Probabilitati - Analiza matematica. MPT

5. PROBABILITĂŢI
Teoria probabilităţilor este un domeniu important al matematicii, apărut din
activităţi şi necesităţi practice ale oamenilor sau din observaţii directe asupra naturii.
În viaţa de zi cu zi se întâlnesc cu regularitate experimente ale căror rezultate aparţin
unei mulţimi. Cu alte cuvinte este vorba de experimente, care atunci când sunt
realizate pot avea rezultate diferite, în funcţie de anumite circumstanţe întâmplătoare,
care nu pot fi cunoscute înaintea realizării lor. Aceste experimente sunt cunoscute sub
numele de experimente întâmplătoare (aleatoare).
Teoria probabilităţilor are ca scop dezvoltarea formalismului matematic
(concepte, noţiuni etc.) adaptat studiului acestei categorii de experimente.
Originile teoriei probabilităţilor sunt legate de observaţiile pe marginea
rezultatelor jocurilor de noroc. Complicarea jocurilor de noroc a dus la apariţia a tot
mai multe şi mai dificile probleme de evaluare a şanselor. Acum mai bine de 300 de
ani când aceste probleme au ajuns în atenţia unor învăţaţi ai vremii (Pascal, Fermat,
Huygens, Bernoulli etc.) a fost făcut primul pas în dezvoltarea teoriei probabilităţilor.
Primul pas fiind făcut, această teorie s-a dezvoltat, atât teoretic cât şi din
punctul de vedere al aplicaţiilor. În ciuda obârşiei sale, teoria probabilităţilor a pătruns
rapid în cele mai variate domenii ale activităţii de cunoaştere umană.
Astăzi teoria probabilităţilor este o disciplină complexă, aşezată pe baze
riguroase, axiomatice, având un contact nemijlocit cu aproape toate celelalte domenii
ale matematicii şi domenii de aplicabilitate în continuă extindere.
5.1. Evenimente
O noţiune fundamentală a teoriei probabilităţilor este aceea de eveniment. Prin
eveniment înţelegem producerea sau neproducerea unui rezultat într-un experiment
aleator. Printr-un experiment aleator se înţelege realizarea unui complex de condiţii
astfel ca un fenomen să poată sau nu avea loc. Totalitatea rezultatelor într-un
experiment aleator constituie spaţiul evenimentelor elementare. Vom nota cu Ω acest
spaţiu şi-l vom ilustra prin câteva exemple. Dacă o monedă este aruncată o singură
dată, atunci notând cu s şi v apariţia stemei şi respectiv a valorii, spaţiul evenimentelor
elementare este Ω = {s, v}. Dacă moneda este aruncată de două ori, spaţiul

88
Probabilităţi - 5
evenimentelor elementare corespunzătoare este Ω = {ss, sv, vs, vv}. În cazul aruncării
unui zar o singură dată avem Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, iar în cazul aruncării unui zar de
două ori Ω = {(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 6}, deci în acest caz Ω se identifică cu 36 de perechi de
numere naturale cuprinse între 1 şi 6.
Dacă în exemplele de mai sus spaţiul evenimentelor elementare asociat
experimentelor aleatoare corespunzătoare a fost finit, trebuie să precizăm că această
caracteristică nu este generală. Putem să ne imaginăm ca un experiment aleator
simplu, alegerea întâmplătoare a unui element dintr-o mulţime A. În acest caz spaţiul
tuturor evenimentelor elementare Ω se identifică cu mulţimea A (Ω = A). Dacă A = N
sau A = R vom avea corespunzător Ω = N, Ω = R.
Dacă revenim acum asupra conceptului de eveniment, asociat unui experiment
aleator, acesta corespunde unui enunţ privind experimentul şi se identifică cu o
submulţime a spaţiului Ω al evenimentelor elementare. Să considerăm mişcarea la
întâmplare a unei particule în plan, în care ne interesează traiectoria sa într-un interval
de timp [0, T]. Un eveniment elementar este în acest caz o traiectorie, adică o funcţie
definită pe [0, T] şi cu valori în plan. Dacă presupunem traiectoriile particulei
continue, acestea se identifică cu funcţiile continue definite pe [0, T] cu valori în plan.
Să presupunem că interesează evenimentul A: “particula nu întâlneşte axele de
coordonate”. În acest experiment aleator, evenimentul A se identifică cu mulţimea
funcţiilor continue, din [0, T] în plan, ce păstrează pe coordonate semn constant.
În continuare evenimentele legate de un experiment aleator le vom nota cu
litere mari A, B, C,… Orice eveniment elementar care intră în componenţa unui
eveniment A se numeşte favorabil lui A. Vom spune că evenimentul A are loc într-o
realizare a unui experiment aleator dacă şi numai dacă rezultatul acestuia, care este un
eveniment elementar, este favorabil lui A. Întregul spaţiu Ω al evenimentelor
elementare se identifică cu evenimentul sigur, iar mulţimea vidă ∅ cu evenimentul
imposibil. Această identificare se bazează pe faptul că evenimentul sigur are loc în
orice realizare a experimentului, iar evenimentul imposibil nu are loc în nici o
realizare a experimentului.
Vom spune că evenimentul A implică evenimentul B, dacă A ⊂ B, adică, dacă
A este o submulţime a lui B. Două evenimente A şi B vor fi numite echivalente, dacă
fiecare îl implică pe celălalt.
Fie E un experiment aleator, Ω spaţiul tuturor evenimentelor elementare
asociat lui E şi A, B două evenimente oarecare asociate lui E. Se defineşte reuniunea
evenimentelor A şi B, notată A ∪ B ca fiind evenimentul constând din acele
evenimente elementare aparţinând fie lui A, fie lui B, fie amândurora. Prin intersecţia
lui A cu B, notată A ∩ B, se înţelege evenimentul constând din evenimentele
elementare care aparţin şi lui A, şi lui B.
C
Prin complementarul (opusul) evenimentului A notat cu A ( A)
se
înţelege mulţimea acelor evenimente elementare care nu aparţin lui A.

5.1. Evenimente 89
Să revenim asupra experimentului aleator al aruncării, o singură dată a unui
zar, atunci Ω constă din întregii i : 1 ≤ i ≤ 6. Evenimente neelementare (compuse)
legate de acest experiment pot fi considerate: A = {i : este un număr par} B = {i ≥ 4}.
Deci A = {2, 4, 6} şi B = {4, 5, 6}, adică evenimentul A a avut loc dacă în urma
aruncării zarului a apărut una din feţele 2, 4, 6, iar evenimentul B a avut loc dacă în
urma aruncării zarului a apărut una din feţele 4, 5, 6.
Prin operaţiile de reuniune, intersecţie şi luarea de complementară, pornind de
la evenimentele A şi B obţinem:
A ∪ B = {i este par sau i ≥ 4} = {2, 4, 5, 6};
A ∩ B = {i este par şi i ≥ 4} = {4, 6};
A C = {i este impar} = {1, 3, 5};
B C = {i < 4} = {1, 2, 3}.
Despre două evenimente A şi B spunem că sunt incompatibile sau disjucte
dacă ele nu au nici un eveniment elementar comun, adică este imposibil ca atât A cât
şi B să aibă loc simultan, în aceeaşi realizare a experimentului, altfel spus A şi B sunt
incompatibile dacă A ∩ B = ∅.
Fără nici o dificultate operaţiile de reuniune şi intersecţie pot fi extinse la o
mulţime finită A1, A2,..., An sau la un şir ( Ai ) i≥1
aceluiaşi experiment aleator E.
Reuniunea unui şir ( )
Ai i≥1 de evenimente, notată U
i≥1
de evenimente asociate
A
i
, constă din acele
evenimente elementare care aparţin cel puţin unuia din evenimentele A i , i ≥ 1.
De asemenea, intersecţia unui şir de evenimente ( )
Ai i≥1 , notată I
i≥1
constă din acele evenimente elementare care aparţin tuturor evenimentelor A i , i ≥ 1.
Despre un şir de evenimente ( )
A i i≥1
totalitatea lor dacă Ai ∩ Aj
= ∅ pentru orice i ≠ j, 1 ≤ i, j.
A
spunem că sunt incompatibile în
Un sistem de evenimente finit sau numărabil se numeşte sistem complet de
evenimente, dacă aceste evenimente sunt incompatibile în ansamblul lor şi reuniunea
lor este evenimentul sigur Ω.
Din modul cum au fost definite operaţiile de mai sus, decurg următoarele
proprietăţi importante pe care le posedă operaţiile cu evenimente, asociate unui
experiment aleator:
i
,

