Probabilitati - Analiza matematica. MPT

9.2. Probabilitate 97
conform căreia, pe baza cunoaşterii valorilor P(A), pentru A ∈ K, parcurgând o
submulţime M a lui K, să se poată determina în mod unic P, ca funcţie a lui K în
[0, 1]. Următorul exemplu arată că în cazul când K = B(M) nu există o astfel de
teoremă. Într-adevăr, fie Ω= { e e e e }
1, 2, 3, 4 şi K = P(Ω). Atunci avem
K = B(
{ e1,
e2}{
, e1,
e3}
) . Numerele p1, p2, p3, p4
≥ 0 de sumă 1 ce definesc o
probabilitate P pe P(Ω) nu sunt perfect determinate dacă se cunosc
( { 1, 2} ) = 1 + 2 şi ( { } )
P e e p p P e1, e3 = p1 + p3.
Ca exemplu putem lua sistemele
de numere 1 ⎛ 1⎞
⎜ ,,, 00 ⎟ şi
⎝ 2 2⎠
1 ⎛ 1 1 1⎞
⎜ , , , ⎟ . Se observă că, în exemplul de mai sus,
⎝ 4 4 4 4⎠
1, 2, 3, 4 , ce au aceleaşi valori pentru p1 + p2
şi
p1 + p3.
Problema analizată mai sus este rezolvată de următoarea teoremă cunoscută
sub numele de teorema de unicitate:
există două variante pentru ( p p p p )
Teorema 1 (de unicitate). Fie (Ω, K) un spaţiu măsurabil, P1, P2
două probabilităţi
pe (Ω, K). Dacă K = B(M) cu M ⊂ P(Ω), închisă în raport cu intersecţia finită (adică
A, B ∈ M implică A ∩ B ∈ M) şi P 1 = P
M 2 (adică P P
M 1 = 2 pe M), atunci
P1 = P2.
Demonstraţie:
a) Fie U = { A A ∈ K : P1
( A)
= P2
( A)
} . Mulţimea U are proprietăţile:
1) Ω ∈ U;
2) A, B ∈ U, A ⊃ B implică A - B ∈ U;
3) A 1,
A 2 , K , A n , K ∈ U şi An ∩ Am
≠ ∅ pentru n ≠ m implică:
U ∞
m=
1
A ∈ U ;
m
4) U ⊃ M.
b) O familie de mulţimi inclusă în P(Ω) cu proprietăţile 1), 2), 3) se numeşte
u - sistem pe Ω. Intersecţia unei familii oarecare de u - sisteme pe Ω este un
u - sistem (sistem de unicitate). Deci, există un u - sistem generat de o familie N
⊂ P(Ω), acesta este cel mai mic u - sistem ce conţine pe N, notat cu µ(N). Din
raţionamentul de la a) rezultă că
( ) ( ) . P P1
=
µ M 2 µ M