Probabilitati - Analiza matematica. MPT

1) A1,
A2
, K,
An
∈ K ⇒ U Ai
∈ K ,
n
i=
1
atunci K se numeşte corp de mulţimi pe Ω.
5.1. Evenimente 91
În continuare prezentăm câteva proprietăţi ale unui corp de mulţimi şi ale unui
corp borelian ce decurg imediat din definiţie.
( c1 ) Ω, ∅ ∈ K
Într-adevăr A ∈ K ⇒ CA ∈ K,
de unde rezultă că Ω = A ∪ CA şi ∅ = C Ω sunt din K.
( c2 ) Dacă Ai∈ K, i = , n
1 , atunci I n
i=
1
A ∈ K .
Intr-adevăr, din a doua relaţie a lui De Morgan (5.1.5) avem:
n ⎛ n ⎞
IAi= C⎜U
CAi
⎟∈
K .
i=
1 ⎝ i=
1 ⎠
∞
Ai , atunci Ai
∈K
i=
1
( c ′
2 ) Dacă ∈ K,
i = 1,
∞
borelian de submulţimi ale lui Ω).
( c3 ) Dacă A, B ∈ K atunci A - B ∈ K.
Într-adevăr A - B = A ∩ CB ∈ K.
i
I (K se consideră în acest caz un corp
În cele mai multe probleme de modelare a unui fenomen aleator apar
evenimente care trebuie luate în considerare din motive fizice. De exemplu, în cazul în
care se descrie timpul de staţionare a unui utilaj este natural să considerăm drept
eveniment orice interval [a, b]. Va rezulta că şi intervalul deschis
( ) U ∞
⎡ 1 1 ⎤
a , b =
⎢
a + , b −
⎥
va fi de asemenea un eveniment. Nu este însă necesar să
n = 1⎣
n n ⎦
cerem ca orice interval de timp A ⊂ (0, ∞) să fie un eveniment. Se observă că
[ ] ( ) I ∞
⎛ 1 ⎞
a , b = C 0,
a ∩ ⎜0,
b + ⎟ , deci este suficient să se ceară ca orice interval de
n = 1⎝
n ⎠
forma (0, a) să fie un eveniment.
Fie M ⊂ P(Ω), atunci există un corp borelian unic B(M) astfel ca:
a) M ⊂ B(M);
b) pentru orice corp borelian K, din K ⊃ M rezultă K ⊃ B(M).