Ecuatii diferentiale ˆın form˘a simetric˘a. Integrale prime

Ecuat¸ii diferent¸iale în formă simetrică. Integrale prime
Considerăm o relat¸ie de forma
(1) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
unde P, Q : D → R sunt funct¸ii continue pe o submult¸ime nevidă D ⊂ R 2 . Aici
notat¸iile dx, respectiv dy reprezintă diferent¸ialele funct¸iilor de două variable (x, y) ↦→
x, respectiv (x, y) ↦→ y. Dacă notăm
ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy
spunem că ω este o formă diferent¸ială de ordinul întâi sau, mai simplu, este o 1-
formă.
Fără a preciza deocamdată ,,necunoscuta”, numim (1) ecuat¸ie Pfaff sau ecuat¸ie
diferent¸ială în formă simetrică. In legătură cu (1) dăm următoarele definit¸ii.
Definit¸ia 1 Fie U ⊂ R 2 o mult¸ime nevidă, deschisă ¸si conexă. Dacă există o funct¸ie
continuă µ : U → R ¸si o funct¸ie de clasă C 1 neconstantă H : U → R astfel încât
dH = µω în U
atunci spunem că (1) este o ecuat¸ie integrabilă în U.
Funct¸ia H se nume¸ste integrală primă în U a ecuat¸iei (1), iar µ se nume¸ste
factor integrant corespunzător integralei prime H.
In cazul în care există o funct¸ie de clasă C 1 neconstantă H : U → R astfel încât
dH = ω în U
atunci spunem în plus că ω este o 1-formă exactă în U, ¸si că (1) este o ecuat¸ie
exactă în U.
Mult¸imile de nivel ale unei integrale prime H în U pentru (1) se numesc curbe
integrale în U ale ecuat¸iei diferent¸iale în formă simetrică (1).
1

Observat¸ii. 1. Relat¸ia
este echivalentă cu
∂H
(x, y) = µ(x, y)P (x, y) ¸si
∂x
dH = µω în U
∂H
(x, y) = µ(x, y)Q(x, y) pentru orice (x, y) ∈ U.
∂y
2. Deoarece curbele de nivel ale unei integrale prime H în U a ecuat¸iei (1) se numesc
curbe integrale, mai spunem că solut¸ia generală în U a ecuat¸iei (1) este dată de
formula
Exemplul 1. Considerăm ecuat¸ia Pfaff
H(x, y) = c, c ∈ R constantă arbitrară.
xdx + ydy = 0.
Este u¸sor de văzut că funct¸ia H : R 2 → R dată prin H(x, y) = (x 2 + y 2 )/2 are
∂H/∂x = x ¸si ∂H/∂y = y, adică dH = xdx + ydy. Prin urmare ecuat¸ia dată este
integrabilă în R 2 , chiar exactă de fapt. Funct¸ia H este o integrală primă în R 2 a
ecuat¸iei date, iar solut¸ia ei generală este dată de formula
x 2 + y 2 = c, c ∈ R constantă arbitrară.
Familia curbelor integrale ale ecuat¸iei Pfaff xdx + ydy = 0 este familia de cercuri cu
centrul in origine de rază arbitrară √ c cu c > 0.
Se poate arăta că ¸si funct¸iile ˜ H, ˆ H, ˇ H : R 2 → R date prin ˜ H(x, y) = x 2 + y 2 ,
ˆH(x, y) = x 2 + y 2 + 10 respectiv ˇ H(x, y) = e x2 +y 2
sunt integrale prime în R 2 ale
acestei ecuat¸ii. Dar să observăm că acestea se pot scrie ,,în funct¸ie” de H, adică
notând ˜ F , ˆ F , ˇ F : R → R funct¸iile date prin ˜ F (h) = 2h, ˆ F (h) = 2h + 10 respectiv
ˇF (h) = e 2h avem ˜ H = ˜ F (H), ˆ H = ˆ F (H) respectiv ˇ H = ˇ F (H). Observăm de
asemenea că toate aceste integrale prime au acelea¸si curbe de nivel ca ¸si H.
Exercit¸iul 1. Arătat¸i că ecuat¸ia Pfaff
ydx + xdy = 0
este exactă ¸si reprezentat¸i curbele ei integrale.
2

