Lecţii complementare de teoria grafurilor

Pe baza teoremei demonstrate anterior putem da algoritmul de construire a unui graf
neorientat care are multisetul gradelor egal cu un multiset dat ce îndeplineşte condiţiile
teoremei.
Algoritmul II.1
dacă ∑
altfel
1 2) STOP – nu e multisetul gradelor unui graf neorientat
ultimul_impar0 /* reţinem ultimul nod de grad impar rămas pentru a fi unit cu altul de grad impar */
pentru i1,
muchie de /2 ori
dacă ultimul_impar=0
/* dacă toate nodurile de grad impar de dinainte sunt legate în perechi, îl
ultimul_impari memorăm pentru a fi legat cu următorul de grad impar, ca şi el */
altfel
/* legăm acest nod cu ultimul de dinaintea sa de grad impar,
muchie _ memorat în ultimul_impar */
ultimul_impar0
Teorema I.2
Un multiset = ≤ ≤ … ≤ ∈ (unde 2) este multisetul gradelor
unui graf neorientat fără bucle = , dacă şi numai dacă sunt îndeplinite simultan
următoarele condiţii:
0 2;
≤ .
Demonstraţie: Începem cu implicaţia directă. Fie = , graf neorientat cu = .
Proprietatea este, evident, îndeplinită.
Dacă este graf neorientat fără bucle, însemnă că cel mai mare grad al unui nod din graf
este mai mic decât numărul de muchii existente în graf, ≤ || = ∑
de unde ≤
∑
.
Reciproc, fie un multiset ce îndeplineşte condiţiile , . Construim un graf
= , neorientat, fără bucle, cu = . Ideea este aceea de a construi mai întâi un
7