Probabilitati - Analiza matematica. MPT

5.1. Evenimente 93
Dacă E este un spaţiu topologic şi τ este familia mulţimilor deschise ale
acestui spaţiu, atunci corpul borelian B(τ) va fi notat cu B Ω , iar elementele lui se
numesc mulţimi boreliene.
De obicei, o pereche de forma (Ω, K), unde Ω este o mulţime nevidă iar K
este un corp borelian pe Ω, se mai numeşte câmp de evenimente. Dacă Ω este finită,
atunci (Ω, K) se numeşte câmp finit de evenimente.
Fiind dată o mulţime de evenimente ( Ai ) , i∈
I,
Ai
∈ K , unde I este o mulţime
de indici cel mult numărabilă, aceasta se numeşte sistem de evenimente, iar dacă
( Ai ) i∈ I
este o partiţie a lui Ω, aceasta se mai numeşte sistem complet de evenimente.
Fie A ∈ K, dacă există două evenimente B şi C din K, diferite de A, astfel
încât A = B ∪ C, atunci A se numeşte eveniment compus. Orice eveniment diferit de
evenimentul imposibil care nu este compus se numeşte elementar.
Următoarele proprietăţi ale evenimentelor elementare sunt utile în cele ce
urmează:
e1) Dacă A ∈ K este un eveniment elementar oarecare, relaţia B ⊂ A implică B = ∅
sau B = A.
e2 ) Evenimentul A ≠ ∅ este elementar dacă şi numai dacă nu există un eveniment B
≠ ∅ şi B ≠ A, astfel încât B ⊂ A.
e3 ) Evenimentul A ≠ ∅ este elementar dacă şi numai dacă oricare ar fi evenimentul
B, avem A ∩ B = ∅ sau A ∩ B = A.
e4 ) Două evenimente elementare distincte sunt incompatibile.
e5) Într-un câmp finit de evenimente (Ω, K), fiind dat un eveniment compus B ∈ K,
există un eveniment elementar A astfel încât A ⊂ B.
e6) Un eveniment oarecare al unui câmp finit de evenimente poate fi dat, în mod
unic, ca reuniunea unui număr finit de evenimente elementare.
e7 ) Într-un câmp finit de evenimente (Ω, K), evenimentul sigur Ω este reuniunea
tuturor evenimentelor elementare.
Pentru demonstraţia acestor proprietăţi, ca un model de lucru, vom demonstra
proprietatea e1) .
Să presupunem că B ≠ ∅ şi B ≠ A. Fie C = A - B. Din B ⊂ A şi B ≠ ∅ rezultă
C ≠ A şi A = B ∪ C, ceea ce este imposibil, deoarece A este un eveniment elementar.
Deci B = ∅ sau B = A.