Dăm în continuare un rezultat important ¸si foarte util în a stabili dacă o ecuat¸ie
este sau nu exactă.
Teorema 1 Fie I, J ⊂ R intervale nevide deschise ¸si notăm U = I × J. Fie P, Q ∈
C 1 (U). Ecuat¸ia (1) is exactă în U dacă ¸si numai dacă
(2)
∂P
∂y
∂Q
(x, y) = (x, y) pentru orice (x, y) ∈ U.
∂x
Exemplul 2. Fie I, J ⊂ R intervale nevide deschise, (x0, y0) ∈ I × J fixat ¸si
P ∈ C 1 (I), Q ∈ C 1 (J). Ecuat¸ia Pfaff
este exactă în I × J cu integrala primă
H(x, y) =
P (x)dx + Q(y)dy = 0
x
x0
P (s)ds +
Exemplul 3. Ne propunem să arătăm că ecuat¸ia
y
y0
Q(s)ds.
(x 2 + y)dx + (x − 3y)dy = 0
este exactă în R 2 ¸si să determinăm o integrală primă.
Notând P (x, y) = x 2 +y ¸si Q(x, y) = x−3y avem ∂P/∂y = 1 ¸si ∂Q/∂x = 1. Pe baza
Teoremei 1 deducem că ecuat¸ia este exactă în R 2 . Prin urmare, există H : R 2 → R
astfel încât dH = (x 2 +y)dx+(x−3y)dy, adică ∂H/∂x = x 2 +y ¸si ∂H/∂y = x−3y.
Integrând relat¸ia ∂H/∂x = x 2 +y în raport cu variabila x avem că există ϕ ∈ C 1 (R)
astfel încât H(x, y) = x 3 /3+xy+ϕ(y). Inlocuind această expresie în ∂H/∂y = x−3y
obt¸inem x + ϕ ′ (y) = x − 3y, adică ϕ ′ (y) = −3y. Alegem ϕ(y) = −3y 2 /2 ¸si obt¸inem
că
H(x, y) = x 3 /3 + xy − 3y 2 /2
este o integrală primă în R 2 a ecuat¸iei date.
3

Dăm în continuare o caracterizare a not¸iunii de integrală primă.
Teorema 2 Fie U ⊂ R 2 o mult¸ime nevidă, deschisă ¸si conexă (de exemplu U = R 2 ),
¸si P, Q ∈ C(U) astfel încât (P (x, y), Q(x, y)) = (0, 0) pentru orice (x, y) ∈ U.
Fie H ∈ C 1 (U). Avem că H este o integrală primă în U a ecuat¸iei Pfaff
(1) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
dacă ¸si numai dacă
(3) Q(x, y) ∂H
∂x
(x, y) − P (x, y)∂H (x, y) = 0 pentru orice (x, y) ∈ U.
∂y
Demonstrat¸ie. Dacă H e o integrală primă în U a ecuat¸iei Pfaff (1) atunci (a se
vedea ¸si Observat¸ia 1) există o funct¸ie continuă µ : U → R astfel încât ∂H/∂x = µP
¸si ∂H/∂y = µQ. De aici imediat se poate observa că (3) are loc.
Dacă H satisface (3) atunci avem că pentru fiecare (x, y) ∈ U vectorii (Q, −P )
¸si ∇H = (∂H/∂x, ∂H/∂y) sunt ortogonali. Prin urmare vectorii ∇H ¸si (P, Q)
sunt paraleli. Atunci există µ astfel încât ∇H = µ(P, Q). Să ne reamintim
că acest rat¸ionament l-am făcut pentru fiecare (x, y) ∈ U. Prin urmare am
obt¸inut funct¸ia µ : U → R despre care ne propunem să demonstrăm că este
continuă. Pentru aceasta definim mult¸imile U1 = {(x, y) ∈ U : P (x, y) = 0}
¸si U2 = {(x, y) ∈ U : Q(x, y) = 0}. Acestea sunt mult¸imi deschise (deoarece
P ¸si Q sunt continue) care satisfac relat¸ia U1 ∪ U2 = U, însă există posibili-
tatea pentru fiecare dintre ele să coincidă cu U sau chiar să fie vide. Definim
funct¸iile µ1 : U1 → R ¸si µ2 : U2 → R prin µ1(x, y) = ∂H
(x, y)/P (x, y), respectiv
∂x
µ2(x, y) = ∂H
∂y (x, y)/Q(x, y). Este u¸sor de văzut că µ1 ¸si µ2 sunt continue. Deoarece
∇H = µ(P, Q) în U, avem că µ1 = µ|U1 ¸si µ2 = µ|U2, ceea ce, împreună cu faptul că
U1 ∪ U2 = U, ne asigură continuitatea lui µ pe U. Deci, într-adevăr, există o funct¸ie
continuă µ : U → R astfel încât dH = µP dx + µQdy, adică H e o integrală primă
în U a ecuat¸iei (1).
Observat¸ia 3. Un punct (x0, y0) ∈ U astfel încât (P (x0, y0), Q(x0, y0)) = (0, 0) se
nume¸ste punct singular pentru ecuat¸ia Pfaff (1). Vă invit să descoperit¸i unde s-a
folosit în demonstrat¸ia Teoremei anterioare că (1) nu are puncte singulare în U.
4

