Aula_03_-_Apostila

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Instituto ITBAM 

Pós-Graduação 

Matemática Financeira 

e Investimentos 

BRASÍLIA, DF 

2014 

CNB 11 Lote 09 Salas 1101/1102 – Centro Empresarial Pinheiro de Brito 

Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 

Taguatinga – Brasília-DF / Brasil – CEP 72.115-115

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APRESENTAÇÃO 

Caro Aluno, 

Bem-vindo ao Instituto ITBAM! 

Ao longo de seus estudos acadêmicos, você vai desfrutar e perceber as inúmeras vantagens 

que um curso de Pós-Graduação semipresencial, oferece flexibilidade de horário quanto ao 

ritmo e à forma de estudos, o que pode direcionar a sua aprendizagem ao sucesso, autonomia 

de estudos, quebra de barreiras, com o incentivo à inclusão digital. 

Bom senso e compromisso são condições indispensáveis para que você assuma a direção do 

seu próprio processo de aprendizagem. 

Entretanto, é muito importante ter consciência de que os estudos realizados em nível de Pós- 

Graduação não são uma tarefa fácil de lidar, demanda tempo, estudos e saberes. 

Você estará em um ambiente moderno e diferente do processo educacional tradicional, assim, 

o aluno poderá desenvolver seus métodos próprios de aprender a aprender e elaborar 

raciocínios próprios acerca do tema em debate. 

Atenciosamente, 

A Coordenação 


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Corpo Técnico Editorial 

Elaboração: 

Prof. MSc. Wilson de Oliveira 

Produção: 

Equipe Técnica Pedagógica 

Núcleo Pedagógico – NPE 

Profª. MSc. Verônica Almeida 

Revisão: 

Camilla Porto 

Diagramação: 

Coordenação do Itbam 


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SUMÁRIO 

APRESENTAÇÃO ................................................................................................................... 2 

UNIDADE I – Matemática Financeira ................................................................................... 5 

Capítulo 1 – Juros Simples ............................................................................................ 5 

Capítulo 2 – Juros Compostos ..................................................................................... 17 

Capítulo 3 – Taxas de Juros ........................................................................................ 36 

Capítulo 4 – Desconto Simples e Desconto Composto ............................................... 44 

Capítulo 5 – Séries Uniformes periódicas .................................................................. 57 

Capítulo 6 – Amortização de Financiamentos ........................................................... 70 

UNIDADE II – Investimentos ................................................................................................ 74 

Capítulo 1 – Análise de Investimentos.......................................................................74 

UNIDADE III – Exercícios .................................................................................................... 84 

Entrega de Exercícios................................................................................................84 

Ementa da Disciplina................................................................................................84 

REFERÊNCIAS .................................................................................................................... 85 


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UNIDADE I 

Capítulo 1 – Juros Simples 

1.1 Conceitos Básicos da Capitalização Simples 

1.1.1 Juro 

Quando uma pessoa física ou jurídica disponibiliza um recurso financeiro por um 

determinado tempo, recebe em troca desta disponibilidade uma premiação, o juro. Então, 

pode-se dizer que o juro é o aluguel pago ou recebido por um recurso financeiro. Utilizaremos 

a letra J para representar o juro de todo o período da aplicação. 

1.1.2 Capital 

Capital, principal, ou valor presente, é um valor expresso em moeda e disponível em 

determinada época para realizar uma determinada transação. Utilizaremos o símbolo C para 

representar o capital aplicado. 

1.1.3 Taxa de juro 

Taxa de juros é o custo do dinheiro, ou seja, é uma taxa cobrada ou paga pela disponibilização 

de um recurso financeiro. 

Taxa de juros é a razão entre os juros e o capital. Uma taxa de juros pode ser representada de 

forma percentual ou de forma unitária: 

a) Forma percentual ou centesimal: uma taxa de 5% num determinado período representa 

uma razão centesimal em que o numerador é igual a 5 e o denominador igual a 100, isto é: 

5% 

 

b) Forma unitária: para efeito de cálculo utilizamos a taxa na forma decimal. 

Observação 1.1 Em fórmulas de matemática financeira utilizamos somente taxa de juro na 

forma decimal. Para transformar uma taxa de juros da forma percentual para a forma decimal, 

basta dividir por 100. Por exemplo, a taxa de juros de 5% ao mês é equivalente a 0,05 ao mês 

na forma decimal. 

Observação 1.2 Em finanças é comum utilizarmos a representação a.a. para designar que a 

taxa fornecida está ao ano, a.s. para taxa ao semestre, a.t. ao trimestre, a.b. ao bimestre, a.m. 

ao mês e a.d. ao dia. Utilizaremos a letra i para representar a taxa de juros da aplicação. 

5 

100 


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1.1.4 Período ou prazo 

O período ou prazo de uma transação financeira é expresso em determinada unidade de 

tempo, que pode ser em dia, mês, bimestre, trimestre, semestre ou ano. Utilizaremos a letra n 

para representar o prazo ou período da aplicação. 

Observação 1.3 O período de capitalização e a taxa de juros devem ser substituídos nas 

fórmulas sempre com a mesma unidade de tempo. 

1.1.5 Montante 

Montante ou valor futuro de uma aplicação é dado pelo valor do capital acrescido do juro 

referente ao período da aplicação. Utilizaremos a letra M para representar o montante da 

aplicação. 

1.2 Conceitos de Juros Simples na HP 12C 

1.2.1 Zerando Os Registros Financeiros 

Toda função financeira utiliza os números armazenados nos registros financeiros. Antes de 

começar um novo cálculo financeiro, pressione .f. FIN, para zerar todos os registros 

financeiros. Porém, frequentemente você pode querer repetir um cálculo após modificar o 

número em somente um dos registros financeiros. 

Para fazê-lo, não pressione .f. FIN, em vez disso, simplesmente armazene o novo número no 

registro. Os números nos outros registros financeiros permanecerão inalterados. Os registros 

financeiros também são zerados ao pressionar .f. REG ou quando a Memória Contínua for 

reinicializada. 

1.2.2 Cálculo dos Juros Simples e do Montante Simples utilizando a HP 12C 

A HP 12C calcula, simultaneamente, juros simples na base de 360 dias (ano comercial) e na 

base de 365 ou 366 dias (ano exato). É possível exibir qualquer um dos dois, conforme 

descrito a seguir. Além do mais, com os juros acumulados no mostrador, pode-se calcular o 

valor do montante. 

1) Digite ou calcule o número de dias e pressione .n. 

2) Digite a taxa de juros anual em porcentagem e pressione .i. 

3) Digite o valor do capital e pressione CHS PV 

4) Pressione .f. INT para calcular e exibir os juros acumulados na base de 360 dias 

5) Para exibir os juros acumulados na base de 365 dias, pressione .R↓. x y 

6) Pressione .+. para calcular o montante, isto é, principal mais os juros acumulados exibidos 

no mostrador 

Observação 1.4 Os valores de n , i e PV podem ser registrados em qualquer ordem. 


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1.3 Fórmulas dos Juros e do Montante na Capitalização Simples 

Para a montagem das fórmulas dos juros e do montante na capitalização simples será utilizada 

a seguinte notação: C representará o capital, principal ou valor presente, J o juro ou 

rendimento, i a taxa de juros, n o período ou prazo de capitalização e M o montante, valor 

de resgate ou valor futuro da aplicação. 

1.3.1 Fórmula dos Juros Simples 

O valor dos juros em uma unidade de tempo é igual ao capital multiplicado pela taxa de juros, 

portanto, tem-se a seguinte fórmula para calcular o valor dos juros em uma unidade de tempo: 

J1 C i 

. Para calcular o juro total ao final do período de ordem n , basta multiplicar o valor 

do juro obtido no primeiro período pelo número de períodos, isto é, por n , obtendo assim, a 

seguinte fórmula: 

J C in 

(1.1) 

Exemplo 1.1 O capital de R$ 2.500,00 foi aplicado por 6 meses, à taxa de juros simples de 

2% ao mês. Determine o juro gerado nessa aplicação. 

Solução. Coletando os dados do problema, temos: 

C 2500 

n 6 meses 

i 2% ao mês, ou 0,02 ao mês em valor decimal, pois: 

J ? 

2 

2% 

a. 

m. 

a. 

m. 

0,02 a. 

m. 

100 

Substituindo os dados na fórmula J C i 

n , obtemos J 2500(0,02) 

6 

. Efetuando as 

operações obtemos J 300 , ou seja, o juro gerado foi de R$ 300,00. 

Utilizando a HP 12C: A descrição dos elementos da solução está no quadro a seguir: 

Pressione Visor Registros 

.f. FIN 0,00 Limpa a memória dos registros financeiros 

6 ENTER 30 .x. .n. 180,00 Calcula e armazena o número de dias 

2 ENTER 12 .x. .i. 24,00 Calcula e armazena a taxa de juros anual 

2500 CHS PV 2.500, 00 Armazena o capital como saída de caixa 

.f. INT 300,00 Juros acumulados do período 


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Exemplo 1.2 O capital de R$ 5.400,00 foi aplicado por 5 meses e gerou de juro simples R$ 

675,00, determine a taxa de juros envolvida nessa aplicação. 


C 5400 

n 5 meses 

J 675,00 

i ? 

Substituindo os dados na fórmula J C in 

, obtemos 675 5400i 5. Multiplicando 5400 

por 5, temos a igualdade 675 27000i 

. Isolando a taxa, obtemos: 

675 i 0,025 ao mês 

27000 

O valor da taxa de juros fornecida pela fórmula é um valor decimal e é ao mês, pois o período 

utilizado na fórmula foi de 5 meses. Para transformar a taxa de unitária para percentual, basta 

multiplicar por 100. Multiplicando 0,025 por 100 obtemos a taxa de juros de 2,5% ao mês. 

1.3.2 Fórmula do montante simples 

O montante ou valor futuro ao final de n períodos é igual ao capital acrescido do juro dos n 

períodos. Considerando M para representar o montante ou valor futuro, temos M C J . 

Substituindo a fórmula do juro simples para n períodos, que é dada por J C i 

n , na 

expressão M C J , obtemos M C C 

in. Colocando em evidência o capital C , que 

aparece nas duas parcelas do segundo membro da expressão M C C 

in, obtemos: 

M 

C [ 1 

i n] 

(1.2) 

Observação 1.5 Utilizando a notação das teclas da calculadora HP 12C, isto é, PV para 

representar o valor presente (em inglês present value), FV para o valor futuro (em inglês 

future value), n para o prazo ou período e i para a taxa de juros, temos a seguinte fórmula 

para a capitalização simples: 

FV 

PV [ 1 

i n] 

(1.3) 

Exemplo 1.3 O capital de R$ 5.400,00 foi aplicado por 8 meses e gerou um montante de R$ 

6.696,00, determine a taxa de juros envolvida nessa aplicação. 


C 5400 

n 8 meses 

M 6696 

i ? 


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Substituindo os dados na fórmula M C [ 1 

i n] 

, obtemos 6696 5400 [1 

i 8] 

. O 

objetivo é obter a taxa de juros, para isso, vamos inicialmente dividir ambos os membros da 

equação anterior por 5400, em outras palavras, passando 5400 dividindo para o primeiro 

membro, obtemos a seguinte expressão: 

6696 

1 

i 8 

5400 

Efetuando a divisão no primeiro membro da equação anterior, obtemos 1,24 

1 

8i 

. Agora, 

isolando o termo 8 i da equação anterior, obtemos 1,24 

1 8i 

, que nos fornece 0,24 

8i 

. E, 

finalmente para obter a taxa de juros, basta isolar a variável i , ou seja: 

0,24 

i 0,03 ao mês 

8 

Multiplicando 0,03 por 100, obtemos a taxa de 3% ao mês. 

Outra forma de resolver esse exemplo: Podemos resolver esse exemplo de uma forma mais 

rápida e simples pela fórmula dos juros. Para obtermos o valor dos juros basta subtrairmos o 

capital do montante, ou seja, J 6696 5400 

1296. Substituindo os dados na formula dos 

juros obtemos 1296 5400i 8. Efetuando a multiplicação do segundo membro obtemos 

1296 43200i . Isolando a variável i obtemos: 

1296 i 0,03 ao mês 

43200 

Multiplicando 0,03 por 100, obtemos a taxa de 3% ao mês. 

Exemplo 1.4 O capital de R$ 8.500,00 foi aplicado por 9 meses, à taxa de juros simples de 

48% ao ano. Determine o montante gerado. 


M 

? 

C 8500 

n 9 meses 

i 48% ao ano, que é proporcional a 4% ao mês, ou 0,04 ao mês em valor unitário, pois: 

48% a. 

a 

4% 

12 meses 

a. 

m. 

 

4 

100 

a. 

m. 

0,04 

a. 

m. 

Substituindo os dados na fórmula M C [ 1 

i n] 

, obtemos M 8500[1 

(0,04) 9] 

, isto é, 

M 8500[1,36] 

11560. Portanto, o montante ao final de 9 meses de aplicação é igual a R$ 

11.560,00. 


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30 ENTER 9 .x. .n. 270,00 Calcula e armazena o número de dias 

48 .i. 48,00 Armazena a taxa de juros anual 

8500 CHS PV 8.500, 00 Armazena o capital como saída de caixa 

.f. INT 3.060,00 Juros acumulados do período 

.+. 11.560,00 Montante: capital mais os juros 

Exemplo 1.5 (ESAF – TRF 2005) Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa 

de 3,6% ao mês rende R$ 96,00 de juro em 40 dias: 

a) R$ 2.000,00 

b) R$ 2.100,00 

c) R$ 2.120,00 

d) R$ 2.400,00 

e) R$ 2.420,00 

Solução. Observe inicialmente que a taxa de juros está ao mês e o período está e dias. Para 

transformar a taxa mensal em diária, na capitalização simples, basta dividir 3,6 por 30, que 

nos dá 0,12% ao dia. Como na fórmula que relaciona juro, capital, taxa e período, a taxa deve 

sempre ser utilizada em valor unitário, e não percentual, temos que transformar 0,12% em 

valor unitário. Para transformar 0,12% em valor unitário, basta dividir 0,12 por 100, que dá 

0,0012. Agora, coletando os dados do problema, temos: 

C ? 

i 3,6% ao mês, ou, i 0,12% 

ao dia. Sendo a taxa unitária igual a 0,0012. 

n 40 dias. 

J 96,00 reais. 

Substituindo os dados do problema na fórmula dos juros 

J C in 

, obtemos: 

96 C (0,0012) 

40 

Resolvendo a equação anterior, obtemos C 2.000, 00 reais. Alternativa a. 

Exemplo 1.6 Ana aplicou um capital por quatro meses, à taxa de juros simples de 5% ao mês. 

Decorridos os quatro meses, metade do capital inicial foi aplicado por mais três meses, à taxa 

de juros simples de 4% ao mês. A soma dos juros obtidos nas duas aplicações foi de R$ 

832,00. Qual foi o capital inicial aplicado? 


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Solução. Os dados das duas etapas da aplicação estão listados a seguir: 

Dados da primeira etapa da aplicação Dados da segunda etapa da aplicação 

C ? 

0,5C 

? 

n 4 meses 

i 5% 

a. 

m. 

n 3 meses 

i 4% 

a. 

m. 

J 1 ? 

J 2 ? 

Utilizando a fórmula dos juros para a primeira etapa obtemos: 

J C (0,05) 4 0, 2C 

1 

Agora utilizando a fórmula dos juros para a segunda etapa obtemos: 

J 0,5 C 

(0,04) 

3 

0, 06C 

2 

Como a soma dos juros das duas etapas é igual a R$ 832,00 obtemos: 

J 

1 J2 

 

832 

Substituindo os dados de J 1 e J 2 na equação J1 J2 

832 obtemos: 

Logo 0,26C 832 que nos dá: 

0,2C 

0,06C 

832 

C 

832 

0,26 

3200 

Portanto, o capital inicial aplicado foi de R$ 3.200,00. 

1.3.3 Prazo Exato e Prazo Comercial 

No prazo exato ou ano civil, como também é denominado, considera-se exatamente a 

quantidade de dias que contém em cada mês, isto é, 31 dias para os meses de janeiro, março, 

maio, julho, agosto, outubro e dezembro, 30 dias para os meses de abril, junho, setembro e 

novembro, 29 dias para o mês de fevereiro em ano bissexto e 28 dias para o mês de fevereiro 

em ano não bissexto. 

No prazo comercial ou ano comercial, como também é denominado, considera-se todo mês 

com 30 dias, independentemente do número de dias que contém o mês. Consequentemente, o 

ano comercial tem 360 dias. 


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Observação 1.6 Em geral quando um problema se refere a juro comercial, isso não é 

mencionado no problema, ou seja, se não vier especificado no problema se é juro exato ou 

comercial, é porque o sistema é o usual, isto é, o sistema comercial. 

Exemplo 1.7 O capital de R$ 4.000,00 foi aplicado por 10 dias em um mês de 31 dias, à taxa 

de juros simples de 9,3% ao mês. Determine: 

a) O valor do juro comercial. 

b) O valor do juro exato. 


C 4000 

n 10 dias 

i 9,3% ao mês 

a) Para calcularmos o valor dos juros no sistema comercial, devemos considerar o mês com 

30 dias. Transformando a taxa de mensal para diária, temos: 

9,3% a. 

m. 

0,31% 

30 dias 

a. 

d. 

