Maj 2013 - TeXNaT

Bevis. Betrakta operatorerna
och
Aj = Xj(P ∗ mPm,j −P ∗ m,jPm), (34)
Bj = P ∗ m,jXjPm +(P ∗ m,jXjPm) ∗ = P ∗ m,jXjPm −P ∗ mXjPm,j
Cj = P ∗ m,j,jPm,
där Pm,j,j = [Xj,Pm,j]. Genom att utnyttja att [Xj,Q] ∗ = [Xj,Q ∗ ] då Q är en differentialoperator ser
vi att
[Xj,P ∗ m] = P ∗ m,j, [Xj,P ∗ m,j] = P ∗ m,j,j,
och det är lätt att kontrollera att
P ∗ m,jPm,j = Aj +Bj +Cj. (35)
Eftersom pm är reellt följer att P ∗ mPm,j − P ∗ m,j Pm är en differentialoperator av ordning 2m − 2.
Genom att kombinera detta med Lemma 4 kan man visa att det finns en konstant C sådan att
Vi har också uppskattningen
|(Aju,u)| ≤ Cεu 2
m−1 , u ∈ C∞ 0 (Bε),0 < ε < 1. (36)
|(Bju,u)| ≤ 2XjPmu·Pm,ju ≤ Cεu m−1 Pmu.
Eftersom det också finns en konstant C sådan att
får vi (med ett annat C) uppskattningen
Pmu ≤ Pu+Cu m−1
|(Bju,u)| ≤ Cε(Pu 2 +u 2
m−1 ), u ∈ C∞ 0 (Bε), 0 < ε < 1. (37)
En användning av Lemma 4 visar att det finns en konstant C så att u m−2 ≤ Cεu m−1 . Detta leder
till uppskattningen
Nu följer av (35)–(38) att
|(Cju,u)| ≤ Cε(Pu 2 +u 2
m−1 ), u ∈ C∞ 0 (Bε), 0 < ε < 1. (38)
Pm,ju 2 ≤ Cε(Pu 2 +u 2
m−1 ), u ∈ C∞ 0 (Bε), 0 < ε < 1. (39)
Lemmat följer sedan genom summation över j och användning av Lemma 14.
Bevis för Sats 13. Det innebär ingen inskränkning att anta att y = 0. Då följer satsen av föregående
lemma, tillämpat på P ∗ , tillsammans med andra delen av Sats 12.
Situationen blir mycket mer komplicerad då pm inte är reellvärd och mycket viktigt arbete om
lineära differentialoperatorer (och senare om pseudodifferentialoperatorer) kom att koncentreras på
lösbarhetsproblem för operatorer med icke-reella principalsymboler. En utgångspunkt för detta intresse
kan vara differentialekvationen
−iD1u+D2u−2(x1 +ix2)D3u = f (40)
till vilken Hans Lewy [11] år 1957 konstruerade en glatt funktion f, sådan att det inte finns någon
distributionslösning i någon icke-tom öppen delmängd av R3 . Hörmander härledde år 1960 (se [5])
ett viktigt nödvändigt villkor för att ekvationen Pu = f ska vara lösbar vid en punkt y. Han införde
funktionen
Cp(x,ξ) = i
p (j) (x,ξ)p (j)(x,ξ)−p (j)
(x,ξ)p (j)(x,ξ) , (41)
1≤j≤n
där p (j) = ∂ξjp, p (j) = ∂xjp, och bevisade följande:
26