Probabilitati - Analiza matematica. MPT
Probabilitati - Analiza matematica. MPT
Probabilitati - Analiza matematica. MPT
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5. PROBABILITĂŢI<br />
Teoria probabilităţilor este un domeniu important al matematicii, apărut din<br />
activităţi şi necesităţi practice ale oamenilor sau din observaţii directe asupra naturii.<br />
În viaţa de zi cu zi se întâlnesc cu regularitate experimente ale căror rezultate aparţin<br />
unei mulţimi. Cu alte cuvinte este vorba de experimente, care atunci când sunt<br />
realizate pot avea rezultate diferite, în funcţie de anumite circumstanţe întâmplătoare,<br />
care nu pot fi cunoscute înaintea realizării lor. Aceste experimente sunt cunoscute sub<br />
numele de experimente întâmplătoare (aleatoare).<br />
Teoria probabilităţilor are ca scop dezvoltarea formalismului matematic<br />
(concepte, noţiuni etc.) adaptat studiului acestei categorii de experimente.<br />
Originile teoriei probabilităţilor sunt legate de observaţiile pe marginea<br />
rezultatelor jocurilor de noroc. Complicarea jocurilor de noroc a dus la apariţia a tot<br />
mai multe şi mai dificile probleme de evaluare a şanselor. Acum mai bine de 300 de<br />
ani când aceste probleme au ajuns în atenţia unor învăţaţi ai vremii (Pascal, Fermat,<br />
Huygens, Bernoulli etc.) a fost făcut primul pas în dezvoltarea teoriei probabilităţilor.<br />
Primul pas fiind făcut, această teorie s-a dezvoltat, atât teoretic cât şi din<br />
punctul de vedere al aplicaţiilor. În ciuda obârşiei sale, teoria probabilităţilor a pătruns<br />
rapid în cele mai variate domenii ale activităţii de cunoaştere umană.<br />
Astăzi teoria probabilităţilor este o disciplină complexă, aşezată pe baze<br />
riguroase, axiomatice, având un contact nemijlocit cu aproape toate celelalte domenii<br />
ale matematicii şi domenii de aplicabilitate în continuă extindere.<br />
5.1. Evenimente<br />
O noţiune fundamentală a teoriei probabilităţilor este aceea de eveniment. Prin<br />
eveniment înţelegem producerea sau neproducerea unui rezultat într-un experiment<br />
aleator. Printr-un experiment aleator se înţelege realizarea unui complex de condiţii<br />
astfel ca un fenomen să poată sau nu avea loc. Totalitatea rezultatelor într-un<br />
experiment aleator constituie spaţiul evenimentelor elementare. Vom nota cu Ω acest<br />
spaţiu şi-l vom ilustra prin câteva exemple. Dacă o monedă este aruncată o singură<br />
dată, atunci notând cu s şi v apariţia stemei şi respectiv a valorii, spaţiul evenimentelor<br />
elementare este Ω = {s, v}. Dacă moneda este aruncată de două ori, spaţiul
88<br />
Probabilităţi - 5<br />
evenimentelor elementare corespunzătoare este Ω = {ss, sv, vs, vv}. În cazul aruncării<br />
unui zar o singură dată avem Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, iar în cazul aruncării unui zar de<br />
două ori Ω = {(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 6}, deci în acest caz Ω se identifică cu 36 de perechi de<br />
numere naturale cuprinse între 1 şi 6.<br />
Dacă în exemplele de mai sus spaţiul evenimentelor elementare asociat<br />
experimentelor aleatoare corespunzătoare a fost finit, trebuie să precizăm că această<br />
caracteristică nu este generală. Putem să ne imaginăm ca un experiment aleator<br />
simplu, alegerea întâmplătoare a unui element dintr-o mulţime A. În acest caz spaţiul<br />
tuturor evenimentelor elementare Ω se identifică cu mulţimea A (Ω = A). Dacă A = N<br />
sau A = R vom avea corespunzător Ω = N, Ω = R.<br />
Dacă revenim acum asupra conceptului de eveniment, asociat unui experiment<br />
aleator, acesta corespunde unui enunţ privind experimentul şi se identifică cu o<br />
submulţime a spaţiului Ω al evenimentelor elementare. Să considerăm mişcarea la<br />
întâmplare a unei particule în plan, în care ne interesează traiectoria sa într-un interval<br />
de timp [0, T]. Un eveniment elementar este în acest caz o traiectorie, adică o funcţie<br />
definită pe [0, T] şi cu valori în plan. Dacă presupunem traiectoriile particulei<br />
continue, acestea se identifică cu funcţiile continue definite pe [0, T] cu valori în plan.<br />
Să presupunem că interesează evenimentul A: “particula nu întâlneşte axele de<br />
coordonate”. În acest experiment aleator, evenimentul A se identifică cu mulţimea<br />
funcţiilor continue, din [0, T] în plan, ce păstrează pe coordonate semn constant.<br />
În continuare evenimentele legate de un experiment aleator le vom nota cu<br />
litere mari A, B, C,… Orice eveniment elementar care intră în componenţa unui<br />
eveniment A se numeşte favorabil lui A. Vom spune că evenimentul A are loc într-o<br />
realizare a unui experiment aleator dacă şi numai dacă rezultatul acestuia, care este un<br />
eveniment elementar, este favorabil lui A. Întregul spaţiu Ω al evenimentelor<br />
elementare se identifică cu evenimentul sigur, iar mulţimea vidă ∅ cu evenimentul<br />
imposibil. Această identificare se bazează pe faptul că evenimentul sigur are loc în<br />
orice realizare a experimentului, iar evenimentul imposibil nu are loc în nici o<br />
realizare a experimentului.<br />
Vom spune că evenimentul A implică evenimentul B, dacă A ⊂ B, adică, dacă<br />
A este o submulţime a lui B. Două evenimente A şi B vor fi numite echivalente, dacă<br />
fiecare îl implică pe celălalt.<br />
Fie E un experiment aleator, Ω spaţiul tuturor evenimentelor elementare<br />
asociat lui E şi A, B două evenimente oarecare asociate lui E. Se defineşte reuniunea<br />
evenimentelor A şi B, notată A ∪ B ca fiind evenimentul constând din acele<br />
evenimente elementare aparţinând fie lui A, fie lui B, fie amândurora. Prin intersecţia<br />
lui A cu B, notată A ∩ B, se înţelege evenimentul constând din evenimentele<br />
elementare care aparţin şi lui A, şi lui B.<br />
C<br />
Prin complementarul (opusul) evenimentului A notat cu A ( A)<br />
se<br />
înţelege mulţimea acelor evenimente elementare care nu aparţin lui A.