90
Probabilităţi - 5
(5.1.1)
A∪ A = A,
A∩ A = A,
A∩ Ω = A,
A ∪ Ω = Ω, C
A∪ A = Ω,
C
A∩ A = ∅,
(5.1.2) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A;
A∪∅ = A,
A ∩∅=∅;
(5.1.3) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;
⎛
(5.1.4) A ∩ ⎜U
Bi
⎟ = U(
A ∩ Bi
) , A ⎜I
Bi
⎟ = I(
A ∪ Bi
)
⎝
i≥1
⎞
⎠
C
i≥1
⎛ ⎞
∪ ;
⎝ i≥1
⎠ i≥1
(5.1.5)
⎛ ⎞
⎜U
Ai
⎟
⎝ i≥1
⎠
C ⎛ ⎞
= IA
i , ⎜I
Ai
⎟
i≥1
⎝ i≥1
⎠
C
= UA
i .
i≥1
Relaţiile (5.1.5) sunt cunoscute sub numele de relaţiile lui De Morgan.
Din cele considerate până acum rezultă că a defini mulţimea evenimentelor
elementare asociate unui experiment aleator înseamnă a reţine mulţimea cazurilor
posibile. În cazul în care spaţiul (mulţimea) evenimentelor elementare Ω este finit sau
numărabil se pot considera drept evenimente asociate lui Ω(E) toate submulţimile lui
Ω. Totalitatea lor se notează de obicei cu P(Ω). Se observă că, dacă considerăm spaţiul
tuturor evenimentelor asociate lui Ω(E) ca fiind P(Ω), acest spaţiu este închis relativ la
operaţiile cu evenimente definite mai sus, adică ( Ai ) i≥
1 ⊂ P(
Ω)
implică
Ai
P(Ω)
∈ U şi A ∈ P(
Ω)
implică A C (care se mai notează şi CA) aparţine lui
i≥1
P(Ω).
În cazul când Ω este o mulţime infinită nenumărabilă nu este posibil să se ia
ca evenimente asociate lui Ω toate submulţimile sale. În astfel de situaţii suntem
conduşi la a considera, ca mulţime a evenimentelor asociate lui E, o familie de părţi
ale lui Ω mai mică decât P(Ω), care să fie însă o parte stabilă a lui P(Ω) pentru
operaţiile cu mulţimi. O încadrare riguroasă pentru spaţiul evenimentelor asociate unui
experiment aleator o reprezintă spaţiul măsurabil.
Fie Ω o mulţime oarecare şi P(Ω) mulţimea părţilor sale.
Definiţia 1. Un corp borelian pe Ω este o familie K ⊂ P(Ω) cu proprietăţile:
a) A ∈ K ⇒ CA ∈ K;
b) A 1,
A2
, K,
An
, K
∞
∈ K ⇒ U An
∈ K .
n=
1
Dacă în locul condiţiei b) se aşează condiţia:
C

1) A1,
A2
, K,
An
∈ K ⇒ U Ai
∈ K ,
n
i=
1
atunci K se numeşte corp de mulţimi pe Ω.
5.1. Evenimente 91
În continuare prezentăm câteva proprietăţi ale unui corp de mulţimi şi ale unui
corp borelian ce decurg imediat din definiţie.
( c1 ) Ω, ∅ ∈ K
Într-adevăr A ∈ K ⇒ CA ∈ K,
de unde rezultă că Ω = A ∪ CA şi ∅ = C Ω sunt din K.
( c2 ) Dacă Ai∈ K, i = , n
1 , atunci I n
i=
1
A ∈ K .
Intr-adevăr, din a doua relaţie a lui De Morgan (5.1.5) avem:
n ⎛ n ⎞
IAi= C⎜U
CAi
⎟∈
K .
i=
1 ⎝ i=
1 ⎠
∞
Ai , atunci Ai
∈K
i=
1
( c ′
2 ) Dacă ∈ K,
i = 1,
∞
borelian de submulţimi ale lui Ω).
( c3 ) Dacă A, B ∈ K atunci A - B ∈ K.
Într-adevăr A - B = A ∩ CB ∈ K.
i
I (K se consideră în acest caz un corp
În cele mai multe probleme de modelare a unui fenomen aleator apar
evenimente care trebuie luate în considerare din motive fizice. De exemplu, în cazul în
care se descrie timpul de staţionare a unui utilaj este natural să considerăm drept
eveniment orice interval [a, b]. Va rezulta că şi intervalul deschis
( ) U ∞
⎡ 1 1 ⎤
a , b =
⎢
a + , b −
⎥
va fi de asemenea un eveniment. Nu este însă necesar să
n = 1⎣
n n ⎦
cerem ca orice interval de timp A ⊂ (0, ∞) să fie un eveniment. Se observă că
[ ] ( ) I ∞
⎛ 1 ⎞
a , b = C 0,
a ∩ ⎜0,
b + ⎟ , deci este suficient să se ceară ca orice interval de
n = 1⎝
n ⎠
forma (0, a) să fie un eveniment.
Fie M ⊂ P(Ω), atunci există un corp borelian unic B(M) astfel ca:
a) M ⊂ B(M);
b) pentru orice corp borelian K, din K ⊃ M rezultă K ⊃ B(M).

92
Probabilităţi - 5
Definiţia 2. Corpul borelian B(M) se numeşte corpul borelian generat de M. În cazul
în care K = B(M) se spune că M este un sistem de generatori pentru corpul K sau că M
generează pe K.
Corpul borelian B(M) este intersecţia tuturor corpurilor boreliene pe K care îl includ
pe M.
Observaţia 1. În cazul general, faptul că un corp borelian K este dat prin generatorii
săi, adică K = B(M) şi A este un eveniment din K, nu oferă informaţii precise asupra
evenimentului A. Numai în cazul în care M este o desfacere a întregului spaţiu al
evenimentelor elementare (o partiţie sau un sistem complet de evenimente) putem
obţine aceste informaţii precise.
Definiţia 3. O familie ( )
A i i I
de submulţimi ale lui Ω cu proprietăţile:
∈
a) I este cel mult numărabilă
b) i ≠ j implică Ai I Aj
=∅
c) UA i = Ω
i∈I
se numeşte desfacere (partiţie) a spaţiului Ω.
Propoziţia 1. Dacă M este o desfacere a spaţiului Ω atunci:
⎧ ⎫
B(
M)
= ⎨U
Ai
: J ⊂ I⎬
⎩i∈J
⎭
Condiţia de numărabilitate a unei desfaceri este esenţială în demonstraţia
Propoziţiei 1. Egalitatea celor două familii de mulţimi se poate obţine prin dublă
incluziune, arătînd mai întâi că cea de a doua este un corp borelian.
Definiţia 4. Perechea (Ω, K) în care Ω este o mulţime, iar K un corp borelian pe Ω se
numeşte spaţiu măsurabil.
O primă etapă în modelarea unui fenomen aleator o constituie construirea
spaţiului măsurabil K al evenimentelor aleatoare legate de fenomenul respectiv, care
este strâns legată de a doua etapă ce constă în definirea unei probabilităţi pentru
evenimentele familiei K, care nu este altceva decât o măsură a realizării acestor
evenimente, într-o desfăşurare a fenomenului respectiv.
Mulţimea numerelor reale apare ca spaţiu măsurabil într-un mod natural
M =
− ∞,
a a ∈ R
considerând perechea (R, B), unde B = B(M), cu ( )
{ }

