Ecuatii diferentiale ˆın form˘a simetric˘a. Integrale prime

Dăm în continuare o caracterizare a not¸iunii de integrală primă.
Teorema 2 Fie U ⊂ R 2 o mult¸ime nevidă, deschisă ¸si conexă (de exemplu U = R 2 ),
¸si P, Q ∈ C(U) astfel încât (P (x, y), Q(x, y)) = (0, 0) pentru orice (x, y) ∈ U.
Fie H ∈ C 1 (U). Avem că H este o integrală primă în U a ecuat¸iei Pfaff
(1) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
dacă ¸si numai dacă
(3) Q(x, y) ∂H
∂x
(x, y) − P (x, y)∂H (x, y) = 0 pentru orice (x, y) ∈ U.
∂y
Demonstrat¸ie. Dacă H e o integrală primă în U a ecuat¸iei Pfaff (1) atunci (a se
vedea ¸si Observat¸ia 1) există o funct¸ie continuă µ : U → R astfel încât ∂H/∂x = µP
¸si ∂H/∂y = µQ. De aici imediat se poate observa că (3) are loc.
Dacă H satisface (3) atunci avem că pentru fiecare (x, y) ∈ U vectorii (Q, −P )
¸si ∇H = (∂H/∂x, ∂H/∂y) sunt ortogonali. Prin urmare vectorii ∇H ¸si (P, Q)
sunt paraleli. Atunci există µ astfel încât ∇H = µ(P, Q). Să ne reamintim
că acest rat¸ionament l-am făcut pentru fiecare (x, y) ∈ U. Prin urmare am
obt¸inut funct¸ia µ : U → R despre care ne propunem să demonstrăm că este
continuă. Pentru aceasta definim mult¸imile U1 = {(x, y) ∈ U : P (x, y) = 0}
¸si U2 = {(x, y) ∈ U : Q(x, y) = 0}. Acestea sunt mult¸imi deschise (deoarece
P ¸si Q sunt continue) care satisfac relat¸ia U1 ∪ U2 = U, însă există posibili-
tatea pentru fiecare dintre ele să coincidă cu U sau chiar să fie vide. Definim
funct¸iile µ1 : U1 → R ¸si µ2 : U2 → R prin µ1(x, y) = ∂H
(x, y)/P (x, y), respectiv
∂x
µ2(x, y) = ∂H
∂y (x, y)/Q(x, y). Este u¸sor de văzut că µ1 ¸si µ2 sunt continue. Deoarece
∇H = µ(P, Q) în U, avem că µ1 = µ|U1 ¸si µ2 = µ|U2, ceea ce, împreună cu faptul că
U1 ∪ U2 = U, ne asigură continuitatea lui µ pe U. Deci, într-adevăr, există o funct¸ie
continuă µ : U → R astfel încât dH = µP dx + µQdy, adică H e o integrală primă
în U a ecuat¸iei (1).
Observat¸ia 3. Un punct (x0, y0) ∈ U astfel încât (P (x0, y0), Q(x0, y0)) = (0, 0) se
nume¸ste punct singular pentru ecuat¸ia Pfaff (1). Vă invit să descoperit¸i unde s-a
folosit în demonstrat¸ia Teoremei anterioare că (1) nu are puncte singulare în U.
4