5.1. Evenimente 89<br />
Să revenim asupra experimentului aleator al aruncării, o singură dată a unui<br />
zar, atunci Ω constă din întregii i : 1 ≤ i ≤ 6. Evenimente neelementare (compuse)<br />
legate de acest experiment pot fi considerate: A = {i : este un număr par} B = {i ≥ 4}.<br />
Deci A = {2, 4, 6} şi B = {4, 5, 6}, adică evenimentul A a avut loc dacă în urma<br />
aruncării zarului a apărut una din feţele 2, 4, 6, iar evenimentul B a avut loc dacă în<br />
urma aruncării zarului a apărut una din feţele 4, 5, 6.<br />
Prin operaţiile de reuniune, intersecţie şi luarea de complementară, pornind de<br />
la evenimentele A şi B obţinem:<br />
A ∪ B = {i este par sau i ≥ 4} = {2, 4, 5, 6};<br />
A ∩ B = {i este par şi i ≥ 4} = {4, 6};<br />
A C = {i este impar} = {1, 3, 5};<br />
B C = {i < 4} = {1, 2, 3}.<br />
Despre două evenimente A şi B spunem că sunt incompatibile sau disjucte<br />
dacă ele nu au nici un eveniment elementar comun, adică este imposibil ca atât A cât<br />
şi B să aibă loc simultan, în aceeaşi realizare a experimentului, altfel spus A şi B sunt<br />
incompatibile dacă A ∩ B = ∅.<br />
Fără nici o dificultate operaţiile de reuniune şi intersecţie pot fi extinse la o<br />
mulţime finită A1, A2,..., An sau la un şir ( Ai ) i≥1<br />
aceluiaşi experiment aleator E.<br />
Reuniunea unui şir ( )<br />
Ai i≥1 de evenimente, notată U<br />
i≥1<br />
de evenimente asociate<br />
A<br />
i<br />
, constă din acele<br />
evenimente elementare care aparţin cel puţin unuia din evenimentele A i , i ≥ 1.<br />
De asemenea, intersecţia unui şir de evenimente ( )<br />
Ai i≥1 , notată I<br />
i≥1<br />
constă din acele evenimente elementare care aparţin tuturor evenimentelor A i , i ≥ 1.<br />
Despre un şir de evenimente ( )<br />
A i i≥1<br />
totalitatea lor dacă Ai ∩ Aj<br />
= ∅ pentru orice i ≠ j, 1 ≤ i, j.<br />
A<br />
spunem că sunt incompatibile în<br />
Un sistem de evenimente finit sau numărabil se numeşte sistem complet de<br />
evenimente, dacă aceste evenimente sunt incompatibile în ansamblul lor şi reuniunea<br />
lor este evenimentul sigur Ω.<br />
Din modul cum au fost definite operaţiile de mai sus, decurg următoarele<br />
proprietăţi importante pe care le posedă operaţiile cu evenimente, asociate unui<br />
experiment aleator:<br />
i<br />
,
90<br />
Probabilităţi - 5<br />
(5.1.1)<br />
A∪ A = A,<br />
A∩ A = A,<br />
A∩ Ω = A,<br />
A ∪ Ω = Ω, C<br />
A∪ A = Ω,<br />
C<br />
A∩ A = ∅,<br />
(5.1.2) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A;<br />
A∪∅ = A,<br />
A ∩∅=∅;<br />
(5.1.3) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;<br />
⎛<br />
(5.1.4) A ∩ ⎜U<br />
Bi<br />
⎟ = U(<br />
A ∩ Bi<br />
) , A ⎜I<br />
Bi<br />
⎟ = I(<br />
A ∪ Bi<br />
)<br />
⎝<br />
i≥1<br />
⎞<br />
⎠<br />
C<br />
i≥1<br />
⎛ ⎞<br />
∪ ;<br />
⎝ i≥1<br />
⎠ i≥1<br />
(5.1.5)<br />
⎛ ⎞<br />
⎜U<br />
Ai<br />
⎟<br />
⎝ i≥1<br />
⎠<br />
C ⎛ ⎞<br />
= IA<br />
i , ⎜I<br />
Ai<br />
⎟<br />
i≥1<br />
⎝ i≥1<br />
⎠<br />
C<br />
= UA<br />
i .<br />
i≥1<br />
Relaţiile (5.1.5) sunt cunoscute sub numele de relaţiile lui De Morgan.<br />
Din cele considerate până acum rezultă că a defini mulţimea evenimentelor<br />
elementare asociate unui experiment aleator înseamnă a reţine mulţimea cazurilor<br />
posibile. În cazul în care spaţiul (mulţimea) evenimentelor elementare Ω este finit sau<br />
numărabil se pot considera drept evenimente asociate lui Ω(E) toate submulţimile lui<br />
Ω. Totalitatea lor se notează de obicei cu P(Ω). Se observă că, dacă considerăm spaţiul<br />
tuturor evenimentelor asociate lui Ω(E) ca fiind P(Ω), acest spaţiu este închis relativ la<br />
operaţiile cu evenimente definite mai sus, adică ( Ai ) i≥<br />
1 ⊂ P(<br />
Ω)<br />
implică<br />
Ai<br />
P(Ω)<br />
∈ U şi A ∈ P(<br />
Ω)<br />
implică A C (care se mai notează şi CA) aparţine lui<br />
i≥1<br />
P(Ω).<br />
În cazul când Ω este o mulţime infinită nenumărabilă nu este posibil să se ia<br />
ca evenimente asociate lui Ω toate submulţimile sale. În astfel de situaţii suntem<br />
conduşi la a considera, ca mulţime a evenimentelor asociate lui E, o familie de părţi<br />
ale lui Ω mai mică decât P(Ω), care să fie însă o parte stabilă a lui P(Ω) pentru<br />
operaţiile cu mulţimi. O încadrare riguroasă pentru spaţiul evenimentelor asociate unui<br />
experiment aleator o reprezintă spaţiul măsurabil.<br />
Fie Ω o mulţime oarecare şi P(Ω) mulţimea părţilor sale.<br />
Definiţia 1. Un corp borelian pe Ω este o familie K ⊂ P(Ω) cu proprietăţile:<br />
a) A ∈ K ⇒ CA ∈ K;<br />
b) A 1,<br />
A2<br />
, K,<br />
An<br />
, K<br />
∞<br />
∈ K ⇒ U An<br />
∈ K .<br />
n=<br />
1<br />
Dacă în locul condiţiei b) se aşează condiţia:<br />
C
1) A1,<br />
A2<br />
, K,<br />
An<br />
∈ K ⇒ U Ai<br />
∈ K ,<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
atunci K se numeşte corp de mulţimi pe Ω.<br />
5.1. Evenimente 91<br />
În continuare prezentăm câteva proprietăţi ale unui corp de mulţimi şi ale unui<br />
corp borelian ce decurg imediat din definiţie.<br />
( c1 ) Ω, ∅ ∈ K<br />
Într-adevăr A ∈ K ⇒ CA ∈ K,<br />
de unde rezultă că Ω = A ∪ CA şi ∅ = C Ω sunt din K.<br />
( c2 ) Dacă Ai∈ K, i = , n<br />
1 , atunci I n<br />
i=<br />
1<br />
A ∈ K .<br />
Intr-adevăr, din a doua relaţie a lui De Morgan (5.1.5) avem:<br />
n ⎛ n ⎞<br />
IAi= C⎜U<br />
CAi<br />
⎟∈<br />
K .<br />
i=<br />
1 ⎝ i=<br />
1 ⎠<br />
∞<br />
Ai , atunci Ai<br />
∈K<br />
i=<br />
1<br />
( c ′<br />
2 ) Dacă ∈ K,<br />
i = 1,<br />
∞<br />
borelian de submulţimi ale lui Ω).<br />
( c3 ) Dacă A, B ∈ K atunci A - B ∈ K.<br />
Într-adevăr A - B = A ∩ CB ∈ K.<br />
i<br />
I (K se consideră în acest caz un corp<br />
În cele mai multe probleme de modelare a unui fenomen aleator apar<br />
evenimente care trebuie luate în considerare din motive fizice. De exemplu, în cazul în<br />
care se descrie timpul de staţionare a unui utilaj este natural să considerăm drept<br />
eveniment orice interval [a, b]. Va rezulta că şi intervalul deschis<br />
( ) U ∞<br />
⎡ 1 1 ⎤<br />
a , b =<br />
⎢<br />
a + , b −<br />
⎥<br />
va fi de asemenea un eveniment. Nu este însă necesar să<br />
n = 1⎣<br />
n n ⎦<br />
cerem ca orice interval de timp A ⊂ (0, ∞) să fie un eveniment. Se observă că<br />
[ ] ( ) I ∞<br />
⎛ 1 ⎞<br />
a , b = C 0,<br />
a ∩ ⎜0,<br />
b + ⎟ , deci este suficient să se ceară ca orice interval de<br />
n = 1⎝<br />
n ⎠<br />
forma (0, a) să fie un eveniment.<br />
Fie M ⊂ P(Ω), atunci există un corp borelian unic B(M) astfel ca:<br />
a) M ⊂ B(M);<br />
b) pentru orice corp borelian K, din K ⊃ M rezultă K ⊃ B(M).