5.1. Evenimente 93
Dacă E este un spaţiu topologic şi τ este familia mulţimilor deschise ale
acestui spaţiu, atunci corpul borelian B(τ) va fi notat cu B Ω , iar elementele lui se
numesc mulţimi boreliene.
De obicei, o pereche de forma (Ω, K), unde Ω este o mulţime nevidă iar K
este un corp borelian pe Ω, se mai numeşte câmp de evenimente. Dacă Ω este finită,
atunci (Ω, K) se numeşte câmp finit de evenimente.
Fiind dată o mulţime de evenimente ( Ai ) , i∈
I,
Ai
∈ K , unde I este o mulţime
de indici cel mult numărabilă, aceasta se numeşte sistem de evenimente, iar dacă
( Ai ) i∈ I
este o partiţie a lui Ω, aceasta se mai numeşte sistem complet de evenimente.
Fie A ∈ K, dacă există două evenimente B şi C din K, diferite de A, astfel
încât A = B ∪ C, atunci A se numeşte eveniment compus. Orice eveniment diferit de
evenimentul imposibil care nu este compus se numeşte elementar.
Următoarele proprietăţi ale evenimentelor elementare sunt utile în cele ce
urmează:
e1) Dacă A ∈ K este un eveniment elementar oarecare, relaţia B ⊂ A implică B = ∅
sau B = A.
e2 ) Evenimentul A ≠ ∅ este elementar dacă şi numai dacă nu există un eveniment B
≠ ∅ şi B ≠ A, astfel încât B ⊂ A.
e3 ) Evenimentul A ≠ ∅ este elementar dacă şi numai dacă oricare ar fi evenimentul
B, avem A ∩ B = ∅ sau A ∩ B = A.
e4 ) Două evenimente elementare distincte sunt incompatibile.
e5) Într-un câmp finit de evenimente (Ω, K), fiind dat un eveniment compus B ∈ K,
există un eveniment elementar A astfel încât A ⊂ B.
e6) Un eveniment oarecare al unui câmp finit de evenimente poate fi dat, în mod
unic, ca reuniunea unui număr finit de evenimente elementare.
e7 ) Într-un câmp finit de evenimente (Ω, K), evenimentul sigur Ω este reuniunea
tuturor evenimentelor elementare.
Pentru demonstraţia acestor proprietăţi, ca un model de lucru, vom demonstra
proprietatea e1) .
Să presupunem că B ≠ ∅ şi B ≠ A. Fie C = A - B. Din B ⊂ A şi B ≠ ∅ rezultă
C ≠ A şi A = B ∪ C, ceea ce este imposibil, deoarece A este un eveniment elementar.
Deci B = ∅ sau B = A.

94
Probabilităţi - 5
5.2. Probabilitate
Probabilitatea unui eveniment trebuie înţeleasă ca o măsură a gradului de
posibilitate a acelui eveniment, măsură ce atribuie valoarea 0 evenimentului imposibil
∅ şi ale cărei valori cresc până la valoarea 1, ce este atribuită evenimentului sigur Ω.
Pentru un eveniment oarecare A, ∅ ⊂ A ⊂ Ω, probabilitatea lui A reflectă stabilitatea
asimptotică a frecvenţei lui A într-un număr arbitrar de mare de repetări independente
ale experimentului aleator, căruia evenimentul A îi este asociat. Dacă A şi B sunt
evenimente incompatibile, atunci numărul de apariţii ale evenimentului A ∪ B, într-un
număr arbitrar de repetări ale experimentului, fiind egal cu suma numărului de apariţii
ale lui A şi a numărului de apariţii ale lui B, rezultă că probabilitatea lui A ∪ B trebuie
să fie egală cu suma probabilităţilor lui A şi a lui B. Deci, probabilitatea trebuie să
posede o proprietate de aditivitate, pentru evenimente incompatibile.
Considerente de felul celor de mai sus, nematematice, au influenţat definirea
conceptului matematic de probabilitate.
Să considerăm un experiment aleator E şi (Ω, K) spaţiul măsurabil asociat
lui E.
Definiţia 1. Se numeşte probabilitate pe spaţiul măsurabil (Ω, K) o funcţie
P: K → [0, 1] cu proprietăţile:
a) Dacă A n ∈ K pentru n = 1, 2, … şi An ∩ Am
= ∅ pentru n ≠ m, atunci
⎛ ∞ ⎞ ∞
P ⎜ An ⎟ P( An)
⎝ n=
⎠ n=
= U ∑ , proprietate numită complet aditivitate.
1 1
b) P(Ω) = 1.
Tripletul (Ω, K, P) în care (Ω, K) este un spaţiu măsurabil (câmp de
evenimente), iar P o probabilitate pe (Ω, K) se numeşte câmp de probabilitate.
Fie acum (Ω, K, P) un câmp finit de probabilitate, ale cărui evenimente
elementare sunt A1, A2, K , An. Deoarece:
Ω= A1∪A2∪K ∪An,
din definiţia probabilităţii avem:
n
PA ( i ) ≥ 0, i= 12 , , K , nşi
∑ PA ( i ) = PE ( ) = 1
i=
1
PA1 PA2 K PAn spunem că evenimentele elementare
Ai , i = 12 , , K , n sunt egal probabile. Se deduce imediat că PA ( i ) =
n
1 pentru orice
i = 12 ,, K , n.
Dacă ( ) = ( ) = = ( )

9.2. Probabilitate 95
Fie acum A un eveniment oarecare al câmpului dat. Atunci
A = Ai ∪Ai ∪K ∪A
1 2 i şi avem:
m
⎛ m ⎞ m
m 1 m
P(
A)
= P⎜
U Ai
⎟ = P(
Ai
)
k ∑ = =
k ∑ .
⎝ k=
1 ⎠ k=
1
i=
1 n n
S-a obţinut mai sus definiţia clasică a probabilităţii care are o deosebită
importanţă practică şi care stabileşte că într-un câmp finit de probabilitate,
probabilitatea unui eveniment oarecare este egală cu raportul dintre numărul de
evenimente elementare favorabile evenimentului dat şi numărul total de evenimente
elementare ale câmpului.
În cele ce urmează vor fi prezentate câteva proprietăţi imediate ale
probabilităţii (măsurii de probabilitate P).
Propoziţia 2. Pentru orice câmp de probabilitate (Ω, K, P) au loc proprietăţile
a) P(B - A) = P(B) - P(A ∩ B);
b) Dacă A ⊂ B atunci P(B - A) = P(B) - P(A);
c) Dacă A ⊂ B atunci P(A) ≤ P(B);
d) P(CA) = 1 - P(A);
e) P(∅) = 0;
f) 0 ≤ P(A) ≤ 1;
g) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B);
h) P(A ∆ B) = P(A) + P(B) - 2P(A ∩ B), unde A ∆ B este diferenţa simetrică a lui A
i)
şi B, adică A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A);
Pentru orice mulţime cel mult numărabilă de evenimente ( Ai ) i∈
I
proprietatea de subaditivitate:
⊂ K are loc
⎛ ⎞
P⎜U Ai
⎟ ≤ ∑ P(
Ai
) .
⎝ i∈I
⎠ i∈I
Proprietăţile enumerate mai sus se deduc imediat din definiţiile date.
Într-adevăr să presupunem că A şi B sunt două evenimente din K atunci putem scrie:
B = (B - A) ∪ (A ∩ B), (B - A) ∩ (A ∩ B) = ∅.
Din definiţia măsurii de probabilitate P rezultă:
P(B) = P(B - A) + P(A ∩ B),
de unde se deduce proprietatea a).
Dacă A ⊂ B, atunci P(A ∩ B) = P(A) şi astfel se deduce proprietatea b). Dacă
ţinem seama că P(A - B) ≥ 0 din b) se deduce c). Deoarece ţinem seama că
A ∪ CA = Ω, obţinem că:
P(A) + P(CA) = P(Ω) = 1,
de unde rezultă proprietatea d). Din b) şi d) rezultă imediat e). Din ∅ ⊂ A ⊂ Ω şi
proprietăţile c), d) şi b) se deduce proprietatea f).