 

0,31 

100 

a. 

d. 

0,0031 

a. 

d. 


, obtemos J 4000(0,0031) 

10 


multiplicações obtemos J 124 

. Portanto, o valor do juro comercial é igual a R$ 124,00. 

b) Para calcularmos o valor dos juros no sistema exato, devemos considerar o mês com 31 

dias. Transformando a taxa de mensal para diária, temos: 

9,3% a. 

m. 

0,30% 

31 dias 

a. 

d. 

 

0,30 

100 

a. 

d. 

0,0030 

a. 

d. 


, obtemos J 4000(0,0030) 

10 


multiplicações obtemos J 120 

. Portanto, o valor do juro exato é igual a R$ 120,00. 

1.4 Fluxo de Caixa e Equivalência de Capitais na Capitalização Simples 

1.4.1 Fluxo de Caixa 

Fluxo de caixa é uma sequência de pagamentos e/ou recebimentos no decorrer de um 

determinado período de tempo. 

Um fluxo de caixa pode ser representado geometricamente por um diagrama, chamado 

diagrama de fluxo de caixa. 

Veja o exemplo a seguir: 


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13 

7.000,00 9.000,00 

0 

3 

4 

6 

meses 

5.000,00 6.000,00 

As convenções de um fluxo de caixa são as seguintes: 

1) Num eixo horizontal orientado da esquerda para a direita, chamado de linha do tempo, são 

descritos os períodos, que podem ser em dias, meses, bimestre etc. 

2) As setas orientadas para baixo representam as saídas de caixa, por exemplo: pagamentos, 

desembolsos etc. 

3) As setas orientadas para cima representam as entradas de caixa, por exemplo: 

recebimentos, reembolsos etc. 

Observação 1.7 No diagrama anterior temos a previsão de duas saídas de caixa, sendo uma 

no período zero, de R$ 5.000,00, e outra no quarto período, de R$ 6.000,00. Temos também a 

previsão de duas entradas de caixa, uma no terceiro período, que de R$ 7.000,00 e a outra no 

sexto período, de R$ 9.000,00. 

1.4.2 Equivalência de Capitais na Capitalização Simples 

Os capitais C 1 , 2 

C , , 

C k com datas de vencimentos iguais a d 1, 2 

d , , 

respectivamente, são equivalentes numa determinada data focal quando, avaliados nessa data 

focal, à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. 

Observação 1.8 Na capitalização simples, capitais equivalentes numa determinada data focal, 

não necessariamente, serão equivalentes em outra data focal. 

Exemplo 1.8 Verifique se, na data focal 5, o investimento de R$ 2.500,00, com vencimento 

para daqui 3 meses é equivalente ao investimento de R$ 3.240,00, com vencimento para daqui 

10 meses. Considere que a taxa de juros simples é de 4% ao mês. 

Solução. Observando os dados do problema temos o seguinte fluxo de caixa: 

d k , 

0 3 5 10 

meses 

2.500,00 x 

3.240,00 


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14 

O investimento de R$ 2.500,00 em relação a data focal cinco é um valor presente, pois está na 

data focal três. Avaliando este investimento na data focal cinco, temos o seguinte valor futuro: 

FV 

2500 [1 

(0,04) 2] 2500 [1,08] 

2700 

Então, na data focal cinco, o investimento de R$ 2.500,00 é equivalente a R$ 2.700,00. 

O investimento de R$ 3.240,00 em relação a data focal cinco é um valor futuro, pois está na 

data focal dez. Avaliando este investimento na data focal cinco, temos o seguinte valor 

presente: 

PV 

3240 3240 

 

2700 

1 

(0,04) 5 1,20 

Então, na data focal cinco, o investimento de R$ 3.240,00 é equivalente a R$ 2.700,00. 

Portanto, na data focal cinco, o investimento de R$ 2.500,00 é equivalente ao investimento de 

R$ 3.240,00. 

Exemplo 1.9 Verifique se os mesmos investimentos do exemplo anterior são equivalentes na 

data focal 6. 


0 3 6 10 

meses 

2.500,00 x 

3.240,00 

Para o investimento de R$ 2.500,00 temos o seguinte valor futuro na data focal seis: 

FV 

2500 [1 

(0,04) 3] 

2500 [1,12] 

2800 

Então, na data focal seis, o investimento de R$ 2.500,00 é equivalente a R$ 2.800,00. 

Para o investimento de R$ 3.240,00 temos o seguinte valor presente na data focal seis: 

PV 

3240 3240 

 

2793,10 

1 

(0,04) 4 

1,16 

Então, na data focal seis, o investimento de R$ 3.240,00 é equivalente a R$ 2.793,10. 

Portanto, na data focal seis, o investimento de R$ 2.500,00 não é equivalente ao investimento 

de R$ 3.240,00. 


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15 

Exemplo 1.10 Um produto custa à vista R$ 500,00. Esse produto pode ser adquirido em duas 

parcelas iguais, sendo uma entrada e outra para daqui um mês. Sabendo-se que a taxa de juros 

é de 5% ao mês, o valor das parcelas é igual a: 

a) R$ 260,20 

b) R$ 256,10 

c) R$ 250,20 

d) R$ 258,90 

e) R$ 265,10 

Solução. O valor do produto à vista, que é de R$ 500,00, deve ser igual às duas parcelas 

atualizadas na data da compra, data focal zero. Uma parcela já está na data, que corresponde à 

entrada, a outra parcela será pago um mês após a compra. 

Observe o fluxo de caixa a seguir: 

0 1 

meses 

x 

x 

Atualizando para a data focal zero a parcela que será paga daqui um mês, obtemos: 

1 

x PV (1,05) 

Ou seja: 

PV 

x 

1,05 

Somando essa parcela que vence daqui um mês atualizada na data focal zero com a parcela da 

entrada, devemos ter um valor igual a R$ 500,00, que é o preço do produto à vista. Então, 

temos a seguinte expressão: 

Observe a figura a seguir: 

x 

500 x 

1,05 

0 1 

meses 

x 

+ 

x 

1,05 

500 

x 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


16 

Reduzindo o segundo membro da expressão anterior ao mesmo denominador, obtemos: 

1,05x x 

500 

1,05 

Que nos dá: 

2,05x 

500 

1,05 

Isto nos fornece 

500 (1,05) 2,05x 

, isto é, 525 2,05x 

. Isolando o valor de x , obtemos: 

x 

525 

2,05 

256,10 

Portanto, a alternativa correta é a b. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


17 

Capítulo 2 – Juros Compostos 

2.1 Introdução 

No regime de capitalização composta são computados juros sobre juros, isto é, os juros 

gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período 

seguinte. 

No quadro a seguir temos uma comparação entre os juros no regime de capitalização simples 

e os juros no regime de capitalização composta. Essa análise leva em consideração o capital 

de R$ 10.000,00, aplicado à taxa de juros de 10% ao período, durante 3 períodos. 

Período Juros simples (R$) Juros compostos (R$) 

1 1.000,00 1.000,00 

2 1.000,00 1.100,00 

3 1.000,00 1.210,00 

Total 3.000,00 3.310,00 

Observe que no regime de capitalização composta, ao final do terceiro período, o capital de 

R$ 10.000,00, à taxa de juros de 10% ao período, gera R$ 310,00 de juros a mais do que no 

regime de capitalização simples. Isto ocorre devido ao fato de que na capitalização composta, 

ao final de cada período, os juros gerados são acrescentados ao valor atual para capitalização 

do período seguinte. 

2.2 Fórmulas do Montante e dos Juros na Capitalização Composta 

Para obter as fórmulas do montante e dos juros na capitalização composta será utilizada a 

seguinte notação: C representará o capital, principal ou valor presente, J os juros, i a taxa 

de juros, n o período e M o montante ou valor futuro. 

2.2.1 Fórmula do montante na capitalização composta 

Na capitalização composta, ao final do primeiro período, o montante é igual ao capital 

acrescido dos juros, sendo que os juros são formados pelo capital multiplicado pela taxa de 

juros, ou seja, J1 C i 

. Então, ao final do primeiro período, temos M1 C J1 

C C 

i 

. 

Colocando em evidência o capital C na equação anterior, obtemos M C (1 

) . 

1 i 

O capital do segundo período é composto pelo montante do final do primeiro período, isto é, 

M 1. Os juros do segundo período são calculados sobre o montante do final do primeiro 

período. Então, a fórmula do montante ao final do segundo período é dada por 

M M J M M i 

2 1 2 1 1 . 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


18 

Colocando em evidência M 1 na equação anterior, obtemos M 2 M1 

(1 i) 

. Substituindo 

M C (1 

) na equação M M (1 

) , obtemos M C (1 

i) 

(1 

). Portanto, a 

1 i 

2 1 i 

fórmula do montante ao final do segundo período é dada por 

2 i 

2 

M 2 C ( 1 

i) 

. 

Para o terceiro período, o capital é formado pelo montante do final do segundo período, isto é, 

M 2 . Os juros do terceiro período são calculados sobre o montante do final do segundo 

período. 

Então, a fórmula do montante ao final do terceiro período é dada por 

M3 M 2 J3 

M 2 M 2 i 

. Colocando em evidência M 2 na equação anterior, obtemos 

M3 M 2 (1 

i) 

. Substituindo 

2 

M 

2 

2 C ( 1 

i) 

na equação M M (1 

) , obtemos 

3 2 i 

M3 C (1 

i) 

(1 

i) 

. Portanto, a fórmula do montante ao final do terceiro período é dada 

por 

M 

3 

3 C ( 1 

i) 

. 

Seguindo esse raciocínio, a fórmula do montante ao final do n-ésimo período é dada por: 

n 

M C ( 1 

i) 

(2.1) 

Observação 2.1 Utilizando a notação das teclas da calculadora HP 12C, isto é, PV para o 

valor presente (em língua inglesa, present value), FV para o valor futuro (em língua inglesa, 

future value), n para o prazo ou período e i para a taxa de juros, temos a seguinte fórmula 

para a capitalização composta: 

n 

FV PV ( 1 

i) 

(2.2) 

2.1.3 Cálculo Envolvendo Capitalização Composta utilizando a HP 12C 

A taxa de juros deve ser armazenada na mesma unidade de tempo do prazo de capitalização. 

Observação 2.2 Se a capitalização for mensal, pode-se utilizar um atalho para calcular e 

armazenar n e i : 

a) Para transformar o prazo de anual para mensal e armazená-lo simultaneamente, digite o 

número de anos e pressione .g. 12x. 

b) Para transformar a taxa de juros de anual para mensal e armazená-la simultaneamente, 

digite a taxa anual e pressione .g. 12÷. 

Cálculo do valor futuro na HP 12C 

1) Pressione .f. FIN para zerar os registros financeiros. 

2) Informe a taxa periódica de juros utilizando .i. ou .g. 12÷. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


19 

3) Informe o valor presente utilizando CHS PV. 

4) Informe o período utilizando .n. ou .g. 12x. 

5) Pressione FV para calcular o valor futuro. 

Cálculo do valor presente na HP 12C 



3) Informe o valor futuro utilizando CHS FV. 


5) Pressione PV para calcular o valor presente. 

Cálculo do número de períodos de capitalização na HP 12C 




4) Informe o valor futuro utilizando FV. 

5) Pressione .n. para calcular o número de períodos. 

Observação 2.3 Período não inteiro, a calculadora arredonda a resposta para o próximo 

inteiro. 

Cálculo da taxa de juros na HP 12C 


2) Informe o número de períodos utilizando .n. ou .g. 12x. 


4) Informe o valor futuro utilizando FV. 

5) Pressione .i. para calcular a taxa periódica de juros. Para calcular a taxa de juros anual, 

digite o número de períodos por ano e pressione .x.. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


20 

Exemplo 2.1 Ana aplicou em um banco a importância de R$ 10.000,00, à taxa de juros 

compostos de 1% ao mês, determine o valor do montante resgatado por Ana 2 meses após o 

inicio da aplicação. 


C 10000 

i 1% ao mês, isto é, i 0, 01 ao mês, pois na fórmula só deve ser utilizada taxa decimal 

n 2 meses 

M ? 

Substituindo os dados anteriores diretamente na fórmula 

M C ( 1 

i) 

n 

, temos: 

M 

10000(1 

0,01) 

2 

10000(1,01) 

2 

10000(1,0201) 

10201 

Portanto, o montante resgatado foi de R$ 10.201,00. 




10000 CHS PV 10.000, 00 Armazena o valor presente como saída de caixa 

1 .i. 1,00 Armazena a taxa de juros de 1% ao mês 

2 .n. 2,00 Armazena o prazo de 2 meses 

FV 10.201,00 Calcula o valor futuro de R$ 10.201,00 

Exemplo 2.2 Determine o valor que foi aplicado à taxa de juros compostos de 1% ao mês, por 

2 meses, para gerar o montante de R$ 8.670,85. 


C ? 

i 1% ao mês, isto é, i 0, 01 ao mês 

n 2 meses 

M 8670,85 

Da mesma forma que no problema anterior, a taxa de juros é ao mês e o período também é 

mensal, portanto, substituindo os dados anteriores diretamente na fórmula 

temos: 

n 

M C ( 1 

i) 

, 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


21 

8670,85 

C (1,01) 

Isolando o capital C da expressão anterior, obtemos: 

Portanto, o valor aplicado foi de R$ 8.500,00. 

8670,85 8670,85 

C 8500 

2 

(1,01) 1,0201 


2 



8670.85 CHS FV 8.670, 85 Armazena o valor futuro como saída de caixa 



PV 8.500,00 Calcula o valor presente de R$ 8.500,00 

Exemplo 2.3 Marta aplicou em um banco R$ 10.000,00 no sistema de juros compostos por 3 

meses. Determine a taxa mensal de juros, sabendo-se que o valor resgatado por Marta foi de 

R$ 10.612,08. 


C 10000 

n 3 meses 

i ? 

M 10612,08 

Substituindo os dados anteriores diretamente na fórmula 

M C ( 1 

i) 

n 

, temos: 

10612,08 

10000(1 

i) 

3 

Isolando a potência 

3 

( 1 i) 

da expressão anterior, obtemos: 

10612,08 

(1 i) 

10000 

Efetuando a divisão do primeiro membro da equação anterior, obtemos: 

3 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


22 

1,061208 

(1 i) 

Extraindo a raiz cúbica em ambos os membros da equação anterior, temos: 

3 3 ) 3 

1,061208 

(1 i 

Realizando os cálculos na equação anterior, obtemos: 

1 ,02 1 i 

O que nos dá i 0, 02 ao mês, ou seja, a taxa de juros envolvida na aplicação é de 2% ao mês. 


3 





10612,08 FV 10.612,08 Armazena o valor futuro como entrada de caixa 

.i. 2,00 Calcula a taxa de juros de 2% ao mês 

Observação 2.4 Quando a variável a ser determinada for o prazo, uma forma de 

encontrarmos o valor do prazo é aplicarmos a função ln em ambos os membros da equação 

exponencial. A propriedade do logaritmo neperiano é dada por: 

ln( 

x n 

) n ln( x) 

Exemplo 2.4 Determine o número de meses em que o capital de R$ 20.000,00 ficou aplicado 

à taxa de juros compostos de 2% ao mês, para gerar um montante de R$ 20.808,00. 


C 20000 


M 20808 

n ? 

Substituindo os dados na fórmula 

M C ( 1 

i) 

, temos: 

n 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


23 

Isolando o fator 

20808 20000(1,02) 

n 

( 1,02) da expressão anterior, obtemos: 

20808 

n 

(1,02) 

20000 


n 

1,0404 

(1,02) 

Observe que o termo desconhecido, o período n , está no expoente, então, para isolar n basta 

aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação anterior: 

Utilizando a propriedade de logaritmo, temos: 

Realizando os cálculos, obtemos: 

ln( 1,0404) ln(1,02) 

ln( 1,0404) 

n 

n 

n ln(1,02) 

0,039605 

n (0,019803) 

Agora, isolando n na expressão anterior, obtemos: 


n 1,999949 

0,019803 

Observe que o período obtido no cálculo é de aproximadamente 2 meses. O valor não deu 2 

exato devido aos arredondamentos utilizados no decorrer da resolução do problema. 

Mas, na realidade o período da aplicação foi de 2 meses. 






20808 FV 20.808,00 Armazena o valor futuro como entrada de caixa 

.n. 2,00 Calcula o prazo de 2 meses 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


24 

Exemplo 2.5 Ana aplicou um capital por dois meses, à taxa de juros compostos de 2% ao 

mês. Decorridos os dois meses, metade do capital inicial foi aplicado por mais dois meses, à 

taxa de juros compostos de 1% ao mês. A soma dos montantes obtidos nas duas aplicações foi 

de R$ 6.201,80. Qual foi o capital inicial aplicado? 

Solução. Utilizando a fórmula do montante para a primeira etapa obtemos: 

2 

1 

M C (1,02) 

1, 0404C 

Agora utilizando a fórmula do montante para a segunda etapa obtemos: 

2 

2 

M 0,5 C 

(1,01) 

0, 51005C 

Como a soma dos montantes das duas etapas é igual a R$ 6.201,80 obtemos: 

M 

1 M2 

 

6201,80 

Substituindo os dados de M 1 e M 2 na equação M 1 M2 

6201, 80 obtemos: 

Logo 1,55045C 6201, 80 que nos dá: 

1,0404C 

0,51005C 

6201,80 

6201,80 

C 

1,55045 

Portanto, o capital inicial aplicado foi de R$ 4.000,00. 