92<br />
Probabilităţi - 5<br />
Definiţia 2. Corpul borelian B(M) se numeşte corpul borelian generat de M. În cazul<br />
în care K = B(M) se spune că M este un sistem de generatori pentru corpul K sau că M<br />
generează pe K.<br />
Corpul borelian B(M) este intersecţia tuturor corpurilor boreliene pe K care îl includ<br />
pe M.<br />
Observaţia 1. În cazul general, faptul că un corp borelian K este dat prin generatorii<br />
săi, adică K = B(M) şi A este un eveniment din K, nu oferă informaţii precise asupra<br />
evenimentului A. Numai în cazul în care M este o desfacere a întregului spaţiu al<br />
evenimentelor elementare (o partiţie sau un sistem complet de evenimente) putem<br />
obţine aceste informaţii precise.<br />
Definiţia 3. O familie ( )<br />
A i i I<br />
de submulţimi ale lui Ω cu proprietăţile:<br />
∈<br />
a) I este cel mult numărabilă<br />
b) i ≠ j implică Ai I Aj<br />
=∅<br />
c) UA i = Ω<br />
i∈I<br />
se numeşte desfacere (partiţie) a spaţiului Ω.<br />
Propoziţia 1. Dacă M este o desfacere a spaţiului Ω atunci:<br />
⎧ ⎫<br />
B(<br />
M)<br />
= ⎨U<br />
Ai<br />
: J ⊂ I⎬<br />
⎩i∈J<br />
⎭<br />
Condiţia de numărabilitate a unei desfaceri este esenţială în demonstraţia<br />
Propoziţiei 1. Egalitatea celor două familii de mulţimi se poate obţine prin dublă<br />
incluziune, arătînd mai întâi că cea de a doua este un corp borelian.<br />
Definiţia 4. Perechea (Ω, K) în care Ω este o mulţime, iar K un corp borelian pe Ω se<br />
numeşte spaţiu măsurabil.<br />
O primă etapă în modelarea unui fenomen aleator o constituie construirea<br />
spaţiului măsurabil K al evenimentelor aleatoare legate de fenomenul respectiv, care<br />
este strâns legată de a doua etapă ce constă în definirea unei probabilităţi pentru<br />
evenimentele familiei K, care nu este altceva decât o măsură a realizării acestor<br />
evenimente, într-o desfăşurare a fenomenului respectiv.<br />
Mulţimea numerelor reale apare ca spaţiu măsurabil într-un mod natural<br />
M =<br />
− ∞,<br />
a a ∈ R<br />
considerând perechea (R, B), unde B = B(M), cu ( )<br />
{ }
5.1. Evenimente 93<br />
Dacă E este un spaţiu topologic şi τ este familia mulţimilor deschise ale<br />
acestui spaţiu, atunci corpul borelian B(τ) va fi notat cu B Ω , iar elementele lui se<br />
numesc mulţimi boreliene.<br />
De obicei, o pereche de forma (Ω, K), unde Ω este o mulţime nevidă iar K<br />
este un corp borelian pe Ω, se mai numeşte câmp de evenimente. Dacă Ω este finită,<br />
atunci (Ω, K) se numeşte câmp finit de evenimente.<br />
Fiind dată o mulţime de evenimente ( Ai ) , i∈<br />
I,<br />
Ai<br />
∈ K , unde I este o mulţime<br />
de indici cel mult numărabilă, aceasta se numeşte sistem de evenimente, iar dacă<br />
( Ai ) i∈ I<br />
este o partiţie a lui Ω, aceasta se mai numeşte sistem complet de evenimente.<br />
Fie A ∈ K, dacă există două evenimente B şi C din K, diferite de A, astfel<br />
încât A = B ∪ C, atunci A se numeşte eveniment compus. Orice eveniment diferit de<br />
evenimentul imposibil care nu este compus se numeşte elementar.<br />
Următoarele proprietăţi ale evenimentelor elementare sunt utile în cele ce<br />
urmează:<br />
e1) Dacă A ∈ K este un eveniment elementar oarecare, relaţia B ⊂ A implică B = ∅<br />
sau B = A.<br />
e2 ) Evenimentul A ≠ ∅ este elementar dacă şi numai dacă nu există un eveniment B<br />
≠ ∅ şi B ≠ A, astfel încât B ⊂ A.<br />
e3 ) Evenimentul A ≠ ∅ este elementar dacă şi numai dacă oricare ar fi evenimentul<br />
B, avem A ∩ B = ∅ sau A ∩ B = A.<br />
e4 ) Două evenimente elementare distincte sunt incompatibile.<br />
e5) Într-un câmp finit de evenimente (Ω, K), fiind dat un eveniment compus B ∈ K,<br />
există un eveniment elementar A astfel încât A ⊂ B.<br />
e6) Un eveniment oarecare al unui câmp finit de evenimente poate fi dat, în mod<br />
unic, ca reuniunea unui număr finit de evenimente elementare.<br />
e7 ) Într-un câmp finit de evenimente (Ω, K), evenimentul sigur Ω este reuniunea<br />
tuturor evenimentelor elementare.<br />
Pentru demonstraţia acestor proprietăţi, ca un model de lucru, vom demonstra<br />
proprietatea e1) .<br />
Să presupunem că B ≠ ∅ şi B ≠ A. Fie C = A - B. Din B ⊂ A şi B ≠ ∅ rezultă<br />
C ≠ A şi A = B ∪ C, ceea ce este imposibil, deoarece A este un eveniment elementar.<br />
Deci B = ∅ sau B = A.
94<br />
Probabilităţi - 5<br />
5.2. Probabilitate<br />
Probabilitatea unui eveniment trebuie înţeleasă ca o măsură a gradului de<br />
posibilitate a acelui eveniment, măsură ce atribuie valoarea 0 evenimentului imposibil<br />
∅ şi ale cărei valori cresc până la valoarea 1, ce este atribuită evenimentului sigur Ω.<br />
Pentru un eveniment oarecare A, ∅ ⊂ A ⊂ Ω, probabilitatea lui A reflectă stabilitatea<br />
asimptotică a frecvenţei lui A într-un număr arbitrar de mare de repetări independente<br />
ale experimentului aleator, căruia evenimentul A îi este asociat. Dacă A şi B sunt<br />
evenimente incompatibile, atunci numărul de apariţii ale evenimentului A ∪ B, într-un<br />
număr arbitrar de repetări ale experimentului, fiind egal cu suma numărului de apariţii<br />
ale lui A şi a numărului de apariţii ale lui B, rezultă că probabilitatea lui A ∪ B trebuie<br />
să fie egală cu suma probabilităţilor lui A şi a lui B. Deci, probabilitatea trebuie să<br />
posede o proprietate de aditivitate, pentru evenimente incompatibile.<br />
Considerente de felul celor de mai sus, nematematice, au influenţat definirea<br />
conceptului matematic de probabilitate.<br />
Să considerăm un experiment aleator E şi (Ω, K) spaţiul măsurabil asociat<br />
lui E.<br />
Definiţia 1. Se numeşte probabilitate pe spaţiul măsurabil (Ω, K) o funcţie<br />
P: K → [0, 1] cu proprietăţile:<br />
a) Dacă A n ∈ K pentru n = 1, 2, … şi An ∩ Am<br />
= ∅ pentru n ≠ m, atunci<br />
⎛ ∞ ⎞ ∞<br />
P ⎜ An ⎟ P( An)<br />
⎝ n=<br />
⎠ n=<br />
= U ∑ , proprietate numită complet aditivitate.<br />
1 1<br />
b) P(Ω) = 1.<br />
Tripletul (Ω, K, P) în care (Ω, K) este un spaţiu măsurabil (câmp de<br />
evenimente), iar P o probabilitate pe (Ω, K) se numeşte câmp de probabilitate.<br />
Fie acum (Ω, K, P) un câmp finit de probabilitate, ale cărui evenimente<br />
elementare sunt A1, A2, K , An. Deoarece:<br />
Ω= A1∪A2∪K ∪An,<br />
din definiţia probabilităţii avem:<br />
n<br />
PA ( i ) ≥ 0, i= 12 , , K , nşi<br />
∑ PA ( i ) = PE ( ) = 1<br />
i=<br />
1<br />
PA1 PA2 K PAn spunem că evenimentele elementare<br />
Ai , i = 12 , , K , n sunt egal probabile. Se deduce imediat că PA ( i ) =<br />
n<br />
1 pentru orice<br />
i = 12 ,, K , n.<br />
Dacă ( ) = ( ) = = ( )
9.2. Probabilitate 95<br />
Fie acum A un eveniment oarecare al câmpului dat. Atunci<br />
A = Ai ∪Ai ∪K ∪A<br />
1 2 i şi avem:<br />
m<br />
⎛ m ⎞ m<br />
m 1 m<br />
P(<br />
A)<br />
= P⎜<br />
U Ai<br />
⎟ = P(<br />
Ai<br />
)<br />
k ∑ = =<br />
k ∑ .<br />
⎝ k=<br />
1 ⎠ k=<br />
1<br />
i=<br />
1 n n<br />
S-a obţinut mai sus definiţia clasică a probabilităţii care are o deosebită<br />
importanţă practică şi care stabileşte că într-un câmp finit de probabilitate,<br />
probabilitatea unui eveniment oarecare este egală cu raportul dintre numărul de<br />
evenimente elementare favorabile evenimentului dat şi numărul total de evenimente<br />
elementare ale câmpului.<br />
În cele ce urmează vor fi prezentate câteva proprietăţi imediate ale<br />
probabilităţii (măsurii de probabilitate P).<br />
Propoziţia 2. Pentru orice câmp de probabilitate (Ω, K, P) au loc proprietăţile<br />
a) P(B - A) = P(B) - P(A ∩ B);<br />
b) Dacă A ⊂ B atunci P(B - A) = P(B) - P(A);<br />
c) Dacă A ⊂ B atunci P(A) ≤ P(B);<br />
d) P(CA) = 1 - P(A);<br />
e) P(∅) = 0;<br />
f) 0 ≤ P(A) ≤ 1;<br />
g) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B);<br />
h) P(A ∆ B) = P(A) + P(B) - 2P(A ∩ B), unde A ∆ B este diferenţa simetrică a lui A<br />
i)<br />
şi B, adică A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A);<br />
Pentru orice mulţime cel mult numărabilă de evenimente ( Ai ) i∈<br />
I<br />
proprietatea de subaditivitate:<br />
⊂ K are loc<br />
⎛ ⎞<br />
P⎜U Ai<br />
⎟ ≤ ∑ P(<br />
Ai<br />
) .<br />
⎝ i∈I<br />
⎠ i∈I<br />
Proprietăţile enumerate mai sus se deduc imediat din definiţiile date.<br />
Într-adevăr să presupunem că A şi B sunt două evenimente din K atunci putem scrie:<br />
B = (B - A) ∪ (A ∩ B), (B - A) ∩ (A ∩ B) = ∅.<br />
Din definiţia măsurii de probabilitate P rezultă:<br />
P(B) = P(B - A) + P(A ∩ B),<br />
de unde se deduce proprietatea a).<br />
Dacă A ⊂ B, atunci P(A ∩ B) = P(A) şi astfel se deduce proprietatea b). Dacă<br />
ţinem seama că P(A - B) ≥ 0 din b) se deduce c). Deoarece ţinem seama că<br />
A ∪ CA = Ω, obţinem că:<br />
P(A) + P(CA) = P(Ω) = 1,<br />
de unde rezultă proprietatea d). Din b) şi d) rezultă imediat e). Din ∅ ⊂ A ⊂ Ω şi<br />
proprietăţile c), d) şi b) se deduce proprietatea f).
