ENTROPIA DE GRAFOS Sumário 1. Introduç˜ao 2 Parte I. Entropia ...

ENTROPIA DE GRAFOS 52. Preliminares e notaçãoNesta seção introduzimos a terminologia e a notação adotadas neste texto. Assumimos doleitor alguma familiaridade com teoria de grafos e combinatória poliédrica.2.1. Conjuntos e funções. Em todo texto, usamos V e U para referirmos a conjuntosfinitos. Denotamos por ( V2)o conjunto {{u, v}: u ∈ V, v ∈ V, u ≠ v} dos pares não-ordenadosde elementos de V .Para cada inteiro positivo n, definimos [n] := {1, . . . , n}.O conjunto dos números reais é denotado por R. Os símbolos R V (respectivamente, R V +)denota o conjunto de todos os vetores indexados por V e com coordenadas reais (respectivamente,reais não-negativas).Seja U ⊆ V . Definimos o vetor característico de U como o vetor χ U ∈ R V + tal que{χ U 1, se v ∈ U;v =0, caso contrário.Abreviamos log 2 x como lg x. Denotamos o logaritmo natural de x por ln x.Uma função f : R → R, onde R ⊆ R é dita convexa sef(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) (2.1)para quaisquer x, y ∈ R e qualquer 0 ≤ λ ≤ 1. Dizemos que f é côncava se −f é convexa.Uma função f é dita estritamente convexa se a relação (2.1) é estrita para quaisquer x, y ∈ Re qualquer 0 < λ < 1. Dizemos que f é estritamente côncava se −f é estritamente convexa.A seguinte desigualdade é bastante conhecida e será muito usada ao longo do texto:Lema 2.1 (Desigualdade de Jensen) Seja f : R → R uma função convexa e sejamx 1 , . . . , x k ∈ R. Então( k∑ ) k∑f λ i x i ≤ λ i f(x i ), (2.2)i=1sempre que ∑ ki=1 λ i = 1 e 0 ≤ λ i ≤ 1 para todo i.Sejam x, y ∈ R V . Usamos a notação x = y para indicar que x v = y v para todo v ∈ V .Usaremos a mesma notação para x < y e x > y e também para x ≤ y e x ≥ y.Denotamos o vetor nulo por 0 e o vetor com todas as coordenadas iguais a 1 por 1.Sejam a, b ∈ R V +. Definimos lg a ∈ R V comoDefinimos a/b ∈ R V + comoi=1(lg a) v = lg a v .(a/b) v = a v /b v .Sejam x 1 , . . . , x k ∈ R n . Sejam λ 1 , . . . , λ k reais não-negativos tais que ∑ ki=1 λ i = 1. Dizemosquek∑λ i x ié uma combinação convexa de x 1 , . . . , x k .i=1