Maj 2013 - TeXNaT

Ett av de viktigaste resultaten i avhandlingen är att dessa definitioner är ekvivalenta. Den terminologi
som används här är inte densamma som i avhandlingen. Hörmander använder begreppet lokal och
fullständig operator. Operatorn P är lokal om definitionsområdet för Pmax är invariant under multiplikation
med funktioner i C ∞ 0 (Ω), och den är fullständig om p beror på alla variabler, d.v.s. Rn ∋ η = 0
om p(ξ +tη) = p(ξ) då ξ ∈ R n och t ∈ R.
Jag sammanfattar några av avhandlingens regularitetsresultat i följande sats som visar att definitionen
av hypoellipticitet kan formuleras på flera olika sätt.
Sats 11. Följande villkor är ekvivalenta:
1. Polynomet p är hypoelliptiskt.
2. Operatorn P = p(D) är hypoelliptisk i Ω.
3. Operatorn P är lokal och fullständig.
4. Om u ∈ D ′ (Ω) så är u glatt i varje öppen mängd där Pu är glatt.
5. Operatorn p(D) har en fundamentallösning E som är glatt utanför origo.
Bevisskiss. Antag först att p är hypoelliptisk. Låt ξ ∈ Rn och låt d(ξ) vara dess avstånd till Vp. Välj
ζ ∈ Vp så att |ξ −ζ| = d(ξ). Då ger Taylors formel
0 = p(ζ) = p(ξ +ζ −ξ) =
p (α) (ξ)(ζ −ξ) α /α!.
Detta visar att
α
|p(ξ)| ≤
|p (α) (ξ)|d(ξ) |α| /α!. (17)
α=0
Å andra sidan, om w är vilken som helst enhetsvektor i C n , så gäller |z| ≥ d(ξ) närhelst z ∈ C är ett
nollställe till p(ξ +zw). Det medför att
|p(ξ +zw)| ≤ 2 m |p(ξ)|
då |z| ≤ d(ξ). Om detta kombineras med Cauchys olikhet för analytiska funktioner i flera variabler
leder det till uppskattningarna
|p (α) (ξ)|d(ξ) |α| /α! ≤ 2 m |p(ξ)|.
Tillsammans med (17) visar detta att det finns en konstnt Cm sådan att
1 ≤
1≤|α|≤m
|p (α) (ξ)|
|p(ξ)| d(ξ)|α| /α! ≤ Cm
då ξ är tillräckligt stort för att säkerställa att p(ξ) = 0. Eftersom d(ξ) → ∞ då ξ → ∞ bevisar detta
att
r(ξ) =
|p (α) (ξ)|/|p(ξ)| → 0 då ξ → ∞ i R n . (19)
|α|=0
Genom att använda ett resultat från [14] om beslutsmetoder i elementär algebra bevisade Hörmander
att (19) medför att det finns positiva konstanter C och c så att
r(ξ) ≤ C(1+|ξ|) −c
för stora ξ. Jag ska illustrera hur denna uppskattning medför implikationen från (i) till (iv), och för
detta antar jag först att
p(ξ) = 0 för ξ ∈ R n , (21)
så att uppskattningen (20) gäller överallt.
22
(18)
(20)