ENTROPIA DE GRAFOS Sumário 1. Introduç˜ao 2 Parte I. Entropia ...

ENTROPIA DE GRAFOS 27Na seção 11, mostramos que os grafos de comparabilidade são perfeitos e apresentamosalgumas conseqüências desse fato. Na seção 13, relacionamos e(P ) e H(P ). Nas duas outrasseções, mostramos a existência dos algoritmos citados acima.11. Grafos de comparabilidadeNesta seção, mostramos que os grafos de comparabilidade são perfeitos e apresentamosalgumas conseqüências importantes desse fato.Lema 11.1 Grafos de comparabilidade são perfeitos.Prova: Seja G o grafo de comparabilidade de uma ordem parcial (V, ≤) qualquer. Evidentementetodo subgrafo induzido de um grafo de comparabilidade também é um grafo decomparabilidade. Logo, basta mostrarmos que χ(G) ≤ ω(G). Para cada vértice v construauma cadeia de tamanho máximo C v := {u 1 , . . . , u k } com u 1 = v e u 1 < · · · < u k . Seja l o tamanhoda maior cadeia assim construída. Para cada 1 ≤ i ≤ l, tome A i := {v ∈ V : |C v | = i}.Note que dois vértices distintos pertencentes a um mesmo conjunto A i não podem ser comparáveis.Portanto, cada A i é um conjunto estável. Note também que ⋃ li=1 A i = V . Assim,χ(G) ≤ l = ω(G), já que cada cadeia é uma clique.□Lema 11.2 Para toda ordem parcial P sobre V ,H(P ) + H(P ) = lg |V |,onde p é a distribuição de probabilidade uniforme sobre V .Prova: Segue imediatamente do lema 11.1 e do teorema 7.7.Usaremos também o seguinte resultado:Lema 11.3 Existe um algoritmo polinomial para calcular H(P ).Omitimos a demonstração. A idéia principal é a seguinte: como os grafos de comparabilidadesão perfeitos, então o politopo dos conjuntos estáveis de um grafo de comparabilidadeé separável. Isso permite que apliquemos o método dos elipsóides para calcular a entropiade grafos de comparabilidade com relação a qualquer distribuição de probabilidade. Recomendamoso artigo de Knuth [11] sobre a função ϑ de Lovász e o livro sobre o método doselipsóides de Grötschel, Lovász e Schrijver [7].12. Decomposição laminarNesta seção, apresentamos alguns lemas que serão muito úteis. Em particular, mostramosque podemos decompor a min (P ) de uma maneira especial e única, chamada de decomposiçãolaminar de a min (P ).Lema 12.1 Seja a ∈ STAB(G P ) e seja b ∈ STAB(G P ). Então ab ≤ 1.Prova: Pela demonstração do lema 4.3 da subaditividade, podemos ver que o vetor a ◦ b,definido como(a ◦ b) v := a v b v ,□