Probabilitati - Analiza matematica. MPT

5.3. Probabilităţi condiţionate. Evenimente independente 107
Teorema 3. (Formula de înmulţire a probabilităţilor). Fie (Ω, K, P) un câmp de
⎛ n 1 ⎞
probabilitate şi ( Ai ) ⊂ K un sistem de evenimente astfel încât P⎜
A 0
i= 1, n
i ⎟ >
⎝ i 1 ⎠
−
I .
=
Atunci are loc:
⎛
⎞
n
I
i=
1 ⎠
1 A1
2 A1
∩A
2 3
−
I Ai
i=
1
(5.3.5) P⎜ ⎟ = P(
A ) ⋅ P ( A ) ⋅ P ( A ) ⋅L⋅
Pn
1 ( A )
⎝
Demonstraţie: Pentru n = 2 formula (5.3.5) rezultă din relaţia (5.3.2). Pentru n > 2
formula (5.3.5) îşi păstrează valabilitatea prin inducţie după n.
Fie câmpul de probabilitate (Ω, K, P) şi A, B ∈ K. Spunem că evenimentele A
şi B sunt independente dacă
(5.3.6) P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).
Sistemul de evenimente A1, A2, K , Andin K se numeşte sistem de evenimente
independente, dacă pentu orice i1, i2, K , im, cu 1 ≤ i1 < i2 < K < im≤n, m ≤ n are
loc
(5.3.7) P( A ∩ A ∩ ∩ A ) = P(
A ) ⋅ P(
A ) ⋅L⋅
P(
A )
i1
i2
K .
im
Despre două sisteme complete de evenimente A1, A2, K , Am şi
B1, B2, K , Bnspunem că sunt independente dacă are loc
(5.3.8) PA ( i ∩ Bj) = PA ( i) ⋅ PB ( j)
pentru orice i = 1, m,
j= 1, n.
Vom arăta, printr-un exemplu, că independenţa a două câte două evenimente
ale unui sistem nu implică independenţa sistemului de evenimente în sensul definiţiei
de mai sus.
Fie Ω= { ω1, ω2, ω3, ω4}
, K = P(Ω) şi P( { ω i}
) = 1
. (Ω, K, P) este
4
câmpul de probabilitate al lui Laplace cu patru evenimente elementare. Vom considera
evenimentele A = { ω1, ω2}
, B = { ω1, ω3}
şi C = { ω1, ω4}
. Observăm că
2
= = = =
4
PA ( ) PB ( ) PC ( )
1
2
i1
i2
im
1
şi PA ( ∩ B) = = PA ( ) ⋅PB
( ) ,
4
n
.