96
Probabilităţi - 5
Să considerăm relaţia A ∪ B = A ∪ (B - A ∩ B). Atunci avem P(A ∪ B) =
= P(A) + P(B - A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), deci proprietatea g) este adevărată.
Din definiţia diferenţei simetrice avem:
A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) şi (A - B) ∩ (B - A) = ∅.
Aplicând probabilitatea P evenimentelor echivalente de mai sus deducem:
P(A ∆ B) = P(A ∩ B) + P(B - A).
În baza proprietăţii a) avem:
P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B);
P(B - A) = P(B) - P(A ∩ B).
Adunând termen cu termen egalităţile de mai sus se deduce proprietatea h).
Pentru a demonstra proprietatea i) se observă mai întâi că
U Ai = UA′
i , unde U
i∈I i∈I 1 i−
A′
i = Ai
− A′
i ⊂ Ai
şi A′ m ∩ A′
n = ∅ , pentru
k=
1
orice n, m ∈ I şi n ≠ m. Ţinând seama de relaţiile de mai sus şi de Definiţia 1. se
deduce:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
P⎜U Ai
⎟ = P⎜U
A′
i ⎟ = ∑ P(
A′
i ) ≤ ∑ P(
Ai
) ,
⎝ i∈I
⎠ ⎝ i∈I
⎠ i∈I
i∈I
ceea ce reprezintă proprietatea i).
Dacă Ω este o mulţime finită, atunci câmpul de probabilitate (Ω, P(E), P),
card A
unde PA ( ) = şi card A reprezintă numărul de elemente al muţimii A, se
card Ω
numeşte câmpul de probabilitate al lui Laplace asociat mulţimii Ω sau câmpul lui
Laplace de ordin card Ω. Acest câmp corespunde unui experiment aleator ale cărui
rezultate posibile sau evenimente elementare sunt date de Ω şi sunt egal probabile
1
P(
{ ω } ) = pentru orice ω ∈ Ω. Această probabilitate este numită
card Ω
probabilitatea clasică, deoarece în conformitate cu definiţia sa, probabilitatea unui
eveniment A este egală cu raportul dintre numărul cazurilor favorabile lui A şi
numărul cazurilor posibile.
În construirea câmpului de probabilitate ce descrie un fenomen aleator apar
probleme deosebit de dificile la stabilirea spaţiului măsurabil ce descrie fenomenul,
care să permită construirea pe acesta a unei (măsuri de probabilitate) probabilităţi
adecvate. Dacă luăm cel mai simplu caz Ω = {a, b}, K = P(Ω), nu este clar apriori cât
trebuie să fie P({a}), valoarea ei poate fi orice număr din [0, 1]. Evident, această
valoare implică P({b}) = 1 - P(a). Observăm că determinarea probabilităţii unui
eveniment dat nu este, de regulă, o problemă cu soluţie imediată. Această problemă
creşte în dificultate în cazul unui corp borelian K complicat. Valorile probabilităţilor
P(A), A ∈ K fiind prin definiţie legate între ele, sugerează existenţa unei teoreme

9.2. Probabilitate 97
conform căreia, pe baza cunoaşterii valorilor P(A), pentru A ∈ K, parcurgând o
submulţime M a lui K, să se poată determina în mod unic P, ca funcţie a lui K în
[0, 1]. Următorul exemplu arată că în cazul când K = B(M) nu există o astfel de
teoremă. Într-adevăr, fie Ω= { e e e e }
1, 2, 3, 4 şi K = P(Ω). Atunci avem
K = B(
{ e1,
e2}{
, e1,
e3}
) . Numerele p1, p2, p3, p4
≥ 0 de sumă 1 ce definesc o
probabilitate P pe P(Ω) nu sunt perfect determinate dacă se cunosc
( { 1, 2} ) = 1 + 2 şi ( { } )
P e e p p P e1, e3 = p1 + p3.
Ca exemplu putem lua sistemele
de numere 1 ⎛ 1⎞
⎜ ,,, 00 ⎟ şi
⎝ 2 2⎠
1 ⎛ 1 1 1⎞
⎜ , , , ⎟ . Se observă că, în exemplul de mai sus,
⎝ 4 4 4 4⎠
1, 2, 3, 4 , ce au aceleaşi valori pentru p1 + p2
şi
p1 + p3.
Problema analizată mai sus este rezolvată de următoarea teoremă cunoscută
sub numele de teorema de unicitate:
există două variante pentru ( p p p p )
Teorema 1 (de unicitate). Fie (Ω, K) un spaţiu măsurabil, P1, P2
două probabilităţi
pe (Ω, K). Dacă K = B(M) cu M ⊂ P(Ω), închisă în raport cu intersecţia finită (adică
A, B ∈ M implică A ∩ B ∈ M) şi P 1 = P
M 2 (adică P P
M 1 = 2 pe M), atunci
P1 = P2.
Demonstraţie:
a) Fie U = { A A ∈ K : P1
( A)
= P2
( A)
} . Mulţimea U are proprietăţile:
1) Ω ∈ U;
2) A, B ∈ U, A ⊃ B implică A - B ∈ U;
3) A 1,
A 2 , K , A n , K ∈ U şi An ∩ Am
≠ ∅ pentru n ≠ m implică:
U ∞
m=
1
A ∈ U ;
m
4) U ⊃ M.
b) O familie de mulţimi inclusă în P(Ω) cu proprietăţile 1), 2), 3) se numeşte
u - sistem pe Ω. Intersecţia unei familii oarecare de u - sisteme pe Ω este un
u - sistem (sistem de unicitate). Deci, există un u - sistem generat de o familie N
⊂ P(Ω), acesta este cel mai mic u - sistem ce conţine pe N, notat cu µ(N). Din
raţionamentul de la a) rezultă că
( ) ( ) . P P1
=
µ M 2 µ M