96<br />
Probabilităţi - 5<br />
Să considerăm relaţia A ∪ B = A ∪ (B - A ∩ B). Atunci avem P(A ∪ B) =<br />
= P(A) + P(B - A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), deci proprietatea g) este adevărată.<br />
Din definiţia diferenţei simetrice avem:<br />
A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) şi (A - B) ∩ (B - A) = ∅.<br />
Aplicând probabilitatea P evenimentelor echivalente de mai sus deducem:<br />
P(A ∆ B) = P(A ∩ B) + P(B - A).<br />
În baza proprietăţii a) avem:<br />
P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B);<br />
P(B - A) = P(B) - P(A ∩ B).<br />
Adunând termen cu termen egalităţile de mai sus se deduce proprietatea h).<br />
Pentru a demonstra proprietatea i) se observă mai întâi că<br />
U Ai = UA′<br />
i , unde U<br />
i∈I i∈I 1 i−<br />
A′<br />
i = Ai<br />
− A′<br />
i ⊂ Ai<br />
şi A′ m ∩ A′<br />
n = ∅ , pentru<br />
k=<br />
1<br />
orice n, m ∈ I şi n ≠ m. Ţinând seama de relaţiile de mai sus şi de Definiţia 1. se<br />
deduce:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
P⎜U Ai<br />
⎟ = P⎜U<br />
A′<br />
i ⎟ = ∑ P(<br />
A′<br />
i ) ≤ ∑ P(<br />
Ai<br />
) ,<br />
⎝ i∈I<br />
⎠ ⎝ i∈I<br />
⎠ i∈I<br />
i∈I<br />
ceea ce reprezintă proprietatea i).<br />
Dacă Ω este o mulţime finită, atunci câmpul de probabilitate (Ω, P(E), P),<br />
card A<br />
unde PA ( ) = şi card A reprezintă numărul de elemente al muţimii A, se<br />
card Ω<br />
numeşte câmpul de probabilitate al lui Laplace asociat mulţimii Ω sau câmpul lui<br />
Laplace de ordin card Ω. Acest câmp corespunde unui experiment aleator ale cărui<br />
rezultate posibile sau evenimente elementare sunt date de Ω şi sunt egal probabile<br />
1<br />
P(<br />
{ ω } ) = pentru orice ω ∈ Ω. Această probabilitate este numită<br />
card Ω<br />
probabilitatea clasică, deoarece în conformitate cu definiţia sa, probabilitatea unui<br />
eveniment A este egală cu raportul dintre numărul cazurilor favorabile lui A şi<br />
numărul cazurilor posibile.<br />
În construirea câmpului de probabilitate ce descrie un fenomen aleator apar<br />
probleme deosebit de dificile la stabilirea spaţiului măsurabil ce descrie fenomenul,<br />
care să permită construirea pe acesta a unei (măsuri de probabilitate) probabilităţi<br />
adecvate. Dacă luăm cel mai simplu caz Ω = {a, b}, K = P(Ω), nu este clar apriori cât<br />
trebuie să fie P({a}), valoarea ei poate fi orice număr din [0, 1]. Evident, această<br />
valoare implică P({b}) = 1 - P(a). Observăm că determinarea probabilităţii unui<br />
eveniment dat nu este, de regulă, o problemă cu soluţie imediată. Această problemă<br />
creşte în dificultate în cazul unui corp borelian K complicat. Valorile probabilităţilor<br />
P(A), A ∈ K fiind prin definiţie legate între ele, sugerează existenţa unei teoreme
9.2. Probabilitate 97<br />
conform căreia, pe baza cunoaşterii valorilor P(A), pentru A ∈ K, parcurgând o<br />
submulţime M a lui K, să se poată determina în mod unic P, ca funcţie a lui K în<br />
[0, 1]. Următorul exemplu arată că în cazul când K = B(M) nu există o astfel de<br />
teoremă. Într-adevăr, fie Ω= { e e e e }<br />
1, 2, 3, 4 şi K = P(Ω). Atunci avem<br />
K = B(<br />
{ e1,<br />
e2}{<br />
, e1,<br />
e3}<br />
) . Numerele p1, p2, p3, p4<br />
≥ 0 de sumă 1 ce definesc o<br />
probabilitate P pe P(Ω) nu sunt perfect determinate dacă se cunosc<br />
( { 1, 2} ) = 1 + 2 şi ( { } )<br />
P e e p p P e1, e3 = p1 + p3.<br />
Ca exemplu putem lua sistemele<br />
de numere 1 ⎛ 1⎞<br />
⎜ ,,, 00 ⎟ şi<br />
⎝ 2 2⎠<br />
1 ⎛ 1 1 1⎞<br />
⎜ , , , ⎟ . Se observă că, în exemplul de mai sus,<br />
⎝ 4 4 4 4⎠<br />
1, 2, 3, 4 , ce au aceleaşi valori pentru p1 + p2<br />
şi<br />
p1 + p3.<br />
Problema analizată mai sus este rezolvată de următoarea teoremă cunoscută<br />
sub numele de teorema de unicitate:<br />
există două variante pentru ( p p p p )<br />
Teorema 1 (de unicitate). Fie (Ω, K) un spaţiu măsurabil, P1, P2<br />
două probabilităţi<br />
pe (Ω, K). Dacă K = B(M) cu M ⊂ P(Ω), închisă în raport cu intersecţia finită (adică<br />
A, B ∈ M implică A ∩ B ∈ M) şi P 1 = P<br />
M 2 (adică P P<br />
M 1 = 2 pe M), atunci<br />
P1 = P2.<br />
Demonstraţie:<br />
a) Fie U = { A A ∈ K : P1<br />
( A)<br />
= P2<br />
( A)<br />
} . Mulţimea U are proprietăţile:<br />
1) Ω ∈ U;<br />
2) A, B ∈ U, A ⊃ B implică A - B ∈ U;<br />
3) A 1,<br />
A 2 , K , A n , K ∈ U şi An ∩ Am<br />
≠ ∅ pentru n ≠ m implică:<br />
U ∞<br />
m=<br />
1<br />
A ∈ U ;<br />
m<br />
4) U ⊃ M.<br />
b) O familie de mulţimi inclusă în P(Ω) cu proprietăţile 1), 2), 3) se numeşte<br />
u - sistem pe Ω. Intersecţia unei familii oarecare de u - sisteme pe Ω este un<br />
u - sistem (sistem de unicitate). Deci, există un u - sistem generat de o familie N<br />
⊂ P(Ω), acesta este cel mai mic u - sistem ce conţine pe N, notat cu µ(N). Din<br />
raţionamentul de la a) rezultă că<br />
( ) ( ) . P P1<br />
=<br />
µ M 2 µ M
98<br />
Probabilităţi - 5<br />
c) Vom arăta că dacă A, B ∈ N implică A ∩ B ∈ N, atunci A, B ∈ µ(N)<br />
implică A ∩ B ∈ µ(N). Se consideră pentru fiecare A ∈ µ(N),<br />
CA = { B:B∈<br />
µ ( N)<br />
,A ∩ B∈<br />
µ ( N)<br />
}. Se verifică faptul că CA este un u - sistem.<br />
Dacă A ∈ N, atunci CA ⊃ N , deci CA ⊃ µ ( N).<br />
Aceasta înseamnă că A ∩ B ∈<br />
µ(N) pentru A ∈ N, B ∈ µ(N), deci CA ⊃ N pentru orice B ∈ µ(N), ceea ce<br />
trebuia arătat.<br />
d) Se verifică faptul că un u - sistem V pentru care A, B ∈ V implică A ∩ B ∈ V<br />
este un corp borelian.<br />
e) Din d) rezultă că µ(N) din enunţ este un corp borelian, care continuând pe M<br />
conţine pe B(M), deci coincide cu acesta. Din b) rezultă că P1 = P2,<br />
deoarece<br />
B(M) = K este domeniul de definiţie al lui P1 şi P2 .<br />
Demonstraţia teoremei de mai sus constituie un exemplu de raţionament cu<br />
clase de mulţimi şi din acest motiv am prezentat-o în detaliu.<br />
În continuare vom utiliza definiţia probabilităţii clasice în câteva exemple.<br />
Vom stabili mai întâi:<br />
D Ai , o partiţie a lui Ω,<br />
i∈ I<br />
cu I cel mult numărabilă şi astfel că B(Ω) = K. Atunci probabilitatea P este complet<br />
determinată pe K dacă se cunosc valorile pi = P( Ai)<br />
ale probabilităţii P, pentru<br />
Ai∈ D.<br />
Teorema 2. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate, = ( )<br />
Demonstraţie: Dacă A = ∅ atunci P(A) = 0. Dacă A ≠ ∅ atunci A = UA i cu J cel<br />
i∈J<br />
mult numărabilă şi Ai Aj<br />
P ( A)<br />
P(<br />
Ai<br />
) = pi<br />
.<br />
În particular ( Ω)<br />
= ∑ P(<br />
Ai<br />
) = ∑<br />
∩ = ∅ , deci ∑ ∑<br />
P p = 1.<br />
i∈Ii∈I i<br />
=<br />
i∈Ji∈J Să presupunem că probabilităţile pi = P( Ai) = P sunt constante pentru orice i ∈ I,<br />
adică evenimentele Ai sunt egal probabile.<br />
Dacă A = UA i , atunci Ai sunt cazuri favorabile ale evenimentului A şi<br />
i∈J<br />
numărul cazurilor favorabile lui A este egal cu card J. Să presupunem că familia de<br />