4000 

Exemplo 2.6 Marta aplicou R$ 100.000,00 por dois meses, à taxa de juros compostos de 3% 

ao mês. Após esses dois meses Marta resgatou o montante e aplicou em outro banco por mais 

2 meses, à taxa de juros compostos de 2% ao mês. 

Determine o valor de resgate dessa segunda aplicação. 

Solução. O montante ao final da primeira aplicação é dado por: 

2 

M 1 100000(1,03) 

100000(1,0609) 

106090 

Logo, o montante ao final da primeira aplicação é de R$ 106.090,00. 

O valor que foi aplicado no outro banco foi R$ 106.090,00, então o montante da segunda 

aplicação é dado por: 

2 

M 1 106090(1,02) 

106090(1,0404) 

110376 

Portanto, o resgate da segunda aplicação foi de R$ 110.376,00. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


25 

2.1.4 Fórmula dos Juros na Capitalização Composta 

A expressão dos juros é dada pelo montante menos o capital, ou seja, J M C 

. 

n 

Substituindo M C ( 1 

i) 

na equação J M C 

, obtemos J C ( 1 

i) 

C . Colocando 

em evidência o capital C na equação anterior, obtemos: 

n 

J C [( 1 

i) 

1] 

(2.3) 

Cálculo dos juros na HP 12C 





5) Pressione FV para calcular o valor futuro. 

6) Pressione RCL PV .+. para calcular os juros acumulados do período de aplicação. 

n 

Exemplo 2.7 Calcular o capital que gerou R$ 306,04 de juros ao ser aplicado por 3 meses, à 

taxa de juros compostos de 2% ao mês. 


C ? 

J 306,04 

n 3 meses 


Substituindo os dados anteriores na fórmula J C [( 1 

i) 

1] 

, temos: 

306,04 C [(1,02) 

Efetuando as operações dentro dos colchetes, obtemos: 

Isolando o capital C obtemos: 

3 

n 

1] 

306,04 

C [0,061208] 

C 

306,04 

0,061208 

Portanto, o capital aplicado foi de R$ 5.000,00. 

5000 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


26 

Exemplo 2.8 Calcular o juro gerado pela aplicação de R$ 4.500,00 no sistema de juros 

compostos, por 2 meses, à taxa de juros de 1% ao mês. 


J ? 

C 4500 

n 2 meses 


Substituindo os dados anteriores na fórmula J C [( 1 

i) 

1] 

, temos: 

J 4500[(1,01) 

Efetuando as operações dentro dos colchetes, obtemos: 

2 

1] 

n 

J 

4500 [0,0201] 

Multiplicando 4500 por 0,0201 obtemos J 90, 45. 

Portanto, o juro gerado foi de R$ 90,45. 







FV 4.590,45 Calcula o valor futuro de R$ 4.590,45 

RCL PV .+. 90,45 Calcula os juros acumulados 

Exemplo 2.9 Ana aplicou R$ 10.000,00 por 2 meses, à taxa de juros compostos de 2% ao 

mês. Decorridos esses dois meses ela aplicou na mesma conta mais R$ 10.000,00 por mais 2 

meses, à mesma taxa de juros compostos dos meses anteriores, determine o saldo final dessa 

aplicação. 

Solução. O montante da primeira etapa da aplicação é dado por: 

M 

2 

10000(1,02) 

10000(1,0404) 

10404 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


27 

Portanto, o montante da primeira etapa da aplicação é de R$ 10.404,00. Na segunda etapa, 

além desses R$ 10.404,00, Ana aplicou mais R$ 10.000,00, totalizando R$ 20.404,00. Então, 

o montante da segunda etapa da aplicação é dado por: 

M 

 

2 

20404(1,02) 

20404(1,0404) 21228,32 

Portanto, o saldo final dessa aplicação é de R$ 21.228,32. Observe o diagrama a seguir: 

0 2 4 

meses 

10.000,00 

10.404,00 

+ 

10.000,00 

20.404,00 

21.228,32 

Exemplo 2.10 Ana aplicou R$ 20.000,00 por 2 meses, à taxa de juros compostos de 1% ao 

mês. Decorridos esses dois meses ela efetuou um saque no valor de R$ 10.000,00 e o saldo 

ela deixou aplicado por mais 1 mês, à mesma taxa de juros compostos dos meses anteriores, 

determine o saldo final dessa aplicação. 

Solução. O montante da primeira etapa da aplicação é dado por: 

M 

 

2 

20000(1,01) 

10000(1,0201) 

20402 

Portanto, o montante da primeira etapa da aplicação é de R$ 20.402,00. Agora, efetuando o 

saque de R$ 10.000,00, o saldo no mês dois ficou em R$ 10.402,00. Então, o montante da 

segunda etapa da aplicação é dado por: 

M 

10402(1,01) 

10506,02 

Portanto, o saldo final dessa aplicação é de R$ 10.506,02. Observe o diagrama a seguir: 

0 2 4 

meses 

20.000,00 

20.402,00 

− 10.000,00 

10.402,00 

10.506,02 

2.1.5 Juros Compostos × Juros Simples Para Prazo Menor do Que Um 

O montante na capitalização composta é uma função exponencial em relação ao período de 

capitalização, já o montante na capitalização simples é uma função do primeiro grau em 

relação ao período de capitalização. Então, para 0 n 1, o montante na capitalização 

simples é maior do que o montante na capitalização composta. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


Montante 

28 


C 

1 

Prazo 

Observação 2.5 No quadro a seguir temos os juros da simulação de uma aplicação de R$ 

1.000,00, à taxa de juros de 4% ao mês: 

Período Juros simples (R$) Juros compostos (R$) 

0,1 mês 4,00 3,93 

0,3 mês 12,00 11,84 

0,5 mês 20,00 19,80 

0,8 mês 32,00 31,87 

1 mês 40,00 40,00 

1,5 mês 60,00 60,60 

2 meses 80,00 81,60 

3 meses 120,00 124,86 

Exemplo 2.11 Considere que o capital de R$ 10.000,00 foi aplicado por 15 dias à taxa de 

juros de 4% ao mês. Determine: 

a) O montante no sistema de capitalização simples. 

b) O montante no sistema de capitalização composta. 


C 10000 


n 15 dias, ou seja, n 0, 5 mês 

M 

? 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


29 

a) Substituindo os dados na fórmula M C [ 1in] 

, temos: 

M 

10000 [1 

(0,04) (0,5)] 10000 

[1,02] 

10200 

Então, o montante na capitalização simples é igual a R$ 10.200,00. 

b) Substituindo os dados na fórmula 

M C ( 1 

i) 

n 

, temos: 

M 

10000 

(1 0,04) 

0,5 

10000 

(1,04) 

0,5 

10198,04 

Então, o montante na capitalização composta é igual a R$ 10.198,04. 

Observe que o prazo é de 0,5 mês e que o montante da capitalização simples é maior do que o 

montante da capitalização composta. 

2.2 Equivalência de Capitais na Capitalização Composta 

Os capitais C 1 , C 2 , , C k com respectivos vencimentos nas datas d 1, d 2 , , d k , são 

equivalentes numa determinada data focal, quando atualizados nessa data focal, à mesma taxa 

de juros, gerarem valores iguais. 

Observação 2.6 Na capitalização composta, capitais equivalentes numa determinada data 

focal, serão equivalentes em qualquer outra data focal. 

Exemplo 2.12 Verifique se, no sétimo mês, o investimento de R$ 5.000,00, com vencimento 

no quinto mês, é equivalente ao investimento de R$ 5.306,04 com vencimento no oitavo mês. 

Considere uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. 


0 

5 7 8 

5.000,00 x 

5.306,04 

Meses 

O investimento de R$ 5.000,00 em relação ao sétimo mês é um valor presente, pois seu 

vencimento ocorre no quinto mês. Atualizando este investimento para o sétimo mês, temos o 

seguinte valor futuro: 

FV 

5000 (1,02) 

2 

5000 (1,0404) 5202 

Então, no sétimo mês, o investimento de R$ 5.000,00 é equivalente a R$ 5.202,00. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


30 

O investimento de R$ 5.306,04 em relação ao sétimo mês é um valor futuro, pois seu 

vencimento ocorre no oitavo mês. Atualizando este investimento para o sétimo mês, obtemos 

a seguinte expressão: 

Isolando o valor presente obtemos: 

PV 

5306,04 

PV (1,02) 

5306,04 

 

1,02 

5202 

Então, no sétimo mês, o investimento de R$ 5.306,04 é equivalente a R$ 5.202,04. Portanto, 

no sétimo mês, o investimento de R$ 5.000,00, com vencimento no quinto mês é equivalente 

ao investimento de R$ 5.306,04, com vencimento no oitavo mês. 

Exemplo 2.13 Verifique se os mesmos investimentos do exemplo anterior são equivalentes 

no sexto mês. 


0 

5 6 8 

5.000,00 x 

5.306,04 

Meses 

O investimento de R$ 5.000,00 em relação ao sexto mês é um valor presente, pois seu 

vencimento ocorre no quinto mês. Atualizando este investimento para o sexto mês, temos o 

seguinte valor futuro: 

FV 

5000 (1,02) 5100 

Então, no sexto mês, o investimento de R$ 5.000,00 é equivalente a R$ 5.100,00. 

O investimento de R$ 5.306,04 em relação ao sexto mês é um valor futuro, pois seu 

vencimento ocorre no oitavo mês. Atualizando este investimento para o sexto mês, obtemos a 

seguinte expressão: 


PV 

5306,04 

PV (1,02) 

5306,04 

 

1,0404 

5100 

2 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


31 

Então, no sexto mês, o investimento de R$ 5.306,04 é equivalente a R$ 5.100,00. Portanto, no 

sexto mês, o investimento de R$ 5.000,00, com vencimento no quinto mês é equivalente ao 

investimento de R$ 5.306,04, com vencimento no oitavo mês. 

Exemplo 2.14 Uma empresa fez um financiamento para ser quitado em duas parcelas. Uma 

parcela de R$ 10.000,00 já venceu há dois meses e a outra parcela de R$ 18.540,00 vai vencer 

daqui a um mês. Essa empresa fez uma negociação com o credor para quitar seus débitos por 

meio de um único pagamento hoje. 

Considerando, que a taxa de juros compostos cobrados pelo credor é de 3% ao mês, determine 

o valor desse pagamento único que líquida a dívida da empresa. 

Solução. Coletando os dados do problema temos o seguinte fluxo de caixa: 

Hoje 

2 0 

1 

Meses 

10.000,00 x 

18.540,00 

O valor de R$ 10.000,00 que já venceu há dois meses, financeiramente para ser atualizado 

para a data de hoje, ele é considerado como valor presente e queremos o valor futuro dele. O 

valor futuro é dado por: 

FV 

10000(1,03) 

2 

10000(1,0609) 

10609 

O valor de R$ 18.540,00 em relação à data de hoje é um valor futuro, pois seu vencimento 

ocorre daqui um mês, logo queremos o seu valor presente. Atualizando este valor para a data 

de hoje obtemos a seguinte expressão: 


18540 PV (1,03) 

PV 

18540 18000 

1,03 

Logo, a parcela que liquida a dívida da empresa é dada por: 

x 10609 18000 

28609 

Portanto, a empresa vai pagar hoje R$ 28.609,00 para liquidar a dívida. 

Exemplo 2.15 (FCC – TC-PI 2002) Observe o fluxo de caixa abaixo, que se refere a uma 

aplicação feita a juros compostos. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


32 

0 

1 2 

R$ 1.864.000,00 

3 

R$ 233.000,00 

A taxa de juros por período é de: 

a) 54,4% 

b))100% 

c) 200% 

d) 233% 

e) 267% 

Solução. O valor do fluxo de caixa que está na data focal zero pode ser considerado como um 

valor presente, isto é, PV 233000. 

Já o valor que está na data focal três pode ser 

considerado como um valor futuro, isto é, FV 1864000. 

Como o intervalo de tempo entre o 

valor presente e o valor futuro é de três períodos, temos n 3. Para obter a taxa de juros por 

período, basta utilizar a fórmula 

FV PV ( 1 

i) 

n 

. Então: 

1864000 233000 (1 i) 

3 

Isolando o fator 

3 

( 1 

i) 

, temos: 

1864000 

(1 i) 

233000 

3 

Efetuando a divisão, obtemos: 

8 (1 i) 

Extraindo a raiz cúbica de ambos os membros da equação anterior, temos: 

3 

3 3 ) 3 

8 (1 i 

Efetuando as operações da equação anterior, temos 2 1i 

, ou seja, i 1, que corresponde a 

uma taxa de juros de 100% por período. Portanto, a alternativa correta é a b. 

2.3 Taxas de Juros Variáveis na Capitalização Composta 

A taxa de juros de algumas operações financeiras é geralmente variável de um período para 

outro. Como exemplo tem a taxa de juros da poupança, a taxa de juros de certificado de 

depósito bancário (CDB), a taxa de rendimento de aplicação em bolsa de valores etc. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


33 

Para obtermos o montante ao final de n períodos, temos que adaptar a fórmula do montante 

com taxa de juro constante para taxas de juros variáveis. 

2.3.1 Taxa de juros acumulada 

A taxa de juros acumulada na capitalização composta é dada por: 

iAC 

( 1 

i1 ) (1 i2) 

(1 i3) 

(1 in) 

1 

(2.10) 

Sendo i 1 

, i 2 

, i 3 

, , i 

n 

as respectivas taxas de juros desde o primeiro período do 

investimento até o período de ordem n . 

Exemplo 2.16 Os rendimentos mensais do Fundo de Investimento HSBC MULTIM SMART 

2 nos primeiros três meses de 2007 foram respectivamente 0,87%, 0,23% e 2,43%. 

Determine o rendimento acumulado desses três meses. 

Solução. Substituindo os dados do problema na fórmula da taxa acumulada de juros, 

obtemos: 

i 

AC 

( 1 

0,0087) (1 

0,0023) (1 

0,0243) 1 

Efetuando as operações, obtemos: 

i 

AC 

( 1,0087) (1,0023) 

(1,0243) 


1 


Portanto, O rendimento acumulado desses três meses foi de 3,5588%. 

2.3.2 Montante Resultante de Taxa de Juros Variáveis 

Sejam i 1 

, i 2 

, i 3 

, , i 

n 

as respectivas taxas de juros desde o primeiro período do 

investimento até o período de ordem n . Então, o montante desse investimento ao final de n 

períodos é dado por: 

M 

C 1 

i ) 

(2.11) 

( 

AC 

Sendo C o valor investido e i 

AC 

a taxa de juros acumulada desde o primeiro período do 

investimento até o período de ordem n . 

Exemplo 2.17 As taxas de juros mensais de uma aplicação nos últimos dois meses foram 

respectivamente 5% e 10%. Então, o valor de resgate da aplicação de um capital de R$ 

10.000,00 nesses dois meses foi de: 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


34 

a) R$ 12.270,00 

b) R$ 13.980,00 

c) R$ 11.875,00 

d) R$ 11.550,00 

e) R$ 14.350,00 

Solução. Inicialmente vamos calcular a taxa acumulada de juros: 

i 

AC 

( 1 

0,05) (1 

0,1) 1 

(1,05) (1,1) 

1 

0,155 

Agora, vamos obter o valor de resgate da aplicação utilizando a fórmula M C 1 

i ) : 

( 

AC 

M 

10000(1 

0,155) 10000(1,155) 

11550 

Portanto, o resgate dessa aplicação foi de R$ 11.550,00. Então, a alternativa correta é a d. 

Exemplo 2.18 Uma Bolsa de Valores desvalorizou nos últimos dois meses, 2% e 3% 

respectivamente. Para que essa bolsa chegue ao final do terceiro mês com um ganho 

acumulado de 2% considerando somente esses três meses, quanto ela terá que valorizar no 

terceiro mês? 

a) 7% 

b) 8% 

c) 7,3% 

d) 6,2% 

e) 7,5% 

Solução. Sabendo-se que as desvalorizações dos dois últimos meses foram de 2% e 3%, os 

fatores que correspondem a essas desvalorizações são, respectivamente, ( 1 0,02) 

e ( 1 

0,03) 

. 

O sinal negativo que aparece nesses fatores é devido ao fato de que a bolsa desvalorizou. 

Agora, considere x o percentual que esta bolsa terá que valorizar no terceiro mês para que o 

ganho atinja 2% no final desse mês. De acordo com esses dados, temos a seguinte equação: 

0,02 (1 0,02) (1 0,03) (1 x ) 1 

Na equação anterior, o valor 0,02 corresponde a taxa acumulada (ganho acumulado) dos três 

meses. Já, o fator ( 1 x) 

corresponde ao ganho da bolsa no terceiro mês. 

Efetuando as operações da equação 0,02 

(1 0,02) 

(1 

0,03) 

(1 

x ) 1, obtemos: 

1,02 

(0,98) (0,97) (1 x) 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


35 

Efetuando a multiplicação do fator ( 0,98) 

pelo fator ( 0,97) 

do segundo membro da equação 

1,02 

(0,98) (0,97) 

(1 

x) 

e isolando o fator ( 1 

x) 

, obtemos: 

1,02 

0,9506 

1 x 

Efetuando a divisão e isolando a variável x , obtemos x 0, 073007 , ou seja, 7,30%. Portanto, 

a bolsa terá que valorizar no terceiro mês 7,30% para que ganho acumulado desses três meses 

seja de 2%. Então, a alternativa correta é a c. 

