ENTROPIA DE GRAFOS Sumário 1. Introduç˜ao 2 Parte I. Entropia ...

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2 CRISTIANE MARIA SATO1. Introdução1.1. Breve histórico. O conceito de entropia de grafos tem suas raízes na teoria da informação,aparecendo pela primeira vez como solução de um problema de codificação propostopor Körner [12] em 1973. Considere uma fonte que emite símbolos de acordo com uma distribuiçãode probabilidade. Concatenando os símbolos, obtemos palavras. Körner queria mediro quão boa podia ser uma codificação de palavras de tamanho fixo emitidas pela fonte, deacordo com uma certa medida de desempenho.Uma característica especial é que o conjunto de símbolos é ambíguo, isto é, os símbolospodem ou não ser distinguíveis. O mesmo vale para as palavras. Isso permite que váriaspalavras indistinguíveis sejam codificadas da mesma maneira. O desafio então é usar essefato de uma forma inteligente para diminuir o tamanho da codificação.A definição de entropia de grafos é justamente a solução para o problema de Körner,ou seja, é uma medida de desempenho da melhor codificação possível. No entanto, não é fáciltrabalhar com essa definição. O próprio Körner, para mostrar que ela é válida, provou suaequivalência com uma função de minimização relacionada a entropia de variáveis aleatórias.Esta é usualmente interpretada como uma medida da quantidade de informação contida navariável aleatória.Uma importante propriedade de entropia de grafos é a subaditividade, isto é, com relação auma distribuição de probabilidade fixada, a entropia da união de dois grafos nunca ultrapassaa soma das entropias desses grafos. A busca por condições em que a soma da entropia de umgrafo e a de seu complemento é exatamente a entropia do grafo completo mostrou-se um caminhofrutífero. Os estudos nessa direção foram iniciados por Körner e Longo [14]. Em 1988,Körner e Marton [15] provaram que uma condição suficiente é que, para qualquer distribuiçãode probabilidade, os grafos em questão sejam um grafo bipartido e seu complemento.Em 1990, Csiszár, Körner, Lovász, Marton e Simonyi [2] mostraram uma nova caracterizaçãode entropia de grafos. Essa caracterização, além de sua simplicidade, relaciona a entropiade um grafo com o politopo dos conjuntos estáveis desse grafo, sobre o qual são conhecidasdiversas propriedades interessantes. Usando essa caracterização, Csiszár, Körner, Lovász,Marton e Simonyi mostraram que a soma da entropia de um grafo e a de seu complemento éigual à entropia do grafo completo para toda distribuição de probabilidade se e somente se ografo é perfeito.Os resultados de Csiszár, Körner, Lovász, Marton e Simonyi foram um grande avanço noestudo da entropia de grafos. Uma das conseqüências de seus resultados é que é possívelcalcular em tempo polinomial a entropia de um grafo perfeito. Isso foi muito importantepara algumas aplicações de entropia de grafos.Körner, Simonyi e Tuza [17] apresentaram também condições necessárias e suficientes paraque a soma das entropias de grafos cuja união é um grafo completo seja igual à entropia dografo completo para toda distribuição de probabilidade.Dentre as aplicações mais conhecidas, destacamos o uso de entropia de grafos para o problemade ordenação a partir de informação parcial (Kahn e Kim [8]); para a determinaçãode cotas do tipo Fredman-Komlós para funções de espalhamento (hashing) perfeitas e sistemasseparadores (Körner [13] e Körner e Marton [16]); e em complexidade computacional(Radhakrishnan [20, 21]).
ENTROPIA DE GRAFOS 31.2. Organização do texto. Este texto é dividido em duas partes.Na primeira, apresentamos a definição de entropia de grafos, caracterizações, algumas propriedadesbásicas e uma caracterização de grafos perfeitos usando entropia de grafos. Definimostambém entropia para cantos convexos, que são conjuntos com algumas característicasespeciais. Apresentamos algumas relações entre o politopo dos conjuntos estáveis e o politopofracionário dos conjuntos estáveis. Essas relações são essenciais para a caracterizaçãode grafos perfeitos.Na segunda parte, apresentamos uma aplicação de entropia de grafos ao problema deordenação a partir de informação parcial.Os principais artigos estudados para o desenvolvimento dessa monografia são:(1) as resenhas sobre entropia de grafos de Simonyi [22, 23];(2) o artigo de Knuth [11] sobre a função ϑ de Lovász;(3) o artigo de Csiszár, Körner, Lóvasz, Marton e Simonyi [2] em que são apresentadasa caracterização de entropia de grafos usando o politopo fracionário dos conjuntosestáveis e a caracterização de grafos perfeitos usando entropia de grafos;(4) o artigo de Kahn e Kim [8] sobre o problema de ordenação a partir de informaçãoparcial.Observamos que algumas das demonstrações mais fáceis omitidas nos artigos e incluídasneste texto foram elaboradas pela aluna. Boa parte das demonstrações originais foram ligeiramentemodificadas, com o objetivo de facilitar a leitura.Finalmente, a aluna acredita que a vasta gama de assuntos envolvidos neste estudo torna-omuito interessante e desafiador, mas igualmente gratificante. Esperamos que este texto possatransmitir um pouco do entusiasmo com que elaboramos este trabalho.
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