Ecuatii diferentiale ˆın form˘a simetric˘a. Integrale prime

Atunci există c ∈ R astfel încât H(x, ϕ(x)) = c pentru orice x ∈ I. Derivând
această relat¸ie obt¸inem
∂H
∂H
(x, ϕ(x)) +
∂x ∂y (x, ϕ(x))ϕ′ (x) = 0 pentru orice x ∈ I.
In particular pentru x = x0 ¸si t¸inând cont că ϕ(x0) = y0 ¸si ϕ ′ (x0) = f(x0, y0) avem
∂H
∂x (x0, y0) + ∂H
∂y (x0, y0)f(x0, y0) = 0.
Având în vedere că (x0, y0) ∈ U este un punct arbitrar fixat deducem că
(6)
∂H
∂x
∂H
(x, y) + (x, y)f(x, y) = 0 pentru orice (x, y) ∈ U.
∂y
De aici, pe baza Teoremei 2, avem că H este integrală primă în U a ecuat¸iei (5).
Acum presupunem că H este o integrală primă în U pentru (5). Tot pe baza
Teoremei 2 avem că (6) are loc. Fie ϕ : I → R o solut¸ie în U a ecuat¸iei (4). Avem
d
∂H
∂H
H(x, ϕ(x)) = (x, ϕ(x)) +
dx ∂x ∂y (x, ϕ(x))ϕ′ (x) pentru orice x ∈ I.
Deoarece ϕ ′ (x) = f(x, ϕ(x)) pentru orice x ∈ I, folosind (6) obt¸inem că
d
H(x, ϕ(x)) = 0 pentru orice x ∈ I,
dx
adică H(x, ϕ(x)) este o funct¸ie constantă pe I. Cu aceasta demonstrat¸ia este
încheiată.
6