98
Probabilităţi - 5
c) Vom arăta că dacă A, B ∈ N implică A ∩ B ∈ N, atunci A, B ∈ µ(N)
implică A ∩ B ∈ µ(N). Se consideră pentru fiecare A ∈ µ(N),
CA = { B:B∈
µ ( N)
,A ∩ B∈
µ ( N)
}. Se verifică faptul că CA este un u - sistem.
Dacă A ∈ N, atunci CA ⊃ N , deci CA ⊃ µ ( N).
Aceasta înseamnă că A ∩ B ∈
µ(N) pentru A ∈ N, B ∈ µ(N), deci CA ⊃ N pentru orice B ∈ µ(N), ceea ce
trebuia arătat.
d) Se verifică faptul că un u - sistem V pentru care A, B ∈ V implică A ∩ B ∈ V
este un corp borelian.
e) Din d) rezultă că µ(N) din enunţ este un corp borelian, care continuând pe M
conţine pe B(M), deci coincide cu acesta. Din b) rezultă că P1 = P2,
deoarece
B(M) = K este domeniul de definiţie al lui P1 şi P2 .
Demonstraţia teoremei de mai sus constituie un exemplu de raţionament cu
clase de mulţimi şi din acest motiv am prezentat-o în detaliu.
În continuare vom utiliza definiţia probabilităţii clasice în câteva exemple.
Vom stabili mai întâi:
D Ai , o partiţie a lui Ω,
i∈ I
cu I cel mult numărabilă şi astfel că B(Ω) = K. Atunci probabilitatea P este complet
determinată pe K dacă se cunosc valorile pi = P( Ai)
ale probabilităţii P, pentru
Ai∈ D.
Teorema 2. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate, = ( )
Demonstraţie: Dacă A = ∅ atunci P(A) = 0. Dacă A ≠ ∅ atunci A = UA i cu J cel
i∈J
mult numărabilă şi Ai Aj
P ( A)
P(
Ai
) = pi
.
În particular ( Ω)
= ∑ P(
Ai
) = ∑
∩ = ∅ , deci ∑ ∑
P p = 1.
i∈Ii∈I i
=
i∈Ji∈J Să presupunem că probabilităţile pi = P( Ai) = P sunt constante pentru orice i ∈ I,
adică evenimentele Ai sunt egal probabile.
Dacă A = UA i , atunci Ai sunt cazuri favorabile ale evenimentului A şi
i∈J
numărul cazurilor favorabile lui A este egal cu card J. Să presupunem că familia de
indici I este finită, adică I = {1, 2, ..., n} şi că J ⊂ I şi card J = m ≤ n . În acest caz
⎛ ⎞
⎛ ⎞
n
P(
A)
= P⎜U
Ai
⎟ = ∑ P(
Ai
) = mp . Din P(
Ω)
= P⎜U
Ai
⎟ = 1 rezultă ∑ p = 1 ,
⎝ i∈J
⎠ i∈J
⎝ i∈I
⎠
i=
1

9.2. Probabilitate 99
adică np = 1, deci p =
n
1 . Înlocuind p =
n
1 în P(A) obţinem
m cardJ
PA ( ) = = =
n cardI numarul cazurilor posibile
numarul cazurilor favorabile , ceea ce reprezintă definiţia
clasică a probabilităţilor.
Exemplul 1. Într-o urnă se află, numerotate de la 1 la 30, 30 de bile care nu diferă
decât prin culoare: 10 sunt albe, 15 sunt negre şi 5 sunt roşii. Considerăm ca
experienţă aleatoare extragerea unei bile din urnă. Să notăm cu A i evenimentul care
D = A1 A2 K Aneste un sistem complet de evenimente, format din familia tuturor evenimentelor elementare
constă în extragerea bilei cu numărul i, atunci sistemul { , , , }
asociate experienţei considerate. Deci U 30
Ω = A . Evenimentele Ai sunt egal
probabile şi PA ( i ) = 1
. Să notăm cu A, N şi R evenimentele care constau în
30
10
extragerea unei bile albe, negre, respectiv roşii, atunci PA ( ) = =
30
15 1 5 1
PN ( ) = = şi PR ( ) = =
30 2 30 6 .
Observaţia 1. Fie acum (Ω, K, P) un câmp borelian de probabilitate şi = ( )
o partiţie infinită a lui Ω. Să presupunem că PA ( ) p p
i=
1
i
1
3 ,
D Aii∈ N
i = i = > 0 pentru orice i ∈ N,
∞ ∞
atunci avem ∑p i = ∑p=
∞ ceea ce intră în contradicţie cu ∑
i= 1 i=
1
∞
p i = 1 . Dacă
i=
1
p = 0, atunci ∑ ∞
p i = 0 , ceea ce atrage din nou o contradicţie. Cele de mai sus arată că
i=
1
evenimentele Ai nu pot fi toate egal probabile şi deci, definiţia clasică a probabilităţii
nu poate fi extinsă la câmpuri de probabilitate infinite.
Teorema 3. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate (finit sau infinit, K fiind corp sau
corp borelian, după cum K este o mulţime finită sau infinită de evenimente) şi fie
( )
Ai , cu I mulţime finită o familie de evenimente din K. Atunci are loc egalitatea:
i∈ I

100 Probabilităţi - 5
⎛ ⎞
cardL−1
⎛ ⎞
P⎜U Ai
⎟ = ∑( −1)
P⎜
IA
i ⎟ ,
⎝ i∈I
⎠ L⊂ I ⎝ i∈L
⎠
numită formula lui Poincaré.
Teorema 4. În condiţiile Teoremei 3 să presupunem că I = {1, 2, ..., n}. Atunci are loc
inegalitatea:
⎛
P⎜
⎝
numită inegalitatea lui Boole.
n
I
i=
1
A
i
⎞
⎟ ≥
⎠
n
∑
i=
1
P
( A ) − ( n −1)
Observăm că Teorema 3 stabileşte probabilitatea reuniunii unei familii finite
de evenimente, nu incompatibile două căte două, iar Teorema 4 oferă o margine
inferioară a probabilităţii intersecţiei unei familii de evenimente. Ambele se
demonstrează prin inducţie, prima după card L iar a doua după n.
Observaţia 2. În modelarea matematică a unui experiment aleator se impun etapele:
definirea spaţiului evenimentelor K şi definirea probabilităţii P, ca funcţie de mulţime
definită pe K şi care să satisfacă condiţiile cerute. Chiar în cazurile cele mai simple
rezolvarea primeia nu atrage după sine automat rezolvarea şi celei de a doua etape,
existând foarte multe, chiar o infinitate de posibilităţi de a definii o probabilitate pe un
câmp (câmp borelian) de evenimente. Să presupunem că Ω= { ω1 ω2}
Nu este clar apriori cât trebuie să fie P( { ω1 } ) . Ştim doar că dacă ( { } )
atunci P( { ω2 } ) = 1−
a.
i
,
, şi K = P(Ω).
P ω1 = a
În continuare vom utiliza definiţia clasică a probabilităţii în rezolvarea unor
probleme, unele devenite deja, “scheme logice“.
Exemplul 2. Schema bilei nerevenite(neîntoarse). O urnă conţine a bile albe şi b
bile negre. Se iau la întâmplare n bile din urnă. Care este probabilitatea ca din n bile
extrase exact k bile să fie albe. Se inpun câteva condiţii: dacă m = a + b , atunci
trebuie ca n ≤ m, k ≤ n, k ≤ a şi n-k ≤ b.
Fie A mulţimea bilelor albe şi B mulţimea bilelor negre, atunci A∩ B=
∅
şi A ∪ B = F reprezintă mulţimea tuturor bilelor. Mulţimea evenimentelor elementare
este Ω = {C ⊂ F: card C = n}. Câmpul de probabilitate care descrie acest experiment
n
este câmpul lui Laplace de ordinul Cm . Să notăm cu E evenimentul care ne
interesează. Acesta este dat prin E = { C⊂ F
∩ }
observăm că aplicaţia:
:card C = n si card(C A) = k . Să

