Probabilitati - Analiza matematica. MPT

5.3. Probabilităţi condiţionate. Evenimente independente 109
Dacă notăm cu S i , i = 1, 2, 3 sumele ce trebuie imputate, vom avea
S1 S2 S3 S1 + S2 + S3
= = =
, de unde rezultă S1 = 750 u.m., S2 = 2154
0, 125 0, 359 0, 514 1
u.m., S3 = 3084 u.m..
În continuare vom face câteva consideraţii asupra unor şiruri de evenimente.
Fie (Ω, K, P) un câmp de evenimente. Un şir de evenimente ( An ) n∈
N ⊂ K se
numeşte ascendent dacă:
(5.3.9) A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ A n ⊂ A n+1 ⊂ ...
Un şir de evenimente ( ) ⊂ K
Dn n N
∈ se numeşte descendent dacă:
(5.3.10) D1⊃ D2 ⊃ ... ⊃ Dn ⊃ Dn+1 ⊃ ...
Observăm că pentru şirul ascendent ( )
A n n N
descendent ( )
D n n N
are loc
∈ I n
Dn
k=
1
k
are loc
∈ U n
An
k = 1
= A , iar pentru şirul
= D . Pe baza acestei observaţii avem:
(5.3.11) U ∞
lim = A = A şi I ∞
lim D D .
n→∞
n
k=
1
k
n→∞
n =
k=
1
Se pune întrebarea, dacă limitele de mai sus comută cu probabilitatea? Răspunsul este
dat de teoremele următoare.
Teorema 4. Fie (Ω, K, P) un câmp borelian de probabilitate. Pentru orice şir
ascendent ( A n ) ⊂ K , are loc:
n∈N (5.3.12) ( )
lim PAn = P lim An
n→∞
n→∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟ .
⎝ ⎠
Demonstraţie: Şirul ( A n ) fiind dat, construim şirul ( B )
n∈ N
n prin:
n∈ N
B1 = A1,
..., Bn = An − An−1 = An ∩An−1
,
pentru orice n ≥ 2. Acest şir are proprietăţile:
(5.3.13) B B
i j
∩ = ∅ pentru orice i ≠ j şi U i = U
∞
k
∞
i= 1 i=
1
k
A B .
i