Probabilitati - Analiza matematica. MPT

96
Probabilităţi - 5
Să considerăm relaţia A ∪ B = A ∪ (B - A ∩ B). Atunci avem P(A ∪ B) =
= P(A) + P(B - A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), deci proprietatea g) este adevărată.
Din definiţia diferenţei simetrice avem:
A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) şi (A - B) ∩ (B - A) = ∅.
Aplicând probabilitatea P evenimentelor echivalente de mai sus deducem:
P(A ∆ B) = P(A ∩ B) + P(B - A).
În baza proprietăţii a) avem:
P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B);
P(B - A) = P(B) - P(A ∩ B).
Adunând termen cu termen egalităţile de mai sus se deduce proprietatea h).
Pentru a demonstra proprietatea i) se observă mai întâi că
U Ai = UA′
i , unde U
i∈I i∈I 1 i−
A′
i = Ai
− A′
i ⊂ Ai
şi A′ m ∩ A′
n = ∅ , pentru
k=
1
orice n, m ∈ I şi n ≠ m. Ţinând seama de relaţiile de mai sus şi de Definiţia 1. se
deduce:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
P⎜U Ai
⎟ = P⎜U
A′
i ⎟ = ∑ P(
A′
i ) ≤ ∑ P(
Ai
) ,
⎝ i∈I
⎠ ⎝ i∈I
⎠ i∈I
i∈I
ceea ce reprezintă proprietatea i).
Dacă Ω este o mulţime finită, atunci câmpul de probabilitate (Ω, P(E), P),
card A
unde PA ( ) = şi card A reprezintă numărul de elemente al muţimii A, se
card Ω
numeşte câmpul de probabilitate al lui Laplace asociat mulţimii Ω sau câmpul lui
Laplace de ordin card Ω. Acest câmp corespunde unui experiment aleator ale cărui
rezultate posibile sau evenimente elementare sunt date de Ω şi sunt egal probabile
1
P(
{ ω } ) = pentru orice ω ∈ Ω. Această probabilitate este numită
card Ω
probabilitatea clasică, deoarece în conformitate cu definiţia sa, probabilitatea unui
eveniment A este egală cu raportul dintre numărul cazurilor favorabile lui A şi
numărul cazurilor posibile.
În construirea câmpului de probabilitate ce descrie un fenomen aleator apar
probleme deosebit de dificile la stabilirea spaţiului măsurabil ce descrie fenomenul,
care să permită construirea pe acesta a unei (măsuri de probabilitate) probabilităţi
adecvate. Dacă luăm cel mai simplu caz Ω = {a, b}, K = P(Ω), nu este clar apriori cât
trebuie să fie P({a}), valoarea ei poate fi orice număr din [0, 1]. Evident, această
valoare implică P({b}) = 1 - P(a). Observăm că determinarea probabilităţii unui
eveniment dat nu este, de regulă, o problemă cu soluţie imediată. Această problemă
creşte în dificultate în cazul unui corp borelian K complicat. Valorile probabilităţilor
P(A), A ∈ K fiind prin definiţie legate între ele, sugerează existenţa unei teoreme