ENTROPIA DE GRAFOS Sumário 1. Introduç˜ao 2 Parte I. Entropia ...

ENTROPIA DE GRAFOS 29Podemos escrever a min (P ) como combinação convexa de todos os elementos do conjunto{χ S : S ∈ S max }. Seja a min (P ) = ∑ {λ S χ S : S ∈ S max } uma tal combinação com λ lexicograficamentemaximal. É fácil provar que tal combinação existe através de técnicas padrões decompacidade.Se {A ∈ S max : λ A > 0} é uma cadeia sob ≺, nada temos a demonstrar. Suponha entãoque existem A, A ′ ∈ S max , incomparáveis sob ≺ e tais que 0 < λ A ≤ λ A ′. Tomee defina λ ′ ∈ R Smax+ comoB := min P (A ∪ A ′ ) e B ′ := max P (A ∪ A ′ )⎧⎪⎨ λ S − λ A , se S = A ou S = A ′ ;λ ′ S := λ S + λ A , se S = B ou S = B⎪⎩′ ;λ S , caso contrário.É fácil ver que B e B ′ são anticadeias maximais e queχ B x + χ B′x = χ A x + χ A′xpara todo x ∈ A ∪ A ′ . Logo,a =∑λ ′ Sχ S .S∈S maxNo entanto, é fácil ver que λ ′ é lexicograficamente maior do λ, pois B ≺ A ′ e B ≺ A, o que éum absurdo.□13. LimitantesNesta seção relacionamos e(P ) com H(P ). Queremos provar quen(lg n − H(P )) ≥ lg e(P ) ≥ max{lg(n!) − nH(P ), Cn(lg n − H(P ))},onde C := (1 + 7 lg e) −1 . Primeiro, usando volumes de poliedros, provamos que2 −nH(P ) ≤ e(P ) ≤ nnn! n! 2−nH(P ) .Essa é uma demonstração bem simples. Já a prova de quelg e(P ) ≥ Cn(lg n − H(P ))é um pouco mais trabalhosa e ocupa a maior parte desta seção.Definimos o politopo da ordem P comoO volume de um poliedro A ∈ R V + éO(P ) := {y ∈ [0, 1] P : y u ≤ y v ∀u, v ∈ P com u < Pv}.∫vol(A) :=Linial [18] observou que vol(O(P )) = e(P )/(n!). Stanley [24] provou que STAB(G P ) e O(P )têm o mesmo volume. Portanto,x∈Adx.vol(STAB(G P )) = e(P ) . (13.1)n!