Exemplo 2.19 As taxas de juros mensais de uma aplicação nos últimos três meses foram 

respectivamente 10%, 20% 

e 10%. Então, é correto afirmar que: 

a) Houve um ganho de 10% nesses três meses. 

b) Não houve ganho e nem perda nesses três meses. 

c) Houve uma perda de 3,2% nesses três meses. 

d) A taxa de juros acumulada foi de 40% nesses três meses. 

e) Houve um ganho de 5% nesses três meses. 

Solução. Substituindo os dados do problema na fórmula da taxa acumulada de juros, 

obtemos: 

i 

AC 

( 1 

0,1) (1 

0,2) 

(1 

0,1) 1 

Efetuando as operações, obtemos: 

i 

AC 

( 1,1) (0,8) 

(1,1) 

1 

0,968 1 


Portanto, a taxa acumulada desses três meses foi de 3,2% 

, ou seja, houve uma perda de 

3,2%. Então, a alternativa correta é a c. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


36 

Capítulo 3 – Taxas de Juros 

3.1 Taxas de Juros Nominal e Efetiva 

3.1.1 Taxa nominal 

Uma taxa de juros é denominada nominal se a unidade de tempo do período de capitalização 

for diferente da unidade de tempo da taxa de juros. 

Exemplo 3.1 A taxa de juros de 18% ao ano com capitalização mensal é nominal, pois a 

unidade de tempo do período de capitalização é mensal e não coincide com a unidade de 

tempo da taxa de juros que é anual. 

Exemplo 3.2 A taxa de juros de 3% ao trimestre com capitalização diária é nominal, pois a 

unidade de tempo do período de capitalização é diária e não coincide com a unidade de tempo 

da taxa de juros que é trimestral. 

3.1.2 Taxa efetiva 

Uma taxa de juros é chamada efetiva se a unidade de tempo do período de capitalização 

coincidir com a unidade de tempo da taxa de juros. 

Exemplo 3.3 A taxa de juros de 12% ao ano com capitalização anual é efetiva, pois a unidade 

de tempo do período de capitalização é anual e coincide com a unidade de tempo da taxa de 

juros que também é anual. 

Exemplo 3.4 A taxa de juros de 2% ao mês com capitalização mensal é efetiva, pois a 

unidade de tempo do período de capitalização é mensal e coincide com a unidade de tempo da 

taxa de juros que também é mensal. 

3.1.3 Taxas Efetivas Equivalentes 

Duas taxas de juros são equivalentes se, aplicadas ao mesmo capital C , durante o mesmo 

período de tempo, com diferentes partições do período de capitalização, produzirem o mesmo 

montante. 

Para a determinarmos as expressões envolvendo taxas de juros efetivas equivalentes, 

considere i a , i s , i q , i t , i b , i m e i d os símbolos que representarão as respectivas taxas de 

juros ao ano, ao semestre, ao quadrimestre, ao trimestre, ao bimestre, ao mês e ao dia. 

A seguir será determinada a expressão para obter a taxa mensal dada a anual ou para obter a 

taxa anual dada a mensal. 

O montante M 1 gerado pela aplicação do capital C ao final do primeiro ano, com 

capitalização anual, é dado por: M 1 C (1 i a ) . Já o montante M 2 gerado pela aplicação 

do capital C ao final do primeiro ano, com capitalização mensal é dado por: 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


37 

M 

12 

2 C ( 1 i m) 

. Pela definição de taxas equivalentes, as taxas i a e i m são equivalentes se 

12 

M1 M 2 . Então, C ( 1 

ia 

) C (1 im) 

. Dividindo ambos os membros da equação 

anterior por C obtemos a seguinte expressão que relaciona a equivalência entre a taxa efetiva 

anual e a taxa efetiva mensal: 

( a m 

12 

1 i ) (1 i ) 

(3.1) 

Observação 3.1 As expressões que relacionam as taxas de juros efetivas equivalentes estão 

resumidas a seguir: 

2 

Relação entre anual e semestral 1 

i ) (1 i ) 

Relação entre anual e quadrimestral 

( a s 

( 1 

ia 

) (1 iq 

) 

Relação entre anual e trimestral 1 

i ) (1 i ) 

4 

Relação entre anual e bimestral 

3 

( a t 

6 

( 1 

ia 

) (1 ib 

) 

12 

Relação entre anual e mensal 1 

i ) (1 i ) 

( a m 

2 

Relação entre semestral e trimestral 1 

i ) (1 i ) 

( s t 

Relação entre semestral e bimestral 1 

i ) (1 i ) 

3 

( s b 

Relação entre semestral e mensal 1 

i ) (1 i ) 

6 

Relação entre quadrimestral e bimestral 

Relação entre quadrimestral e mensal 

( s m 

2 

( 1 

iq 

) (1 ib 

) 

( 1 

iq 

) (1 im) 

Relação entre trimestral e mensal 1 

i ) (1 i ) 

3 

( t m 

2 

Relação entre bimestral e mensal 1 

i ) (1 i ) 

( b m 

360 

Relação entre anual e diária 1 

i ) (1 i ) 

Relação entre mensal e diária 

( a d 

( 1 

im) 

(1 id 

) 

4 

30 

3.1.4 Conversão de Taxa Nominal em Taxa Efetiva na HP 12C 

1) Pressione .g. END 

2) Pressione .f. FIN para zerar os registros financeiros 

3) Informe a taxa nominal referente ao período em que se deseja obter a taxa efetiva e 

pressione ENTER 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


38 

4) Informe o número de períodos de capitalização que particiona o período de referência da 

taxa nominal e pressione .n. .÷. .i. 

5) Digite 100 e pressione CHS ENTER PV 

6) Pressione FV .+. para obter a taxa de juros efetiva 

Exemplo 3.5 Determine o montante gerado pela aplicação do capital de R$ 10.000,00 pelo 

prazo de 2 bimestres, à taxa de juros compostos de 12% ao ano, com capitalização mensal. 

Solução, Coletando os dados do problema temos: 

M 

? 

C 10000 

n 2 bimestres 

i 12% ao ano, com capitalização mensal 

Observe que a taxa fornecida no problema é uma taxa nominal, pois a unidade de tempo da 

taxa é diferente da unidade de tempo do período de capitalização. A taxa efetiva mensal é 

dada por: 

i m 

12% a. 

a. 

 

12 meses 

1% 

a. 

m. 

O prazo de 2 bimestres corresponde a 4 meses. Então, os dados ajustados do problema são: 

M ? 

C 10000 

n 4 meses 

i 1% ao mês ou i 0, 01 em valor decimal 

m 

Então, o montante é dado por: 

m 

M 

10000(1,01) 

4 

10000(1,040604) 

10406,04 

Portanto, o montante gerado é de R$ 10.406,04. 

Exemplo 3.6 Uma instituição financeira anuncia para uma determinada aplicação uma taxa de 

juros de 20% ao ano, com capitalização trimestral. Determine a taxa de juros efetiva anual 

dessa aplicação. 

Solução. A taxa anunciada por essa instituição financeira é nominal. Então, a taxa efetiva 

trimestral é dada por: 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


39 

i t 

 

20% a. 

a. 

4 trimestres 

5% 

a. 

t. 

Assim, a taxa efetiva anual é determinada utilizando a seguinte expressão: 

1 

( 1 

ia 

) (1 it 

) 

4 

Substituindo i t 0, 05 na expressão anterior, obtemos 

na expressão anterior, obtemos: 

1 i a (1,05) 

4 

. Isolando o valor de i a 

i a 

 

4 

(1,05) 11,215506 

1 

0,215506 

Portanto, a taxa efetiva anual dessa aplicação é de 21,55%. 

Utilizando a HP 12C: Os procedimentos a seguir convertem a taxa nominal de 20% ao ano, 

com capitalização trimestral, para taxa efetiva anual. 


.g. END 0,00 


20 ENTER 20,00 Registra a taxa nominal anual 

4 .n. .÷. .i. 8,00 

Armazena os 4 trimestres do ano e também a taxa 

efetiva trimestral de 8% 

100 CHS ENTER PV 100, 00 Armazena o valor 100 como valor presente 

FV .+. 21,55 Calcula a taxa efetiva anual de 21,55% 

Exemplo 3.7 A taxa efetiva de juros compostos do cheque especial de um Banco é de 5,5% 

ao mês. Então, a taxa anual cobrada pelo banco é igual a: 

a) 85,22% 

b) 66,00% 

c) 90,12% 

d) 78,45% 

e) 80,25% 

Solução. Como a taxa de juros mensal é de 5,5%. A taxa anual é determinada utilizando a 

seguinte expressão: 

1 

( 1 

ia 

) (1 im 

) 

12 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


40 

Substituindo i 0, 055 na expressão anterior obtemos: 

m 

1 i (1,055) 

a 

Isolando i a da expressão anterior obtemos: 

12 

i a 

 

12 

(1,055) 1 

1,901207 

1 

0,901207 

Portanto, a taxa anual cobrada por esse banco é de 90,12%. Então, a alternativa correta é a c. 

Exemplo 3.8 Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60 % 

ao ano com capitalização semestral. 

O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização 

mensal. Determine os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A 

e B. 

Solução. Observe que as taxas anunciadas pelos Bancos A e B são nominais. A taxa 

anunciada pelo Banco A, de 60% ao ano com capitalização semestral, é nominal. Então, a taxa 

efetiva semestral é dada por: 

i s 

 

60% a. 

a. 

2 semestres 

30% 

a. 

s. 

Assim, a taxa efetiva anual do Banco A é determinada utilizando a seguinte expressão: 

1 

( 1 

ia 

) (1 is 

Substituindo i s 0, 30 na expressão anterior, obtemos 

obtemos: 

) 

2 

1 i a (1,30) 

2 

. Isolando o valor de i a , 

i a 

 

2 

(1,30) 1 

1,69 1 

0,69 

Portanto, a taxa efetiva anual do Banco A é de 69%. 

A taxa anunciada pelo Banco B, de 30% ao semestre com capitalização mensal, é nominal. A 

taxa efetiva mensal é dada por: 

i m 

30% a. 

s. 

5% 

6 meses 

a. 

m. 

Já a taxa efetiva anual do Banco B é determinada utilizando a seguinte expressão: 

1 

( 1 

ia 

) (1 im 

) 

12 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


41 

Substituindo i 0, 05 na expressão anterior, obtemos 

i a , obtemos: 

m 

1 i (1,05) 

a 

12 

. Isolando o valor de 

i a 

 

12 

(1,05) 1 

1,795856 1 

0,795856 

Portanto, a taxa efetiva anual do Banco B é de 79,59%, ou seja, aproximadamente 80%. 

Utilizando a HP 12C: Os procedimentos a seguir convertem a taxa nominal do Banco A de 

60% ao ano, com capitalização semestral, para taxa efetiva anual. 


.g. END 0,00 


60 ENTER 60,00 Registra a taxa nominal anual de 60% 

2 .n. .÷. .i. 30,00 

Armazena os 2 semestres do ano e também a taxa 

efetiva semestral de 30% 


FV .+. 69,00 Calcula a taxa efetiva anual de 69% 

Utilizando a HP 12C: Os procedimentos a seguir convertem a taxa nominal do Banco B de 

30% ao semestre, com capitalização mensal, para taxa efetiva anual. 


.g. END 0,00 


30 ENTER 2 .x. 60,00 Registra a taxa nominal ao ano de 60% 

12 .n. .÷. .i. 5,00 

Armazena os 12 meses do ano e também a taxa 

efetiva mensal de 5% 


FV .+. 79,59 Calcula a taxa efetiva anual de 79,59% 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


42 

3.2 Relação Entre Taxa de Juros Aparente e Taxa de Juros Real 

A taxa efetiva de juros é igual a taxa real de juros mais a taxa de inflação mais a inflação 

vezes a taxa real de juros. Então, considerando i para a taxa efetiva aparente, r a taxa real de 

juros e I a taxa de inflação, temos a seguinte fórmula: 

i r I r I 

(3.2) 

Colocando I em evidência nas duas últimas parcelas do segundo membro da equação 

i r I r I obtemos: 

i r I ( 1 

r) 

Somando o valor 1 em ambos os membros da equação anterior obtemos: 

1 

i 1 

r I (1 

r) 

Colocando 1 r em evidência no segundo membro da equação 1 

i 1 

r I (1 

r) 

obtemos outra relação entre a taxa de juros efetiva aparente, inflação e a taxa de juros real: 

1 i (1 r) 

(1 

I) 

(3.3) 

Exemplo 3.9 O rendimento aparente de um investimento no ano passado foi de 27,2% e a 

inflação desse ano foi de 6%, determine o rendimento real desse investimento. 

a) 21,2% 

b) 22,0% 

c) 20,5% 

d) 20,0% 

e) 20,3% 

Solução. Coletando os dados do problema temos: 

i 27,2% ao ano, ou seja, 0,272 ao ano em valor decimal 

I 6% ao ano, ou seja, 0,06 ao ano em valor decimal 

r ? 

Substituindo os dados na expressão 1 

i (1 r) 

(1 

I) 

, obtemos: 

1,272 

(1 r ) (1,06) 

Isolando r na expressão 1,272 

(1 r ) (1,06) 

obtemos: 

1,272 

r 1 

1,20 1 

0,20 

1,06 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


43 

Portanto, o rendimento real desse investimento foi de 20% ao ano. Alternativa d. 

Exemplo 3.10 Uma aplicação de R$ 10.000,00 pelo período de um ano produziu um 

montante de R$ 12.600,00. A inflação desse ano foi de 5%, determine a taxa de juros real 

dessa aplicação. 


C 10000 

M 12600 

I 5% 

i ? 

r ? 

Como o período é de um ano, então podemos utilizar a fórmula dos juros simples para 

calcular a taxa efetiva aparente i . O valor dos juros é dado por: 

J 

M C 

12600 10000 

2600 

Substituindo os dados na expressão 

J 

C i 

n obtemos: 

2600 10000i 

1 

Isolando i na expressão 2600 10000i 1 

obtemos: 

i 

2600 

10000 

0,26 

Então, a taxa aparente de juros dessa aplicação é igual a 26%. 

Agora utilizando a fórmula 

( 1 r) 

(1 

I) 

1 

i vamos calcular a taxa real de juros: 

( 1 r ) (1,05) 

1,26 

Isolando r na equação ( 1 r ) (1,05) 

1, 

26 obtemos: 

1,26 

r 1 

1,20 1 

0,20 

1,05 

Portanto, a taxa real de juros dessa aplicação foi de 20% ao ano. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


44 

Capítulo 4 – Desconto Simples e Desconto Composto 


Desconto é um prêmio concedido pela antecipação da quitação de um título. Denotaremos o 

valor do desconto pelo símbolo D . 

Para obtermos as expressões envolvendo desconto serão necessários alguns conceitos, que 

estão listados a seguir: 

Valor nominal, valor de face ou valor futuro do título: é o valor do título na data futura, na 

data em que foi combinado para o seu resgate. Denotaremos o valor nominal de um título pelo 

símbolo N . 

Valor atual, valor descontado, valor líquido ou valor presente do título: é o valor pago ou 

recebido pelo título na data de antecipação. Denotaremos o valor atual de um título pelo 

símbolo A . 

De acordo com as denominações anteriores, o desconto é dado pela diferença entre o valor 

nominal e o valor atual do título. Isto é: 

D N A 

(4.1) 

Exemplo 4.1 Se por um título de R$ 8.000,00, que deveria ser quitado numa data futura foi 

pago hoje R$ 6.000,00, então o valor do desconto foi de R$ 2.000,00. De fato, observe que o 

valor nominal do título é de R$ 8.000,00 e o valor atual ou descontado do título é de R$ 

6.000,00. Então, o desconto obtido pela antecipação da quitação do título é dado por: 

D N A 8000 6000 2000 

Observação 4.1 Para um melhor esclarecimento da diferença entre desconto comercial e 

desconto racional que veremos na sequência observe o diagrama abaixo: 

10% 

Desconto Comercial 

ou Por Fora 

R$ 1.000,00 

R$ 900,00 

O desconto comercial 

é calculado sobre o valor 

nominal do título, ou seja, 

10% de R$ 1.000,00 é 

igual a R$ 100,00 

Desconto Racional 

ou Por Dentro 

R$ 1.000,00 

R$ 909,09 

10% 

O desconto Racional é 

calculado sobre o valor 

atual do título, ou seja, 

10% de R$ 909,09 é igual 

a R$ 90,91 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


45 

Observe que ao descontarmos 10% de R$ 1.000,00 no sistema comercial obtemos o valor 

atual do título, ou seja, R$ 1.000,00 menos 10% de R$ 1.000,00 é igual a R$ 900,00. Já no 

sistema racional os 10% são calculados sobre o valor atual do título, ou seja, R$ 909,09 mais 

10% de R$ 909,09 é igual a R$ 1.000,00. 

4.2 Desconto Nominal ou Comercial Simples, ou Ainda, Desconto “Por Fora” 

O desconto nominal ou comercial é concedido sobre o valor nominal do título, isto é, sobre 

N . Esse desconto é também conhecido com desconto “por fora”. 

