Maj 2013 - TeXNaT

Bombieris idé visade sedan vägen till vidare tillämpningar i algebraisk eller analytisk geometri. ¯ ∂-operatorn
har mening även på komplexa mångfalder och spelar en viktig roll i Hodgeteori. Det visar sig att varianter av
Hörmanders sats gäller även på komplexa mångfalder, där vi istället för funktioner tittar på sektioner till en
holomorf linjebunt. Motsvarigheten till den plurisubharmoniska vikten är en metrik med positiv krökning på
linjebunten. I själva verket upptäcktes en svagare variant av Hörmanders sats för ”positiva linjebuntar” över
kompakta mångfalder redan 1954 av Kodaira. Det Kodaira hade visat var ekvivalent med en sats om lösbarhet
av ¯ ∂-ekvationen, men Kodaira formulerade inte detta explicit och hans arbete saknar också den fundamentala
uppskattningen av lösningen. En huvudanvändning av Kodairas sats var hans karaktärisering av vilka kompakta
mångfalder som går att bädda in i projektiva rummet, och beviset av den satsen leder just till ett ¯ ∂-problem där
man vill få en lösning som försvinner i en given punkt. Kodaira gick runt det problemet genom att studera en
ny linjebunt över en uppblåsning av mångfalden. Med Hörmanders uppskattningar och Bombieris trick får man
direkt en lösning.
Utvecklingen av dessa idéer har sedan fortsatt och visar inga tecken på att mattas av, med viktiga bidrag
av t ex Siu, Demailly, Skoda och Ohsawa. Ett sent bidrag här är Sius bevis för deformationsinvariansen av
plurigenera, som spelat en viktig roll i fullbordandet av det s k minimala modell programmet.
I Hörmanders sats möts flera olika matematiska teman. Hörmanders egen utgångspunkt kom säkert från
partiella differentialekvationer och han understryker att en motivering för införandet av viktfuktionerna kom
från Carlemans arbeten om entydighet för hyperboliska problem. Samtidigt svarar de plurisubharmoniska viktfunktionerna
mycket väl mot positivt krökta metriker på linjebuntar, och Hörmanders metod har därigenom
blivit grundläggande och stilbildande för analytiska tekniker i algebraisk geometri. Ett tredje tema är de reella
motsvarigheterna till Hörmanders uppskattningar som spelar en stor roll i konvex analys. Detta är de s k
Brascamp-Lieb olikheterna som upptäcktes senare än de mer komplicerade komplexa uppskattningarna. En
fjärde viktig trend är de mycket subtila resultaten för randregularitet i samband med ¯ ∂-problemet. För speciellt
det sista ämnet, men också mycket annat, hänvisar jag till Hörmanders egen personligt färgade och mycket
underhållande ”A history of existence theorems for the Cauchy-Riemann complex in L 2 - spaces”, JGEA 13
(2003).
Bo Berndtsson är professor i matematik vid Chalmers tekniska högskola
32
Lars Hörmander mottar Wolf-priset från Israels president