br />
22 2<br />
A = A e) A 18 = I<br />
3<br />
x <br />
8. (CESGRANRIO) Para que valores <strong>de</strong> k existe uma única matriz ,<br />
y<br />
tal que<br />
k<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
2<br />
x 0<br />
<br />
= ?<br />
k <br />
y<br />
0<br />
a) k 1<br />
b) k = 2<br />
c) k = 2 ou k = 1 d) k 2 e k 1<br />
e) k 2 e k 1
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 105<br />
9. (UNIRIO) Para que a matriz<br />
sen<br />
<br />
A = sen<br />
<br />
sen<br />
cos<br />
1<br />
cos<br />
1 <br />
<br />
0<br />
, seja inversível, é necessário<br />
0<br />
<br />
que:<br />
<br />
a) k<br />
4 + 2 b) <br />
k<br />
2 + 2 c) k<br />
d) 2k<br />
e) <br />
2k<br />
±<br />
2<br />
10. (UERJ) Consi<strong>de</strong>re as matrizes<br />
% 19941994<br />
A = #<br />
$ 19941994<br />
19941994"<br />
19941995!<br />
e<br />
% 1<br />
B = #<br />
$ 1<br />
1"<br />
1!<br />
Seja<br />
2<br />
2<br />
A A.<br />
A e B = B.<br />
B<br />
2 2<br />
= . Determine a matriz C = A B ( A + B)( A B)<br />
a)<br />
% 0 1 "<br />
#<br />
$ 1<br />
0!<br />
b)<br />
% 1<br />
#<br />
$ 0<br />
0 "<br />
1 !<br />
c)<br />
% 1 0 "<br />
#<br />
$ 1<br />
0 !<br />
d)<br />
% 0<br />
#<br />
$ 1<br />
1 "<br />
0 !<br />
% 1 1"<br />
e) #<br />
$ 0 0!<br />
Respostas dos Testes<br />
1. c 2. d 3. a 4. a 5. b<br />
6. d 7. e 8. e 9. c 10. a<br />
7. Determinantes<br />
Determinante associado a uma matriz quadrada, é o número real obtido <strong>de</strong> forma<br />
única por meio <strong>de</strong> operações efetuadas com os elementos <strong>de</strong> matriz.<br />
Antes <strong>de</strong> darmos uma <strong>de</strong>finição formal <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> uma matriz quadrada<br />
qualquer, optamos por fazer uma apresentação homeopática, mostrando primeiramente<br />
como calcular <strong>de</strong>terminantes <strong>de</strong> matrizes <strong>de</strong> 1ª, 2ª e 3ª or<strong>de</strong>ns. Na verda<strong>de</strong> esses<br />
<strong>de</strong>terminantes são os mais usados <strong>no</strong>s problemas que são abordados <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio.<br />
Em seguida daremos uma <strong>de</strong>finição geral e constataremos que a forma como<br />
calculamos os <strong>de</strong>terminantes até 3ª or<strong>de</strong>m está absolutamente <strong>de</strong> acordo com esta<br />
<strong>de</strong>finição<br />
7.1 Determinante <strong>de</strong> 1ª or<strong>de</strong>m<br />
O <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> uma matriz <strong>de</strong> 1ª or<strong>de</strong>m é igual ao único elemento da matriz. Portanto, se<br />
A = ( a 11<br />
) , o seu <strong>de</strong>terminante será igual ao elemento a 11<br />
, representamos esse fato<br />
escrevendo <strong>de</strong>t A<br />
11<br />
==<br />
aa<br />
11<br />
.<br />
7.2 Determinante <strong>de</strong> 2ª or<strong>de</strong>m<br />
O <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> uma matriz quadrada <strong>de</strong> 2ª or<strong>de</strong>m é igual ao produto dos elementos da<br />
diagonal principal me<strong>no</strong>s o produto dos elementos da diagonal secundária. Se<br />
a11<br />
a12<br />
<br />
a11<br />
a12<br />
A =<br />
<br />
, então <strong>de</strong>t A = = a11.<br />
a22<br />
<br />
12.<br />
aa<br />
21<br />
.<br />
a21<br />
a22<br />
<br />
a21<br />
a22
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 106<br />
7.3 Determinante <strong>de</strong> 3ª or<strong>de</strong>m<br />
O <strong>de</strong>terminante associado a uma matriz quadrada <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m 3 é obtido através da seguinte<br />
seqüência operacional:<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
32<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
= a<br />
11<br />
a<br />
22<br />
a<br />
33<br />
+ a<br />
12<br />
a<br />
23<br />
a<br />
31<br />
+ a<br />
Indica-se, para simplificar o processo, a utilização do dispositivo <strong>de</strong> Sarrus, que consiste na<br />
repetição or<strong>de</strong>nada das duas primeiras colunas após a barra vertical direita e nas<br />
multiplicações (3, precedidas do sinal +) dos 3 elementos situados na direção da diagonal<br />
principal e (3 multiplicações, precedidas do sinal -) dos 3 elementos situados na direção<br />
da diagonal secundária.<br />
a a a a a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
32<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
- - - + + +<br />
a<br />
a<br />
= a11 a22<br />
a33<br />
+ a12<br />
a23<br />
a31<br />
+ a13<br />
a21<br />
a32<br />
a13<br />
a22<br />
a31<br />
a11<br />
a23<br />
a32<br />
a12<br />
a21<br />
a33<br />
11<br />
21<br />
31<br />
a<br />
a<br />
12<br />
8. Proprieda<strong>de</strong>s dos <strong>de</strong>terminantes<br />
O cálculo do <strong>de</strong>terminante associado á uma matriz po<strong>de</strong> ser simplificado através <strong>de</strong> certas<br />
proprieda<strong>de</strong>s. A seguir serão <strong>de</strong>scritas algumas <strong>de</strong>ssas proprieda<strong>de</strong>s e, para tal, <strong>de</strong>ve-se<br />
consi<strong>de</strong>rar:<br />
i) A e B matrizes quadradas <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m m 2 ; e ii) uma fila como sendo uma linha ou uma<br />
coluna.<br />
Proprieda<strong>de</strong> 1 - o <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> uma matriz é igual ao <strong>de</strong>terminante da sua transposta<br />
t<br />
<strong>de</strong>t A = <strong>de</strong>t( A ).<br />
Proprieda<strong>de</strong> 2 - se todos os elementos <strong>de</strong> uma fila <strong>de</strong> A forem nulos, então <strong>de</strong>t A = 0.<br />
22<br />
32<br />
13<br />
=<br />
a<br />
21<br />
a<br />
32<br />
a<br />
13<br />
a<br />
22<br />
a<br />
31<br />
a<br />
11<br />
a<br />
23<br />
a<br />
32<br />
a<br />
12<br />
a<br />
21<br />
a<br />
33<br />
Proprieda<strong>de</strong> 3 - se duas filas paralelas <strong>de</strong> A forem trocadas <strong>de</strong> posição, será obtida uma<br />
matriz B, tal que <strong>de</strong>t B = - (<strong>de</strong>tA).<br />
Proprieda<strong>de</strong> 4 - se todos os elementos <strong>de</strong> uma fila <strong>de</strong> A forem multiplicados por número<br />
real k, obter-se-á uma matriz B, tal que <strong>de</strong>t B = k(<strong>de</strong>tA), k R.<br />
Proprieda<strong>de</strong> 5 – se duas filas paralelas <strong>de</strong> A forem formadas por elementos<br />
respectivamente iguais, então <strong>de</strong>t A = 0.<br />
Proprieda<strong>de</strong> 6 - se duas filas paralelas <strong>de</strong> A forem integradas por elementos<br />
respectivamente proporcionais, então <strong>de</strong>t A = 0.<br />
Proprieda<strong>de</strong> 7 - Teorema <strong>de</strong> Jacobi adicionando à fila <strong>de</strong> A uma outra fila paralela<br />
(previamente multiplicada por k R ), obter-se-á uma matriz B, tal que: <strong>de</strong>t B = <strong>de</strong>t A.<br />
Proprieda<strong>de</strong> 8 - Teorema <strong>de</strong> Binet<br />
<strong>de</strong>t (A.B) = (<strong>de</strong>tA).(<strong>de</strong>t B)<br />