indici I este finită, adică I = {1, 2, ..., n} şi că J ⊂ I şi card J = m ≤ n . În acest caz<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
n<br />
P(<br />
A)<br />
= P⎜U<br />
Ai<br />
⎟ = ∑ P(<br />
Ai<br />
) = mp . Din P(<br />
Ω)<br />
= P⎜U<br />
Ai<br />
⎟ = 1 rezultă ∑ p = 1 ,<br />
⎝ i∈J<br />
⎠ i∈J<br />
⎝ i∈I<br />
⎠<br />
i=<br />
1
9.2. Probabilitate 99<br />
adică np = 1, deci p =<br />
n<br />
1 . Înlocuind p =<br />
n<br />
1 în P(A) obţinem<br />
m cardJ<br />
PA ( ) = = =<br />
n cardI numarul cazurilor posibile<br />
numarul cazurilor favorabile , ceea ce reprezintă definiţia<br />
clasică a probabilităţilor.<br />
Exemplul 1. Într-o urnă se află, numerotate de la 1 la 30, 30 de bile care nu diferă<br />
decât prin culoare: 10 sunt albe, 15 sunt negre şi 5 sunt roşii. Considerăm ca<br />
experienţă aleatoare extragerea unei bile din urnă. Să notăm cu A i evenimentul care<br />
D = A1 A2 K Aneste un sistem complet de evenimente, format din familia tuturor evenimentelor elementare<br />
constă în extragerea bilei cu numărul i, atunci sistemul { , , , }<br />
asociate experienţei considerate. Deci U 30<br />
Ω = A . Evenimentele Ai sunt egal<br />
probabile şi PA ( i ) = 1<br />
. Să notăm cu A, N şi R evenimentele care constau în<br />
30<br />
10<br />
extragerea unei bile albe, negre, respectiv roşii, atunci PA ( ) = =<br />
30<br />
15 1 5 1<br />
PN ( ) = = şi PR ( ) = =<br />
30 2 30 6 .<br />
Observaţia 1. Fie acum (Ω, K, P) un câmp borelian de probabilitate şi = ( )<br />
o partiţie infinită a lui Ω. Să presupunem că PA ( ) p p<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
1<br />
3 ,<br />
D Aii∈ N<br />
i = i = > 0 pentru orice i ∈ N,<br />
∞ ∞<br />
atunci avem ∑p i = ∑p=<br />
∞ ceea ce intră în contradicţie cu ∑<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
∞<br />
p i = 1 . Dacă<br />
i=<br />
1<br />
p = 0, atunci ∑ ∞<br />
p i = 0 , ceea ce atrage din nou o contradicţie. Cele de mai sus arată că<br />
i=<br />
1<br />
evenimentele Ai nu pot fi toate egal probabile şi deci, definiţia clasică a probabilităţii<br />
nu poate fi extinsă la câmpuri de probabilitate infinite.<br />
Teorema 3. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate (finit sau infinit, K fiind corp sau<br />
corp borelian, după cum K este o mulţime finită sau infinită de evenimente) şi fie<br />
( )<br />
Ai , cu I mulţime finită o familie de evenimente din K. Atunci are loc egalitatea:<br />
i∈ I
100 Probabilităţi - 5<br />
⎛ ⎞<br />
cardL−1<br />
⎛ ⎞<br />
P⎜U Ai<br />
⎟ = ∑( −1)<br />
P⎜<br />
IA<br />
i ⎟ ,<br />
⎝ i∈I<br />
⎠ L⊂ I ⎝ i∈L<br />
⎠<br />
numită formula lui Poincaré.<br />
Teorema 4. În condiţiile Teoremei 3 să presupunem că I = {1, 2, ..., n}. Atunci are loc<br />
inegalitatea:<br />
⎛<br />
P⎜<br />
⎝<br />
numită inegalitatea lui Boole.<br />
n<br />
I<br />
i=<br />
1<br />
A<br />
i<br />
⎞<br />
⎟ ≥<br />
⎠<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
P<br />
( A ) − ( n −1)<br />
Observăm că Teorema 3 stabileşte probabilitatea reuniunii unei familii finite<br />
de evenimente, nu incompatibile două căte două, iar Teorema 4 oferă o margine<br />
inferioară a probabilităţii intersecţiei unei familii de evenimente. Ambele se<br />
demonstrează prin inducţie, prima după card L iar a doua după n.<br />
Observaţia 2. În modelarea matematică a unui experiment aleator se impun etapele:<br />
definirea spaţiului evenimentelor K şi definirea probabilităţii P, ca funcţie de mulţime<br />
definită pe K şi care să satisfacă condiţiile cerute. Chiar în cazurile cele mai simple<br />
rezolvarea primeia nu atrage după sine automat rezolvarea şi celei de a doua etape,<br />
existând foarte multe, chiar o infinitate de posibilităţi de a definii o probabilitate pe un<br />
câmp (câmp borelian) de evenimente. Să presupunem că Ω= { ω1 ω2}<br />
Nu este clar apriori cât trebuie să fie P( { ω1 } ) . Ştim doar că dacă ( { } )<br />
atunci P( { ω2 } ) = 1−<br />
a.<br />
i<br />
,<br />
, şi K = P(Ω).<br />
P ω1 = a<br />
În continuare vom utiliza definiţia clasică a probabilităţii în rezolvarea unor<br />
probleme, unele devenite deja, “scheme logice“.<br />
Exemplul 2. Schema bilei nerevenite(neîntoarse). O urnă conţine a bile albe şi b<br />
bile negre. Se iau la întâmplare n bile din urnă. Care este probabilitatea ca din n bile<br />
extrase exact k bile să fie albe. Se inpun câteva condiţii: dacă m = a + b , atunci<br />
trebuie ca n ≤ m, k ≤ n, k ≤ a şi n-k ≤ b.<br />
Fie A mulţimea bilelor albe şi B mulţimea bilelor negre, atunci A∩ B=<br />
∅<br />
şi A ∪ B = F reprezintă mulţimea tuturor bilelor. Mulţimea evenimentelor elementare<br />
este Ω = {C ⊂ F: card C = n}. Câmpul de probabilitate care descrie acest experiment<br />
n<br />
este câmpul lui Laplace de ordinul Cm . Să notăm cu E evenimentul care ne<br />
interesează. Acesta este dat prin E = { C⊂ F<br />
∩ }<br />
observăm că aplicaţia:<br />
:card C = n si card(C A) = k . Să
( , )<br />
C→ C∩A C∩B este o bijecţie între mulţimile E şi:<br />
{ DD : ⊂ AcardD , = k} × { DD : ⊂ BcardD , = n− k}<br />
,<br />
de unde rezultă că are loc cardE Ca C<br />
k n− k<br />
= ⋅ b . Obţinem astfel:<br />
card E CaC PE<br />
card C<br />
k n−k ( ) ⋅ b<br />
( ) = =<br />
.<br />
Ω n<br />
m<br />
9.2. Probabilitate 101<br />
Exemplul 3. Schema bilei revenite(întoarse). Avem o urnă cu a bile albe şi b bile<br />
negre. Extragem în mod aleator o bilă, ne uităm la ea şi o punem înapoi în urnă.<br />
Repetăm această procedură de n ori. Care este probabilitatea ca de k ori să obţinem<br />
bila albă?<br />
Să observăm că mulţimea evenimentelor elementare este dată de<br />
Ω= ( A∪ B) × ( A∪ B) × K × ( A∪B) ,<br />
unde A este mulţimea bilelor albe şi B este mulţimea bilelor negre. Ω se mai poate<br />
scrie sub forma:<br />
Ω = UG1<br />
× G2<br />
× K×<br />
Gn<br />
.<br />
G i ∈{<br />
A,<br />
B}<br />
Să notăm cu E evenimentul a cărui probabilitate trebuie să o determinăm. Putem scrie:<br />
E = UG1<br />
× G2<br />
× K×<br />
Gn<br />
.<br />
card{<br />
i:<br />
G i = A}<br />
= k<br />
k k n− k<br />
Obţinem imediat card( E) = Cn ⋅a⋅bşi k k n−k card( E)<br />
Cn⋅a ⋅b<br />
PE ( ) = =<br />
.<br />
card(<br />
Ω)<br />
( a b)<br />
n<br />
+<br />
Probabilitatea P(E) mai poate fi exprimată şi astfel:<br />
k n−k k ⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ k k n−k PE ( ) = Cn⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟ = Cn⋅p ⋅( 1 −p)<br />
,<br />
⎝ a+ b⎠⎝a+<br />
b⎠<br />
unde p este probabilitatea extragerii unei bile albe din urnă, la o procedură oarecare<br />
din cele n în total, evident 1 - p reprezintă probabilitatea extragerii unei bile negre în<br />
aceeaşi procedură de extragere.<br />
Problemele de mai sus se găsesc formulate în diferite moduri, unele formulări<br />
având aplicabilitate practică directă. De exemplu, bile albe pot fi articolele fără<br />
defecţiuni în cadrul aceleiaşi livrări de marfă, etc.
