Lecţii complementare de teoria grafurilor

2. Planaritate şi hamiltoneitate
Este un lucru binecunoscut faptul că noţiunea de hamiltoneitate, deşi uşor de definit,
nu admite caracterizări elementare. Totuşi, în cazul grafurilor planare, aceasta admite o
caracterizare mai simplă. În acest sens, vom prezenta în această secţiune o condiţie necesară
pentru ca grafurile planare să conţină un ciclu hamiltonian, cunoscută sub numele de teorema
lui Grinberg. Acest rezultat deosebit de interesant, a fost folosit în literatura de specialitate
pentru a construi exemple de grafuri planare ne-hamiltoniene cu proprietăţi suplimentare
deosebite. Un astfel de exemplu a fost dat de Tutte 1 (1946) pentru a nega o conjectură
faimoasă a lui Tait (1880), care afirma că orice graf 3-conex cubic planar are un ciclu
hamiltonian 2 . Importanţa acestei conjecturi în teoria grafurilor este centrală, întrucât dacă
aceasta s-ar fi dovedit adevărată, ar fi implicat faimoasa teoremă a celor patru culori.
Privind în sens invers, ne putem întreba în ce condiţii un graf despre care ştim că este
hamiltonian poate fi planar. Teorema cu care încheiem această secţiune răspunde la această
întrebare, dând o condiţie necesară şi suficientă ca un graf hamiltonian să fie planar.
Teorema II.7
Prezentăm mai întâi un rezultat cu grad sporit de generalitate.
Fie = , , o hartă conexă a unui graf planar, ⊆ un ciclu elementar şi
, cele două regiuni determinate de în plan. Notăm cu , 1 şi numărul i-feţelor
din şi respectiv numărul vârfurilor lui din care nu sunt în . Analog, notăm cu
, 1 şi corespunzător regiunii . Atunci avem
− 2 − = 2 − .
.
Demonstraţie: Notă cu numărul muchiilor lui din . Teorema poliedrală a lui Euler
aplicată în cazul hărţii induse în de mulţimea vârfurilor din împreună cu cele ale lui
conduce la următoarea egalitate:
|| −
|| 1 = 2
Sau, ţinând cont că || = ||, ∑
= 1 − .
Pe de altă parte ∑
= 2 ||. Eliminând din ultimele două relaţii obţinem
∑ − 2 = || 2 − 2.
1 Vezi figura II.2
2 Grafurile k-conexe sunt cele în care trebuie eliminate cel puţin k muchii pentru a deveni ne-conex, iar grafurile
cubice sunt cele în care orice nod are gradul trei
16