Probabilitati - Analiza matematica. MPT

( , )
C→ C∩A C∩B este o bijecţie între mulţimile E şi:
{ DD : ⊂ AcardD , = k} × { DD : ⊂ BcardD , = n− k}
,
de unde rezultă că are loc cardE Ca C
k n− k
= ⋅ b . Obţinem astfel:
card E CaC PE
card C
k n−k ( ) ⋅ b
( ) = =
.
Ω n
m
9.2. Probabilitate 101
Exemplul 3. Schema bilei revenite(întoarse). Avem o urnă cu a bile albe şi b bile
negre. Extragem în mod aleator o bilă, ne uităm la ea şi o punem înapoi în urnă.
Repetăm această procedură de n ori. Care este probabilitatea ca de k ori să obţinem
bila albă?
Să observăm că mulţimea evenimentelor elementare este dată de
Ω= ( A∪ B) × ( A∪ B) × K × ( A∪B) ,
unde A este mulţimea bilelor albe şi B este mulţimea bilelor negre. Ω se mai poate
scrie sub forma:
Ω = UG1
× G2
× K×
Gn
.
G i ∈{
A,
B}
Să notăm cu E evenimentul a cărui probabilitate trebuie să o determinăm. Putem scrie:
E = UG1
× G2
× K×
Gn
.
card{
i:
G i = A}
= k
k k n− k
Obţinem imediat card( E) = Cn ⋅a⋅bşi k k n−k card( E)
Cn⋅a ⋅b
PE ( ) = =
.
card(
Ω)
( a b)
n
+
Probabilitatea P(E) mai poate fi exprimată şi astfel:
k n−k k ⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ k k n−k PE ( ) = Cn⎜
⎟ ⎜ ⎟ = Cn⋅p ⋅( 1 −p)
,
⎝ a+ b⎠⎝a+
b⎠
unde p este probabilitatea extragerii unei bile albe din urnă, la o procedură oarecare
din cele n în total, evident 1 - p reprezintă probabilitatea extragerii unei bile negre în
aceeaşi procedură de extragere.
Problemele de mai sus se găsesc formulate în diferite moduri, unele formulări
având aplicabilitate practică directă. De exemplu, bile albe pot fi articolele fără
defecţiuni în cadrul aceleiaşi livrări de marfă, etc.