ENTROPIA DE GRAFOS Sumário 1. Introduç˜ao 2 Parte I. Entropia ...

ENTROPIA DE GRAFOS 258. Preliminares e notaçãoSeja V um conjunto finito. Uma ordem parcial sobre V é uma relação ≤ Psobre V que éreflexiva, anti-simétrica e transitiva. Abusando da notação, chamamos P = (V, ≤ P) de ordemparcial. Dizemos que u, v ∈ V são comparáveis em P se u ≤ Pv ou v ≤ Pu. Se u, v ∈ V nãosão comparáveis, eles são incomparáveis em P .Uma ordem total sobre V é uma ordem parcial ≤ Qtal que, para quaisquer u, v ∈ V , valeque u ≤ Qv ou v ≤ Qu. Abusando da notação, chamamos Q = (V, ≤ Q) de ordem total.Uma ordem total Q = (V, ≤ Q) é uma extensão linear de uma ordem parcial P = (V, ≤ P) se,para quaisquer u, v ∈ V , temos que u ≤ Pv implica u ≤ Qv. Denote por e(P ) o número deextensões lineares de P .Seja P = (V, ≤ P) uma ordem parcial. Uma cadeia de P é um subconjunto de V cujoselementos são dois-a-dois comparáveis. Uma anticadeia de P é um subconjunto de V cujoselementos são dois-a-dois incomparáveis. Para anticadeias X, Y de P , dizemos que X ≺ P Yse, para todo x ∈ X, existe y ∈ Y tal que x ≤ Py. Quando não houver dúvidas quanto aordem parcial em questão usaremos apenas X ≺ Y .O grafo de comparabilidade de P é definido como o grafo sobre V no qual dois vértices sãoadjacentes se são comparáveis em P . Denotamos o grafo de comparabilidade de uma ordemparcial P por G P .Seja U ⊆ V . Definimos o conjunto minimal de U com relação a P comomin P (U) := {u ∈ U : u ≤ Pv ou u é incomparável com v, para todo v ∈ U}.Definimos o conjunto maximal de U com relação a P comomax P (U) := {u ∈ U : v ≤ Pu ou u é incomparável com v, para todo v ∈ U}.Seja {v 1 , . . . , v m } ⊆ V tal que v 1 < · · · < v m são relações compatíveis com P , isto é,v 1 < · · · < v m vale em alguma extensão linear de P . Denotamos por P (v 1 < · · · < v m )a menor ordem parcial compatível com P que contém as relações v 1 < · · · < v m . Maisformalmente, P (v 1 < · · · < v m ) é a ordem parcial P ′ = (V, ≤ P′), onde u ≤ P′ w se e somentese u ≤ Pw ou, se existem 1 ≤ i ≤ j ≤ m, tais que u ≤ Pv i e v j ≤ Pw.No restante do texto, P = (V, ≤ P) sempre denotará uma ordem parcial, e n := |V |.Algumas vezes será conveniente confundirmos o conjunto V com o par ordenado P ; porexemplo, podemos dizer que x está em P quando, na verdade, x é um elemento de V .Além disso, abreviamos H(P ) := H(G P , p) e H(P ) := H(G P , p), onde p é a distribuição deprobabilidade uniforme sobre V . Denotamos por a min (P ) o vetor a ∈ STAB(G P ) que atingeo mínimo na caracterização (3.3) de H(P ). Denotamos por b min (P ) o vetor b ∈ STAB(G P )que atinge o mínimo na caracterização (3.3) de H(P ).9. Ordenação a partir de informação parcialSeja Q = (V, ≤ Q) uma ordem total. Um oráculo para Q é um oráculo capaz de respondera perguntas do tipo “u < Qv ?”, para quaisquer u, v ∈ V .O problema de ordenação a partir de informação parcial consiste em:dados um conjunto V , uma ordem parcial P = (V, ≤ P) e um oráculo parauma extensão linear Q de P , encontrar Q.