Proprieda<strong>de</strong> 9 - se A é uma matriz triangular (ver item 2.5), então <strong>de</strong>t A é igual ao produto<br />
dos elementos da diagonal principal <strong>de</strong> A.<br />
Proprieda<strong>de</strong> 10 - se uma fila <strong>de</strong> A é a composição linear <strong>de</strong> outras filas paralelas, então <strong>de</strong>t<br />
A = 0.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 107<br />
Exemplo:<br />
2<br />
<br />
A = 1<br />
<br />
<br />
2<br />
0<br />
7<br />
0<br />
4 2<br />
<br />
5 = 1<br />
4<br />
<br />
<br />
2<br />
2.2. 1.4<br />
2( 1)<br />
1.5<br />
2( 2)<br />
1.(<br />
4)<br />
4 <br />
<br />
5 <br />
4<br />
<br />
Observe que a 2ª coluna é a combinação linear da 1ª e da 3ª colunas, e, portanto, <strong>de</strong>t A = 0.<br />
1<br />
1<br />
Proprieda<strong>de</strong> 11 - se a matriz A é inversível, então <strong>de</strong>t( A ) = . com <strong>de</strong>t A 0.<br />
<strong>de</strong>t A<br />
9. MENOR COMPLEMENTAR E COFATOR<br />
<strong>de</strong> um elemento a ij<br />
quadrada A, ao <strong>de</strong>terminante que se obtém eliminando a linha i e a coluna j da matriz.<br />
Definição : Chama-se Me<strong>no</strong>r Complementar ( Dij<br />
)<br />
Por exemplo, dada a matriz<br />
1<br />
<br />
A = 3<br />
<br />
2<br />
3<br />
0<br />
6<br />
1 <br />
<br />
7<br />
, o me<strong>no</strong>r complementar do<br />
5<br />
<br />
<strong>de</strong> uma matriz<br />
elemento a = 23<br />
7 , <strong>de</strong> acordo com a <strong>de</strong>finição acima seria o seguinte <strong>de</strong>terminante:<br />
1 3<br />
0 7<br />
D<br />
23<br />
= = 0 . De modo análogo po<strong>de</strong>mos calcular D<br />
11<br />
= = 42<br />
;<br />
2 6<br />
6 5<br />
3 7<br />
3 0<br />
3 6<br />
1 1<br />
D<br />
12<br />
= = 1 ; D<br />
13<br />
= = 18 ; D<br />
21<br />
= = 9 ; D<br />
22<br />
= = 3 ;<br />
2 5<br />
2 6<br />
1 5<br />
2 5<br />
3 1<br />
1 1<br />
1 3<br />
D<br />
31<br />
= = 21 ; D32 = = 4 e finalmente D33 = = 9<br />
0 7<br />
3 7<br />
3 0<br />
Definição : Chama-se Cofator <strong>de</strong> um elemento aij<br />
<strong>de</strong> uma matriz ao número<br />
ij<br />
i j<br />
( 1 ) +<br />
Dij<br />
C = .<br />
Assim o cofator do elemento<br />
32<br />
3+<br />
2<br />
32<br />
1<br />
32<br />
<br />
a da matriz dada acima é : = ( ) . D = 4<br />
C .<br />
Definição Geral <strong>de</strong> Determinantes<br />
A <strong>de</strong>finição geral para o <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> uma matriz nxn será dada pelo seguinte:<br />
Teorema <strong>de</strong> Laplace O <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos<br />
dos elementos <strong>de</strong> uma fila ( linha ou coluna)pelos seus respectivos cofatores.<br />
O teorema <strong>de</strong> Laplace <strong>no</strong>s permite calcular o <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> uma matriz <strong>de</strong> qualquer<br />
or<strong>de</strong>m. Como já temos regras práticas para o cálculo <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminantes <strong>de</strong> 1ª , 2ª e 3ª<br />
or<strong>de</strong>m, só recorremos a esse teorema para o cálculo <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminantes <strong>de</strong> 4ª or<strong>de</strong>m em<br />
diante. Convém ressaltar que o teorema <strong>de</strong> Laplace <strong>no</strong>s possibilita abaixar a or<strong>de</strong>m do<br />
<strong>de</strong>terminante. Assim, sua aplicação à um <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> 4ª or<strong>de</strong>m, implicará <strong>no</strong> cálculo <strong>de</strong><br />
4 <strong>de</strong>terminantes <strong>de</strong> 3ª or<strong>de</strong>m. A esta altura, po<strong>de</strong>-se perceber que o cálculo <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>terminantes <strong>de</strong> 5ª or<strong>de</strong>m em diante, mesmo com a aplicação do teorema <strong>de</strong> Laplace, é<br />
uma tarefa extremamente laboriosa e que justifica plenamente o uso <strong>de</strong> planilhas<br />
eletrônicas, como por exemplo, o programa Lótus 1-2-3 ou Excel. De qualquer modo, a<br />
escolha <strong>de</strong> uma fila com o maior número possível <strong>de</strong> elementos nulos facilita, por razões<br />
óbvias, a aplicação <strong>de</strong>ste teorema.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 108<br />
10 - SOBRE MATRIZ INVERSA<br />
10.1 Conforme foi observado <strong>no</strong> item 6.3 da unida<strong>de</strong> sobre matrizes, a forma <strong>de</strong> se obter,<br />
se existir, a inversa <strong>de</strong> uma matriz envolve um processo pouco prático.<br />
No entanto, se uma matriz é inversível <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m 2, po<strong>de</strong>-se recorrer à uma técnica<br />
1<br />
alternativa para obtenção <strong>de</strong> A .<br />
a b <br />
<br />
se A = + 1 1 d b<br />
A = <br />
c d <strong>de</strong>t A <br />
c a<br />
Na verda<strong>de</strong>, é possível generalizar o processo acima para encontrar a inversa <strong>de</strong> uma<br />
matriz <strong>de</strong> uma or<strong>de</strong>m qualquer, para tanto vamos <strong>de</strong>finir a matriz adjunta <strong>de</strong> uma matriz<br />
dada<br />
Definição. Chama-se matriz cofatora <strong>de</strong> uma matriz A (representa-se por cof A) a matriz<br />
que se obtém substituindo-se cada elemento da matriz A pelo seu respectivo cofator.<br />
Adj . A = cof A , isto é, a<br />
matriz transposta da matriz cofatora da matriz A dada.<br />
Agora é possível encontrara matriz inversa <strong>de</strong> uma matriz A qualquer da seguinte forma:<br />
1<br />
A<br />
1 = Adj A , ou seja, <strong>de</strong>vemos encontrar a matriz adjunta da matriz A e dividi-la pelo<br />
<strong>de</strong>t A<br />
<strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> A.<br />
Definição. Chama-se matriz adjunta <strong>de</strong> uma matriz A, a matriz ( ) t<br />
10.2. Se A é uma matriz quadrada <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m m, existirá<br />
1<br />
A se, e somente se, <strong>de</strong>t A 0.<br />
11. Determinante Especial <strong>de</strong> Van<strong>de</strong>rmon<strong>de</strong>.<br />
Determinante <strong>de</strong> Van<strong>de</strong>rmon<strong>de</strong> (ou <strong>de</strong> potências) é aquele formado com potências<br />
sucessivas <strong>de</strong> n bases distintas a , b,<br />
c,<br />
...., k,.<br />
l<br />
14 244<br />
3<br />
Exemplo<br />
n<br />
1<br />
a<br />
1<br />
b<br />
1<br />
c<br />
...........<br />
..........<br />
1<br />
k<br />
1<br />
l<br />
D =<br />
a<br />
2<br />
b<br />
2<br />
c<br />
2<br />
...........<br />
.................................<br />
k<br />
2<br />
l<br />
2<br />
a<br />
n1<br />
b<br />
n1<br />
c<br />
n1<br />
............<br />
k<br />
n1<br />
l<br />
n1<br />
O cálculo do <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> Van<strong>de</strong>rmon<strong>de</strong> se efetua segundo a seguinte expressão:<br />
D = b a c a ..... l a c b d b ..... k b l c ...... k j l j l <br />
k<br />
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )<br />
