Lecţii complementare de teoria grafurilor

O mulţime de noduri ⊆ se numeşte transversală dacă orice muchie a grafului
are cel puţin unul din noduri în mulţimea .
Spunem că o mulţime de noduri ⊆ poate fi saturată dacă există un cuplaj care
să conţină toate nodurile mulţimii .
Un cuplaj se numeşte perfect dacă acesta saturează mulţimea . Dacă din mulţimea
de noduri rămâne exact un nod nesaturat, numim cuplajul aproape perfect.
Notaţii:
− graful indus de mulţimea ;
∗ − cuplaj de cardinal maxim (îl numim cuplaj maximal);
− transversală de cardinal minim (o numim transversală minimală);
Observaţii:
III.1) Un graf cu numărul de noduri impar nu poate conţine un cuplaj perfect.
III.2) Fie − diferenţa simetrică a două cuplaje , . Componentele conexe ale
grafului sunt de patru tipuri (am colorat cu negru muchiile cuplajului şi cu roşu
pe cele ale lui ):
ciclu , − alternant (numim, pe scurt, componentă de
tip );
lanţ , − alternant cu un capăt − saturat şi
celălalt − saturat (componentă tip , );
lanţ , − alternant cu ambele capete
−saturate (componentă tip , );
lanţ , − alternant cu ambele capete −
saturate (componentă tip , ).
III.3) | | − | | = numărul componentelor conexe din de tip , – numărul
componentelor conexe din de tip , .
21