ENTROPIA DE GRAFOS Sumário 1. Introduç˜ao 2 Parte I. Entropia ...

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Defina as seguintes cadeias de P ′ B ′ i := B i , se 1 ≤ i ≤ s34 CRISTIANE MARIA SATOPara cada 1 ≤ i ≤ m, defina C i := B i \ {v ∈ P : v < Py}.Fixe C = {v 1 , . . . , v t } com v i < P· · · < Pv t uma cadeia maximal tal que v t = x. Note queβ(x)t∑ ∑a vi = λ i . (14.2)i=1 i=1Defina tambémTomeB ′ i+s := C ∪ C i , se 1 ≤ i ≤ m.ξ ′ i := ξ i ,se m + 1 ≤ i ≤ sξ i+s := µξ i , ξ i := (1 − µ)ξ i , se 1 ≤ i ≤ m.b ′ :=s+m∑i=1ξ ′ iχ B′ i .É fácil ver que b ′ ∈ STAB(G P ′). Seja z ∈ P . Se z ∈ C, entãob ′ z = b z − d(z) + (1 − µ)d(z) + µb y = b v + µ(b y − d(z)).Se z /∈ C e z < Py, então b ′ z = b z − µd(z). Finalmente, se z /∈ C, e z é incomparável com you y < Pz, então b ′ z = b z .Usaremos as seguintes desigualdades,para quaisquer u, v ∈ R + elg(1 + u − v) ≥ lg(1 + u) + lg(1 − v) (14.3)lg(1 + u) + lg(1 + v) ≥ lg(1 + u + v) (14.4)para quaisquer u, v ∈ R com uw ≥ 0.Pelo lema 11.2 e pelas desigualdades (14.3) e (14.4), temos quenH(P ′ ) − nH(P ) = nH(P ) − nH(P ′ )lg b′ v= ∑ {lg b′ }v: v ∈ C + ∑ {lg b′ }v: v ∈ P \ C, v
Além disso,∑vENTROPIA DE GRAFOS 35a v d(v) = n ∑v< P y∑{λi d(v): v ∈ A i }α(y)−1α(y)−1∑ ∑ ∑= n λ i {d(v): v ∈ Ai } ≤ n λ i b y ,i=1onde a última desigualdade segue do fato de que A i é uma anticadeia para todo i. Assim,nH(P ′ ) − nH(P )( ∑ { 1}) (≥ lg 1 + µb y : v ∈ C + lg 1 − µ ∑ { d(v)}): v ∈ P, v a x . Então, pela escolha de x epelo fato de que s ≥ α(y), temos quei=1□ε 1 a y ≤α(y)−1∑i=1λ i =α(x)−1∑i=1α(y)−1∑λ i +i=α(x)λ i < ε 1 a x + ε 2 a x .□Finalmente provamos a desigualdade (14.1).
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