Exercício 1. Desenvolver o <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> Van<strong>de</strong>rmon<strong>de</strong> <strong>de</strong> bases 7, 4 , 8, 3.<br />
Solução:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 109<br />
1<br />
<br />
7<br />
Trata-se <strong>de</strong> um <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> 4ª or<strong>de</strong>m cuja matriz é : 49<br />
<br />
343<br />
valor D do seu <strong>de</strong>terminante será:<br />
1<br />
4<br />
16<br />
64<br />
1<br />
8<br />
64<br />
512<br />
1 <br />
<br />
3 <br />
. Então o<br />
9<br />
<br />
81<br />
<br />
D =<br />
( 4 7)( 8 7)( 3 7)( 8 4)( 3 4)( 3 8) = 3.1.<br />
( 4 ).4.( 1 )( . 5) = 240<br />
Exercício 2. Calcule o <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> Van<strong>de</strong>rmon<strong>de</strong> <strong>de</strong> base 2x, (1 – x), (1 + x).<br />
Solução:<br />
Chamando <strong>de</strong> D o valor do <strong>de</strong>terminante, temos:<br />
3 2<br />
[( 1<br />
x)<br />
2x] .[( 1+<br />
x)<br />
2x] .[( 1+<br />
x) ( 1<br />
x)<br />
] = ( 1<br />
3x)( 1<br />
x) .2x<br />
= 6x<br />
8x<br />
+ x<br />
D =<br />
2<br />
12. Abaixamento da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> um Determinante<br />
Regra <strong>de</strong> Chió<br />
Para abaixar a or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> um <strong>de</strong>terminante, usamos a seguinte regra atribuída ao<br />
matemático Chio:<br />
i) Escolhe-se um elemento igual a 1 (não havendo, use as proprieda<strong>de</strong>s e torne um<br />
elemento igual a 1)<br />
ii) Elimine a linha e a coluna que se cruzam <strong>no</strong> elemento 1 escolhido, e obtenha<br />
assim o me<strong>no</strong>r complementar <strong>de</strong>ste elemento.<br />
iii) Subtraia <strong>de</strong> cada elemento do me<strong>no</strong>r complementar obtido, o produto dos<br />
elementos das filas suprimidas que se cruzam nesse elemento.<br />
iv) O <strong>de</strong>terminante obtido na etapa anterior <strong>de</strong>ve ser precedido do sinal ( 1 ) i+ j<br />
,<br />
on<strong>de</strong> i e j representam a linha e a coluna a que pertence o elemento 1 escolhido.<br />
Exemplo. Use a regra <strong>de</strong> Chio para calcular o <strong>de</strong>terminante:<br />
2 3 1<br />
5<br />
0<br />
4<br />
.<br />
1<br />
1 3<br />
3<br />
Solução<br />
Escolhemos o elemento 1 que ocupa a linha 3 e a coluna 2, isto é, i = 3 e j = 2. Portanto<br />
temos:<br />
2<br />
5<br />
1<br />
3<br />
3<br />
0<br />
1<br />
1<br />
4<br />
3<br />
=<br />
1<br />
2 3.<br />
3<br />
5 3.0<br />
1<br />
3.3<br />
3+<br />
2<br />
( 1) .<br />
= ( 1) = ( 1)( 4 + 50) = 54<br />
4 0.3<br />
1<br />
5<br />
EXERCÍCIOS – Série 1<br />
10<br />
4<br />
1. Dê o valor do <strong>de</strong>terminante abaixo sob a forma <strong>de</strong> um produto <strong>de</strong> 3 fatores.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 110<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
b<br />
b<br />
a<br />
b<br />
c<br />
2. Dada a matriz<br />
<strong>de</strong> Sarrus.<br />
1<br />
<br />
A = 0<br />
<br />
5<br />
2<br />
3<br />
4<br />
6 <br />
<br />
1<br />
, calcule seu <strong>de</strong>terminante usando a regra<br />
2<br />
<br />
3. Usando a <strong>de</strong>finição geral, calcule o <strong>de</strong>terminante da matriz<br />
1<br />
3 7 <br />
<br />
<br />
A = 0 1 0 <br />
<br />
<br />
<br />
2 8 5<br />
4. Encontre o valor <strong>de</strong> k para que a matriz abaixo seja inversível.<br />
.<br />
5. Calcule<br />
1<br />
a<br />
7 2 k <br />
<br />
<br />
1 0 1 <br />
<br />
<br />
5 83<br />
<br />
1 1<br />
2a<br />
3a<br />
a<br />
2<br />
4a<br />
2<br />
9a<br />
2<br />
3x 1<br />
0 x<br />
6. Calcule x <strong>de</strong> modo que 3 1 2 = 0<br />
1 0 1<br />
7. Calcule o valor do <strong>de</strong>terminante :<br />
1 1 1 ...... 1<br />
1 1+<br />
a 1 ....... 1<br />
1 1 1+<br />
b ...... 1<br />
.....................................<br />
1 1 1 .... 1+<br />
l<br />
8. Usando a informação dada em 9.1, calcule a inversa da matriz<br />
3 2 <br />
A = <br />
1<br />
1
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 111<br />
9. (FATEC-SP) Dê o conjunto X dos números que satisfazem a equação<br />
0 x 0 0<br />
3 2<br />
1 2<br />
x 3<br />
2<br />
x<br />
1<br />
0<br />
1 0<br />
= 0<br />
10. Calcule os seguintes <strong>de</strong>terminantes:<br />
a)<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
4<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
2<br />
b)<br />
0<br />
1<br />
4<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
0<br />
3<br />
2<br />
3<br />
0<br />
4<br />
2<br />
3<br />
1. ( a b)( b c)<br />
Respostas Exercícios Série 1.<br />
a 2. - 102 3. 9 4. k 5<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1 2 <br />
5. 2a 6. x =<br />
7.. a.b.c....l 8. A = <br />
2<br />
1<br />
3<br />
9. X = { -1, 0, 1 } 10. a) 3 b) – 24<br />
EXERCÍCIOS – Série 2<br />
1. Usando proprieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminantes <strong>de</strong>scubra quais <strong>de</strong>ntre as matrizes abaixo<br />
têm <strong>de</strong>terminante nulo.<br />
% 5 4 10 1<br />
" % 3 2 9 6 "<br />
#<br />
= #<br />
3 9 6 6<br />
#<br />
A<br />
#<br />
2 9 1<br />
8<br />
B =<br />
# 1 5 2 3 # 5 2 3 0<br />
#<br />
#<br />
$ 2 3 4 2 ! $ 5 2 3 0 !<br />
% 8 0 0 0 " % 3 0 2 4 "<br />
#<br />
= #<br />
1 4 0 0<br />
#<br />
C<br />
#<br />
2 0 6 8<br />
D =<br />
# 2 1 3 0 # 1<br />
0 3 6<br />
#<br />
#<br />
$ 3 2 1 5 ! $ 4 0 1 5 !<br />
% 2 9 3 4 " % 4 5 0 2"<br />
#<br />
#<br />
0 5 2 2<br />
#<br />
E =<br />
#<br />
3 1<br />
2 5<br />
F =<br />
# 0 0 0 3 # 4 5 0 2<br />
#<br />
#<br />
$ 0 0 0 7 ! $ 6 8 3 5!<br />
% 2 5 1<br />
3 "<br />
#<br />
2. Sendo #<br />
0 3 0 1<br />
A =<br />
, calcule <strong>de</strong>t A.<br />
# 0 0 5 1<br />
#<br />
$ 0 0 0 10!<br />
3. Use a regra <strong>de</strong> Chio para abaixar a or<strong>de</strong>m e resolver o <strong>de</strong>terminante:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 112<br />
2<br />
5<br />
2<br />
3<br />
3<br />
6<br />
1<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
1<br />
4<br />
1<br />
x 2 0 3<br />
4. Obter x <strong>de</strong> modo que se tenha: = 23<br />
x 1<br />
5 4<br />
x + 1 6 4 0<br />
5. Calcule o <strong>de</strong>terminante:<br />
6. Prove que o <strong>de</strong>terminante<br />
2<br />
1<br />
7. Calcule o valor do <strong>de</strong>terminante<br />
0<br />
4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
5<br />
6<br />
5<br />
3<br />
9<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
5<br />
x<br />
0<br />
0<br />
8<br />
3<br />
6<br />
0<br />
5<br />
2<br />
5<br />
3<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
7<br />
5<br />
7<br />
é múltiplo <strong>de</strong> 13.<br />
% a b c " % a 5 1"<br />
#<br />
8. Dadas as matrizes A =<br />
#<br />
#<br />
5 3 2 e B =<br />
#<br />
b 3 2 <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminantes<br />
# $ 2 4 6 ! # $ c 2 3!<br />
não nulos, para quaisquer valores <strong>de</strong> reais <strong>de</strong> a, b e c, que relação <strong>de</strong>ve existir entre<br />
os <strong>de</strong> terminantes <strong>de</strong> A e B.<br />
