Ecuatii diferentiale ˆın form˘a simetric˘a. Integrale prime

Observat¸ii. 1. Relat¸ia
este echivalentă cu
∂H
(x, y) = µ(x, y)P (x, y) ¸si
∂x
dH = µω în U
∂H
(x, y) = µ(x, y)Q(x, y) pentru orice (x, y) ∈ U.
∂y
2. Deoarece curbele de nivel ale unei integrale prime H în U a ecuat¸iei (1) se numesc
curbe integrale, mai spunem că solut¸ia generală în U a ecuat¸iei (1) este dată de
formula
Exemplul 1. Considerăm ecuat¸ia Pfaff
H(x, y) = c, c ∈ R constantă arbitrară.
xdx + ydy = 0.
Este u¸sor de văzut că funct¸ia H : R 2 → R dată prin H(x, y) = (x 2 + y 2 )/2 are
∂H/∂x = x ¸si ∂H/∂y = y, adică dH = xdx + ydy. Prin urmare ecuat¸ia dată este
integrabilă în R 2 , chiar exactă de fapt. Funct¸ia H este o integrală primă în R 2 a
ecuat¸iei date, iar solut¸ia ei generală este dată de formula
x 2 + y 2 = c, c ∈ R constantă arbitrară.
Familia curbelor integrale ale ecuat¸iei Pfaff xdx + ydy = 0 este familia de cercuri cu
centrul in origine de rază arbitrară √ c cu c > 0.
Se poate arăta că ¸si funct¸iile ˜ H, ˆ H, ˇ H : R 2 → R date prin ˜ H(x, y) = x 2 + y 2 ,
ˆH(x, y) = x 2 + y 2 + 10 respectiv ˇ H(x, y) = e x2 +y 2
sunt integrale prime în R 2 ale
acestei ecuat¸ii. Dar să observăm că acestea se pot scrie ,,în funct¸ie” de H, adică
notând ˜ F , ˆ F , ˇ F : R → R funct¸iile date prin ˜ F (h) = 2h, ˆ F (h) = 2h + 10 respectiv
ˇF (h) = e 2h avem ˜ H = ˜ F (H), ˆ H = ˆ F (H) respectiv ˇ H = ˇ F (H). Observăm de
asemenea că toate aceste integrale prime au acelea¸si curbe de nivel ca ¸si H.
Exercit¸iul 1. Arătat¸i că ecuat¸ia Pfaff
ydx + xdy = 0
este exactă ¸si reprezentat¸i curbele ei integrale.
2