( , )
C→ C∩A C∩B este o bijecţie între mulţimile E şi:
{ DD : ⊂ AcardD , = k} × { DD : ⊂ BcardD , = n− k}
,
de unde rezultă că are loc cardE Ca C
k n− k
= ⋅ b . Obţinem astfel:
card E CaC PE
card C
k n−k ( ) ⋅ b
( ) = =
.
Ω n
m
9.2. Probabilitate 101
Exemplul 3. Schema bilei revenite(întoarse). Avem o urnă cu a bile albe şi b bile
negre. Extragem în mod aleator o bilă, ne uităm la ea şi o punem înapoi în urnă.
Repetăm această procedură de n ori. Care este probabilitatea ca de k ori să obţinem
bila albă?
Să observăm că mulţimea evenimentelor elementare este dată de
Ω= ( A∪ B) × ( A∪ B) × K × ( A∪B) ,
unde A este mulţimea bilelor albe şi B este mulţimea bilelor negre. Ω se mai poate
scrie sub forma:
Ω = UG1
× G2
× K×
Gn
.
G i ∈{
A,
B}
Să notăm cu E evenimentul a cărui probabilitate trebuie să o determinăm. Putem scrie:
E = UG1
× G2
× K×
Gn
.
card{
i:
G i = A}
= k
k k n− k
Obţinem imediat card( E) = Cn ⋅a⋅bşi k k n−k card( E)
Cn⋅a ⋅b
PE ( ) = =
.
card(
Ω)
( a b)
n
+
Probabilitatea P(E) mai poate fi exprimată şi astfel:
k n−k k ⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ k k n−k PE ( ) = Cn⎜
⎟ ⎜ ⎟ = Cn⋅p ⋅( 1 −p)
,
⎝ a+ b⎠⎝a+
b⎠
unde p este probabilitatea extragerii unei bile albe din urnă, la o procedură oarecare
din cele n în total, evident 1 - p reprezintă probabilitatea extragerii unei bile negre în
aceeaşi procedură de extragere.
Problemele de mai sus se găsesc formulate în diferite moduri, unele formulări
având aplicabilitate practică directă. De exemplu, bile albe pot fi articolele fără
defecţiuni în cadrul aceleiaşi livrări de marfă, etc.

102 Probabilităţi - 5
Observăm că pentru a stabili probabilitatea unui eveniment, utilizănd noţiunea
clasică, folosim o măsură a cazurilor favorabile şi a cazurilor posibile. Această măsură
este “ cardinalul “, numărul cazurilor respective. Uneori însă, această măsură nu poate
fi folosită , ambele mulţimi de cazuri fiind infinite. Aşa se întâmplă în situaţia utilizării
probabilităţilor geometrice. Nu ne vom ocupa pe larg de aceste probabilităţi, dar vom
prezenta un exemplu, cunoscut sub numele de problema lui Buffon.
Exemplul 4. Problema acului sau problema lui Buffon. Pe un plan sunt trasate
drepte paralele, astfel ca distanţa între oricare două drepte consecutive să fie 2a , a > 0.
Pe acest plan se aruncă la întâmplare un ac de lungime 2l, cu l > 0 şi l < a. Care este
probabilitatea ca acul să întretaie una din aceste drepte?
Rezolvare:
Poziţia acului faţă de dreptele reţelei este determinată de distanţa d, a mijlocului său,
la cea mai apropiată dintre drepte şi prin unghiul α pe care-l face direcţia acului cu
direcţia dreptelor. Se observă că d ia o valoare în intervalul [0, a] iar α în [0, π].
Poziţia acului fiind determinată de două numere poate fi reprezentată printr-un punct
în plan. Mulţimea poziţiilor posibile ale
acului este reprezentată de mulţimea
punctelor din domeniul D. Mulţimea
poziţiilor acului, în care intersectează una
din dreptele reţelei, este reprezentată de
mulţimea punctelor domeniului D’, definit
prin:
D′ = { ( d, α) : 0≤ d ≤ lsin
α, α ∈[
0, π]
} Pr
obabilitatea căutată a intersecţiei este:
a α
(0,a)
0
d
π
∫ lsinαα d
aria( D′
) 0 2 l
PI (&) = = =
aria( D)
π⋅aπa D
(π,0)
α
d
(0,a)
0
π ( 2 ) ,l
D
(π,0)
α

9.2. Probabilitate 103
Ţinând seama de rezultatul obţinut şi mai ales de posibilitatea simulării pe calculator,
de un număr foarte mare de ori a acestui experiment aleator, el poate fi utilizat pentru
obţinerea unei valori aproximative a numărului iraţional π.
Exemplul 5. (Problema concordanţelor). La o linie de montaj piesele sosesc în loturi
de câte n, aranjate în ordinea montării 1, 2, ..., n. Printr-un accident, piesele dintr-un
lot sosesc amestecate aleator. Să se determine:
a) probabilitatea ca cel puţin o piesă din lot să sosească în ordinea ei normală;
b) probabilitatea ca nici o piesă să nu sosească în ordinea ei normală.
Această problemă se găseşte formulată în multe alte moduri. De exemplu, n
persoane îşi pun cărţile de vizită într-o pălărie. Apoi pe rând, la întâmplare, fiecare ia o
carte de vizită din pălărie. Întrebările a) şi b) devin:
a’) Care este probalilitatea ca cel puţin o persoană să-şi extragă propria carte de
vizită; spunem în acest caz că a avut loc o concordanţă;
b’) Care este probalilitatea să nu avem nici o concordanţă?
Rezolvare:
Fie {1, 2, ..., n} mulţimea persoanelor şi { 1 , 2,...,
n}
mulţimea cărţilor de
vizită. Mulţimea evenimentelor elementare este:
12 , ,...,n : f este bijectivă}.
Ω = {f : {1, 2, ..., n} → { }
Numărul se elemente ale lui Ω este card Ω = n!. Fie A = { f ∈ Ω; f( i) = i}
i
evenimentul ca persoana de rang i să realizeze o concordanţă. Evenimentul a cărui
probabilitate este cerută la punctul a) este U n
A = Ai
. Pentru a calcula P(A) vom
i=
1
aplica formula lui Poincaré:
⎛ n ⎞
card L-1
⎛ ⎞
P ⎜U
Ai
⎟ = ∑( −1)
P⎜
IA
i ⎟ ,
⎝ i=
1 ⎠ L⊂{
1,
2,...,
n}
⎝ i∈L
⎠
⎛ ⎞ [ n − card
( L)
] !
unde P⎜I Ai
⎟ =
.
⎝ i∈L
⎠ n!
Vom obţine astfel:
PA C n
C
n
n
1 ( − 1)! 2 ( − 2)!
n−1
n 1
( ) = n − n + ... + ( −1)
Cn .
! n!
n!
Efectuând simplificările avem:
1 1 n−1
1
PA ( ) = 1−
+ + ... + ( −1)
.
2!
3!
n!