4<br />
25<br />
9<br />
% k1<br />
k2<br />
k3<br />
"<br />
#<br />
9. Seja a matriz M =<br />
#<br />
k4<br />
k5<br />
k6<br />
na qual os elementos k<br />
1<br />
, k2<br />
,<br />
3,<br />
......., kk<br />
9<br />
, formam<br />
# $ k7<br />
k8<br />
k9<br />
!<br />
uma P.G., <strong>de</strong>termine o valor <strong>de</strong> <strong>de</strong>t M.<br />
% 1 0 0 "<br />
#<br />
x<br />
10. Calcule o valor <strong>de</strong> x, sabendo que o <strong>de</strong>terminante da matriz # 1 2 0 é igual<br />
# x x<br />
$ 1 3 4 !<br />
a 256<br />
Respostas EXERCÍCIOS – SÉRIE 2<br />
1. A, B, D, E e F 2. 300 3. 40 4. 2<br />
1<br />
5. -112<br />
6. use a proprieda<strong>de</strong> 4 7. – 6 8. <strong>de</strong>t A = 2.<strong>de</strong>t B. 9. zero 10. 8<br />
3
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 113<br />
1) Introdução:<br />
Sistemas Lineares<br />
O que é uma equação linear? E um sistema linear?<br />
Neste capítulo não só respon<strong>de</strong>remos às perguntas acima, como mostraremos diversas<br />
aplicações importantes, <strong>no</strong> cotidia<strong>no</strong>, relacionadas com esse tema. Mostraremos ainda como<br />
as matrizes e os <strong>de</strong>terminantes que, estudamos <strong>no</strong> capítulo anterior estão também relacionadas<br />
com esse tema.<br />
Exemplo: Uma companhia <strong>de</strong> navegação tem três tipos <strong>de</strong> recipientes A, B e C, que carrega<br />
cargas em containers <strong>de</strong> três tipos I, II e III. As capacida<strong>de</strong>s dos recipientes são dadas pela<br />
matriz:<br />
Tipo do Recipiente I II III<br />
A 4 3 2<br />
B 5 2 3<br />
C 2 2 3<br />
Quais são os números <strong>de</strong> recipientes x 1 , x 2 e x 3 <strong>de</strong> cada categoria A, B e C, se a companhia<br />
<strong>de</strong>ve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?<br />
Montagem do sistema linear (ou sistema do 1º grau)<br />
4 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 = 42<br />
3 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 27<br />
2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 33<br />
Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se <strong>no</strong><br />
Trinity College <strong>de</strong> Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo<br />
eles três gran<strong>de</strong>s produtores <strong>de</strong> materiais <strong>no</strong> campo da Matemática. Em 1858, Cayley<br />
apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são <strong>de</strong>senvolvidas a partir<br />
da <strong>no</strong>ção <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminante, isto é, a partir do exame <strong>de</strong> sistemas <strong>de</strong> equações, que ele<br />
<strong>de</strong><strong>no</strong>mi<strong>no</strong>u: o sistema. Cayley <strong>de</strong>senvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos<br />
<strong>de</strong> transformações lineares homogêneas.<br />
Equação linear<br />
É uma equação da forma<br />
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n x n = b 1<br />
on<strong>de</strong><br />
<br />
x 1 , x 2 , ..., x n são as incógnitas;
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 114<br />
<br />
<br />
a 11 , a 12 , ...,a 1n são os coeficientes (números reais ou complexos);<br />
b 1 é o termo in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte (número real ou complexo).<br />
Exemplos <strong>de</strong> equações lineares<br />
1. 4 x + 3 y - 2 z = 0<br />
2. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3<br />
3. x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 = 1<br />
Exemplos <strong>de</strong> equações não-lineares<br />
1. 3 x + 3y x = -4<br />
2. x 2 + y 2 = 9<br />
3. x + 2 y - 3 z w = 0<br />
4. x 2 + y 2 = -9<br />
Solução <strong>de</strong> uma equação linear<br />
Uma seqüência <strong>de</strong> números reais (r 1 ,r 2 ,r 3 ,r 4 ) é solução da equação linear<br />
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 = b 1<br />
se trocarmos cada x i por r i na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é<br />
i<strong>de</strong>nticamente igual ao membro da direita, isto é:<br />
a 11 r 1 + a 12 r 2 + a 13 r 3 + a 14 r 4 = b 1<br />
Exemplo: A seqüência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5,<br />
y=6 e z=7 na equação dada, teremos:<br />
2×5 + 3×6 - 2×7 = 14<br />
Exercícios resolvidos:<br />
1 - Se o ter<strong>no</strong> or<strong>de</strong>nado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o<br />
valor <strong>de</strong> p?<br />
Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p,<br />
6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 - 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e<br />
portanto, p = 14.<br />
2 - Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que<br />
o ter<strong>no</strong> or<strong>de</strong>nado ( , , 2 ) é solução.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 115<br />
Solução: Po<strong>de</strong>mos escrever: 5 - 2 + 2 = 14. Daí, tiramos: 2 = 14 - 5 + 2 .<br />
Portanto, a solução genérica será o ter<strong>no</strong> or<strong>de</strong>nado ( , , 14 - 5 + 2 ).<br />
Observe que arbitrando-se os valores para e , a terceira variável ficará<br />
<strong>de</strong>terminada em função <strong>de</strong>sses valores. Por exemplo, fazendo-se = 1, = 3,<br />
teremos<br />
2 = 14 - 5 + 2 = 14 - 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o ter<strong>no</strong> (1, 3, 15) é solução, e assim,<br />
sucessivamente. Verificamos pois que existem infinitas soluções para a equação<br />
linear dada, sendo o ter<strong>no</strong> or<strong>de</strong>nado ( , , 14 - 5 + 2 ) a solução genérica.<br />
Agora resolva estes:<br />
1 - Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1?<br />
Resp : S = 3<br />
2 - Determine o valor <strong>de</strong> p, sabendo-se que a quadra or<strong>de</strong>nada (2, p, -3, p+3) é<br />
solução da equação 3x + 4y - 5z + 2t = 10. Resp : p = - 17/6<br />
2) Sistemas <strong>de</strong> equações lineares<br />
Um sistema <strong>de</strong> equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais<br />
equações lineares. Um sistema linear po<strong>de</strong> ser representado na forma:<br />
on<strong>de</strong><br />
a 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1n x n = b 1<br />
a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2n x n = b 2<br />
... ... ... ...<br />
a m1 x 1 + a m2 x 2 +...+ a mn x n = b n<br />
x 1 , x 2 , ..., x n são as incógnitas;<br />
a 11 , a 12 , ..., a mn são os coeficientes;<br />
b 1 , b 2 , ..., b m são os termos in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes.<br />
3) Representação Matricial <strong>de</strong> um Sistema <strong>de</strong> Equações Lineares:<br />
% a<br />
#<br />
a<br />
#<br />
#...<br />
#<br />
$ a<br />
11<br />
21<br />
m1<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
m2<br />
....a<br />
.... a<br />
....a<br />
1n<br />
2n<br />
mn<br />
% x " % b<br />
1<br />
1 "<br />
" #<br />
x<br />
#<br />
b<br />
2<br />
2<br />
# #<br />
. # x = # b<br />
3<br />
3<br />
# #<br />
#...<br />
#...<br />
! #<br />
$ x !<br />
#<br />
n $ bm<br />
!
