Matemática no Ensino Médio - parte de Álgebra - 2ª série

Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 10
O texto anterior, extraído da revista Galileu Especial (Eureca), de abril de 2003, nos
mostra de uma forma simples como que o matemático alemão, Gauss, ainda criança,
conseguiu de forma genial uma prova para a soma dos termos de uma P.A. É claro que o
que está na reportagem não é uma demonstração rigorosa, nem genérica, mas, com auxílio
das propriedades que estudamos anteriormente, podemos aproveitar a idéia de Gauss e
deduzirmos tal fórmula. Vejamos:
Consideremos a soma S, de todos os termos de uma P.A (finita, é claro).
S ++
= a1 + a2
+ a3
+ ........ + an
2
an1
an
É claro que tal soma não modificará, como fez Gauss, se a escrevermos em outra ordem.
Vamos escrever a mesma soma, de trás para frente:
S + ........ + a a ++
a
= an
+ an
1
+ an
2
Se somarmos essas duas expressões, teremos:
2S
= (a1 + an
) + (a2+
an
1)
+ (a3+
an
2
) + ........ + (an
+ a1)
3
Já vimos anteriormente que todas essas somas, de termos eqüidistantes dos extremos, são
iguais à soma dos próprios extremos. Logo, a segunda parte da expressão obtida pode ser
substituída
por
(a1 + an)
+ (a1+
an)
+ (a1+
an)
+ ..... (an
+ a1)
= n.(a1+
an
)
Logo, chegamos finalmente a,
S
a
2
a soma dos termos de uma progressão aritmética.
2
1
(a + 1 n). n
= que é a fórmula clássica para obtermos
UMA CURIOSIDADE... (adaptado de Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)
Podemos visualizar o que está ocorrendo durante a soma dos termos de uma P.A
associando à uma progressão aritmética a idéia de uma “escada”. Vejamos essa situação
para uma P.A de sete termos.
Estamos querendo calcular a soma dos comprimentos de todos esses degraus. Vamos usar
do mesmo artifício usado pelo nosso brilhante Gauss.
Imaginemos duas dessas “escadas” (uma delas invertida) e acopladas.