104 Probabilităţi - 5
b) Probabilitatea de a nu avea nici o concordanţă este:
1 1 n 1
PA ( ) = 1−
PA ( ) = − + ...( −1)
2!
3!
n!
.
Exemplul 6. Pentru ca un produs să corespundă controlului de calitate trebuie să
îndeplinească patru condiţii de calitate, notate A, B, C, D. Ştiind că 85% din produse
îndeplinesc condiţia A, 95% îndeplinesc condiţia B, 92% îndeplinesc condiţia C şi
97% îndeplinesc condiţia D, să se calculeze probabilitatea minimă ca un produs să
corespundă controlului de calitate.
Rezolvare: Pentru ca un produs să corespundă controlului de calitate trebuie să aibă
loc evenimentul X = A ∩ B ∩ C ∩ D. Aplicând inegalitatea lui Boole obţinem:
P (X) = P (A ∩ B ∩ C ∩ D) ≥ P(A) + P(B) + P(C) + P(D) - 3,
adică: P(X) ≥ 0,85 + 0,95 + 0,92 + 0,87 -3 = 3,59 - 3 = 0,59,
deci probabilitatea minimă căutată este 0,59.
5.3. Probabilităţi condiţionate.
Evenimente independente
Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate, finit sau infinit şi A, B două
evenimente din K astfel că P(A) > 0.
Definiţia 1. Se numeşte probabilitate a evenimentului B condiţionată de evenimentul
A sau probabilitate a lui B în raport cu A notată prin PA ( B)
sau PB ( / A)
numărul
definit prin:
PA ( ∩ B)
(5.3.1) PA ( B)
= .
PA ( )
Propoziţia 1. Aplicaţia PA :K → R definită prin:
PA
(5.3.2) K ∋ B⎯⎯→PA( B)
este o probabilitate sau altfel spus ( Ω, K, PA ) este un câmp de probabilitate.
Demonstraţie: Din (5.1.1) rezultă că PA ( B)
≥ 0 pentru orice B ∈ K. Mai mult,
pA ( ∩ Ω)
PA ( )
PA
( Ω)
= = =1,
pA ( ) PA ( )

5.3. Probabilităţi condiţionate. Evenimente independente 105
⎛
PA
⎜
⎝
∞
U
i=
1
⎛ ∞ ⎞ ⎡
P⎜A
∩ U Ai
⎟ P
⎞
⎢
⎟ =
⎝ i=
1 ⎠
=
⎣i
Ai
⎠ P(
A)
=
∞
∑
i=
1
( A ∩ A )
P
P(
A)
∞
U(
A ∩ Ai
)
= 1
i
∞
= ∑ PA
i=
1
Ai
P(
A)
( )
.
⎤
⎥
⎦
=
Am presupus, mai sus, că evenimentele Ai şi A j pentru i ≠ j sunt incompatibile,
ceea ce în mod evident, atrage după sine faptul că evenimentele A∩ Ai, A∩ Aj sunt incompatibile. Am arătat astfel că PA este o probabilitate pe K.
Să considerăm acum, două evenimente A şi B cu P(A) > 0 şi P(B) > 0, atunci
au sens probabilităţile condiţionate PA ( B)
şi PB( A)
şi mai mult avem:
PA ( ∩ B)
PA ( ∩ B)
PA( B)
= , PB( A)
= .
PA ( )
PB ( )
Din egalităţile de mai sus rezultă:
PA ( ∩ B) = PA ( ) ⋅ PA( B)
şi PA ( ∩ B) = PB ( ) ⋅ PB( A)
,
ceea ce arată că între probabilităţile condiţionate PA ( B)
şi PB( A)
există relaţia de
legătură:
(5.3.2) PA ( ) ⋅ PA( B) = PB ( ) ⋅ PB( A)
.
Pentru exemplificarea probabilităţii condiţionate să considerăm câmpul de
probabilitate al lui Laplace ( Ω, P( Ω),
P ) , unde Ω este o mulţime finită şi card
(Ω) = n. Fie A, B ⊂ Ω astfel încât card (A) = m, card (B) = p şi card (A ∩ B) = q. Să
se determine probabilitatea ca evenimentul B să aibă loc, ştiind că evenimentul A a
avut loc. În condiţiile date:
m p
q
PA ( ) = , PB ( ) = , PA ( ∩ B)
= .
n n
n
Dacă ştim că evenimentul A s-a produs rămân m cazuri posibile dintre care q sunt
q
favorabile lui B, deci PA ( B)
= , dar
m
q qn PA ( ∩ B)
= = . Obţinem astfel
m mn PA ( )
PA ( ∩ B)
PA ( B)
= .
PA ( )

106 Probabilităţi - 5
Teorema 1. (Formula probabilităţii totale). Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate,
finit sau infinit, şi ( Ai ) i∈
I ⊂ K un sistem complet de evenimente, cu PA ( i ) > 0 ,
pentru orice i ∈ I, I fiind o mulţime de indici cel mult numărabilă. În aceste condiţii
pentru orice eveniment A ∈ K are loc:
(5.3.3) P(
A)
= ∑ P(
Ai
) ⋅ PA
( A)
.
i
i∈I
Demonstraţie: ( )
A i i I
Ω = A şi
∈ fiind un sistem complet de evenimente avem U
i∈I
pentru orice i ≠ j, Ai ∩ Aj
= ∅ . Atunci A se descompune sub forma unei reuniuni
de evenimente incompatibile astfel:
de unde rezultă:
⎛ ⎞
A = A ∩ Ω = A ∩⎜U
Ai
⎟ = U(
A ∩ Ai
) ,
⎝ i∈I
⎠ i∈I
P(
A)
=
∑
i∈I
P
( A ∩ Ai
) = ∑ P(
Ai
)
i∈I
⋅ P
A i
( A)
Teorema 2 (Formula lui Bayes). În condiţiile Teoremei 1, dacă P(A) > 0 are loc şi
următoarea formulă:
(5.3.4)
P ( A ) =
A
i
P(
Ai
) ⋅ PA
( A)
i
P(
A ) ⋅ P ( A)
∑
j∈I
Demonstraţie: Din relaţia de legătură dintre probabilităţile condiţionate (5.3.2) avem:
PA ( i) ⋅ PA ( A)
i
PA( Ai)
=
.
PA ( )
Înlocuind pe P(A) cu expresia din formula (5.3.3) rezultă formula lui Bayes (5.3.4).
Această formulă poate fi interpretată ca determinând probabilităţile cauzelor,
în cazul în care se cunoaşte un sistem de cauze care provoacă un eveniment A.
PA( Ai)
este probabilitatea de a fi acţionat cauza Ai în ipoteza că evenimentul A s-a
produs.
j
A j
.
.
i

5.3. Probabilităţi condiţionate. Evenimente independente 107
Teorema 3. (Formula de înmulţire a probabilităţilor). Fie (Ω, K, P) un câmp de
⎛ n 1 ⎞
probabilitate şi ( Ai ) ⊂ K un sistem de evenimente astfel încât P⎜
A 0
i= 1, n
i ⎟ >
⎝ i 1 ⎠
−
I .
=
Atunci are loc:
⎛
⎞
n
I
i=
1 ⎠
1 A1
2 A1
∩A
2 3
−
I Ai
i=
1
(5.3.5) P⎜ ⎟ = P(
A ) ⋅ P ( A ) ⋅ P ( A ) ⋅L⋅
Pn
1 ( A )
⎝
Demonstraţie: Pentru n = 2 formula (5.3.5) rezultă din relaţia (5.3.2). Pentru n > 2
formula (5.3.5) îşi păstrează valabilitatea prin inducţie după n.
Fie câmpul de probabilitate (Ω, K, P) şi A, B ∈ K. Spunem că evenimentele A
şi B sunt independente dacă
(5.3.6) P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).
Sistemul de evenimente A1, A2, K , Andin K se numeşte sistem de evenimente
independente, dacă pentu orice i1, i2, K , im, cu 1 ≤ i1 < i2 < K < im≤n, m ≤ n are
loc
(5.3.7) P( A ∩ A ∩ ∩ A ) = P(
A ) ⋅ P(
A ) ⋅L⋅
P(
A )
i1
i2
K .
im
Despre două sisteme complete de evenimente A1, A2, K , Am şi
B1, B2, K , Bnspunem că sunt independente dacă are loc
(5.3.8) PA ( i ∩ Bj) = PA ( i) ⋅ PB ( j)
pentru orice i = 1, m,
j= 1, n.
Vom arăta, printr-un exemplu, că independenţa a două câte două evenimente
ale unui sistem nu implică independenţa sistemului de evenimente în sensul definiţiei
de mai sus.
Fie Ω= { ω1, ω2, ω3, ω4}
, K = P(Ω) şi P( { ω i}
) = 1
. (Ω, K, P) este
4
câmpul de probabilitate al lui Laplace cu patru evenimente elementare. Vom considera
evenimentele A = { ω1, ω2}
, B = { ω1, ω3}
şi C = { ω1, ω4}
. Observăm că
2
= = = =
4
PA ( ) PB ( ) PC ( )
1
2
i1
i2
im
1
şi PA ( ∩ B) = = PA ( ) ⋅PB
( ) ,
4
n
.