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 116<br />
Po<strong>de</strong>-se sempre usar a representação matricial <strong>de</strong> um sistema e<br />
simplificar a sua escrita, trabalhando direto com as matrizes que o<br />
representam.<br />
OBS:<br />
% a<br />
#<br />
a<br />
#<br />
#...<br />
#<br />
$<br />
11<br />
21<br />
a m 1<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
m2<br />
....a<br />
.... a<br />
....a<br />
1n<br />
2n<br />
mn<br />
"<br />
!<br />
A matriz ao lado é <strong>de</strong><strong>no</strong>minada <strong>de</strong><br />
matriz incompleta do sistema linear.<br />
% a<br />
#<br />
a<br />
#<br />
#...<br />
#<br />
$<br />
11<br />
21<br />
a m 1<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
m2<br />
....a<br />
....a<br />
....a<br />
1n<br />
2n<br />
mn<br />
b<br />
b<br />
b<br />
1<br />
2<br />
m<br />
"<br />
!<br />
A matriz ao lado é <strong>de</strong><strong>no</strong>minada <strong>de</strong><br />
matriz completa do sistema linear.<br />
Solução <strong>de</strong> um sistema <strong>de</strong> equações lineares<br />
Uma sequência (r 1 , r 2 , ...,r n ) é solução do sistema linear:<br />
a 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1n x n = b 1<br />
a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2n x n = b 2<br />
... ... ... ...<br />
a m1 x 1 + a m2 x 2 +...+ a mn x n = b n<br />
se satisfaz i<strong>de</strong>nticamente a todas as equações <strong>de</strong>sse sistema linear.<br />
Exemplo: O par or<strong>de</strong>nado (2,0) é uma solução do sistema linear:<br />
2x + y = 4<br />
x + 3y = 2<br />
x + 5y = 2<br />
pois satisfaz i<strong>de</strong>nticamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0,<br />
os dois membros <strong>de</strong> cada igualda<strong>de</strong> serão iguais em todas as equações.<br />
4) Consistência <strong>de</strong> Sistemas Lineares<br />
O número <strong>de</strong> soluções <strong>de</strong> um sistema linear <strong>de</strong>termina a sua classificação <strong>de</strong> duas maneiras<br />
com relação à sua consistência:<br />
<br />
Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo me<strong>no</strong>s uma solução.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 117<br />
(a) Se tem uma única solução, o sistema é <strong>de</strong>terminado.<br />
(b) Se tem mais que uma solução, o sistema é in<strong>de</strong>terminado.<br />
<br />
Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.<br />
Exemplos <strong>de</strong> sistemas com respeito às suas soluções<br />
1. Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas<br />
retas <strong>no</strong> pla<strong>no</strong> cartesia<strong>no</strong> que têm o ponto (3,-2) como interseção.<br />
x + 2y = -1<br />
2x - y = 8<br />
2. Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas<br />
paralelas sobrepostas <strong>no</strong> pla<strong>no</strong> cartesia<strong>no</strong>, logo existem infinitos pontos que<br />
satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).<br />
4x + 2y = 100<br />
8x + 4y = 200<br />
3. Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas<br />
<strong>no</strong> pla<strong>no</strong> cartesia<strong>no</strong>, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.<br />
5) Sistemas equivalentes<br />
x + 3y = 4<br />
x + 3y = 5<br />
Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.<br />
Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo:<br />
S1<br />
3x + 6y = 42<br />
2x - 4y = 12<br />
S2<br />
1x + 2y = 14<br />
1x - 2y = 6<br />
pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.<br />
Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a <strong>no</strong>tação S1~S2.<br />
Exemplo: UEL - 84 (Universida<strong>de</strong> Estadual <strong>de</strong> Londrina)<br />
Se os sistemas<br />
x + y = 1<br />
S 1 : x - 2y = -5<br />
ax – by = 5<br />
S 2 :<br />
ay – bx = -1
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 118<br />
são equivalentes, então o valor <strong>de</strong> a 2 + b 2 é igual a:<br />
a) 1 b) 4 c) 5 d) 9 e) 10<br />
Solução:<br />
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos<br />
resolver o sistema S 1 :<br />
x + y = 1<br />
x - 2y = -5<br />
Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 4 y = 2.<br />
Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 4 x = -1.<br />
O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.<br />
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema<br />
S 2 . Logo, substituindo em S 2 os valores <strong>de</strong> x e y encontrados para o sistema S 1 ,<br />
vem:<br />
a(-1) - b(2) = 5 + - a - 2b = 5 (I)<br />
a(2) - b (-1) = -1 + 2 a + b = -1 (II)<br />
Multiplicando ambos os membros da primeira equação (I) por 2, fica:<br />
-2 a - 4b = 10<br />
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (II),<br />
fica: -3b = 9 4 b = - 3<br />
Substituindo o valor encontrado para b na equação (II) acima (po<strong>de</strong>ria ser também<br />
na outra equação), teremos:<br />
2 a + (-3) = -1 4 a = 1.<br />
Portanto, a 2 + b 2 = 1 2 + (-3) 2 = 1 + 9 = 10.<br />
Portanto a alternativa correta é a letra E.<br />
Exemplo 2: Determine o valor <strong>de</strong> m <strong>de</strong> modo que o sistema <strong>de</strong> equações abaixo,<br />
2x - my = 10<br />
3x + 5y = 8, seja impossível.<br />
Solução:<br />
Teremos, expressando x em função <strong>de</strong> m, na primeira equação:<br />
x = (10 + my) / 2<br />
Substituindo o valor <strong>de</strong> x na segunda equação, vem:<br />
3[(10+my) / 2] + 5y = 8<br />
Multiplicando ambos os membros por 2, <strong>de</strong>senvolvendo e simplificando, vem:<br />
3(10+my) + 10y = 16<br />
30 + 3my + 10y = 16<br />
(3m + 10)y = -14<br />
y = -14 / (3m + 10)<br />
Ora, para que não exista o valor <strong>de</strong> y e, em conseqüência não exista o valor <strong>de</strong> x,<br />
<strong>de</strong>veremos ter o <strong>de</strong><strong>no</strong>minador igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE<br />
DIVISÃO POR ZERO.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 119<br />
Portanto, 3m + 10 = 0, <strong>de</strong> on<strong>de</strong> conclui-se: m = -10/3, para que o sistema seja<br />
impossível, ou seja, não possua solução.<br />
Operações elementares sobre sistemas lineares<br />
Existem três tipos <strong>de</strong> operações elementares que po<strong>de</strong>m ser realizadas sobre um sistema linear<br />
<strong>de</strong> equações <strong>de</strong> forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o<br />
anterior. Na seqüência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas<br />
operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o<br />
resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais <strong>de</strong> cada tabela, você encontra a<br />
operação que foi realizada.<br />
1. Troca <strong>de</strong> posição <strong>de</strong> duas equações do sistema<br />
Troca a Linha 1 com a Linha 3<br />
x + 2y - z = 2<br />
2x-3y+2z=0<br />
4x + y - 5z = 9<br />
~<br />
4x + y - 5z = 9<br />
2x-3y+2z=0<br />
x + 2y - z = 2<br />
2. Multiplicação <strong>de</strong> uma equação por um número não nulo<br />
Multiplica a Linha 1 pelo número 3<br />
x + 2y - z = 2<br />
2x-3y+2z=0<br />
4x+y-5z=9<br />
~<br />
3x + 6y - 3z = 6<br />
2x-3y+2z=0<br />
4x+y-5z=9<br />
A equação resultante fica na linha 1<br />
3. Adição <strong>de</strong> duas equações do sistema<br />
Adição da Linha 2 com a Linha 3<br />
x+2y-z=2<br />
2x -3y + 2z = 0<br />
4x + y - 5z = 9<br />
~<br />
3x+6y-3z=6<br />
2x-3y+2z=0<br />
6x - 2y - 3z = 9<br />
A equação resultante fica na linha 3<br />
6) Resolução <strong>de</strong> sistemas lineares por escalonamento<br />
(Método <strong>de</strong> Gauss)<br />
Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, po<strong>de</strong>mos resolver sistemas<br />
lineares. Vamos mostrar como funciona este processo através <strong>de</strong> um exemplo.<br />
Exemplo: Consi<strong>de</strong>remos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.<br />
3x + y + z = 20<br />
2x - y - z = -15<br />
-4x + y -5z = -41<br />
Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o<br />
resultado na linha j. Usamos k Li->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante<br />
k e o resultado ficou na linha i.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 120<br />
3x + 1y + 1z = 20<br />
2x - 1y - 1z = -15<br />
-4x+1y-5z=-41<br />
1x + 2y + 2z = 35<br />
2x - 1y - 1z = -15<br />
-4x+1y-5z=-41<br />
1x + 2y + 2z = 35<br />
0x-5y-5z=-85<br />
-4x + 1y - 5z = -41<br />
Passo 1: L1-L2->L1<br />
~<br />
Passo 2: L2-2.L1->L2<br />
~<br />
Passo 3: L3+4.L1->L3<br />
~<br />
1x + 2y + 2z = 35<br />
2x-1y-1z=-15<br />
-4x+1y-5z=-41<br />
1x+2y+2z=35<br />
0x - 5y - 5z = -85<br />
-4x+1y-5z=-41<br />
1x+2y+2z=35<br />
0x-5y-5z=-85<br />
0x + 9y + 3z = 99<br />
Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3<br />
1x+2y+2z=35<br />
0x - 5y - 5z = -85<br />
0x + 9y + 3z = 99<br />
~<br />
1x+2y+2z=35<br />
0x + 1y + 1z = 17<br />
0x + 3y + 1z = 33<br />
1x+2y+2z=35<br />
0x + 1y + 1z = 17<br />
0x + 3y + 1z = 33<br />
1x+2y+2z=35<br />
0x+1y+1z=17<br />
0x + 0y - 2z = -18<br />
1x+2y+2z=35<br />
0x + 1y + 1z = 17<br />
0x + 0y + 1z = 9<br />
1x + 2y + 2z = 35<br />
0x + 1y + 0z = 8<br />
0x + 0y + 1z = 9<br />
Passo 5: L3-3.L2->L3<br />
~<br />
Passo 6: (-1/2)L3->L3<br />
~<br />
Passo 7: L2-L3->L2<br />
Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1<br />
~<br />
~<br />
1x+2y+2z=35<br />
0x+1y+1z=17<br />
0x + 0y - 2z = -18<br />
1x+2y+2z=35<br />
0x+1y+1z=17<br />
0x + 0y + 1z = 9<br />
1x+2y+2z=35<br />
0x + 1y + 0z = 8<br />
0x+0y+1z=9<br />
1x + 0y + 0z = 1<br />
0x+1y+0z=8<br />
0x+0y+1z=9<br />
Passo 9: Simplificar coeficientes<br />
1x + 0y + 0z = 1<br />
0x + 1y + 0z = 8<br />
0x + 0y + 1z = 9<br />
~<br />
x = 1<br />
y = 8<br />
z = 9
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 121<br />
Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último<br />
sistema.<br />
Po<strong>de</strong>ríamos também fazer todas essas operações <strong>de</strong> transformação <strong>de</strong> um<br />
sistema em outro, equivalente, escalonado, usando apenas a matriz<br />
completa do sistema, não sendo necessário escrever as variáveis do<br />
sistema, o que facilitaria bastante a <strong>no</strong>ssa escrita. Vejamos um exemplo:<br />
Resolva, por escalonamento (método <strong>de</strong> Gauss) o sistema:<br />
/ x + 2y<br />
+ z = 7<br />
1<br />
. 2x<br />
+ 7y<br />
+ z = 21<br />
1<br />
-<br />
3x<br />
5y<br />
+ 2z<br />
= 8<br />
Vamos representar a matriz completa <strong>de</strong>sse sistema:<br />
% 1<br />
#<br />
2<br />
#<br />
# $ - 3<br />
2 1<br />
7 1<br />
- 5 2<br />
7 "<br />
21<br />
- 8!<br />
Vamos multiplicar a 1ª linha por -2 e<br />
somar com a 2ª, e também<br />
multiplicar a 1ª linha por 3 e somar<br />
com a 3ª teremos:<br />
% 1<br />
#<br />
0<br />
#<br />
# $ 0<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
-1<br />
5<br />
7 "<br />
7<br />
13!<br />
Vamos agora trocar <strong>de</strong> posição as duas últimas linhas, com o propósito <strong>de</strong><br />
que o coeficiente da variável y seja igual a 1 na 2ª equação.<br />
% 1<br />
#<br />
0<br />
#<br />
# $ 0<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
5<br />
-1<br />
7 "<br />
13<br />
7 !<br />
Vamos multiplicar a 2ª linha por -3 e somar<br />
com a 3ª.<br />
% 1<br />
#<br />
0<br />
#<br />
# $ 0<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1 7 "<br />
5 13<br />
-16 - 32!<br />
Observe que o sistema já está escalonado e que a 3ª linha correspon<strong>de</strong> a<br />
-16z = -32, ou z = 2.<br />
A 2ª linha correspon<strong>de</strong> a: y + 5z = 13, ou y + 10 = 13, ou y = 3.<br />
A 1ª linha correspon<strong>de</strong> a: x + 2y + z = 7, ou x + 6 + 2 = 7, ou ainda<br />
x = -1. Logo, a solução é: S = {(-1, 3, 2)}.<br />
OBSERVAÇÃO: Po<strong>de</strong>mos discutir um sistema linear (nXn) através <strong>de</strong> seu<br />
equivalente escalonado, ou seja, pela análise <strong>de</strong> sua última linha:<br />
• Se todos os coeficientes obtidos forem iguais a zero, o sistema será<br />
INDETERMINADO, pois correspon<strong>de</strong>rá a uma equação do tipo 0x +<br />
0y + 0z + .... = 0, que é verda<strong>de</strong> para quaisquer valores <strong>de</strong> x, y, z, ...<br />
• Se todos os coeficientes obtidos forem iguais a zero, com exceção do<br />
último, o sistema será IMPOSSÍVEL, pois correspon<strong>de</strong>rá a uma
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 122<br />
equação do tipo 0x + 0y + 0z + ... = k G 0, que não é satisfeita para<br />
quaisquer valores das variáveis.<br />
• Nos <strong>de</strong>mais casos o sistema será POSSÍVEL E DETERMINADO,<br />
admitindo apenas uma solução.<br />
Problema <strong>de</strong> aplicação:<br />
UFBa 1995 – A tabela abaixo indica o consumo efetuado num restaurante, em três<br />
mesas diferentes, especificando as porções consumidas <strong>de</strong> cada alimento e a conta<br />
em reais.<br />
Sendo r reais a conta da mesa III, calcule r<br />
NÚMERO DE PORÇÕES CONSUMIDAS<br />
ARROZ FEIJÃO FRANGO REFRIGE<br />