Um título descontado n períodos antes do seu vencimento, à taxa d de desconto comercial, 

tem a seguinte expressão para determinar o desconto: 

D C 

N d 

n 

(4.2) 

Para obter uma expressão que relacione o valor nominal, o valor atual, a taxa de desconto 

comercial e o prazo de antecipação da quitação do título, basta substituir N d 

n 

na 

equação 

equação 

A 

A C 

C 

N D que obtemos N N d 

n. Colocando N em evidência na 

C 

N N d 

n, obtemos: 

A C 

D C 

A C 

N [ 1 

d n] 

(4.3) 

Exemplo 4.2 Um título no valor de R$ 100.000,00 foi descontado 2 anos antes do seu 

vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples foi de 10% ao ano, então, 

pode-se afirmar que o valor pelo qual o título foi descontado é igual a: 

a) R$ 20.000,00 

b) R$ 80.000,00 

c) R$ 72.000,00 

d) R$ 90.000,00 

e) R$ 81.000,00 


N 100000 

n 2 anos 

d 10% ao ano, ou 0,1 ao ano em valor decimal 

A C 

? 

Agora, substituindo esses dados na equação N [ 1 

d n] 

, obtemos: 

A C 

A C 

100000[1 

2(0,10)] 

100000[0,80] 

80000 

Portanto, o valor pelo qual o título foi descontado é igual a R$ 80.000,00. Alternativa b. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


46 

Outra forma de resolver esse problema: como são dois anos de antecipação do título e a 

taxa anual de desconto comercial simples é de 10%, então temos 20% de desconto para os 

dois anos. Logo, R$ 100.000,00 menos 20% de R$ 100.000,00 é igual a R$ 80.000,00. 

Observe o diagrama abaixo: 

10% em cada mês 

corresponde a 20% 

R$ 100.000,00 

R$ 80.000,00 

Exemplo 4.3 (ESAF – AFC-STN 2005) Considere três títulos de valores nominais iguais a 

R$ 5.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 2.000,00. Os prazos e as taxas de desconto bancário simples 

são, respectivamente, três meses a 6 % ao mês, quatro meses a 9 % ao mês e dois meses a 60 

% ao ano. Desse modo, o valor mais próximo da taxa média mensal de desconto é igual a: 

a) 7 % 

b) 6 % 

c) 6,67 % 

d) 7,5 % 

e) 8 % 

Solução. Para calcular a taxa média mensal de desconto, basta utilizar a fórmula a seguir: 

Taxa média 

i1 

N1 

n1 

i2 

N2 

n2 

i 

 

N n N n N 

1 

1 

2 

2 

3 

3 

N 

n 

3 

3 

n 

3 

Nessa fórmula as taxas de juros são os valores da variável em que se deseja obter a média, já 

os pesos são formados pelo produto de cada valor nominal do título pelo respectivo prazo de 

antecipação do título. Coletando os dados do problema, temos: 

Valor Nominal do 

Título 

Prazo de Antecipação Taxa de Juros 

N 1 5000 

n 1 3 meses i 1 6% 

ao mês 

N 2 3000 

n 2 4 meses i 2 9% 

ao mês 

N 3 2000 

n 3 2 meses i 3 5% 

ao mês 

Então, a taxa média mensal de desconto é dada por: 

6 (5000) 3 9 (3000) 4 5 

(2000) 2 218000 

Taxa média mensal 

7, 03 

(5000) 3 (3000) 4 (2000) 2 31000 

Portanto, a taxa média mensal de desconto é aproximadamente 7%. Alternativa a. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


47 

Exemplo 4.4 Um título de valor nominal de R$ 600.000,00 foi descontado à taxa de 18% ao 

mês, 15 dias antes do vencimento (desconto comercial simples). O Banco cobrou uma 

comissão de 3% sobre o valor nominal do título. Determine o valor líquido recebido. 

a) R$ 565.000,00 

b) R$ 549.000,00 

c) R$ 537.000,00 

d) R$ 528.000,00 

e) R$ 465.000,00 


N 600000 

A C 

? 

n 15 dias 

d 18% ao mês, ou, d 0,6% 

ao dia, que é o mesmo que d 0, 006 ao dia em valor 

decimal. 

No enunciado do problema está descrito que o banco cobrou uma comissão de 3% sobre o 

valor nominal do título, ou seja, 3% de R$ 600.000,00, que dá R$ 18.000,00. 

Substituindo os dados do problema na fórmula do desconto comercial simples, que é dada por 

N [ 1 

d n] 

, obtemos: 

A C 

A C 

600000[1 

15(0,006)] 

600000[0,91] 

546000 

Então, o valor que deveria ter sido pago por este título seria R$ 546.000,00, mas como o 

banco cobrou uma comissão de R$ 18.000,00, o valor líquido recebido pela antecipação do 

título foi: R$ 546.000,00 – R$ 18.000,00 = R$ 528.000,00. Alternativa d. 

4.3 Desconto Racional Simples ou Desconto “Por Dentro” 

O desconto racional é concedido sobre o valor atual 

como desconto “por dentro”. 

A R . Esse desconto é também conhecido 

Um título descontado pelo valor A R , n períodos antes do seu vencimento, à taxa i de 

desconto racional, apresenta a seguinte expressão para determinar o desconto racional: 

D 

R 

A i 

n 

(4.4) 

R 

Para a dedução de uma fórmula que relacione o valor nominal, o valor atual, a taxa de 

desconto racional e prazo de antecipação de um título, basta substituir a expressão 

DR 

AR 

i 

n 

na equação N A R DR 

, que obtemos N AR 

AR 

in 

. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


48 

Colocando 

A R em evidência no segundo membro da equação 

N A 

R 

A 

R 

in 

, obtemos: 

N AR [ 1in] 

(4.5) 

Exemplo 4.5 Uma nota promissória no valor de R$ 8.800,00 foi quitada 2 meses antes do seu 

vencimento por R$ 8.000,00. Então, pode-se afirmar que a taxa de desconto racional simples 

foi de: 

a) 3% 

b) 4% 

c) 5% 

d) 6% 

e) 7% 


N 8800 

A R 

8000 

n 2 meses 

i ? 

Substituindo esses dados na equação N AR [ 1 

i n] 

obtemos: 

8800 8000[1 

i 

2] 

Isolando a expressão entre os colchetes obtemos: 

8800 

1 

2i 

8000 

Efetuando a divisão do primeiro membro da equação anterior obtemos: 

1,1 

1 

2i 

Isolando o fator 2 i da expressão 1,1 

1 

2i 

obtemos: 

2i 

1,1 

1 

0,1 

Isolando a taxa i da expressão 2i 0, 1 obtemos: 

0,1 

i 0,05 

2 

Portanto, a taxa de desconto racional simples foi de 5% ao mês. Alternativa c. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


49 

Exemplo 4.6 Um cheque pré-datado é adquirido com um desconto de 20% por uma empresa 

especializada, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa de desconto mensal da 

operação considerando um desconto simples por dentro: 

a) 6,25%. 

b) 6%. 

c) 4%. 

d) 5%. 

e) 5,5%. 

Solução. O desconto simples “por dentro” é o mesmo que o desconto racional simples. O 

valor do cheque pré-datado é o valor nominal do título. Como o valor do título é 

desconhecido, considere N x . Então, o valor atual do título é dado por A R 0, 8x 

, pois o 

mesmo vale 20% menos que o valor nominal do título. Então, coletando os dados do 

problema, temos: 

N x 

A R 0, 8x 

n 4 meses 

i ? 

Substituindo os dados na fórmula do desconto racional simples, que é dada por 

N AR [ 1 

i n] 

, obtemos: 

x 0,8x 

[1 

i4] 

Dividindo ambos os membros da equação anterior por 

0 ,8x 

, obtemos: 

x 

0,8x 

1 

4i 

Cancelando x do numerador e do denominador do quociente do primeiro membro da equação 

anterior, obtemos: 

1 

0,8 

1 

4i 


1,25 

1 

4i 

Subtraindo o valor 1 de ambos os membros da equação 1,25 

1 

4i 

, obtemos 0,25 

4i 

. 

Dividindo por 4 membros da expressão 0,25 

4i 

, obtemos i 0, 0625. Portanto, a taxa de 

desconto da operação é igual a 6,25% ao mês. Alternativa a. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


50 

4.4 Relação Entre Taxa de Juros Simples e Taxa de Desconto Comercial Simples 

A expressão do desconto racional simples, que corresponde ao sistema usual de capitalização 

simples, é dada por N AR [ 1i 

n] 

. E a expressão do desconto comercial simples é dada 

por N [ 1 

d n] 

. 

A C 

Se considerarmos o mesmo valor do desconto para os dois sistemas, o que geraria o mesmo 

valor descontado, ou seja, AC 

AR 

A. Então, obtemos as expressões A N [ 1 

d n] 

e 

N A[ 1 

i n] 

. Substituindo A N [ 1 

d n] 

em N A[ 1 

i n] 

obtemos 

N N [ 1 

d n] 

[1 

in] 

. Efetuando as simplificações e isolando a taxa de juros simples i 

obtemos a seguinte expressão: 

d 

i 1 d n 

(4.6) 

A expressão acima estabelece uma relação entre a taxa efetiva de juros simples e a taxa de 

desconto comercial simples, ou seja, se um título for descontado no sistema comercial simples 

com n períodos de antecedência, a uma taxa de desconto d , então para alcançar o mesmo 

valor do título numa eventual aplicação por n períodos, a taxa dessa aplicação deve ser igual 

a i . 

Exemplo 4.7 Um título de R$ 10.000,00 foi descontado 5 meses antes do seu vencimento, à 

taxa de desconto comercial simples de 4% ao mês, determine o valor descontado desse título e 

a taxa efetiva de juros simples dessa operação. 


N 10000 

n 5 meses 

d 4% ao mês 

A ? (valor descontado do título) 

C 

i ? 

Substituindo os dados na fórmula do desconto comercial simples N [ 1 

d n] 

obtemos: 

A C 

A C 

10000 [1 

(0,04) 5] 

10000 

[0,8] 

8000 

Portanto, o valor descontado do título é igual a R$ 8.000,00. 

A taxa efetiva de juros simples da operação é dada por: 

0,04 0,04 

i 0,05 

1 

(0,04) 5 

0,8 

Portanto, a taxa efetiva de juros simples dessa operação é igual a 5% ao mês. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


51 

Observação 4.2 A taxa efetiva de juros simples de 5% ao mês significa que a aplicação de 

um capital de R$ 8.000,00, por 5 meses, geraria um montante de R$ 10.000,00. Observe o 

cálculo a seguir utilizando a fórmula do montante simples M C [ 1in] 

: 

4.5 Desconto Racional Composto 

M 8000[1 

(0,05) 5] 

8000[1,25] 

10000 

O desconto racional composto é concedido sobre o valor atual, ou seja, sobre A R . Então, para 

um período de antecipação temos DR 

AR 

i 

. Substituindo DR 

AR 

i 

na equação 

N1 A R D R , obtemos N1 AR 

AR 

i 

. Colocando A R em evidência na equação 

N1 AR 

AR 

i 

, temos N1 AR (1 

i) 

. 

Para o segundo período de antecipação, o desconto é concedido sobre o valor atual do final do 

primeiro período de antecipação, ou seja, sobre N 1. Então, o desconto no segundo período de 

antecipação é dado por DR 

AR 

i 

. Substituindo DR 

AR 

i 

na equação N A R DR 

, 

obtemos N AR 

AR 

i 

. Colocando A R em evidência na equação N AR 

AR 

i 

, temos 

N AR ( 1i) 

. 

Seguindo esse raciocínio, temos para n períodos de antecipação: 

n 

N A R ( 1 

i) 

(4.7) 

Exemplo 4.8 (FCC – TJ-SE – Analista Jurídico – Contabilidade 2009) O valor presente de 

um título descontado 2 (dois) anos antes de seu vencimento é igual a R$ 25.000,00. Utilizouse 

o critério do desconto composto real a uma taxa de 8% ao ano. O valor do desconto 

correspondente é de: 

a) R$ 3.120,00 

b) R$ 3.160,00 

c) R$ 3.200,00 

d) R$ 4.000,00 

e) R$ 4.160,00 

Solução. O desconto real composto é o desconto racional composto, pois o desconto racional 

composto corresponde ao sistema usual (real) de capitalização composta. Coletando os dados 

do problema, temos: 

A R 

25000 

n 2 anos 

i 8% ao ano 

N ? 

D 

R 

N A 

R 

? 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


52 

Substituindo esses dados na expressão 

N A R ( 1 

i) 

obtemos: 

n 

N 25000(1,08) 

2 

25000(1,1664) 

29160 

Substituindo os valores de N 29160 e A R 25000 na expressão DR 

N AR 

obtemos: 

D R 

29160 25000 4160 

Portanto, o valor do desconto correspondente é de R$ 4.160,00. Alternativa e. 

4.6 Desconto Nominal ou Comercial Composto 

O desconto nominal ou comercial é concedido sobre o valor nominal N . Então, um título 

resgatado um mês antes do seu vencimento gera um desconto dado por N d 

D C 1 . 

Substituindo D C 1 N d na expressão AC 

1 N DC1 

obtemos um valor líquido do título 

para um período de antecipação dado por: 

A C 

1 N N d N (1 d) 

Se o título for resgatado dois meses antes do seu vencimento, o desconto concedido a N é 

equivalente ao desconto concedido ao valor atual A C1, com um mês de antecipação. Esse 

desconto é dado por DC 

2 AC 

1 d . Substituindo DC 

2 AC 

1 d na expressão 

A A D do valor líquido do título para dois períodos de antecipação, obtemos: 

C2 C1 

C2 

AC 

2 AC 

1 AC 

1 d AC 

1 (1 d) 

Substituindo N (1 ) em A A (1 ) , obtemos: 

A C 1 d 

C2 C1 

d 

2 

A C 2 N ( 1 

d) 

(1 d) 

N (1 d) 

Se o título for resgatado três meses antes do seu vencimento, o desconto concedido a N é 

equivalente ao desconto concedido ao valor atual A C2 

, com um mês de antecipação. Esse 

desconto é dado por DC 

3 AC 

2 d . Substituindo DC 

3 AC 

2 d na expressão 

A A D do valor líquido do título para três períodos de antecipação, obtemos: 

C3 C2 

C3 

AC 

3 AC 

2 AC 

2 d AC 

2 (1 d) 

Substituindo 

2 

A C 2 N ( 1 

d) 

em A A (1 

) , obtemos: 

C3 C2 

d 

2 

3 

A C 3 N ( 1 

d) 

(1 d) 

N (1 d) 

Seguindo esse raciocínio, o valor líquido de um título quitado n períodos antes do seu 

vencimento é dado por: 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


53 

C 

n 

A N ( 1 

d) 

(4.8) 

Exemplo 4.9 Um título no valor de R$ 10.000,00 foi resgatado 2 meses antes do seu 

vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial composto foi de 5% ao mês, 

determine o valor descontado desse título. 


N 10000 

n 2 meses 

d 5% ao mês 

A C 

? 

Substituindo esses dados na expressão 

A N ( 1 

d) 

obtemos: 

C 

n 

A C 

10000 

(1 0,05) 

2 

10000 

(0,95) 

2 

10000 

(0,9025) 9025 

Portanto, o valor descontado desse título foi de R$ 9.025,00. 

Outra forma de resolver esse problema: como o desconto comercial é concedido sobre o 

valor nominal do título, descontando 5% do primeiro mês obtemos: 

A C1 10000 

(0,05) 

10000 

10000 

500 

9500 

Descontando 5% de R$ 9.500,00 do segundo mês obtemos: 

A C 


2 9500 (0,05) 

9500 

9500 475 9025 

Desconto de 5% 

do primeiro mês 

Desconto de 5% 

do segundo mês 

R$ 10.000,00 

R$ 9.500,00 

R$ 9.025,00 

Exemplo 4.10 Um título no valor de R$ 10.000,00 foi resgatado 2 meses antes do seu 

vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto foi de 5% ao mês, determine qual sistema 

gera o maior desconto. 

Solução. a) Comercial simples: substituindo os dados na expressão N [ 1 

d n] 

, 

obtemos A 10000 [1 

(0,05) 2] 10000 

(0,9) 9000 . Então, o desconto foi de R$ 

C 

1.000,00, ou seja, D 10000 9000 1000. Ou ainda, 5% em cada um dos dois meses 

C 

teríamos 10% nos dois meses, o que nos daria D 10000 (0,10) 1000 

. 

C 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 

Taguatinga – Brasília-DF / Brasil – CEP 72.115-115 

A C

54 

b) Racional simples: substituindo os dados do problema na expressão N AR [ 1 

i n] 

, 

temos 10000 A R [1 

(0,05) 2] 

, que nos fornece um valor líquido do título no sistema 

racional simples de R$ 9.090,91. Então, o desconto foi de R$ 909,09, ou seja, 

D 10000 9090,91 909,09. 

R 

c) Racional composto: substituindo os dados do problema na expressão 

2 

n 

N A R ( 1 

i) 

, 

temos 10000 A R (1,05) , que nos fornece um valor líquido do título no sistema racional 

composto de R$ 9.070,29. Então, o desconto foi de R$ 929,71, ou seja, 

D 10000 9.070,29 929,71. 

