ENTROPIA DE GRAFOS Sumário 1. Introduç˜ao 2 Parte I. Entropia ...

ENTROPIA DE GRAFOS 39Portanto, a ′ ∈ QSTAB(G P ′) = STAB(G P ′). Assim, como a ′ x = a x /2 e a ′ y = a y /2,H(P ′ ) ≤ − 1 ∑lg a ′ vnv∈P ′= − 1 ∑lg a v − 1 nn lg a x2 − 1 n lg a y2v∈P \{x,y}= − 1 ∑lg a v + 1 nn lg 2 + 1 n lg 2v∈P= − 1 ∑lg a v + 2 nn = H(P ) + 2 nv∈P□Corolário 15.1.1 Existe um algoritmo que computa respostas para perguntas ao oráculo eroda em tempo polinomial no tamanho de P , que força todo algoritmo que ordena P a usarΩ(lg e(P )) comparações.Prova: O algoritmo que computa as respostas do oráculo deve conhecer a ordem parcial P .O oráculo deverá consultar esse algoritmo para responder as consultas de um algoritmo candidatoa ordenar P .Considere o seguinte algoritmo.Algoritmo1 P ′ ← P2 enquanto o oráculo faz uma pergunta “x < y?” faça3 se x, y são comparáveis em P ′4 então se x < P′ y5 então devolva “SIM”6 senão devolva “NÃO”7 senão se H(P ′ (x < y)) ≤ H(P ′ (y < x))8 então P ′ ← P ′ (x < y) e devolva “SIM”9 senão P ′ ← P ′ (y < x) e devolva “NÃO”Pelo teorema 15.1, se x e y são incomparáveis em P ′ , então H(P ′ (x < y)) ≤ H(P ′ ) + 2/n ouH(P ′ (y < x)) ≤ H(P ′ ) + 2/n, Assim, a cada comparação a entropia de G P ′ aumentará nomáximo 2/n. Pelo teorema 13.5, lg e(P ′ ) ≤ n(lg n − H(P ′ )). Isso significa, que o algoritmoque ordena P fará Ω(e(P )) comparações.□