RANTE<br />
VALOR DA<br />
CONTA<br />
R$<br />
MESA I 3 2 3 4 11,00<br />
MESA II 2 1 1 2 6,00<br />
MESA III 6 5 9 10 r<br />
Solução:<br />
Sejam x , y e z os preços unitários (em reais) , das porções <strong>de</strong> arroz, feijão , frango e<br />
w o preço unitário do refrigerante. Po<strong>de</strong>remos escrever o seguinte sistema linear:<br />
3x + 2y + 3z + 4w = 11<br />
2x + 1y + 1z + 2w = 6<br />
6x + 5y + 9z + 10w = r<br />
Temos então, um sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas.<br />
Vamos resolver este sistema pelo método <strong>de</strong> escalonamento :<br />
De modo a eliminar x na segunda e terceira equações, vamos multiplicar a primeira<br />
equação por ( - 2 ) e a segunda equação por ( + 3), resultando:<br />
– 6x – 4y – 6z – 8w = – 22<br />
6x + 3y + 3z + 6w = 18<br />
6x + 5y + 9z + 10w = r<br />
Vamos agora substituir as segunda e terceira equações, pela soma <strong>de</strong>las com a<br />
primeira equação, resultando:<br />
– 6x – 4y – 6z – 8w = – 22<br />
– y – 3 z – 2 w = – 4<br />
y + 3z + 2 w = – 22 + r<br />
Somando as segunda e terceira equações acima, mantendo a primeira equação,<br />
fica:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 123<br />
– 6x – 4y – 6z – 8w = – 22<br />
0y + 0z + 0w = – 26 + r<br />
Daí vem imediatamente que 0 = - 26 + r , <strong>de</strong> on<strong>de</strong> concluímos inevitavelmente:<br />
r = 26.<br />
Portanto, a <strong>de</strong>spesa da Mesa III será igual a 26 reais ( R$ 26,00 ).<br />
7) Regra <strong>de</strong> Cramer<br />
Você, quando era alu<strong>no</strong> do curso fundamental estudou várias técnicas para a solução <strong>de</strong> um<br />
sistema do primeiro grau: adição, substituição, comparação, método gráfico. Agora, você vai<br />
apren<strong>de</strong>r uma regra que servirá para resolver sistemas lineares possíveis e <strong>de</strong>terminados,<br />
através do uso <strong>de</strong> DETERMINANTES. Esta regra é conhecida por REGRA DE CRAMER.<br />
Vamos, em primeiro lugar, apresentar a solução para um sistema (2x2), ou seja, <strong>de</strong> duas<br />
equações e duas incógnitas. Em seguida, generalizaremos a solução para um número maior <strong>de</strong><br />
equações e <strong>de</strong> incógnitas.<br />
Seja o sistema:<br />
/ a<br />
.<br />
-a<br />
11<br />
21<br />
fazíamos na 6ª série.<br />
x + a<br />
x + a<br />
12<br />
22<br />
y = b<br />
1<br />
y = b<br />
2<br />
vamos resolvê-lo pelo método da adição, como<br />
/ a<br />
.<br />
-a<br />
11<br />
21<br />
x + a<br />
x + a<br />
12<br />
22<br />
y = b<br />
1<br />
y = b<br />
2<br />
(.a<br />
22<br />
)<br />
(. - a<br />
12<br />
)<br />
a<br />
11<br />
- a<br />
a<br />
21<br />
22<br />
a<br />
x + a<br />
12<br />
12<br />
x a<br />
12<br />
a<br />
22<br />
a<br />
22<br />
y = b a<br />
1<br />
22<br />
y = b<br />
a<br />
2<br />
12<br />
( a x = b a ab<br />
a a a )<br />
11<br />
(I)Somando as equações obtidas, teremos:<br />
22 21 12<br />
1 22 2 12<br />
obtivemos o valor <strong>de</strong> x, através da “eliminação” do y.<br />
/ a<br />
.<br />
-a<br />
11<br />
21<br />
x + a<br />
x + a<br />
12<br />
22<br />
y = b<br />
1<br />
y = b<br />
2<br />
(.a<br />
21<br />
)<br />
(. - a<br />
11<br />
)<br />
a<br />
11<br />
- a<br />
a<br />
21<br />
21<br />
a<br />
x + a<br />
11<br />
12<br />
x a<br />
11<br />
a<br />
a<br />
21<br />
22<br />
y = b a<br />
1<br />
21<br />
y = b<br />
a<br />
2<br />
11<br />
( a<br />
y = b a ab<br />
a a a )<br />
12<br />
(II) Somando as equações obtidas, teremos:<br />
21 11 22<br />
1 21 2 11<br />
obtivemos agora o valor <strong>de</strong> y, através da “eliminação” do x.<br />
Observe que, se formarmos matrizes quadradas associadas ao sistema, e calcularmos seus<br />
<strong>de</strong>terminantes, teremos:
a<br />
11<br />
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 124<br />
D =<br />
11 22 12 21<br />
a<br />
21<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
b a<br />
1 12<br />
= a a a a D = = b a b a<br />
x<br />
1 22 2 12<br />
b a<br />
2<br />
22<br />
D<br />
y<br />
=<br />
a<br />
a<br />
11<br />
22<br />
b<br />
b<br />
1<br />
2<br />
= b<br />
2<br />
a<br />
11<br />
b a<br />
1<br />
22<br />
Observe e responda. A partir do sistema dado, como foram obtidas as matrizes D, Dx e Dy?<br />
Se você comparar os valores encontrados para esses <strong>de</strong>terminantes com os valores obtidos<br />
para x e y quando aplicamos o método da adição, po<strong>de</strong> concluir que:<br />
x<br />
D<br />
D<br />
=<br />
X<br />
com D Z 0.<br />
e<br />
y =<br />
D<br />
y<br />
D<br />
o que só será válido para sistemas possíveis e <strong>de</strong>terminados, ou seja,<br />
Exemplo: Resolva o sistema abaixo, aplicando a regra <strong>de</strong> Cramer.<br />
/ 2x<br />
5y<br />
.<br />
-3x<br />
+ 2y<br />
= 2<br />
= 16<br />
Solução:<br />
D<br />
=<br />
2<br />
3<br />
- 5<br />
2<br />
=<br />
4 + 14 = 19 ( 0)<br />
D<br />
x<br />
=<br />
2<br />
16<br />
- 5<br />
2<br />
= 4<br />
+ 80 = 76<br />
D<br />
y<br />
=<br />
2<br />
3<br />
Logo, x =<br />
- 2<br />
= 32 + 6 = 38<br />
16<br />
76<br />
19<br />
= 4<br />
e<br />
y =<br />
38<br />
19<br />
=<br />
2<br />
Po<strong>de</strong>mos agora, generalizar esse processo para um sistema <strong>de</strong> n equações e n incógintas.<br />
Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 125<br />
a 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1j x j +...+ a 1n x n = b 1<br />
a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2j x j +...+ a 2n x n = b 2<br />
... ... ... ...<br />
a n1 x n + a n2 x n +...+ a nj x j +...+ a nn x n = b n<br />
A este sistema po<strong>de</strong>mos associar algumas matrizes:<br />
<br />
<br />
Matriz dos coeficientes (ou incompleta): Formada pelos coeficientes das<br />
incógnitas do sistema, aqui indicada pela letra A.<br />
Matriz dos coeficientes<br />
a 11 a 12 ... a 1j ... a 1n<br />
a 21 a 22 ... a 2j ... a 2n<br />
... ... ... ... ... ...<br />
a n1 a n2 ... a nj ... a nn<br />
Matriz Aumentada do sistema (ou completa): Formada todos os coeficientes<br />
das incógnitas do sistema e também pelos termos in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes.<br />
Matriz Aumentada<br />
<br />
a 11 a 12 ... a 1j ... a 1n b 1<br />
a 21 a 22 ... a 2j ... a 2n b 2<br />
... ... ... ... ... ...<br />
a n1 a n2 ... a nj ... a nn b n<br />
Matriz da incógnita x j : É a matriz A j obtida ao substituirmos a coluna j (1
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 126<br />
Exemplo 1: Seja o sistema<br />