Revenim la ecuat¸iile diferent¸iale de forma
(4) y ′ = f(x, y)
unde f : D → R este o funct¸ie continuă pe o submult¸ime nevidă D ⊂ R 2 . Ne
propunem mai întâi să dăm not¸iunea de integrală primă pentru ecuat¸ia (4).
Definit¸ia 2 Fie U ⊂ R 2 o mult¸ime nevidă, deschisă ¸si conexă ¸si H : U → R o
funct¸ie de clasă C 1 neconstantă. Dacă oricare ar fi ϕ : I → R o solut¸ie în U pentru
(4) există o constantă c ∈ R astfel încât
H(x, ϕ(x)) = c pentru orice x ∈ I
atunci spunem că H este o integrală primă în U a ecuat¸iei (4).
Exemplul 4. H(x, y) = ye −x este o integrală primă în R 2 a ecuat¸iei y ′ = y. Stim
că solut¸ia generală a acestei ecuat¸ii este y = ce x . Atunci oricare ar fi ϕ : R → R o
solut¸ie există c ∈ R astfel încât ϕ(x) = ce x pentru orice x ∈ R. Mai mult, evident
avem H(x, ϕ(x)) = c pentru orice x ∈ R.
Considerăm acum ecuat¸ia diferent¸ială în formă simetrică
(5) f(x, y)dx − dy = 0
care se obt¸ine formal din (4) înlocuind y ′ = dy/dx.
Următorul rezultat arată că ecuat¸iile diferent¸iale (4) ¸si (5) sunt geometric echiva-
lente, adică au acelea¸si curbe integrale.
Teorema 3 Fie U ⊂ R 2 o mult¸ime nevidă, deschisă ¸si conexă ce cont¸ine doar
puncte de existent¸ă ¸si unicitate pentru ecuat¸ia (4). Fie H ∈ C 1 (U). Avem că H este
o integrală primă în U pentru (4) dacă ¸si numai dacă H este o integrală primă în
U pentru (5).
Demonstrat¸ie. Mai întâi presupunem că H este o integrală primă în U pentru (4).
Fie (x0, y0) ∈ U arbitrar fixat ¸si ϕ : I → R unica solut¸ie (în U) a Problemei Cauchy
y ′ = f(x, y), y(x0) = y0.
5

Atunci există c ∈ R astfel încât H(x, ϕ(x)) = c pentru orice x ∈ I. Derivând
această relat¸ie obt¸inem
∂H
∂H
(x, ϕ(x)) +
∂x ∂y (x, ϕ(x))ϕ′ (x) = 0 pentru orice x ∈ I.
In particular pentru x = x0 ¸si t¸inând cont că ϕ(x0) = y0 ¸si ϕ ′ (x0) = f(x0, y0) avem
∂H
∂x (x0, y0) + ∂H
∂y (x0, y0)f(x0, y0) = 0.
Având în vedere că (x0, y0) ∈ U este un punct arbitrar fixat deducem că
(6)
∂H
∂x
∂H
(x, y) + (x, y)f(x, y) = 0 pentru orice (x, y) ∈ U.
∂y
De aici, pe baza Teoremei 2, avem că H este integrală primă în U a ecuat¸iei (5).
Acum presupunem că H este o integrală primă în U pentru (5). Tot pe baza
Teoremei 2 avem că (6) are loc. Fie ϕ : I → R o solut¸ie în U a ecuat¸iei (4). Avem
d
∂H
∂H
H(x, ϕ(x)) = (x, ϕ(x)) +
dx ∂x ∂y (x, ϕ(x))ϕ′ (x) pentru orice x ∈ I.
Deoarece ϕ ′ (x) = f(x, ϕ(x)) pentru orice x ∈ I, folosind (6) obt¸inem că
d
H(x, ϕ(x)) = 0 pentru orice x ∈ I,
dx
adică H(x, ϕ(x)) este o funct¸ie constantă pe I. Cu aceasta demonstrat¸ia este
încheiată.
6