R 

d) Comercial composto: substituindo os dados do problema na expressão 

2 

5 

C 

n 

A N ( 1 

d) 

, 

temos A 10000 

(1 0,05) 10000 

(0,95) 9025. Então, o desconto foi de R$ 975,00, 

C 

ou seja, D 10000 9025 975 . 

C 

Portanto, o sistema que gerou o maior desconto foi o comercial simples. Observe a seguir a 

hierarquia dos descontos: 

Desconto comercial simples R$ 1.000,00 

Desconto comercial composto R$ 975,00 

Desconto racional composto R$ 929,71 

Desconto racional simples R$ 909,09 

4.7 Relação Entre Taxa de Juros Compostos e Taxa de Desconto Comercial Simples 

A expressão do desconto racional composto, que corresponde ao sistema usual de 

capitalização composta, é dada por N A R ( 1 

i) 

. E a expressão do desconto comercial 

simples é dada por N [ 1 

d n] 

. Se considerarmos o mesmo valor do desconto para os 

A C 

dois sistemas, o que geraria o mesmo valor descontado, ou seja, 

A N [ 1 

d n] 

em N A( 1 

i) 

obtemos 

simplificações obtemos a seguinte expressão: 

n 

n 

A 

C 

A 

R 

n 

N N [ 1 

d n] 

(1 

i) 

A. Substituindo 


i n 1 

( 1 

) 

(4.9) 

1 

d n 

A expressão acima estabelece uma relação entre a taxa efetiva de juros compostos e a taxa de 

desconto comercial simples, ou seja, se um título for descontado no sistema comercial simples 

com n períodos de antecedência, a uma taxa de desconto d , então para alcançar o mesmo 

valor do título numa eventual aplicação por n períodos, a taxa de juros compostos dessa 

aplicação deve ser igual a i . 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


55 


taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês, determine o valor descontado desse título e 

a taxa efetiva de juros compostos dessa operação. 


N 10000 

n 2 meses 

d 5% ao mês 


C 

i ? 

Substituindo os dados na fórmula do desconto comercial simples N [ 1 

d n] 

obtemos: 

A C 

A C 

10000[1 

(0,05) 

2] 

10000[0,9] 

9000 

Portanto, o título foi descontado por R$ 9.000,00. 

A taxa efetiva de juros compostos é obtida da expressão: 

(1 i ) 

2 

1 

 

 

1 

(0,05) 2 

Isolando a taxa i da expressão anterior obtemos: 

1 

0,9 

1,111111 

i 

1,111111 

11,0540931 

0,054093 

Portanto, a taxa efetiva de juros compostos dessa operação é igual a 5,4093% ao mês. 

Observação 4.3 A taxa efetiva de juros compostos de 5,4093% ao mês significa que a 

aplicação de um capital de R$ 9.000,00, por 2 meses, geraria um montante de 

aproximadamente R$ 10.000,00. Observe o cálculo a seguir utilizando a fórmula do montante 

composto 

n 

M C ( 1 

i) 

: 

M 

9000(1,054093) 

2 

9000(1,111112) 

10000,01 

4.8 Relação Entre Taxa de Juros Compostos e Taxa de Desconto Comercial composto 

Se considerarmos o mesmo valor do desconto para os dois sistemas, o que geraria o mesmo 

valor descontado, ou seja, A A A, então a expressão do desconto racional composto, 

C 

R 

que corresponde ao sistema usual de capitalização composta, seria dada por 

a expressão do desconto comercial composto seria dada por 

n 

A N ( 1 

d) 

. 

N A 

( 1 

i) 

n 

. E 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


56 

n 

Substituindo A N ( 1 

d) 

em N A( 1 

i) 

obtemos 

as simplificações obtemos a seguinte expressão: 

n 

N N ( 1 

d) 

(1 

i) 

n 

n 

. Efetuando 

d 

i (4.10) 

1 d 

A expressão acima estabelece uma relação entre a taxa efetiva de juros compostos e a taxa de 

desconto comercial composto, ou seja, se um título for descontado no sistema comercial 

composto com n períodos de antecedência, à uma taxa de desconto d , então para alcançar o 

mesmo valor do título numa eventual aplicação por n períodos, a taxa de juros compostos 

dessa aplicação deve ser igual a i . 


taxa de desconto comercial composto de 5% ao mês, determine o valor descontado desse 

título e a taxa efetiva de juros compostos dessa operação. 


N 50000 

n 2 meses 

d 5% ao mês 


C 

i ? 

Substituindo os dados na fórmula do desconto comercial composto 

obtemos: 

A N ( 1 

d) 

C 

n 

A C 

50000(1 

0,05) 

2 

50000(0,95) 

2 

50000(0,9025) 

45125 

Portanto, o título foi descontado por R$ 45.125,00. 

A taxa efetiva de juros compostos é dada por: 

d 

i 

1 

d 

0,05 0,05 

0,052632 

1 

0,05 0,95 

Portanto, a taxa efetiva de juros compostos dessa operação é igual a 5,2632% ao mês. 

Observação 4.4 A taxa efetiva de juros compostos de 5,2632% ao mês significa que a 

aplicação de um capital de R$ 45.125,00, por 2 meses, geraria um montante de 

aproximadamente R$ 50.000,00. Observe o cálculo a seguir utilizando a fórmula do montante 

composto 

n 

M C ( 1 

i) 

: 

M 45125(1,052632) 

2 

45125(1,108034) 

50000,03 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


57 

Capítulo 5 – Séries Uniformes Periódicas 

5.1 Valor Futuro de Séries Uniformes Periódicas Com Parcelas Antecipadas 

Nesta seção serão descritos os sistemas de formação do valor futuro com parcelas antecipadas 

e com parcelas postecipadas. No sistema de parcelas antecipadas, a primeira parcela é 

depositada no ato do planejamento, já no sistema de parcelas postecipadas, a primeira parcela 

é depositada um período após o planejamento. 

O sistema de capitalização com depósito de n parcelas é também denominado de renda certa 

ou capitalização. 

5.1.1 Valor Futuro de Séries Uniformes Periódicas Com Parcelas Antecipadas 

No sistema de formação de valor futuro com parcelas antecipadas, a primeira parcela é 

aplicada no ato do planejamento, ou seja, na data focal zero. 

Para obter a expressão que determina o montante ou valor futuro de uma série uniforme e 

periódica com parcelas antecipadas, considere: PMT o valor constante das parcelas, n o 

número de parcelas, i a taxa periódica de juros e FV o valor futuro ou soma das n parcelas 

capitalizadas. Observe o fluxo de caixa a seguir: 

FV 

0 1 2 3 · · · 

n 1 

n 

Períodos 

PMT PMT PMT PMT · · · PMT 

A primeira parcela depositada no período zero gera ao final de n períodos um montante igual 

a 

n 

PMT ( 1 

i) 

. A segunda parcela depositada no primeiro período gera ao final de n 1 

n1 

períodos um montante igual a PMT (1 i) 

. Seguindo esse raciocínio, a parcela depositada 

no período n 1 

gera ao final de um período um montante igual a PMT ( 1i) 

. Portanto, a 

soma das n parcelas capitalizadas é dada por: 

FV 

PMT (1 i) 

n 

PMT (1 i) 

n1 

PMT (1 i) 

n2 

 

PMT (1 i) 

Colocando PMT em evidência na expressão anterior, obtemos: 

FV 

PMT [(1 

i) 

n 

(1 i) 

n1 

(1 i) 

n2 

(1 i)] 

(5.1) 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


58 

n2 

n1 

A expressão (1 i ) (1 i) 

(1 i) 

(1 i) 

de dentro dos colchetes da expressão 

(5.1) representa a soma dos n termos de uma progressão geométrica, sendo o primeiro termo 

e a razão dados por 1 i . A fórmula da soma dos n termos de uma progressão geométrica é 

dada por: 

n 

S 

n 

 

n 

a1 

[ 

q 1] 

q 1 

Sendo S n a soma dos n termos da progressão geométrica, a 1 o primeiro termo da progressão 

geométrica, q a razão da progressão geométrica e n o número de termos da progressão 

geométrica. 

Portanto a soma 

n2 

n1 

(1 i ) (1 i) 

(1 i) 

(1 i) 

é dada por: 

n 

S 

n 

n 

n1 

a1 [ 

q 1] 

(1 i) 

[(1 

i) 

1] 

[(1 i) 

(1 

 

 

q 1 

(1 i) 

1 

i 

n 

i)] 

Substituindo a expressão de S n na expressão (5.1), obtemos: 

FV 

[(1 i) 

PMT 

n1 

(1 i)] 

i 

(5.2) 

Exemplo 5.1 Depositando mensalmente 10 parcelas de R$ 1.000,00 em uma aplicação que 

rende 1% ao mês, qual o montante no décimo mês, considerando o primeiro depósito hoje? 

Solução. De acordo com a descrição do problema, o primeiro depósito é efetuado no período 

zero e o último no nono período, totalizando assim 10 depósitos. 

Coletando os dados do problema, temos: 

PMT 1000 

i 1% ao mês, ou seja, i 0, 01 ao mês 

n 10, pois do período zero até o nono período são 10 parcelas 

FV 

? 

Utilizando a fórmula (5.2) temos: 

FV 

11 

[(1,01) 1,01] 

[0,1056683] 

1000 

1000 

1000 (10,56683) 10566,83 

0,01 

0,01 

Portanto, o montante no décimo mês é de R$ 10.566,83. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


59 

5.1.2 Determinação do Valor Futuro Com Parcelas Antecipadas Utilizando a HP 12C 

Para calcular o valor futuro basta utilizar os seguintes procedimentos: 

1) Pressione .g. BEG para configurar o modo de vencimento antecipado. 


3) Informe a taxa periódica utilizando .i. ou 12÷. 

4) Informe o número de depósitos utilizando .n. ou 12x. 

5) Informe o valor das parcelas da aplicação utilizando CHS PMT. 

6) Pressione FV para obter o valor futuro ou montante capitalizado. 

Exemplo 5.2 Depositando mensalmente 10 parcelas de R$ 1.000,00 em uma aplicação que 

rende 1% ao mês, qual o montante no décimo mês, considerando o primeiro depósito? 

Solução. Os procedimentos a seguir calculam o montante das 10 parcelas capitalizadas: 


.g. BEG 0,00 Configura o modo de vencimento antecipado 


1000 CHS PMT 1.000, 00 Armazena o valor das parcelas de R$ 1.000,00 

10 .n. 10,00 Armazena o número parcelas 

1 .i. 1,00 Armazena a taxa de 1% ao mês 

FV 10.566,83 Calcula o montante capitalizado das 10 parcelas 

5.1.3 Valor das Parcelas de Séries Uniformes Periódicas e Antecipadas 

Exemplo 5.3 Determine o valor que deve ser depositado mensalmente, por 12 meses, para 

obter um montante de R$ 10.000,00 em uma aplicação que rende 1% ao mês. Considere que o 

primeiro depósito será efetuado hoje. 

Solução. De acordo com a descrição do problema, o primeiro depósito será efetuado no 

período zero e o último no décimo segundo período, totalizando assim, 12 depósitos. 



Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


60 

PMT ? 

i 1% ao mês, ou seja, i 0, 01 ao mês em valor unitário 

n 12parcelas mensais 

FV 10000 


13 

[(1,01) 1,01] 

10000 PMT 

0,01 

Efetuando os cálculos de dentro dos colchetes da expressão anterior, obtemos: 

[0,12809328] 

10000 PMT 

0,01 

Efetuando os cálculos do quociente da expressão anterior, obtemos: 

Isolando PMT obtemos: 

10000 PMT (12,809328) 

PMT 

 

10000 

12,809328 

780,68 

Portanto, o valor das parcelas é de R$ 780,68. 

5.1.4 Valor das Parcelas de Séries Uniformes Periódicas e Antecipadas na HP 12C 

Para calcular o valor das parcelas basta utilizar os seguintes procedimentos: 

1) Pressione .g. BEG para configurar o modo de vencimento antecipado. 




5) Informe o valor futuro da aplicação utilizando FV. 

6) Pressione PMT para obter o valor futuro ou montante capitalizado. 





Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


61 

Solução. Os procedimentos a seguir calculam o valor das parcelas: 


.g. BEG 0,00 Configura o modo de vencimento antecipado 


10000 FV 10.000,00 Armazena o valor futuro de R$ 10.000,00 



PMT 780, 68 Calcula o valor das parcelas de R$ 780,68 

5.2 Valor Futuro de Séries Uniformes Periódicas Com Parcelas Postecipadas 

Para obter a expressão que determina o montante ou valor futuro de uma série uniforme e 

periódica com parcelas postecipadas, considere: PMT o valor constante das parcelas, n o 

número de parcelas, i a taxa periódica de juros e FV o valor futuro ou soma das parcelas 

capitalizadas. Observe o fluxo de caixa a seguir: 

FV 

0 1 2 3 

· · · 

n 1 

n 

Períodos 

PMT PMT PMT · · · PMT 

PMT 

A primeira parcela é depositada ao final do primeiro período. Essa parcela gera em n 1 

períodos um montante igual a 

períodos um montante igual a 

n1 

PMT (1 i) 

. A segunda parcela gera ao final de n 2 

n2 

PMT (1 

i) 

. 

Seguindo esse raciocínio, a parcela depositada no penúltimo período, gera ao final de um 

período, um montante igual a PMT ( 1i) 

. Já a última parcela é depositada no momento em 

que o montante é obtido, então, o valor que essa parcela gera é igual à própria parcela PMT . 

Portanto, a soma dessas n parcelas capitalizadas é dada por: 

FV 

PMT (1 i) 

n1 

PMT (1 i) 

n2 

PMT (1 i) 

n3 

 

PMT (1 i) 

PMT 

Colocando PMT em evidência na expressão anterior, obtemos: 

FV 

PMT [(1 

i) 

n1 

(1 i) 

n2 

(1 i) 

n3 

(1 i) 

1] 

(5.3) 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


62 

n3 

A expressão 1 

(1 i) 

(1 i) 

(1 i) 

(1 i) 

de dentro dos colchetes da 

equação anterior representa a soma de n termos de uma progressão geométrica, sendo o 

primeiro termo e a razão dadas por 1 e 1 i , respectivamente. Portanto a soma 

n3 

n2 

n1 

n2 

1 

(1 i) 

(1 i) 

(1 i) 

(1 i) 

é dada por: 

n1 

S 

n 

 

n 

n 

n 

1 

a [ 

q 1] 

1[(1 

i) 

1] 

[(1 i) 

 

 

q 1 

(1 i) 

1 

i 

1] 

Substituindo a expressão de S 

n 

na equação (5.3), obtemos: 

FV 

n 

[( 1 

i) 

1] 

PMT 

(5.4) 

i 

Exemplo 5.5 A partir do próximo mês será depositado mensalmente R$ 1.000,00 em uma 

aplicação que rende 1% ao mês. Determine o montante capitalizado no dia do décimo 

depósito. 

Solução. Observe que o primeiro depósito será efetuado no final do primeiro período, ou seja, 

um mês após o planejamento, que é feito no período zero. Já o último depósito será efetuado 

no décimo período, totalizando assim 10 depósitos. Coletando os dados do problema, temos: 

PMT 1000 


n 10 

FV 

? 

Utilizando a fórmula do valor futuro com parcelas postecipadas, temos: 

FV 

10 

[(1,01) 1] 

1000 

1000(10,462213) 

10462,21 

0,01 

Portanto, o montante capitalizado no dia do décimo segundo depósito é igual a R$ 10.462,21. 

5.2.1 Valor Futuro de Séries Uniformes e Postecipadas na HP 12C 

Para calcular o valor futuro basta utilizar os seguintes procedimentos: 

1) Pressione .g. END para configurar o modo de vencimento postecipado. 





Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


63 

5) Informe o valor das parcelas da aplicação utilizando CHS PMT. 

6) Pressione FV para obter o valor futuro, montante ou soma das parcelas capitalizadas. 

Exemplo 5.6 A partir do próximo mês será depositado mensalmente R$ 1.000,00 em uma 

aplicação que rende 1% ao mês. Determine o montante capitalizado no dia do décimo 

depósito. 

Solução. A seguir temos os procedimentos para calcular o montante das 10 parcelas 

capitalizadas: 


.g. END 0,00 Configura o modo de vencimento postecipado 


1000 CHS PMT 1.000, 00 Armazena o valor das parcelas de R$ 1.000,00 



FV 

10.462,21 Calcula o montante capitalizado das 10 parcelas 

5.2.2 Valor das Parcelas de Séries Uniformes Periódicas e Antecipadas 




Solução. De acordo com a descrição do problema, o primeiro depósito será efetuado no 

período zero e o último no décimo segundo período, totalizando assim, 12 depósitos. 


PMT ? 


n 12parcelas mensais 

FV 10000 


13 

[(1,01) 1,01] 

10000 PMT 

0,01 

Efetuando os cálculos de dentro dos colchetes da expressão anterior, obtemos: 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


64 

[0,12809328] 

10000 PMT 

0,01 

Efetuando os cálculos do quociente da expressão anterior, obtemos: 

Isolando PMT obtemos: 

10000 PMT (12,809328) 

PMT 

 

10000 

12,809328 

780,68 

Portanto, o valor das parcelas é de R$ 780,68. 