108 Probabilităţi - 5
1
1
PA ( ∩ C) = = PA ( ) ⋅PC
( ) , PB ( ∩ C) = = PB ( ) ⋅PC
( ) , pe când
4
4
1
1
PA ( ∩B∩ C) = ≠ PA ( ) ⋅PB ( ) ⋅ PC ( ) = , deci evenimentele A, B, C sunt
4
8
independente două câte două dar nu formează un sistem de evenimente independente.
Exemplul 1. Într-un lot pus în vânzare la un magazin se află produsele a trei fabrici
Fi i = 1, 2, 3, în cantităţile 300, 420 şi respectiv 540 produse. Se ştie, din verificări
statistice, că fiecare dintre fabrici livrează produse defecte în proporţie de 1%, 2% şi
respectiv 2,5%. O cantitate de produse văndute în valoare de 6.000 u.m. au fost
restituite magazinului ca necorespunzătoare. Să se determine sumele ce trebuie
imputate fabricilor, dacă nu se ştie de la care dintre fabrici au provenit produsele
defecte.
Rezolvare: Este firesc ca sumele imputate să fie proporţionale cu probabilităţile
corespunzătoare de a trimite produse defecte.
Fie Ei evenimentul, ca un produs luat la întâmplare, să fie al fabricii
Fi i = 1, 2, 3. Evenimentele Ei formează un sistem complet de evenimente cu
300
420
probabilităţile PE ( 1)
= = 0, 238 , PE ( 2 ) = = 0, 333
1260
1260
540
şi PE ( 3)
= = 0428 , .
1260
Fie X evenimentul, ca luând la întâmplare un produs din magazin, acesta să fie
defect. Probabilităţile condiţionate ale evenimentului X, de către evenimentele Ei , i =
1, 2, 3, sunt: PE( X)
= 001 , , P ( X)
1
E = 002 , şi respectiv P ( X)
2
E = 0, 025.
3
Probabilităţile ca un produs defect să aparţină fabrici Fi i = 1, 2, 3 vor fi PX( Ei
) , i =
1, 2, 3, care sunt date de formula lui Bayes, în funcţie de probabilităţile determinate
mai sus şi anume, avem:
P
X
( E )
Obţinem PX( E1)
= 0, 125 , P ( E )
i
=
( Ei
) ⋅ PE
( X)
i
P(
E ) ⋅ P ( X)
P
3
∑
k=
1
k
X 2 0 395
E k
= , , P ( E )
.
X 3 = 0, 514 .

5.3. Probabilităţi condiţionate. Evenimente independente 109
Dacă notăm cu S i , i = 1, 2, 3 sumele ce trebuie imputate, vom avea
S1 S2 S3 S1 + S2 + S3
= = =
, de unde rezultă S1 = 750 u.m., S2 = 2154
0, 125 0, 359 0, 514 1
u.m., S3 = 3084 u.m..
În continuare vom face câteva consideraţii asupra unor şiruri de evenimente.
Fie (Ω, K, P) un câmp de evenimente. Un şir de evenimente ( An ) n∈
N ⊂ K se
numeşte ascendent dacă:
(5.3.9) A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ A n ⊂ A n+1 ⊂ ...
Un şir de evenimente ( ) ⊂ K
Dn n N
∈ se numeşte descendent dacă:
(5.3.10) D1⊃ D2 ⊃ ... ⊃ Dn ⊃ Dn+1 ⊃ ...
Observăm că pentru şirul ascendent ( )
A n n N
descendent ( )
D n n N
are loc
∈ I n
Dn
k=
1
k
are loc
∈ U n
An
k = 1
= A , iar pentru şirul
= D . Pe baza acestei observaţii avem:
(5.3.11) U ∞
lim = A = A şi I ∞
lim D D .
n→∞
n
k=
1
k
n→∞
n =
k=
1
Se pune întrebarea, dacă limitele de mai sus comută cu probabilitatea? Răspunsul este
dat de teoremele următoare.
Teorema 4. Fie (Ω, K, P) un câmp borelian de probabilitate. Pentru orice şir
ascendent ( A n ) ⊂ K , are loc:
n∈N (5.3.12) ( )
lim PAn = P lim An
n→∞
n→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟ .
⎝ ⎠
Demonstraţie: Şirul ( A n ) fiind dat, construim şirul ( B )
n∈ N
n prin:
n∈ N
B1 = A1,
..., Bn = An − An−1 = An ∩An−1
,
pentru orice n ≥ 2. Acest şir are proprietăţile:
(5.3.13) B B
i j
∩ = ∅ pentru orice i ≠ j şi U i = U
∞
k
∞
i= 1 i=
1
k
A B .
i

110 Probabilităţi - 5
avem:
Pe baza relaţiilor (5.3.13) şi a axiomei de complet aditivitate a probabilităţii P
⎛ ∞ ⎞ ⎛ ∞ ⎞
P⎜ lim A ⎟⎞
n = P⎜U
Ai
⎟ = P⎜U
Bi
⎟ =
⎝ n→∞
⎠ ⎝ i=
1 ⎠ ⎝ i=
1 ⎠
⎛ ∑ ∞
= lim
i=
1
P(
B )=
∞
∑ 1
→∞ =
→∞
2
1
P n
n
n 1
n
( B ) = lim[
P(
A ) + P(
A ) − P(
A ) + K
( ) ( ) ( ) ( )] ( )
+ PAn−1 − PAn−2 + PAn − PAn−1 = lim PAn
n→∞
,
tocmai ceea ce trebuia demonstrat.
Teorema 5. Fie (Ω, K, P) un câmp borelian de probabilitate. Pentru orice şir
descendent ( Dn ) ⊂ K are loc:
n∈N (5.3.14) ( )
lim PDn = P lim Dn
n→∞
n→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟ .
⎝ ⎠
Dn al
n∈ N
evenimentelor contrare este un şir ascendent. Conform teoremei precedente vom avea:
lim PD ( n ) = P lim Dn
n→∞
n→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ,
⎝ ⎠
Demonstraţie: ( Dn ) fiind un şir descendent rezultă că şirul ( )
n∈ N
lim D
= UD= I D
dar n n n
n
n→∞
n= 1 n=
1
n→∞
∞
∞
i
= lim D
⎛ ⎞
şi P⎜lim Dn⎟ = P lim Dn P lim D
⎝
n
n→∞
⎠ n→∞
n→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟ = −
⎝ ⎠
⎛ ⎞
1 ⎜ ⎟ . În acelaşi timp:
⎝ ⎠
( ) ( )
[ n ] ( n )
lim PDn n→∞
Am obţinut astfel că:
= lim 1− PD
n→∞
= 1 − lim PD
n→∞
.
1−1 ( )
⎛ ⎞
P⎜lim D ⎟ = −
⎝ n lim P D
n→∞
⎠
n ,
n→∞
de unde rezultă egalitatea (5.3.14).