Probabilitati - Analiza matematica. MPT

5.3. Probabilităţi condiţionate. Evenimente independente 105
⎛
PA
⎜
⎝
∞
U
i=
1
⎛ ∞ ⎞ ⎡
P⎜A
∩ U Ai
⎟ P
⎞
⎢
⎟ =
⎝ i=
1 ⎠
=
⎣i
Ai
⎠ P(
A)
=
∞
∑
i=
1
( A ∩ A )
P
P(
A)
∞
U(
A ∩ Ai
)
= 1
i
∞
= ∑ PA
i=
1
Ai
P(
A)
( )
.
⎤
⎥
⎦
=
Am presupus, mai sus, că evenimentele Ai şi A j pentru i ≠ j sunt incompatibile,
ceea ce în mod evident, atrage după sine faptul că evenimentele A∩ Ai, A∩ Aj sunt incompatibile. Am arătat astfel că PA este o probabilitate pe K.
Să considerăm acum, două evenimente A şi B cu P(A) > 0 şi P(B) > 0, atunci
au sens probabilităţile condiţionate PA ( B)
şi PB( A)
şi mai mult avem:
PA ( ∩ B)
PA ( ∩ B)
PA( B)
= , PB( A)
= .
PA ( )
PB ( )
Din egalităţile de mai sus rezultă:
PA ( ∩ B) = PA ( ) ⋅ PA( B)
şi PA ( ∩ B) = PB ( ) ⋅ PB( A)
,
ceea ce arată că între probabilităţile condiţionate PA ( B)
şi PB( A)
există relaţia de
legătură:
(5.3.2) PA ( ) ⋅ PA( B) = PB ( ) ⋅ PB( A)
.
Pentru exemplificarea probabilităţii condiţionate să considerăm câmpul de
probabilitate al lui Laplace ( Ω, P( Ω),
P ) , unde Ω este o mulţime finită şi card
(Ω) = n. Fie A, B ⊂ Ω astfel încât card (A) = m, card (B) = p şi card (A ∩ B) = q. Să
se determine probabilitatea ca evenimentul B să aibă loc, ştiind că evenimentul A a
avut loc. În condiţiile date:
m p
q
PA ( ) = , PB ( ) = , PA ( ∩ B)
= .
n n
n
Dacă ştim că evenimentul A s-a produs rămân m cazuri posibile dintre care q sunt
q
favorabile lui B, deci PA ( B)
= , dar
m
q qn PA ( ∩ B)
= = . Obţinem astfel
m mn PA ( )
PA ( ∩ B)
PA ( B)
= .
PA ( )