LecÅ£ii complementare de teoria grafurilor

More documents

Recommendations

Info

3. Algoritmul Kuhn (1955) – Munkres (1957) Am văzut că algoritmul ungar ne rezolvă problema determinării unui cuplaj perfect într-un graf bipartit, de exemplu cel al asocierii lucrători – locuri de muncă. Dar ce s-ar întâmpla dacă nu am reţine numai pentru ce loc de muncă este fiecare lucrător calificat, ci şi gradul specializării sale În această situaţie putem modela problema cu ajutorul unui graf bipartit ponderat. Astfel este definită o funcţie pondere : × → R care asociază fiecărei muchii a grafului un număr real pozitiv (altfel spus, această funcţie ne indică gradul de pricepere al lucrătorului pentru locul de muncă prin valoarea ). Observăm că, fără a restrânge generalitatea, această problemă poate fi modelată cu ajutorul unui graf bipartit complet în care, dacă lucrătorul nu este calificat pentru locul de muncă muchiei îi vom asocia ponderea 0, în celelalte cazuri ponderea fiind strict pozitivă. O primă soluţie a acestei probleme ar fi generarea tuturor celor n! cuplaje perfecte ale grafului bipartit complet şi selectarea unuia optim dintre acestea. Pentru valori mari ale lui n această soluţie este, în mod evident, total ineficientă. Algoritmul Kuhn – Munkres reprezintă o variantă de rezolvare a acestei probleme acceptabilă din punctul de vedere al complexităţii. Pentru a-l putea prezenta avem nevoie de următoarea: Definiţie: Fie = ⨃, un graf bipartit complet. Spunem că o funcţie : → R este o etichetare validă a nodurilor grafului dacă ∀ ∈ , ∀ ∈ este îndeplinită inegalitatea . Numărul îl vom numi eticheta nodului . Se poate observa că o astfel de etichetare validă există întotdeauna, spre exemplu: = max ∈ , dacă ∈ ; (III.5) = 0, dacă ∈ . Pentru o etichetare validă vom nota cu mulţimea de muchii din pentru care are loc egalitatea = : = ∈ | = ; şi cu graful generat de mulţimea de muchii . Legătura între acest subgraf al grafului şi determinarea unui cuplaj perfect optim este dată de următoarea Teorema III.6 Fie o etichetare validă a grafului . Dacă conţine un cuplaj perfect ∗ , atunci ∗ este un cuplaj optim pentru graful . Demonstraţie: Presupunând că conţine un cuplaj perfect ∗ , cum ∗ = = rezultă că ∗ este un cuplaj perfect şi pentru graful , atunci ∗ = ∑∈ ∗ . Dar cum toate muchiile ∗ conţin o singură dată toate nodurile grafului şi, fiind din graful ponderea unei muchii este suma etichetelor extremităţilor ei, rezultă că ∑∈ ∗ = ∑∈ . În schimb, pentru un cuplaj perfect oarecare al grafului are loc relaţia anterioară cu inegalitate: = ∑∈ ≤ ∑∈ . Comparând, obţinem că ∗ , deci ∗ este un cuplaj optim al grafului . Acest rezultat, îmbinat cu algoritmul ungar prezentat în secţiunea anterioară reprezintă instrumentele ce stau la baza construirii algoritmului Kuhn – Munkres. Pentru a aplica algoritmul, alegem pentru început o etichetare validă a nodurilor grafului (de exemplu, cea dată de III.5), determinăm graful asociat acestei etichetări, şi alegem un cuplaj arbitrar al acestuia, . Pentru acest cuplaj, aplicăm algoritmul ungar în vederea determinării unui cuplaj perfect în graful , care, conform Teoremei III.6, ar fi cuplaj 26
optim în graful , deci algoritmul se încheie. Dacă, în schimb, nu există un cuplaj perfect în graful , înseamnă că, aplicând algoritmul ungar am ajuns în situaţia = şi, în acest caz, efectuăm o reetichetare a nodurilor grafului după următoarea regulă: - calculăm = min∈ - alegem etichetarea validă − ∝ , dacă ∈ = ∝ , dacă ∈ − ; , altfel - determinăm noul graf . Aceste trei operaţii asigură apariţia în graful a unui nou nod nesaturat al mulţimii cu ajutorul căruia extindem cuplajul (tehnica diferenţei simetrice faţă de lanţul -alternant deschis deja cunoscută) la un nou cuplaj . După care este reluat algoritmul, până la obţinerea cuplajului optim. 27
Page 1 and 2: Prof. Popescu Rozica - Maria Lecţi
Page 3 and 4: Introducere Această lucrare de teo
Page 5 and 6: Definiţii: Dăm, aşadar, în cont
Page 7 and 8: Pe baza teoremei demonstrate anteri
Page 9 and 10: Algoritmul I.2 dacă ∑ 1 2)
Page 11 and 12: Cazul 2: Există printre nodurile
Page 13 and 14: II. Reprezentarea fără autointers
Page 15 and 16: 2|| = ∑∈ 3|| => || ≤ || (
Page 17 and 18: Analog obtinem pentru zona exterioa
Page 19 and 20: mânere (3-sfere). Aşadar, întreb
Page 21 and 22: O mulţime de noduri ⊆ se nume
Page 23 and 24: 2. Algoritmul ungar Cu pregătirile
Page 25: X saturată NU: z = , S={ }, T=
Page 29: Bibliografie [1] Bondy, J.A., Murty

LecÅ£ii complementare de teoria grafurilor

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?