102 Probabilităţi - 5<br />
Observăm că pentru a stabili probabilitatea unui eveniment, utilizănd noţiunea<br />
clasică, folosim o măsură a cazurilor favorabile şi a cazurilor posibile. Această măsură<br />
este “ cardinalul “, numărul cazurilor respective. Uneori însă, această măsură nu poate<br />
fi folosită , ambele mulţimi de cazuri fiind infinite. Aşa se întâmplă în situaţia utilizării<br />
probabilităţilor geometrice. Nu ne vom ocupa pe larg de aceste probabilităţi, dar vom<br />
prezenta un exemplu, cunoscut sub numele de problema lui Buffon.<br />
Exemplul 4. Problema acului sau problema lui Buffon. Pe un plan sunt trasate<br />
drepte paralele, astfel ca distanţa între oricare două drepte consecutive să fie 2a , a > 0.<br />
Pe acest plan se aruncă la întâmplare un ac de lungime 2l, cu l > 0 şi l < a. Care este<br />
probabilitatea ca acul să întretaie una din aceste drepte?<br />
Rezolvare:<br />
Poziţia acului faţă de dreptele reţelei este determinată de distanţa d, a mijlocului său,<br />
la cea mai apropiată dintre drepte şi prin unghiul α pe care-l face direcţia acului cu<br />
direcţia dreptelor. Se observă că d ia o valoare în intervalul [0, a] iar α în [0, π].<br />
Poziţia acului fiind determinată de două numere poate fi reprezentată printr-un punct<br />
în plan. Mulţimea poziţiilor posibile ale<br />
acului este reprezentată de mulţimea<br />
punctelor din domeniul D. Mulţimea<br />
poziţiilor acului, în care intersectează una<br />
din dreptele reţelei, este reprezentată de<br />
mulţimea punctelor domeniului D’, definit<br />
prin:<br />
D′ = { ( d, α) : 0≤ d ≤ lsin<br />
α, α ∈[<br />
0, π]<br />
} Pr<br />
obabilitatea căutată a intersecţiei este:<br />
a α<br />
(0,a)<br />
0<br />
d<br />
π<br />
∫ lsinαα d<br />
aria( D′<br />
) 0 2 l<br />
PI (&) = = =<br />
aria( D)<br />
π⋅aπa D<br />
(π,0)<br />
α<br />
d<br />
(0,a)<br />
0<br />
π ( 2 ) ,l<br />
D<br />
(π,0)<br />
α
9.2. Probabilitate 103<br />
Ţinând seama de rezultatul obţinut şi mai ales de posibilitatea simulării pe calculator,<br />
de un număr foarte mare de ori a acestui experiment aleator, el poate fi utilizat pentru<br />
obţinerea unei valori aproximative a numărului iraţional π.<br />
Exemplul 5. (Problema concordanţelor). La o linie de montaj piesele sosesc în loturi<br />
de câte n, aranjate în ordinea montării 1, 2, ..., n. Printr-un accident, piesele dintr-un<br />
lot sosesc amestecate aleator. Să se determine:<br />
a) probabilitatea ca cel puţin o piesă din lot să sosească în ordinea ei normală;<br />
b) probabilitatea ca nici o piesă să nu sosească în ordinea ei normală.<br />
Această problemă se găseşte formulată în multe alte moduri. De exemplu, n<br />
persoane îşi pun cărţile de vizită într-o pălărie. Apoi pe rând, la întâmplare, fiecare ia o<br />
carte de vizită din pălărie. Întrebările a) şi b) devin:<br />
a’) Care este probalilitatea ca cel puţin o persoană să-şi extragă propria carte de<br />
vizită; spunem în acest caz că a avut loc o concordanţă;<br />
b’) Care este probalilitatea să nu avem nici o concordanţă?<br />
Rezolvare:<br />
Fie {1, 2, ..., n} mulţimea persoanelor şi { 1 , 2,...,<br />
n}<br />
mulţimea cărţilor de<br />
vizită. Mulţimea evenimentelor elementare este:<br />
12 , ,...,n : f este bijectivă}.<br />
Ω = {f : {1, 2, ..., n} → { }<br />
Numărul se elemente ale lui Ω este card Ω = n!. Fie A = { f ∈ Ω; f( i) = i}<br />
i<br />
evenimentul ca persoana de rang i să realizeze o concordanţă. Evenimentul a cărui<br />
probabilitate este cerută la punctul a) este U n<br />
A = Ai<br />
. Pentru a calcula P(A) vom<br />
i=<br />
1<br />
aplica formula lui Poincaré:<br />
⎛ n ⎞<br />
card L-1<br />
⎛ ⎞<br />
P ⎜U<br />
Ai<br />
⎟ = ∑( −1)<br />
P⎜<br />
IA<br />
i ⎟ ,<br />
⎝ i=<br />
1 ⎠ L⊂{<br />
1,<br />
2,...,<br />
n}<br />
⎝ i∈L<br />
⎠<br />
⎛ ⎞ [ n − card<br />
( L)<br />
] !<br />
unde P⎜I Ai<br />
⎟ =<br />
.<br />
⎝ i∈L<br />
⎠ n!<br />
Vom obţine astfel:<br />
PA C n<br />
C<br />
n<br />
n<br />
1 ( − 1)! 2 ( − 2)!<br />
n−1<br />
n 1<br />
( ) = n − n + ... + ( −1)<br />
Cn .<br />
! n!<br />
n!<br />
Efectuând simplificările avem:<br />
1 1 n−1<br />
1<br />
PA ( ) = 1−<br />
+ + ... + ( −1)<br />
.<br />
2!<br />
3!<br />
n!