5.3 Valor Presente de Séries Uniformes e Periódicas 

O financiamento de um determinado bem ou serviço é geralmente pago em parcelas, que 

podem ser fixas ou variáveis. O sistema de financiamento com parcelas fixas é um dos mais 

utilizados pelos órgãos financiadores. Nesta seção trataremos somente de financiamento com 

parcelas fixas. 

5.3.1 Valor Presente de Séries Uniformes Periódicas Com Parcelas Postecipadas 

Seja PV um valor financiado à taxa de juros compostos igual a i , que será quitado em n 

parcelas fixas e postecipadas de valor igual a PMT . Observe o fluxo de caixa a seguir: 

0 

1 2 3 · · · 

· · · 

Observação 5.1 O fluxo de caixa anterior está descrito com a primeira parcela para o final do 

primeiro período. Esse tipo de parcela é denominado parcela postecipada. Na maioria das 

vezes o período utilizado em financiamentos é o mensal. 

A primeira parcela vence no final do primeiro período. Atualizando essa parcela para a data 

PMT 

focal zero, temos um valor presente igual a . A segunda parcela vence no final do 

1 i 

segundo período. Atualizando essa parcela para a data focal zero, temos um valor presente 

PMT 

igual a . A terceira parcela vence no final do terceiro período. 

2 

( 1 

i) 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


65 

PMT 

Atualizando essa parcela para a data focal zero, temos um valor presente igual a . 

3 

( 1 

i) 

Seguindo esse raciocínio, a última parcela atualizada na data focal zero gera um valor 

PMT 

presente igual a . Portanto, o valor presente dessas n parcelas é dado por: 

n 

( 1 

i) 

PV 

PMT PMT 

 

(1 i) 

PMT 

 

(1 i) 

PMT 

 

 

(1 i) 

1 i 2 3 

n 

1 

PMT 

 

(1 i) 

n 

Colocando PMT em evidência no segundo membro da expressão anterior, obtemos: 

PV 

1 1 

PMT 

 

1 

i (1 i) 

2 

1 

 

(1 i) 

3 

1 

 

 

(1 i) 

1 

 

(1 i) 

n1 

n 

 

 

 

Observe que, a expressão dentro dos colchetes representa a soma de n termos de uma 

progressão geométrica. A fórmula da soma dos n termos de uma progressão geométrica é 

dada por: 

S 

n 

a 

 

1 

n 

( 

q 1) 

q 1 

Sendo que numa progressão geométrica, S n representa a soma dos n termos, a 1 o primeiro 

termo, q a razão e n representa o número de termos. 

A soma 

1 

1 

 

1 

 

1 

1 1 

representa a soma dos n termos de 

i 2 3 

n1 

n 

(1 i) 

(1 i) 

(1 i) 

(1 i ) 

uma progressão geométrica, sendo 

a 

1 

1 i 

1 e 

1 

q . Portanto, essa soma é dada por: 

1 i 

S 

n 

a 

 

1 

1 1 

 

 

 

( 1) 1 

 

1 

 

n 

q i 

 

i 

 

q 1 

1 

1 

1 

i 

n 

 

1 

 

Realizando as devidas simplificações na expressão anterior obtemos o seguinte: 

S 

n 

n 

(1 i) 

1 

 

n 

i (1 

i) 

Isto nos dá a seguinte fórmula: 

n 

[(1 i) 

1] 

PV PMT 

(5.7) 

n 

i (1 

i) 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


66 

Exemplo 5.7 Uma mercadoria de valor à vista igual a R$ 2.346,00 pode ser comprada em 12 

prestações mensais e iguais, sendo a primeira em 30 dias, a uma taxa de 4% ao mês. Então, o 

valor das prestações é igual a: 

a) R$ 220,30 

b) R$ 350,25 

c) R$ 249,97 

d) R$ 312,50 

e) R$ 280,50 

Solução: O valor da mercadoria à vista é o valor que será financiado, ou seja, PV 2346 A 

primeira das 12 prestações será paga em 30 dias, ou seja, o pagamento é postecipado. A taxa 

de juros é de 4% ao mês, que representa uma taxa unitária de 0,04 ao mês. Substituindo os 

valores descritos anteriormente na fórmula (5.7), obtemos: 

12 

[(1,04) 1] 

2346 PMT 

(0,04) (1,04) 

Efetuando os cálculos do segundo membro da equação anterior, temos: 

Isolando PMT na expressão anterior, tem-se: 

2346 PMT (9,385074) 

12 

PMT 

 

2346 

9,385074 

249,97 

Portanto, o valor das prestações é igual a R$ 249,97. Então, a alternativa correta é a c. 

5.3.2 Valor Presente de Séries Uniformes Periódicas Com Parcelas Antecipadas 

Seja PV o valor presente de uma série de pagamento, à taxa de juros compostos i , que será 

quitado em n parcelas fixas e antecipadas de valor igual PMT . Observe o fluxo de caixa a 

seguir: 

0 

1 2 3 · · · 

· · · 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


67 

A primeira parcela que vence no período zero vale exatamente PMT . A segunda parcela 

vence no final do segundo período. Atualizando essa parcela para a data focal zero, temos um 

PMT 

valor presente igual a . A terceira parcela vence no final do segundo período. 

1 i 

PMT 

Atualizando essa parcela para a data focal zero, temos um valor presente igual a . 

2 

( 1 

i) 

Seguindo esse raciocínio, a parcela de ordem n , que vence na data focal n 1, gera na data 

PMT 

focal zero um valor presente igual a 

1 . Portanto, o valor presente dessas n parcelas é 

(1 i) 

n 

dado por: 

PMT PMT PMT PMT 

PV PMT 

 

(1 i) 

(1 i) 

(1 i) 

1 i 2 3 

n 1 

Colocando PMT em evidência no segundo membro da expressão anterior, obtemos: 

1 1 1 

1 

PV PMT 1 

 

 

 

1 

i 2 3 

(1 i) 

(1 i) 

(1 i) 

Observe que a expressão dentro dos colchetes representa a soma de n termos de uma 

1 

progressão geométrica, em que o primeiro termo e a razão são, respectivamente, 1 e 

1 i 

1 1 1 

1 

Então, a soma 1 

é dada por: 

1 

i 2 3 

n1 

(1 i) 

(1 i) 

(1 i) 

n1 

 

 

 

S 

n 

a 

 

1 

n 

1 

1 

 

 

1 

( 1) 1 

 

n 

q 

i 

 

 

q 1 

1 

1 

1 

i 

Efetuando as simplificações na expressão anterior, obtemos o seguinte: 

S 

n 

n 

(1 i) 

1 

 

i (1 

i) 

n1 

Portanto, temos a seguinte fórmula: 

n 

[(1 i) 

1] 

PV PMT 

(5.8) 

n1 

i(1 

i) 

Exemplo 5.8 O preço de um produto à vista é R$ 970,00. Esse produto pode ser adquirido em 

4 parcelas mensais e iguais, sendo a primeira no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de 

juros para compra a prazo é de 5% ao mês, pode-se dizer que o valor das prestações é igual a: 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


68 

a) R$ 260,53 

b) R$ 280,45 

c) R$ 235,57 

d) R$ 206,80 

e) R$ 290,75 

Solução: O preço do produto à vista é o valor que será financiado, ou seja, PV 970,00. 

A 

primeira das 4 prestações será paga no ato da compra, ou seja, o pagamento é antecipado. A 

taxa de juros é de 5% ao mês, que representa uma taxa unitária de 0,05 ao mês. Substituindo 

esses dados na fórmula (28), obtemos: 

[(1,05) 1] 

970 PMT 

(0,05) (1,05) 

Efetuando os cálculos do segundo membro da equação anterior e isolando PMT , tem-se: 

4 

3 

PMT 

 

970 

3,723248 

260,53 

Portanto, o valor das prestações é igual a R$ 260,53. Então, a alternativa a é a correta. 

5.3 Séries de Pagamentos Uniformes Com Carências 

Considere uma série com parcelas iguais, sendo a primeira parcela com k períodos de 

carência e as demais parcelas com intervalos de tempo iguais. Observe o fluxo de caixa a 

seguir: 

0 

· · · 

· · · 

Atualizando as n parcelas para a data focal zero, temos: 

PMT PMT PMT PMT 

PV 

 

k k 1 

k 2 

(1 i) 

(1 i) 

(1 i) 

(1 i) 

k n2 

PMT 

 

(1 i) 

k n1 

Colocando PMT em evidência na expressão anterior, temos: 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


69 

1 1 

1 

PV PMT 

 

k k 1 

k 

(1 

i) 

(1 i) 

(1 i) 

1 

 

k 

(1 i) 

n2 

n1 

A soma de dentro dos colchetes da expressão anterior é a soma de n termos de uma 

1 

1 

progressão geométrica com a1 

e a razão q 

k 

, então a soma dos n termos dessa 

(1 i) 

1 i 

progressão geométrica é dada por: 

 

 

 

S 

n 

 

1 

(1 i) 

k 

1 

 

k 

(1 i) 

1 

1 

1 

i 

n1 

1 

 

1 

i 

Efetuando as simplificações na expressão anterior, obtemos: 

S 

n 

n1 

(1 i) 

(1 i) 

 

nk 

i (1 

i) 

Portanto, a expressão de uma série de pagamentos com k períodos de carência é dada por: 

PV 

n1 

[(1 i) 

(1 i)] 

PMT 

nk 

i (1 

i) 

(5.9) 

Exemplo 5.4 Um financiamento de R$ 30.000,00 foi efetuado para ser quitado em 24 parcelas 

mensais, sendo a primeira com um período de carência de 45 dias. Sabendo-se que a taxa de 

juros compostos cobrada foi de 2% ao mês, determine o valor das parcelas. 

Solução: Coletando os dados do problema, temos: 

PV 30000 

n 24 parcelas 

k 45 dias de carência, ou 1,5 mês 

i 2% ao mês 

PMT ? 

Substituindo os dados na fórmula (5.9), temos: 

Efetuando os cálculos do quociente, obtemos: 

25 

[(1,02) 1,02] 

3000 PMT 

25,5 

(0,02) (1,02) 

30000 PMT [18,727477] 

Isolando PMT obtemos um valor igual a R$ 1.601,92. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


70 

Capítulo 6 – Amortização de Financiamentos 


Quando um determinado valor PV é financiado por n períodos, a uma taxa de juros 

composta igual i , esse financiamento deve ser quitado em n parcelas de acordo com o 

sistema de amortização acordado entre o credor e o devedor. Amortização é a parte da parcela 

que é subtraída do valor financiado periodicamente até a quitação do financiamento. O valor 

da parcela em cada período é dado pela soma do valor amortizado da dívida mais o valor dos 

juros desse mesmo período. 

A seguir temos a listagem da notação que utilizaremos: 

PV : Valor financiado 

n : Número de períodos 

i : Taxa periódica de juros 

PMT : Valor das parcelas 

Amort : Valor amortizado do financiamento em cada período 

J : Valor dos juros 

6.2 Sistema de Amortização Constante (SAC) 

No sistema de amortização constante (SAC) as amortizações do valor financiado são iguais, 

ou seja, constantes. 

6.2.1 Valor Constante das Amortizações 

Para obtermos o valor constante que deverá ser amortizado em cada período basta dividirmos 

o valor financiado PV pelo número de parcelas n . 

6.2.2 Saldo Devedor 

PV 

Amort 

n 

O saldo devedor do período t é dado pelo valor financiado PV menos t vezes o valor 

constante da amortização. 

SD t 

PV 

 

t Amort 

6.2.3 Juros 

O valor dos do período t é dado pelo saldo devedor do período t 1 

vezes a taxa periódica de 

juros. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


71 

J 

t 

SD i 

t 

6.2.4 Valor das Parcelas 

O valor da parcela do período t é dado pela soma do valor constante da amortização com o 

valor dos juros. 

PMT t 

Amort 

 

J 3 

Exemplo 6.1 O valor de R$ 10.000,00 foi financiado à taxa de juros compostos de 1% ao 

mês, em 5 meses. Construa uma tabela que descreva a amortização da divida pelo sistema 

SAC. 

Solução. Coletando os dados do problema obtemos: 

PV 

10000 

n 5 meses 

i 10% ao mês 

O valor das amortizações é dado por: 

Amort 

PV 

n 

10000 

5 

Então, a tabela no sistema de amortização constante é dada por: 

2000 

Meses 

Saldo Devedor 

Amortização Parcelas 

Juros (R$) 

(R$) 

(R$) 

(R$) 

0 10.000,00 − − − 

1 8.000,00 100,00 2.000,00 2.100,00 

2 6.000,00 80,00 2.000,00 2.080,00 

3 4.000,00 60,00 2.000,00 2.060,00 

4 2.000,00 40,00 2.000,00 2.040,00 

5 0,00 20,00 2.000,00 2.020,00 

Total − 300,00 10.000,00 10.300,00 

Exemplo 6.2 (CESGRANRIO – CAIXA – Técnico Bancário 2008) Um empréstimo de R$ 

200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o 

empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O 

valor, em reais, da terceira prestação será: 

a) 50,00 

b) 55,00 

c) 60,00 

d) 65,00 

e) 70,00 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


72 

Solução. O valor da terceira prestação pedido no problema é dado por: 

PMT 

Amort 

 

3 

J 3 

Como o valor financiado é igual R$ 200,00, ou seja, PV 200, e o número de parcelas é 

igual a 4, então o valor constante das amortizações é dado por: 

Amort 

PV 

n 

200 

4 

Para calcularmos o valor dos juros do terceiro período precisamos do saldo devedor do 

segundo período, que é dado por: 

50 

SD PV 2 

Amort 200 2(50) 

100 

2 

Logo, o valor dos juros do terceiro período é dado por: 

J SD i 

100(0,10) 

10 

3 2 

Sendo assim, o valor da terceira prestação é dado por: 

PMT Amort J 50 10 

60 

3 3 

Portanto, o valor da terceira prestação é igual a R$ 60,00. Alternativa c. 

6.3 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) 

No sistema francês de amortização as parcelas são iguais. Como uma parte do valor das 

parcelas é composta pelos juros e a outra pelo valor amortizado, o valor dos juros decrescente 

período a período, pois o saldo devedor decresce à medida que as parcelas são liquidadas. 

Então, o valor amortizado no sistema Price é crescente. 

Para um valor financiado PV em n parcelas, à taxa de juros compostos i , o valor das 

parcelas postecipadas PMT é dado por: 

PMT 

n 

i (1 i) 

PV 

n 

(1 i) 

1 

Exemplo 6.3 O valor de R$ 10.000,00 foi financiado à taxa de juros compostos de 1% ao 

mês, em 5 meses. Construa uma tabela que descreva a amortização da dívida pelo sistema 

Price. 

Solução. Coletando os dados do problema obtemos: 

PV 

10000 

n 5 meses 

i 1% ao mês 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


73 

O valor constante das parcelas é dado por: 

PMT 

(0,01) (1,01) 

10000 

5 

(1,01) 1 

5 

0,010510 

10000 10000 (0,206040) 2060,40 

0,051010 

O valor constante das parcelas é igual a R$ 2.060,40. 

Então, a tabela no sistema Price é dada por: 

Meses 

Saldo Devedor 

Amortização Parcelas 

Juros (R$) 

(R$) 

(R$) 

(R$) 

0 10.000,00 − − − 

1 8.039,00 100,00 1.960,40 2.060,40 

2 6.059,60 80,40 1.980,00 2.060,40 

3 4.059,80 60,60 1.999,80 2.060,40 

4 2.040,00 40,60 2.019,80 2.060,40 

5 0,00 20,40 2.040,00 2.060,40 

Total − 302,00 10.000,00 10.302,00 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


74 

UNIDADE II 

Capítulo 1 – Análise de Investimentos 

7.1 Período de Recuperação do Investimento (Payback) 

Payback é período necessário para que o investimento inicial seja recuperado, ou seja, é o 

espaço de tempo entre o inicio do projeto e o momento em que o fluxo de caixa acumulado 

torna-se positivo. 

Exemplo 7.1 No quadro a seguir temos a descrição dos dados de um projeto de investimento, 

considerando uma taxa de 10% ao ano. 

Ano 

Fluxo (R$) 

0 − 180.000 

1 25.400 

2 57.900 

3 129.400 

4 96.900 

5 126.400 

Determine o payback. 

Solução. No quadro a seguir temos o fluxo de caixa normal e o fluxo de caixa acumulado. 

Ano 

Fluxo (R$) 

Fluxo Acumulado 

(R$) 

0 − 180.000 − 180.000 

1 25.400 − 154.600 

2 57.900 − 96.700 

3 129.400 32.700 

4 96.900 129.600 

5 126.400 256.000 

Observe que o payback está entre 2 e 3 anos. Suponha que as entradas ocorram de maneira 

uniforme durante o ano. Então, o período fracionário entre 2 e 3 anos é dado por: 

Período 

Frac 

 

| Último Fluxo Acumulado Negativo | 12 

meses 

Fluxo Normal do Próximo Período 

Logo: 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


75 

| 96700 | 12 

Período Frac 

8, 97 

129400 

meses 

Portanto, o payback é de 2 anos e 9 meses aproximadamente. 

7.2 Índice de Rentabilidade 

O índice de rentabilidade é dado pelo quociente entre o valor atual das entradas e o valor atual 

das saídas. 

Índice de Rentabilidade 

Valor Atual das Entradas 

Valor Atual das Saídas 

Exemplo 7.2 No quadro a seguir temos a descrição dos dados de um projeto de investimento, 

considerando uma taxa de 20% ao ano. 

