Maj 2013 - TeXNaT

genom att välja exempel. Förhoppningsvis kan samtidigt några nyttiga matematiska insikter förmedlas
till icke-experten. Jag vill också bestämt deklarera att alla eventuella matematiska misstag i mina
förklaringar enbart beror på mig.
Lineära differentialoperatorer. Lite bakgrund
En lineär (partiell) differentialoperator i en öppen mängd Ω i R n är en ändlig summa
P =
aα(x)D α ,
där aα är komplexvärda funktioner i Ω, indicerade med multiindex α = (α1,...,αn) ∈ N n , och
Typiska exempel är:
α
D α = D α1
1 ···Dαn
n , Dj = i −1 ∂xj .
D1 +iD2, Cauchy-Riemann-operatorn
∆ = −|D| 2 = −(D 2 1 +D 2 2 +···+D 2 n), Laplaceoperatorn
D 2 1 +···+D 2 n −D 2 n+1, vågoperatorn
D 2 1 +···+D 2 n +iDn+1, värmeledningsoperatorn
tillsammans med modifieringar med icke-konstanta koefficienter. I dessa exempel representerar xn+1
tiden, medan de övriga variablerna vanligen betraktas som rumsvariabler.
Funktionen p(x,ξ) =
αaα(x)ξα i Rn ×Rn är symbolen för P, och P är av ordning m om m är det
minsta heltal för vilketaα är identiskt lika med0då|α| = αj > m. Nu ärpm(x,ξ) =
|α|=maα(x)ξα principalsymbolen för p. Operatorn är elliptisk om pm(x,ξ) = 0 då ξ = 0. Vi kommer att använda
beteckningssättet p (α) (x,ξ) = ∂α ξ p(x,ξ).
De grundläggande frågorna i anslutning till differentialekvationerna Pu = f gäller existens och
regularitetsegenskaper för lösningarna u. Detta kan bara diskuteras sedan lämpliga villkor har formulerats
för koefficienterna aα och högerledet f. Vid användning som fysikaliska modeller, till exempel,
måste ytterligare villkor ställas på ekvationerna för att lösningar ska vara entydigt bestämda. Sådana
villkor skulle kunna vara begynnelsevillkor, randvillkor eller strålningsvillkor i oändligheten.
När f och koefficienterna till P är reellt analytiska funktioner kan man, genom att utveckla u
och f i potensserier, visa att ekvationen Pu = f är lokalt lösbar nära varje punkt y i Rn sådan att
pm(y,η) = 0 för något η. Efter ett affint variabelbyte kan man anta att y = 0, η = (0,...,0,1) och då
finns enligt Cauchy-Kovalevskys sats en öppen omgivning U av origo så att Cauchyproblemet
Pu = f in U, D j nu = 0 i U ∩{x; xn = 0},j < m
är entydigt lösbart för varje f som är reellt analytisk i U. Denna sats gäller även i den icke-lineära
situationen där koefficienterna också kan bero på u. Ett specialfall bevisades av Cauchy [1] kring 1840
och det allmänna fallet behandlades av Sonja Kovalevsky [2].
Även om mycket var känt kring mitten av förra århundradet om de differentialoperatorer som kom
till användning inom olika tillämpningar av matematiken, saknades en allmän teori, även för klassen
av differentialoperatorer med konstanta koefficienter. Den situationen ändrades med Hörmanders
avhandling.
I den här korta presentationen är det inte möjligt för mig att ge en historisk bakgrund, men jag
kan inte avstå från att ge några glimtar från den tid då Hörmander gjorde entré. Han påbörjade sina
forskarstudier år 1950 vid Matematiska institutionen i Lund. Den legendariske professor Marcel Riesz,
vars intressen täckte mycket viktiga områden inom matematisk analys, däribland partiella differentialoperatorer,
blev hans lärare. Riesz emeriterades 1952 och år 1953 utnämndes Åke Pleijel och Lars
Gårding till professorer i matematik i Lund. De var bägge experter på partiella differentialekvationer
14