104 Probabilităţi - 5<br />
b) Probabilitatea de a nu avea nici o concordanţă este:<br />
1 1 n 1<br />
PA ( ) = 1−<br />
PA ( ) = − + ...( −1)<br />
2!<br />
3!<br />
n!<br />
.<br />
Exemplul 6. Pentru ca un produs să corespundă controlului de calitate trebuie să<br />
îndeplinească patru condiţii de calitate, notate A, B, C, D. Ştiind că 85% din produse<br />
îndeplinesc condiţia A, 95% îndeplinesc condiţia B, 92% îndeplinesc condiţia C şi<br />
97% îndeplinesc condiţia D, să se calculeze probabilitatea minimă ca un produs să<br />
corespundă controlului de calitate.<br />
Rezolvare: Pentru ca un produs să corespundă controlului de calitate trebuie să aibă<br />
loc evenimentul X = A ∩ B ∩ C ∩ D. Aplicând inegalitatea lui Boole obţinem:<br />
P (X) = P (A ∩ B ∩ C ∩ D) ≥ P(A) + P(B) + P(C) + P(D) - 3,<br />
adică: P(X) ≥ 0,85 + 0,95 + 0,92 + 0,87 -3 = 3,59 - 3 = 0,59,<br />
deci probabilitatea minimă căutată este 0,59.<br />
5.3. Probabilităţi condiţionate.<br />
Evenimente independente<br />
Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate, finit sau infinit şi A, B două<br />
evenimente din K astfel că P(A) > 0.<br />
Definiţia 1. Se numeşte probabilitate a evenimentului B condiţionată de evenimentul<br />
A sau probabilitate a lui B în raport cu A notată prin PA ( B)<br />
sau PB ( / A)<br />
numărul<br />
definit prin:<br />
PA ( ∩ B)<br />
(5.3.1) PA ( B)<br />
= .<br />
PA ( )<br />
Propoziţia 1. Aplicaţia PA :K → R definită prin:<br />
PA<br />
(5.3.2) K ∋ B⎯⎯→PA( B)<br />
este o probabilitate sau altfel spus ( Ω, K, PA ) este un câmp de probabilitate.<br />
Demonstraţie: Din (5.1.1) rezultă că PA ( B)<br />
≥ 0 pentru orice B ∈ K. Mai mult,<br />
pA ( ∩ Ω)<br />
PA ( )<br />
PA<br />
( Ω)<br />
= = =1,<br />
pA ( ) PA ( )
5.3. Probabilităţi condiţionate. Evenimente independente 105<br />
⎛<br />
PA<br />
⎜<br />
⎝<br />
∞<br />
U<br />
i=<br />
1<br />
⎛ ∞ ⎞ ⎡<br />
P⎜A<br />
∩ U Ai<br />
⎟ P<br />
⎞<br />
⎢<br />
⎟ =<br />
⎝ i=<br />
1 ⎠<br />
=<br />
⎣i<br />
Ai<br />
⎠ P(<br />
A)<br />
=<br />
∞<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
( A ∩ A )<br />
P<br />
P(<br />
A)<br />
∞<br />
U(<br />
A ∩ Ai<br />
)<br />
= 1<br />
i<br />
∞<br />
= ∑ PA<br />
i=<br />
1<br />
Ai<br />
P(<br />
A)<br />
( )<br />
.<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
Am presupus, mai sus, că evenimentele Ai şi A j pentru i ≠ j sunt incompatibile,<br />
ceea ce în mod evident, atrage după sine faptul că evenimentele A∩ Ai, A∩ Aj sunt incompatibile. Am arătat astfel că PA este o probabilitate pe K.<br />
Să considerăm acum, două evenimente A şi B cu P(A) > 0 şi P(B) > 0, atunci<br />
au sens probabilităţile condiţionate PA ( B)<br />
şi PB( A)<br />
şi mai mult avem:<br />
PA ( ∩ B)<br />
PA ( ∩ B)<br />
PA( B)<br />
= , PB( A)<br />
= .<br />
PA ( )<br />
PB ( )<br />
Din egalităţile de mai sus rezultă:<br />
PA ( ∩ B) = PA ( ) ⋅ PA( B)<br />
şi PA ( ∩ B) = PB ( ) ⋅ PB( A)<br />
,<br />
ceea ce arată că între probabilităţile condiţionate PA ( B)<br />
şi PB( A)<br />
există relaţia de<br />
legătură:<br />
(5.3.2) PA ( ) ⋅ PA( B) = PB ( ) ⋅ PB( A)<br />
.<br />
Pentru exemplificarea probabilităţii condiţionate să considerăm câmpul de<br />
probabilitate al lui Laplace ( Ω, P( Ω),<br />
P ) , unde Ω este o mulţime finită şi card<br />
(Ω) = n. Fie A, B ⊂ Ω astfel încât card (A) = m, card (B) = p şi card (A ∩ B) = q. Să<br />
se determine probabilitatea ca evenimentul B să aibă loc, ştiind că evenimentul A a<br />
avut loc. În condiţiile date:<br />
m p<br />
q<br />
PA ( ) = , PB ( ) = , PA ( ∩ B)<br />
= .<br />
n n<br />
n<br />
Dacă ştim că evenimentul A s-a produs rămân m cazuri posibile dintre care q sunt<br />
q<br />
favorabile lui B, deci PA ( B)<br />
= , dar<br />
m<br />
q qn PA ( ∩ B)<br />
= = . Obţinem astfel<br />
m mn PA ( )<br />
PA ( ∩ B)<br />
PA ( B)<br />
= .<br />
PA ( )
106 Probabilităţi - 5<br />
Teorema 1. (Formula probabilităţii totale). Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate,<br />
finit sau infinit, şi ( Ai ) i∈<br />
I ⊂ K un sistem complet de evenimente, cu PA ( i ) > 0 ,<br />
pentru orice i ∈ I, I fiind o mulţime de indici cel mult numărabilă. În aceste condiţii<br />
pentru orice eveniment A ∈ K are loc:<br />
(5.3.3) P(<br />
A)<br />
= ∑ P(<br />
Ai<br />
) ⋅ PA<br />
( A)<br />
.<br />
i<br />
i∈I<br />
Demonstraţie: ( )<br />
A i i I<br />
Ω = A şi<br />
∈ fiind un sistem complet de evenimente avem U<br />
i∈I<br />
pentru orice i ≠ j, Ai ∩ Aj<br />
= ∅ . Atunci A se descompune sub forma unei reuniuni<br />
de evenimente incompatibile astfel:<br />
de unde rezultă:<br />
⎛ ⎞<br />
A = A ∩ Ω = A ∩⎜U<br />
Ai<br />
⎟ = U(<br />
A ∩ Ai<br />
) ,<br />
⎝ i∈I<br />
⎠ i∈I<br />
P(<br />
A)<br />
=<br />
∑<br />
i∈I<br />
P<br />
( A ∩ Ai<br />
) = ∑ P(<br />
Ai<br />
)<br />
i∈I<br />
⋅ P<br />
A i<br />
( A)<br />
Teorema 2 (Formula lui Bayes). În condiţiile Teoremei 1, dacă P(A) > 0 are loc şi<br />
următoarea formulă:<br />
(5.3.4)<br />
P ( A ) =<br />
A<br />
i<br />
P(<br />
Ai<br />
) ⋅ PA<br />
( A)<br />
i<br />
P(<br />
A ) ⋅ P ( A)<br />
∑<br />
j∈I<br />
Demonstraţie: Din relaţia de legătură dintre probabilităţile condiţionate (5.3.2) avem:<br />
PA ( i) ⋅ PA ( A)<br />
i<br />
PA( Ai)<br />
=<br />
.<br />
PA ( )<br />
Înlocuind pe P(A) cu expresia din formula (5.3.3) rezultă formula lui Bayes (5.3.4).<br />
Această formulă poate fi interpretată ca determinând probabilităţile cauzelor,<br />
în cazul în care se cunoaşte un sistem de cauze care provoacă un eveniment A.<br />
PA( Ai)<br />
este probabilitatea de a fi acţionat cauza Ai în ipoteza că evenimentul A s-a<br />
produs.<br />
j<br />
A j<br />
.<br />
.<br />
i
5.3. Probabilităţi condiţionate. Evenimente independente 107<br />
Teorema 3. (Formula de înmulţire a probabilităţilor). Fie (Ω, K, P) un câmp de<br />
⎛ n 1 ⎞<br />
probabilitate şi ( Ai ) ⊂ K un sistem de evenimente astfel încât P⎜<br />
A 0<br />
i= 1, n<br />
i ⎟ ><br />
⎝ i 1 ⎠<br />
−<br />
I .<br />
=<br />
Atunci are loc:<br />
⎛<br />
⎞<br />
n<br />
I<br />
i=<br />
1 ⎠<br />
1 A1<br />
2 A1<br />
∩A<br />
2 3<br />
−<br />
I Ai<br />
i=<br />
1<br />
(5.3.5) P⎜ ⎟ = P(<br />
A ) ⋅ P ( A ) ⋅ P ( A ) ⋅L⋅<br />
Pn<br />
1 ( A )<br />
⎝<br />
Demonstraţie: Pentru n = 2 formula (5.3.5) rezultă din relaţia (5.3.2). Pentru n > 2<br />
formula (5.3.5) îşi păstrează valabilitatea prin inducţie după n.<br />
Fie câmpul de probabilitate (Ω, K, P) şi A, B ∈ K. Spunem că evenimentele A<br />
şi B sunt independente dacă<br />
(5.3.6) P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).<br />
Sistemul de evenimente A1, A2, K , Andin K se numeşte sistem de evenimente<br />
independente, dacă pentu orice i1, i2, K , im, cu 1 ≤ i1 < i2 < K < im≤n, m ≤ n are<br />
loc<br />
(5.3.7) P( A ∩ A ∩ ∩ A ) = P(<br />
A ) ⋅ P(<br />
A ) ⋅L⋅<br />
P(<br />
A )<br />
i1<br />
i2<br />
K .<br />
im<br />
Despre două sisteme complete de evenimente A1, A2, K , Am şi<br />
B1, B2, K , Bnspunem că sunt independente dacă are loc<br />
(5.3.8) PA ( i ∩ Bj) = PA ( i) ⋅ PB ( j)<br />
pentru orice i = 1, m,<br />
j= 1, n.<br />
Vom arăta, printr-un exemplu, că independenţa a două câte două evenimente<br />
ale unui sistem nu implică independenţa sistemului de evenimente în sensul definiţiei<br />
de mai sus.<br />
Fie Ω= { ω1, ω2, ω3, ω4}<br />
, K = P(Ω) şi P( { ω i}<br />
) = 1<br />
. (Ω, K, P) este<br />
4<br />
câmpul de probabilitate al lui Laplace cu patru evenimente elementare. Vom considera<br />
evenimentele A = { ω1, ω2}<br />
, B = { ω1, ω3}<br />
şi C = { ω1, ω4}<br />
. Observăm că<br />
2<br />
= = = =<br />
4<br />
PA ( ) PB ( ) PC ( )<br />
1<br />
2<br />
i1<br />
i2<br />
im<br />
1<br />
şi PA ( ∩ B) = = PA ( ) ⋅PB<br />
( ) ,<br />
4<br />
n<br />
.
