Probabilitati - Analiza matematica. MPT

9.2. Probabilitate 103
Ţinând seama de rezultatul obţinut şi mai ales de posibilitatea simulării pe calculator,
de un număr foarte mare de ori a acestui experiment aleator, el poate fi utilizat pentru
obţinerea unei valori aproximative a numărului iraţional π.
Exemplul 5. (Problema concordanţelor). La o linie de montaj piesele sosesc în loturi
de câte n, aranjate în ordinea montării 1, 2, ..., n. Printr-un accident, piesele dintr-un
lot sosesc amestecate aleator. Să se determine:
a) probabilitatea ca cel puţin o piesă din lot să sosească în ordinea ei normală;
b) probabilitatea ca nici o piesă să nu sosească în ordinea ei normală.
Această problemă se găseşte formulată în multe alte moduri. De exemplu, n
persoane îşi pun cărţile de vizită într-o pălărie. Apoi pe rând, la întâmplare, fiecare ia o
carte de vizită din pălărie. Întrebările a) şi b) devin:
a’) Care este probalilitatea ca cel puţin o persoană să-şi extragă propria carte de
vizită; spunem în acest caz că a avut loc o concordanţă;
b’) Care este probalilitatea să nu avem nici o concordanţă?
Rezolvare:
Fie {1, 2, ..., n} mulţimea persoanelor şi { 1 , 2,...,
n}
mulţimea cărţilor de
vizită. Mulţimea evenimentelor elementare este:
12 , ,...,n : f este bijectivă}.
Ω = {f : {1, 2, ..., n} → { }
Numărul se elemente ale lui Ω este card Ω = n!. Fie A = { f ∈ Ω; f( i) = i}
i
evenimentul ca persoana de rang i să realizeze o concordanţă. Evenimentul a cărui
probabilitate este cerută la punctul a) este U n
A = Ai
. Pentru a calcula P(A) vom
i=
1
aplica formula lui Poincaré:
⎛ n ⎞
card L-1
⎛ ⎞
P ⎜U
Ai
⎟ = ∑( −1)
P⎜
IA
i ⎟ ,
⎝ i=
1 ⎠ L⊂{
1,
2,...,
n}
⎝ i∈L
⎠
⎛ ⎞ [ n − card
( L)
] !
unde P⎜I Ai
⎟ =
.
⎝ i∈L
⎠ n!
Vom obţine astfel:
PA C n
C
n
n
1 ( − 1)! 2 ( − 2)!
n−1
n 1
( ) = n − n + ... + ( −1)
Cn .
! n!
n!
Efectuând simplificările avem:
1 1 n−1
1
PA ( ) = 1−
+ + ... + ( −1)
.
2!
3!
n!