ENTROPIA DE GRAFOS Sumário 1. Introduç˜ao 2 Parte I. Entropia ...

ENTROPIA DE GRAFOS 21o que é um absurdo, já que x ′′ ∈ P e y ∈ ab(P ). Portanto, temos que x ′ y ≤ 1. Assim, pelahipótese de indução, vale que Q ′ := {x ′ ∈ P ′ : x ′ y = 1} ⊆ {x: xz ′ = 1} para algum z ′ ∈ Z ′ .Note que z ′ ∈ Z. Como P ⊆ P ′ , então Q ⊆ Q ′ . Assim, Q ⊆ Q ′ ⊆ {x: xz ′ = 1}, comoqueríamos.□Finalmente podemos provar a conversa do teorema 7.2.Teorema 7.4 Seja G um grafo. Se STAB(G) = QSTAB(G), então G é perfeito.Prova: Abrevie V := V (G). Seja X ⊆ R V +. Denotaremos por X[U] o conjunto de vetoresindexados por U obtidos de X pela supressão dos componentes relativos a vértices de V \ U.É fácil ver queQSTAB(G[U]) = QSTAB(G)[U]e queSTAB(G[U]) = STAB(G)[U].Assim, STAB(G) = QSTAB(G) se e somente se STAB(G ′ ) = QSTAB(G ′ ) para todo subgrafoinduzido G ′ de G. A prova é por indução em |V (G)|. A base é trivial. Então, pela hipótesede indução, basta mostrar que, se STAB(G) = QSTAB(G), então G pode ser colorido comω := ω(G) cores.Suponha que STAB(G) = QSTAB(G). Pelo corolário 6.1.1, vale queSTAB(G) = QSTAB(G).Tome P := QSTAB(G) e y := 1/ω. Se x é vetor característico de uma clique de G, então éclaro que xy ≤ 1 e, portanto, temos que y ∈ ab(P ).Tome Z := {χ S : S ∈ S(G)}, ou seja, temos que Z = {χ K : K é uma clique de G}. EntãoP = QSTAB(G) = ab(Z) e Z ≠ ∅. Assim, pelo lema 7.3,Q := {x ∈ P : xy = 1} ⊆ {x ∈ P : xz = 1}para algum z ∈ Z. Note que x ∈ Q se e somente se x é vetor característico de alguma cliquemáxima de G. Logo, cada clique máxima intersecta o conjunto estável S tal que z = χ S .Portanto, vale que ω(G ′ ) = ω(G)−1, onde G ′ := G[V \S]. Pela hipótese de indução, podemoscolorir G ′ com ω(G ′ ) cores. Usando uma nova cor para colorir os vértices de S, obtemos umacoloração dos vértices de G com ω(G) cores.□Podemos agora enunciar uma caracterização poliédrica para grafos perfeitos:Teorema 7.5 Seja G um grafo. EntãoG é perfeito sse STAB(G) = QSTAB(G).Prova: Imediato dos teoremas 7.2 e 7.4.□7.2. Grafos perfeitos e entropia de grafos. Nesta subseção apresentamos uma caracterizaçãode perfeição usando entropia de grafos.Dizemos que um grafo G é fortemente separador seH(p) = H(G, p) + H(G, p),para toda distribuição de probabilidade p sobre V (G).