Matemática no Ensino Médio - parte de Álgebra - 2ª série

Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 22
Portanto, temos duas expressões distintas para o cálculo da soma dos termos de uma P.G
finita. A escolha de qual usar em cada situação problema dependerá obviamente dos
parâmetros envolvidos em cada caso.
Exemplo 7:
Obtenha a soma dos 10 primeiros termos da P.G (2, 4, 8, ...)
Solução:
Para este caso, é melhor usarmos a segunda expressão da fórmula da soma da P.G, pois
temos o primeiro termo, o número de termos que queremos somar e a razão (q = 2).
S =
n
(q 1)
a1.
(q 1)
10
(2 1)
= 2. = 2.(1024 1)
= 2046
(2 1)
OBSERVAÇÃO:
Verifique que, quando numa P.G decrescente, o número de termos cresce indefinidamente
(dizemos que n tende ao infinito), a expressão dessa soma (que tenderá a um valor limite)
ficará bastante simplificada, pois o termo a n
tenderá a zero.
Verifique o exemplo: (12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; 0,1875; 0.09375, ...) observe que quanto
maior o número de termos, mais se aproxima de zero o último termo considerado.
Logo, a fórmula que estudamos ficará, neste caso, transformada em:
S =
an.q
a1
q 1
substituindo a n
por 0, teremos então
a1
limS =
1
q
n
Exemplo 8:
Calcular a soma dos termos da P.G (16, 8, 4, 2, 1, ....)
Solução:
Verificamos que se trata do caso da P.G com razão menor que 1 (q = ½, P.G decrescente).
Quando o número de termos tender ao infinito, o último termo tenderá a zero e poderemos
aplicar a fórmula anterior, ou seja:
a1
16
limS = =
1
q 1
1
2
n
=
16
1
2
= 32
Exemplo 9 (PUC):
Na figura está representado um conjunto infinito de círculos C 0
, C 1
, C 2
, .... Os diâmetros de
todos eles estão sobre um segmento de reta de comprimento igual a 1. Além disso, o raio de
C n
é a metade do raio de C n – 1
. A área da região hachurada na figura é: