Matemática no Ensino Médio - parte de Álgebra - 2ª série

Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 40
Isso pode ser percebido com este raciocínio: para cada um dos tipos de pão
temos 4 tipos de recheio e, portanto, 4 sanduíches diferentes; como são 3 tipos de pão, os
sanduíches são 4 + 4 + 4, ou seja, 3 x 4 = 12.
Nesse raciocínio, procuramos combinar os tipos de pão com os tipos de recheio
para obter todos os tipos de sanduíche. É um exemplo de raciocínio combinatório, o qual
leva á multiplicação.
Você pode notar que a árvore de possibilidades é uma espécie de "desenho" do
raciocínio que fizemos: de cada um dos seus 3 "galhos" iniciais saem outros 4 "galhos",
dando um total de 12.
Quando podemos desenhar a árvore de possibilidades ou fazer uma tabela, como
no caso do problema dos sanduíches, o problema pode ser resolvido sem a multiplicação.
Mas, quando as possibilidades são muitas, a multiplicação facilita os cálculos. Já imaginou
desenhar a árvore se fossem 6 os tipos de pão e 12 os recheios?
Vejamos outro problema envolvendo o raciocínio combinatório.
• "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de três
algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, não pode haver repetição de
algarismo. Com outras palavras, cada número deve ter três algarismos diferentes. Quantos
números podem ser escritos nestas condições?"
Observe que os números 213 e 312 satisfazem as condições do problema, mas
os números 311, 413 e 1123 não servem. Para resolver o problema vamos nos imaginar
escrevendo um número de três algarismos, obedecendo as restrições mencionadas no
problema. Ao escrever o algarismo das centenas temos 3 possibilidades.
Ao escrever o algarismo das dezenas não podemos usar aquele que já foi usado
nas centenas. Portanto, para cada uma das maneiras de escolher o dígito das centenas
temos duas maneiras de escolher o das dezenas.
Ao escrever o algarismo das unidades não podemos repetir nenhum dos dois que já foram
usados nas centenas e dezenas. Logo, para cada uma das maneiras de escrever os dois
primeiros algarismos temos uma só escolha para o último dígito.
Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 2 x 1 = 6 números: 123, 132,
213, 231, 312 e 321.
O problema seguinte é parecido com o anterior. Mas há uma diferença entre eles!
• "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números
de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, pode
haver repetição de algarismos. Quantos e quais números podem ser
escritos nestas condições?"