Determine o índice de rentabilidade. 

Ano 

Fluxo (R$) 

0 − 40.000 

1 20.000 

2 30.000 

3 20.000 

4 25.000 

Solução. O valor atual das entradas é dado por: 

VAE 

20000 30000 20000 25000 

61130,40 

1,2 2 3 4 

(1,2) (1,2) (1,2) 

O valor atual das saídas é igual a VAS 40000 

. Portanto, o índice de rentabilidade é dado 

por: 

Índice 

de 

Rentabilidade 

 

61130,40 

1,528260 

40000 

7.3 Índice de Liquidez 

Índice de liquidez é a capacidade de uma empresa saldar suas obrigações de curto prazo à 

medida que as mesmas vencem. 

7.3.1 Índice de Liquidez Corrente 

O índice de liquidez corrente é calculado dividindo-se o ativo circulante da empresa pelo seu 

passivo circulante: 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


76 

Índice de Liquidez Corrente 

Ativo Circulante 

Passivo Circulante 

Exemplo 7.3 O ativo circulante da empresa KW Confecções é de R$ 560.000,00 e seu 

passivo circulante é de R$ 320.000,00. Determine o seu índice de liquidez corrente. 

Solução. O índice de liquidez corrente da KW Confecções é dado por: 

Índice 

de 

Liquidez 

Corrente 

 

560000 1,75 

320000 

Ou seja, a empresa paga suas dívidas e ainda teria uma margem para pagar 75% do mesmo 

valor. 

7.3.2 Índice de Liquidez Pessoal 

O índice de liquidez pessoal é calculado dividindo-se o ativo líquido total pelo passivo 

circulante total. Isso indica a porcentagem das obrigações de dívidas que alguém pode honrar 

com seus ativos líquidos correntes. 

Índice de Liquidez Pessoal 

Ativo 

Passivo 

Líquido Total 

Circulante Total 

Exemplo 7.4 O ativo líquido total mensal de Francisco é de R$ 8.115,00 e seu passivo 

(dívida) circulante total é de R$ 5.410,00. Determine o seu índice de liquidez. 

Solução. O índice de liquidez de Francisco é dado por: 

Índice 

de 

Liquidez 

Pessoal 

 

8115 1,50 

5410 

Ou seja, Francisco consegue quitar suas dívidas e ainda teria uma margem para pagar 50% do 

mesmo valor. 

7.3.4 Índice de Liquidez Seca 

O índice de liquidez seca é calculado dividindo-se o ativo circulante da empresa, menos os 

estoques, pelo seu passivo circulante: 

Índice 

de 

Liquidez 

Seca 

 

Ativo Circulante Estoques 

Passivo Circulante 

Exemplo 7.5 O ativo circulante da empresa KW Confecções é de R$ 560.000,00, o valor do 

estoque é de R$ 200.000,00 e seu passivo circulante é de R$ 320.000,00. Determine o seu 

índice de liquidez seca. 

Solução. O índice de liquidez seca da KW Confecções é dado por: 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


77 

Índice 

de 

Liquidez 

Corrente 

 

560000 200000 360000 

1,125 

320000 320000 

Ou seja, a empresa paga suas dívidas e ainda teria uma margem para pagar 12,5% do mesmo 

valor, sem contar com o estoque. 

7.4 Prazo Médio 

7.4.1 Prazo Médio de Recebimento 

O prazo médio de recebimento é o tempo médio que a empresa leva para receber as contas de 

clientes. O conhecimento do prazo médio de recebimento é útil para avaliar as políticas de 

crédito e cobrança. 

Prazo 

Médio de Recebimento 

Contas a Receber de Clientes 

Valor Médio Diário das Vendas 

Exemplo 7.6 O valor das contas a receber de clientes no fim de 2010 de uma empresa foi de 

R$ 125.000,00 e o valor das vendas no ano de 2010 foi de R$ 1.250.000,00. 

Determine o prazo médio de recebimento das contas dessa empresa. 

Solução. O prazo médio de recebimento das contas dessa empresa é dado por: 

Prazo 

Médio de Recebimento 

125000 

1250000 

36, 5 

365 

dias 

7.4.2 Prazo Médio de Pagamento 

O prazo médio de pagamento é o tempo médio que a empresa tem para pagar os fornecedores. 

O conhecimento do prazo médio de pagamento também é útil para avaliar as políticas de 

crédito e cobrança, assim como, o prazo médio de recebimento. 

Prazo 

Médio de Pagamento 

Dívidas 

Valor Médio 

a Fornecedores 

Diário das Compras 

Exemplo 7.7 O valor das dívidas a fornecedores no fim de 2010 de uma empresa foi de R$ 

40.000,00 e o valor das compras no ano de 2010 foi de R$ 250.000,00. 

Determine o prazo médio de pagamento das contas dessa empresa. 

Solução. O prazo médio de pagamento das contas dessa empresa é dado por: 

Prazo 

Médio de Pagamento 

40000 

250000 

58, 4 

365 

dias 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


78 

7.5 Índice de Endividamento Geral 

O índice de endividamento geral mede a proporção do ativo total financiado pelos credores da 

empresa. Quanto mais elevado, maior o montante de capital de terceiros usado para gerar 

lucros. 

Índice de Endividamento Geral 

Passivo 

Ativo 

Total 

Total 

Exemplo 7.8 O passivo total de uma empresa no fim de 2010 era de R$ 150.000,00 e o ativo 

total dessa empresa no fim de 2010 era de R$ 225.000,00. 

Determine o índice de endividamento geral dessa empresa. 

Solução. O índice de endividamento geral dessa empresa é dado por: 

Índice 

de 

Endividamento 

Geral 

 

150000 

225000 

0,67 

7.6 Margem de Lucro 

7.6.1 Margem de Lucro Bruto 

A margem de lucro bruto mede a porcentagem de cada unidade monetária de vendas que 

permanece na empresa após a empresa deduzir os custos dos bens vendidos. 

Margem 

de Lucro Bruto 

Lucro Bruto 

Receitas 

Sendo que o Lucro Bruto é dado pela Receita menos o Custo das Mercadorias Vendidas. 

Exemplo 7.9 A receita de uma empresa referente à venda das unidades de um determinado 

produto foi de R$ 220.000,00 e o custo dessas unidades vendidas foi de R$ 60.000,00. 

Determine a margem de lucro bruto dessa empresa. 

Solução. A margem de lucro bruto dessa empresa é dada por: 

M argem 

de 

Lucro 

Bruto 

 

220000 60000 

0,727 72,7% 

220000 

7.6.2 Margem de Lucro Operacional 

A margem de lucro operacional mede a porcentagem de cada unidade monetária de vendas 

que permanece na empresa após a empresa deduzir todos os custos e despesas, exceto juros, 

imposto de renda e dividendos. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


79 

Margem 

de Lucro Operacional 

Lucro Operacional 

Receitas 

Sendo que o Lucro Operacional é dado pela Receita menos todos os Custos e Despesas, 

exceto juros, imposto de renda e dividendos. 


produto foi de R$ 220.000,00 e o custo dessas unidades vendidas foi de R$ 60.000,00. As 

despesas com marketing e vendas foram de R$ 20.000,00 e as despesas com aluguel, telefone, 

energia elétrica, limpeza e insumos para escritório foram de R$ 10.000,00. 

Determine a margem de lucro operacional dessa empresa. 

Solução. A margem de lucro operacional dessa empresa é dada por: 

M argem 

de 

Lucro 

Operacional 

 

220000 60000 20000 10000 

0,591 59,1% 

220000 

7.6.2 Margem de Lucro Líquido 

A margem de lucro Líquido mede a porcentagem de cada unidade monetária de vendas que 

permanece na empresa após a empresa deduzir todos os custos e despesas, inclusive juros, 

imposto de renda e dividendos. 

Margem 

de Lucro Líquido 

Lucro Líquido 

Receitas 

Sendo que o Lucro Líquido é dado pela Receita menos todos os Custos e Despesas, inclusive 

juros, imposto de renda e dividendos. 


produto foi de R$ 220.000,00 e o custo dessas unidades vendidas foi de R$ 60.000,00. As 

despesas com marketing e vendas foram de R$ 20.000,00 e as despesas com aluguel, telefone, 

energia elétrica, limpeza e insumos para escritório foram de R$ 10.000,00. Os impostos 

dessas unidades vendidas foram de R$ 30.000 e os dividendos foram de R$ 25.000,00. 

Determine a margem de lucro líquido dessa empresa. 

Solução. A margem de lucro líquido dessa empresa é dada por: 

M argem 

de 

Lucro 

Líquido 

 

220000 145000 

0341 34,1% 

220000 

7.7 Análise da Viabilidade de Investimentos 

A análise da viabilidade de um investimento pode ser feita pelo método do valor presente 

líquido (VPL) ou pela taxa interna de retorno (TIR). 

7.7.1 Método do Valor Presente Líquido 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


80 

O método do valor presente líquido consiste em avaliar na data de hoje os retornos futuros. 

0 

FC1 

FC2 

FC3 

FCn 

1 

. . . 

1 2 3 . . . n 1 

FCn 

n 

Períodos 

FC 0 

A expressão do VPL é dada por: 

VPL FC 

Na notação sigma temos: 

0 

FC 

 

FC 

FC 

FC 

1 2 3 

n1 

1 

 

i 2 3 

n 

1 

(1 i) 

VPL FC 

(1 i) 

0 

 

n 

 

k 1 

FC 

k 

k 

(1 i) 

(1 i) 

FC 

 

(1 i) 

Se o VPL for positivo, o investimento é viável, se for negativo, o investimento é inviável, 

agora se for igual a zero, tanto faz investir ou não. 

Exemplo 7.12 A KW Confecção quer comprar uma máquina de bordado de última geração 

que custa R$ 100.000,00. Essa máquina deve gerar, ao longo de cinco anos, receitas líquidas 

de R$ 30.000,00; R$ 25.000,00; R$ 35.000,00; R$ 32.000,00 e R$ 40.000,00. A KW 

Confecção estima que ao final do quinto ano a máquina seja vendida por R$ 20.0000,00. 

Sabendo-se que o retorno esperado desse investimento é de 20% ao ano. 

Determine se esse investimento é viável ou não. 

Solução. A seguir temos o diagrama de fluxo de caixa que descreve o investimento: 

30.000 25.000 35.000 32.000 40.000 + 20.000 

n 

n 

0 

100.000 

1 2 3 

4 5 

Anos 

i 20% 

a. 

a. 

Efetuando os cálculos obtemos: 

30000 25000 35000 32000 60000 

VPL 100000 

1,2 2 3 4 5 

(1,2) (1,2) (1,2) (1,2) 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


81 

VPL 100000 25000 17361,11 

20254,63 15432,10 

24112,65 2160,49 

Como o VPL é positivo, o investimento é viável. 

Na HP 12C o valor presente líquido – VPL – é obtido através da tecla NPV que significa Net 

Present Value. 

Utilizando a HP 12C: A seguir temos os procedimentos para calcular o valor presente 

líquido do investimento: 


.g. REG 0,00 Configura o modo do VPL 


100000 CHS .g. CF 0 – 100.000,00 Armazena o valor investido de R$ 100.000,00 

30000 .g. CF j 30.000,00 Armazena o retorno do primeiro ano 

25000 .g. CF j 25.000,00 Armazena o retorno do segundo ano 

35000 .g. CF j 35.000,00 Armazena o retorno do terceiro ano 

32000 .g. CF j 32.000,00 Armazena o retorno do quarto ano 

60000 .g. CF j 60.000,00 Armazena o retorno do quinto ano 

20 .i. 20,00 Armazena a taxa de 20% ao ano 

.f. NPV 2.160,49 Calcula o valor presente líquido 

7.7.2 Método da Taxa Interna de Retorno 

A taxa interna de retorno (TIR) de um investimento é a taxa de juros que faz com que o VPL 

se anule, ou seja, é a taxa que faz com que o valor investido retorne ao caixa do investidor. 

Portanto, a TIR é a taxa que satisfaz a equação a seguir: 

FC1 

FC2 

FC3 

FCn 

VPL FC 

 

 

i 2 3 

(1 i) 

(1 i) 

(1 i) 

Na notação sigma temos: 

FCn 

 

(1 i) 

1 

0 1 1 

n 

n 

VPL FC 

n 

FC 

0 k 

k 

 

k 

1(1 i) 

Não temos uma fórmula para calcular a TIR. Para obtermos uma aproximação do valor da 

TIR precisamos calcular VPLs até obtermos um VPL positivo e um VPL negativo. 

0 

0 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


82 

Obtidos os VPLs positivo e negativo, utilizamos o método da interpolação linear para 

obtermos uma aproximação da TIR. 

Sendo: 

VPL : o valor do VPL negativo. 

VPL : o valor do VPL positivo. 

VPL 

i 

TIR 

VPL 

i : o valor da taxa que gerou o VPL negativo. 

i : o valor da taxa que gerou o VPL positivo. 

 

 

VPL 

VPL 

Exemplo 7.13 Uma indústria pretende adquirir equipamentos no valor de R$ 50.000,00, que 

deverão proporcionar receitas líquidas a partir de 2011 conforme quadro a seguir: 

 

 

i 

 

Ano Receitas Líquidas em Reais 

2011 15.000 

2012 18.000 

2013 19.000 

2014 20.000 

2015 22.000 

Sabendo-se que o valor de revenda dos equipamentos no ano 2015 é estimado em R$ 

10.000,00 e que o retorno esperado é igual a 20% ao ano, determine a TIR e analise se o 

investimento planejado é rentável. 

Solução. Vamos calcular um VPL negativo e um VPL positivo: 


15000 18000 19000 20000 32000 

VPL 50000 

1,2 2 3 4 5 

(1,2) (1,2) (1,2) (1,2) 

VPL 50000 12500 

12500 

10995,37 

9645,06 12860,08 

8500,51 

O valor do VPL é positivo. Agora vamos encontrar um VPL negativo. Considere uma taxa de 

25% ao ano. 

15000 18000 19000 20000 32000 

VPL 50000 

1,3 2 3 4 5 

(1,3) (1,3) (1,3) (1,3) 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


83 


VPL 50000 11538,46 

10650,89 

8648,16 7002,56 8618,53 3541,40 

O valor do VPL é negativo. Então: 

VPL 

VPL 

i 

i 

20% 

30% 

8500,51 

3541,40 

Portanto, o valor aproximado da TIR é dado por: 

3541,40 (20) 8500,51 

(30) 325843,30 

TIR 

 

27,06% 

3541,40 8500,51 12041,91 

Como 27,06% é maior do que 20%, o investimento é rentável. 

Se VPL = 0, temos um investimento sem lucro. Neste caso, a taxa de juros é denominada taxa 

interna de retorno – TIR. Na HP 12C, a taxa interna de retorno – TIR – é obtida utilizando a 

tecla IRR. 

Utilizando a HP 12C: A seguir temos os procedimentos para calcular a TIR do investimento: 



50000 CHS .g. CF 0 – 50.000,00 Armazena o valor investido de R$ 50.000,00 

15000 .g. CF j 15.000,00 Armazena o retorno de 2011 





20 .i. 20,00 Armazena a taxa de 20% ao ano 

.f. IRR 26,66 Calcula a TIR de 26,66% ao ano 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


84 

UNIDADE III - Exercícios 

Trabalho Final - Biblioteca Virtual 

Exercício 

Senhores(as) Aluno(as), você deve baixar o arquivo de exercício “biblioteca virtual” da sua 

disciplina, realize a leitura da apostila e elabore as respostas, acesse a plataforma no fórum 

temático e compartilhar das ideias sobre o tema abordado. 

Depois de realizada a confecção do exercício, o aluno deverá postar no bloco de entrega de 

tarefas, no campo ambiente virtual de aprendizagem – AVA “Moodle”. 

Será entregue no prazo previsto para cada disciplina, as datas encontram-se editadas no 

calendário do AVA. 

Ementa da Disciplina 

Matemática Financeira e Investimentos 

Ementa: Regime de capitalização simples e composto, valor do dinheiro no tempo, valor 

presente e futuro, taxa de desconto, equivalência de taxas de juros, períodos de capitalização, 

taxas anuais, mensais e diárias, equivalência de fluxos de caixa, sistemas de amortização, 

tabela price, SAC, SAF, SAA, SAM, custo de capital, métodos VPL e TIR. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte 


85 

BIBLIOGRAFIA 

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2001. 

GUERRA, Fernando. Matemática financeira por meio da HP-12C. 3. ed. Florianópolis: 

UFSC, 2006. 

KUHNER, Osmar Leonardo; BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira aplicada e 

análise de investimentos. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2001. 

MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 4. ed. 2. tir. 

São Paulo: Atlas, 2004. 

SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicações e Análise de 

Investimentos. 4 ed. São Paulo: Pearson, 2003. 

SHINODA, Carlos. Matemática Financeira para usuários do Excel. São Paulo: Atlas, 

1998. 

SPINELLI, Walter e; SOUZA, Maria Helena Soares de. Matemática Comercial e 

Financeira. São Paulo: Ática, 1998. 

VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7 ed. São Paulo: Atlas, 2000. 


Fones: +55 (61) 3046-2500 / 3042-2929 / 4141-4745 Suporte

Aula_03_-_Apostila

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