MatemÃ¡tica no Ensino MÃ©dio - parte de Ãlgebra - 2Âª sÃ©rie

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Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 16 Podemos ainda afirmar que: A razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo anterior. Em nosso estudo, por motivos práticos, nos deteremos nas progressões geométricas de razões positivas (que é o que ocorre na grande maioria dos exemplos práticos) e, podemos usar a seguinte classificação para as P.G. Ou seja, se a razão é superior a 1, a progressão geométrica é crescente, se a razão é inferior a 1 (e positiva, como já combinamos), a progressão geométrica é decrescente e se a razão é igual a 1, a progressão é dita estacionária. OBS: É claro que existem progressões geométricas, normalmente teóricas, cuja razão é negativa. Essas progressões, pelo fato de ter razão negativa, terão seus termos variando de sinal e são ditas oscilantes. 2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G Vamos usar um raciocínio semelhante ao que vimos para as progressões aritméticas. Podemos, dessa forma, inferir que a fórmula para o cálculo de um termo qualquer de uma P.G é: (n1) an = a1. q FATO CURIOSO: Se você comparar as definições dos dois tipos de progressões que estamos estudando (aritméticas e geométricas), observará que o que na P.A é uma soma, na P.G se transforma em uma multiplicação. O que na P.A é uma multiplicação (ou soma de
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 17 parcelas iguais), na P.G é uma potenciação (ou multiplicação de fatores iguais). Se lembrar também que a razão da P.A é indicada por R, enquanto que a da P.G é indicada por q, terá um poderoso artifício para transformar as propriedades e fórmulas obtidas para a P.A, para as propriedades e fórmulas da P.G. Comparemos as fórmulas dos termos gerais, da P.A e da P.G: P.A a n = a 1 + R. (n - 1) (n1) P.G a = a . q n 1 Mas, mesmo sabendo essas fórmulas, é muito mais importante do que elas saber que, como numa escada, quantos “saltos” devemos dar para ir de um termo ao outro. Somando sempre um valor fixo, no caso da P.A e multiplicando sempre um valor fixo, no caso da P.G. Cabe ainda ressaltar que, a fórmula da P.G pode ser escrita a partir de um termo inicial que denotaremos por a 0 o que se mostrará bastante vantajoso em diversos exemplos práticos que mostraremos, como na biologia e na matemática financeira. Nesses casos, a fórmula assumirá o seguinte aspecto: a = a n 0 . q n Exemplo 1: (Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho) Verifique, a fórmula da P.A se transforma na da P.G, bastando substituir a soma por produto, a razão R, por q e o produto por uma potência. Você poderia (e deve) resolver diretamente essa questão, lembrando que do primeiro termo, ao décimo segundo, teríamos 11 saltos da dar e, como se trata de uma P.G, era só multiplicar o primeiro termo pela razão elevada ao expoente 11. Exemplo 2: Quantos termos tem a P.G (1, 3, 9, ...2187) ? Solução: Verificando que a razão é igual a 3 e, usando a fórmula do termo geral, teremos: (n1) an = a1. q ou ainda 3 (n – 1) = 2187 = 3 7 . Esse tipo de equação que obtivemos, onde a incógnita se encontra no expoente, chamamos de equação exponencial e, como temos uma
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