108 Probabilităţi - 5<br />
1<br />
1<br />
PA ( ∩ C) = = PA ( ) ⋅PC<br />
( ) , PB ( ∩ C) = = PB ( ) ⋅PC<br />
( ) , pe când<br />
4<br />
4<br />
1<br />
1<br />
PA ( ∩B∩ C) = ≠ PA ( ) ⋅PB ( ) ⋅ PC ( ) = , deci evenimentele A, B, C sunt<br />
4<br />
8<br />
independente două câte două dar nu formează un sistem de evenimente independente.<br />
Exemplul 1. Într-un lot pus în vânzare la un magazin se află produsele a trei fabrici<br />
Fi i = 1, 2, 3, în cantităţile 300, 420 şi respectiv 540 produse. Se ştie, din verificări<br />
statistice, că fiecare dintre fabrici livrează produse defecte în proporţie de 1%, 2% şi<br />
respectiv 2,5%. O cantitate de produse văndute în valoare de 6.000 u.m. au fost<br />
restituite magazinului ca necorespunzătoare. Să se determine sumele ce trebuie<br />
imputate fabricilor, dacă nu se ştie de la care dintre fabrici au provenit produsele<br />
defecte.<br />
Rezolvare: Este firesc ca sumele imputate să fie proporţionale cu probabilităţile<br />
corespunzătoare de a trimite produse defecte.<br />
Fie Ei evenimentul, ca un produs luat la întâmplare, să fie al fabricii<br />
Fi i = 1, 2, 3. Evenimentele Ei formează un sistem complet de evenimente cu<br />
300<br />
420<br />
probabilităţile PE ( 1)<br />
= = 0, 238 , PE ( 2 ) = = 0, 333<br />
1260<br />
1260<br />
540<br />
şi PE ( 3)<br />
= = 0428 , .<br />
1260<br />
Fie X evenimentul, ca luând la întâmplare un produs din magazin, acesta să fie<br />
defect. Probabilităţile condiţionate ale evenimentului X, de către evenimentele Ei , i =<br />
1, 2, 3, sunt: PE( X)<br />
= 001 , , P ( X)<br />
1<br />
E = 002 , şi respectiv P ( X)<br />
2<br />
E = 0, 025.<br />
3<br />
Probabilităţile ca un produs defect să aparţină fabrici Fi i = 1, 2, 3 vor fi PX( Ei<br />
) , i =<br />
1, 2, 3, care sunt date de formula lui Bayes, în funcţie de probabilităţile determinate<br />
mai sus şi anume, avem:<br />
P<br />
X<br />
( E )<br />
Obţinem PX( E1)<br />
= 0, 125 , P ( E )<br />
i<br />
=<br />
( Ei<br />
) ⋅ PE<br />
( X)<br />
i<br />
P(<br />
E ) ⋅ P ( X)<br />
P<br />
3<br />
∑<br />
k=<br />
1<br />
k<br />
X 2 0 395<br />
E k<br />
= , , P ( E )<br />
.<br />
X 3 = 0, 514 .
5.3. Probabilităţi condiţionate. Evenimente independente 109<br />
Dacă notăm cu S i , i = 1, 2, 3 sumele ce trebuie imputate, vom avea<br />
S1 S2 S3 S1 + S2 + S3<br />
= = =<br />
, de unde rezultă S1 = 750 u.m., S2 = 2154<br />
0, 125 0, 359 0, 514 1<br />
u.m., S3 = 3084 u.m..<br />
În continuare vom face câteva consideraţii asupra unor şiruri de evenimente.<br />
Fie (Ω, K, P) un câmp de evenimente. Un şir de evenimente ( An ) n∈<br />
N ⊂ K se<br />
numeşte ascendent dacă:<br />
(5.3.9) A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ A n ⊂ A n+1 ⊂ ...<br />
Un şir de evenimente ( ) ⊂ K<br />
Dn n N<br />
∈ se numeşte descendent dacă:<br />
(5.3.10) D1⊃ D2 ⊃ ... ⊃ Dn ⊃ Dn+1 ⊃ ...<br />
Observăm că pentru şirul ascendent ( )<br />
A n n N<br />
descendent ( )<br />
D n n N<br />
are loc<br />
∈ I n<br />
Dn<br />
k=<br />
1<br />
k<br />
are loc<br />
∈ U n<br />
An<br />
k = 1<br />
= A , iar pentru şirul<br />
= D . Pe baza acestei observaţii avem:<br />
(5.3.11) U ∞<br />
lim = A = A şi I ∞<br />
lim D D .<br />
n→∞<br />
n<br />
k=<br />
1<br />
k<br />
n→∞<br />
n =<br />
k=<br />
1<br />
Se pune întrebarea, dacă limitele de mai sus comută cu probabilitatea? Răspunsul este<br />
dat de teoremele următoare.<br />
Teorema 4. Fie (Ω, K, P) un câmp borelian de probabilitate. Pentru orice şir<br />
ascendent ( A n ) ⊂ K , are loc:<br />
n∈N (5.3.12) ( )<br />
lim PAn = P lim An<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ .<br />
⎝ ⎠<br />
Demonstraţie: Şirul ( A n ) fiind dat, construim şirul ( B )<br />
n∈ N<br />
n prin:<br />
n∈ N<br />
B1 = A1,<br />
..., Bn = An − An−1 = An ∩An−1<br />
,<br />
pentru orice n ≥ 2. Acest şir are proprietăţile:<br />
(5.3.13) B B<br />
i j<br />
∩ = ∅ pentru orice i ≠ j şi U i = U<br />
∞<br />
k<br />
∞<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
k<br />
A B .<br />
i
110 Probabilităţi - 5<br />
avem:<br />
Pe baza relaţiilor (5.3.13) şi a axiomei de complet aditivitate a probabilităţii P<br />
⎛ ∞ ⎞ ⎛ ∞ ⎞<br />
P⎜ lim A ⎟⎞<br />
n = P⎜U<br />
Ai<br />
⎟ = P⎜U<br />
Bi<br />
⎟ =<br />
⎝ n→∞<br />
⎠ ⎝ i=<br />
1 ⎠ ⎝ i=<br />
1 ⎠<br />
⎛ ∑ ∞<br />
= lim<br />
i=<br />
1<br />
P(<br />
B )=<br />
∞<br />
∑ 1<br />
→∞ =<br />
→∞<br />
2<br />
1<br />
P n<br />
n<br />
n 1<br />
n<br />
( B ) = lim[<br />
P(<br />
A ) + P(<br />
A ) − P(<br />
A ) + K<br />
( ) ( ) ( ) ( )] ( )<br />
+ PAn−1 − PAn−2 + PAn − PAn−1 = lim PAn<br />
n→∞<br />
,<br />
tocmai ceea ce trebuia demonstrat.<br />
Teorema 5. Fie (Ω, K, P) un câmp borelian de probabilitate. Pentru orice şir<br />
descendent ( Dn ) ⊂ K are loc:<br />
n∈N (5.3.14) ( )<br />
lim PDn = P lim Dn<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ .<br />
⎝ ⎠<br />
Dn al<br />
n∈ N<br />
evenimentelor contrare este un şir ascendent. Conform teoremei precedente vom avea:<br />
lim PD ( n ) = P lim Dn<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ ,<br />
⎝ ⎠<br />
Demonstraţie: ( Dn ) fiind un şir descendent rezultă că şirul ( )<br />
n∈ N<br />
lim D<br />
= UD= I D<br />
dar n n n<br />
n<br />
n→∞<br />
n= 1 n=<br />
1<br />
n→∞<br />
∞<br />
∞<br />
i<br />
= lim D<br />
⎛ ⎞<br />
şi P⎜lim Dn⎟ = P lim Dn P lim D<br />
⎝<br />
n<br />
n→∞<br />
⎠ n→∞<br />
n→∞<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ = −<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
1 ⎜ ⎟ . În acelaşi timp:<br />
⎝ ⎠<br />
( ) ( )<br />
[ n ] ( n )<br />
lim PDn n→∞<br />
Am obţinut astfel că:<br />
= lim 1− PD<br />
n→∞<br />
= 1 − lim PD<br />
n→∞<br />
.<br />
1−1 ( )<br />
⎛ ⎞<br />
P⎜lim D ⎟ = −<br />
⎝ n lim P D<br />
n→∞<br />
⎠<br />
n ,<br />
n→∞<br />
de unde rezultă egalitatea (5.3.14).