2x + 3y + 4z = 27<br />
1x – 2y + 3z = 15<br />
3x + 1y + 6z = 40<br />
A matriz A e a matriz dos termos in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes do sistema estão indicados abaixo.<br />
2 3 4<br />
1 -2 3<br />
3 1 6<br />
27<br />
15<br />
40<br />
Como <strong>de</strong>t(A)=7, o sistema admite uma única solução que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> dos <strong>de</strong>terminantes das<br />
matrizes A x , A y e A z , e tais matrizes são obtidas pela substituição 1ª., 2ª. e 3ª. colunas da<br />
matriz A pelos termos in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes das três equações, temos:<br />
6x=<br />
27 3 4<br />
15 -2 3<br />
6y=<br />
2 27 4<br />
1 15 3<br />
6z=<br />
2 3 27<br />
1 -2 15<br />
40 1 6<br />
3 40 6<br />
3 1 40<br />
Como <strong>de</strong>t(A x )=65, <strong>de</strong>t(A y )=1 e <strong>de</strong>t(A z )=14, a solução do sistema é dada por:<br />
Exemplo 2:<br />
x = <strong>de</strong>t(6x)/<strong>de</strong>t(A) = 65/7<br />
y = <strong>de</strong>t(6y)/<strong>de</strong>t(A) = 1/7<br />
z = <strong>de</strong>t(6z)/<strong>de</strong>t(A) = 14/7<br />
Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra <strong>de</strong> Cramer:<br />
x + 3y - 2z = 3<br />
2x - y + z = 12<br />
4x + 3y - 5z = 6<br />
Teremos:
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 127<br />
Portanto, pela regra <strong>de</strong> Cramer, teremos:<br />
x 1 = 6 x 1 / 6 = 120 / 24 = 5<br />
x 2 = 6 x 2 / 6 = 48 / 24 = 2<br />
x 3 = 6 x 3 / 6 = 96 / 24 = 4<br />
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.<br />
Sistemas lineares homogêneos<br />
Um sistema linear é homogêneo quando os termos in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes <strong>de</strong> todas as equações são<br />
nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo me<strong>no</strong>s a solução trivial, que é a solução<br />
i<strong>de</strong>nticamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo <strong>de</strong> sistema<br />
po<strong>de</strong>rá ser <strong>de</strong>terminado se admitir somente a solução trivial ou in<strong>de</strong>terminado se admitir<br />
outras soluções além da trivial.<br />
Exemplo: O sistema<br />
2x - y + 3z = 0<br />
4x + 2y - z = 0<br />
x - y + 2z = 0<br />
Para esse tipo <strong>de</strong> sistema basta calcular o <strong>de</strong>terminante associado à sua matriz incompleta.<br />
Caso ele seja diferente <strong>de</strong> zero, o sistema será possível e <strong>de</strong>terminado, ou seja, admite apenas<br />
a solução trivial. Caso ele seja igual a zero, o sistema será in<strong>de</strong>terminado.<br />
No exemplo proposto, teremos:<br />
2<br />
-1<br />
3<br />
4<br />
2<br />
-1<br />
= 8 -12 + 1- 6 - 2 + 8 = -3<br />
1<br />
-1<br />
2<br />
Logo, como o <strong>de</strong>terminante é diferente <strong>de</strong> zero, o sistema é possível e <strong>de</strong>terminado, admitindo<br />
apenas a solução trivial
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 128<br />
EXERCÍCIOS PROPOSTOS<br />
1) Resolva o sistema:<br />
2) Discuta o sistema:<br />
3) (UFR-PE) Para que valor <strong>de</strong> k<br />
o sistema não possui solução ?<br />
4) (FEI-SP) Para quais condições <strong>de</strong> "a" e "b"<br />
se tem o sistema in<strong>de</strong>terminado?<br />
5)Resolva os sistemas abaixo e classifique quanto ao número <strong>de</strong> soluções aplicando o<br />
escalonamento.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 129<br />
6)Resolva e classifique os sistemas quanto ao número <strong>de</strong> soluções, por escalonamento.<br />
7) Em um <strong>de</strong>terminado semestre, o professor <strong>de</strong> matemática aplicou três provas em sua<br />
avaliação da aprendizagem. As questões valiam um ponto cada uma, mas os pesos das provas<br />
eram diferentes. Fernando que acertou 3 questões na primeira prova, 6 na segunda e 6 na<br />
terceira obteve <strong>no</strong> final 54 pontos. Jorge obteve 6, 5 e 4 acertos totalizando 47 pontos. Ana<br />
acertou 2, 7 e 5 questões atingindo 50 pontos. Qual é o valor dos pesos <strong>de</strong> cada prova?<br />
8) Resolva o sistema:<br />
/ x 2z<br />
= 4<br />
1<br />
. y + z = 0<br />
1<br />
-x<br />
+ 4y<br />
= 6<br />
pelos métodos <strong>de</strong> Escalonamento <strong>de</strong> Regra <strong>de</strong> Cramer.<br />
9) Obtenha o valor <strong>de</strong> m, para que o sistema<br />
/ 2x<br />
y = 10<br />
1<br />
. 3x<br />
+ 2y<br />
= 8<br />
1<br />
-x<br />
+ my = 6<br />
tenha uma única solução.
Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira <strong>de</strong> Sá e Geraldo Lins 130<br />
10) Qual o valor da incógnita w <strong>no</strong> sistema:<br />
/ x + y + z = 1<br />
1<br />
x + y + w = 2<br />
.<br />
1x<br />
+ z + w = 3<br />
1-<br />
y + z + w = 4<br />
Consulta aos sites:<br />
“Matemática Essencial” – http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/in<strong>de</strong>x.html<br />
“Matemática do Científico ao Vestibular” - http://www.terra.com.br/matematica/<br />
Livro <strong>de</strong> Referência: DANTE, Luiz Roberto. Matemática, Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 1999.<br />
BIBLIOGRAFIA<br />
1. BARBOSA, Ruy Madsern – Combinatória e Probabilida<strong>de</strong>s – SP, Ed. Nobel, 1968<br />
2. BATSCHELET, E. – Introdução à Matemática para Biocientistas, SP, Interciência, 1978<br />
3. BRASIL – Revista do Professor <strong>de</strong> Matemática, SBM, nº 43<br />
4. DANTE, L. Roberto – Matemática, Contexto e Aplicações, RJ, Ed. Ática, 1999<br />
5. IEZZI, G ET ALLI – Fundamentos <strong>de</strong> Matemática Elementar. SP – Ed. Atual, 1997<br />
6. IMENES, L. M, Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho – Ensi<strong>no</strong> Médio<br />
7. INTERNET – www.cef.gov.br/loteria/probabilida<strong>de</strong>s -<br />
www.terravista.pt/enseada/1524/mat5.html - www.athena.mat.ufrgs.br<br />
8. LIMA, ELON ET ALLI – A Matemática <strong>no</strong> Ensi<strong>no</strong> Médio, RJ, SBM, 1998.<br />
9. MORGADO, A. César e outros – Análise Combinatória e Probabilida<strong>de</strong>s – impa / SBM,<br />
1991<br />
10. REVISTA: EDUCAÇÃO E MATEMÁTICA – APM – Associação dos Professores <strong>de</strong><br />
Matemática <strong>de</strong> Portugal.<br />
11. SIMON, G. & Freund J. – Estatística Aplicada: Eco<strong>no</strong>mia, Administração e<br />
Contabilida<strong>de</strong>. Bookman, Porto Alegre - 2000<br />
12. TROTTA, F. Análise Combinatória, Probabilida<strong>de</strong>s e Estatística. São Paulo: Ed.<br />
Scipione, 1988