Probabilitati - Analiza matematica. MPT

9.2. Probabilitate 95
Fie acum A un eveniment oarecare al câmpului dat. Atunci
A = Ai ∪Ai ∪K ∪A
1 2 i şi avem:
m
⎛ m ⎞ m
m 1 m
P(
A)
= P⎜
U Ai
⎟ = P(
Ai
)
k ∑ = =
k ∑ .
⎝ k=
1 ⎠ k=
1
i=
1 n n
S-a obţinut mai sus definiţia clasică a probabilităţii care are o deosebită
importanţă practică şi care stabileşte că într-un câmp finit de probabilitate,
probabilitatea unui eveniment oarecare este egală cu raportul dintre numărul de
evenimente elementare favorabile evenimentului dat şi numărul total de evenimente
elementare ale câmpului.
În cele ce urmează vor fi prezentate câteva proprietăţi imediate ale
probabilităţii (măsurii de probabilitate P).
Propoziţia 2. Pentru orice câmp de probabilitate (Ω, K, P) au loc proprietăţile
a) P(B - A) = P(B) - P(A ∩ B);
b) Dacă A ⊂ B atunci P(B - A) = P(B) - P(A);
c) Dacă A ⊂ B atunci P(A) ≤ P(B);
d) P(CA) = 1 - P(A);
e) P(∅) = 0;
f) 0 ≤ P(A) ≤ 1;
g) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B);
h) P(A ∆ B) = P(A) + P(B) - 2P(A ∩ B), unde A ∆ B este diferenţa simetrică a lui A
i)
şi B, adică A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A);
Pentru orice mulţime cel mult numărabilă de evenimente ( Ai ) i∈
I
proprietatea de subaditivitate:
⊂ K are loc
⎛ ⎞
P⎜U Ai
⎟ ≤ ∑ P(
Ai
) .
⎝ i∈I
⎠ i∈I
Proprietăţile enumerate mai sus se deduc imediat din definiţiile date.
Într-adevăr să presupunem că A şi B sunt două evenimente din K atunci putem scrie:
B = (B - A) ∪ (A ∩ B), (B - A) ∩ (A ∩ B) = ∅.
Din definiţia măsurii de probabilitate P rezultă:
P(B) = P(B - A) + P(A ∩ B),
de unde se deduce proprietatea a).
Dacă A ⊂ B, atunci P(A ∩ B) = P(A) şi astfel se deduce proprietatea b). Dacă
ţinem seama că P(A - B) ≥ 0 din b) se deduce c). Deoarece ţinem seama că
A ∪ CA = Ω, obţinem că:
P(A) + P(CA) = P(Ω) = 1,
de unde rezultă proprietatea d). Din b) şi d) rezultă imediat e). Din ∅ ⊂ A ⊂ Ω şi
proprietăţile c), d) şi b) se deduce proprietatea f).