Maj 2013 - TeXNaT

är en glatt funktion. Genom att ersättaE medχE, därχ ∈ C ∞ 0 (Rn ) är lika med1ien öppen omgivning
till origo och med litet stöd kan vi konstruera distributioner E med godtyckligt små stöd kring origo
så att PE −δ ∈ C ∞ 0 (Rn ). Om u ∈ D ′ (R n ) och Pu ∈ C ∞ (R n ) så måste u vara glatt eftersom
u = δ ∗u = E ∗(Pu)+(δ −PE)∗u.
Genom att använda att stödet till E är litet kan man resonera på liknande sätt för att bevisa (iv). Nu
gäller (v) eftersom varje fundamentallösning måste vara glatt utanför origo.
För att bevisa att (i) medför att P är lokal använder man att p (α) /p är begränsad i oändligheten.
Detta följer av (19) och medför att de operatorer som avbildar v på p (α) (D)E ∗v är kontinuerliga på
L 2 . Detta kan användas för att bevisa att p (α) (D)u är lokalt i L 2 nära en punkt y ∈ Ω om detta är
sant för Pu, där u ∈ D ′ (Ω). Speciellt gäller
P(χu) = (D α χ)p (α) (D)u/α! ∈ L 2 (Ω),
om u ∈ Dom(Pmax) and χ ∈ C∞ 0 (Ω). Detta bevisar att P är lokal.
Om P är hypoelliptisk följer från satsen om den slutna grafen att Ck-topologin i rummet V = {u ∈
Ck (Ω); Pu = 0} inte beror på k. Följaktligen finns, om K är en kompakt delmängd av Ω, en annan
kompakt mängd K ′ , så att
max|gradu(x)|
≤ max|u(x)|
K
då u ∈ V . Låt ζ gå mot oändligheten i nollställemängden för p i C n . Då är uζ(x) = e i〈x,ζ〉 i V , och
genom att sätta in uζ i ovanstående olikhet finner vi att Im(ζ) måste gå mot oändligheten. Detta visar
att (ii) medför (i), och med den kommentaren avslutar vi det skissartade beviset för satsen.
Anmärkning. Det faller sig naturligt att tro att alla fundamentallösningar till hypoelliptiska operatorer
är lokalt integrabla funktioner. Det var till exempel vad Marcel Riesz trodde, och han bad Hörmander
ge ett bevis. Som emeritus tog Hörmander upp frågan igen och visade i [10] att fundamentallösningar
till hypoelliptiska operatorer i R n inte behöver vara lokalt integrabla om n ≥ 14. Detta resultat innebär
ett starkt stöd för nödvändigheten av att använda distributioner i teorin för differentialoperatorer, även
om det kom fram vid en tidpunkt då debatten om denna fråga nästan var över och distributionsteorin
allmänt accepterad.
Lösbarhetsproblem och operatorer av principaltyp
I den sista delen av Hörmanders avhandling behandlas differentialoperatorer
P = p(x,D) =
aα(x)D α
med variabla koefficienter. Sådana operatorer är mycket svårare att hantera än de med konstanta
koefficienter, med undantag för elliptiska operatorer som kan behandlas med perturbationsmetoder.
Den naturliga klass för vilken man kan vänta sig några allmänna resultat är klassen av operatorer av
principaltyp. Att P är av principaltyp innebär att
Vi säger att P är av reell principaltyp om dessutom
|α|≤m
K ′
∂ξpm(x,ξ) = 0 för ξ = 0. (27)
pm(x,ξ) ∈ R. (28)
För enkelhetens skull antar vi fortsättningsvis att P är definierad i hela R n och att koefficienterna är
glatta där.
Det är praktiskt att göra följande definition.
24