Maj 2013 - TeXNaT

norm definerade genom
(f,g) =
Ω
f(x)¯g(x)dx, f = (f,f) 1/2 .
Om A är en lineär operator som är kontinuerlig från C ∞ 0 (Ω) till L2 (Ω), så definieras dess formellt
adjungerade operatorA ∗ : L 2 (Ω) → D ′ (Ω) av villkoret(Au,v) = (u,A ∗ v) dåu ∈ C ∞ 0 (Ω) ochv ∈ L2 (Ω)
. 6 Vi säger att A är formellt självadjungerad om A ∗ = A. Om p är symbolen för P, så följer av Leibniz
formel att symbolen p ∗ för P ∗ ges av
p ∗ (x,ξ) =
D α x(iDξ) α ¯p(x,ξ)/α!. (1)
α
Detta visar att principalsymbolen för P ∗ är konjugatet av motsvarande symbol for P.
Följande lemma är ett av de redskap från funktionalanalys som var oundgängliga i Hörmanders
arbete. Vi ska ge fler exempel senare.
Lemma 1. Om det finns en konstant C, sådan att
så har ekvationen Pu = f en L 2 -lösning u för varje f i L 2 (Ω).
v ≤ CP ∗ v, v ∈ C ∞ 0 (Ω) (2)
Bevis. Låt f ∈ L2 (Ω). Att u ∈ L2 löser ekvationen Pu = f betyder att (h,u) = (v,f) om h = P∗v och v ∈ C∞ 0 (Ω). Eftersom v är entydigt bestämd av h på grund av uppskattningen (2) är avbildningen
(Ω). Uppskattningen (2) visar, tillsammans med Hahn-Banachs
av h på (v,f) en lineär form på P∗C∞ 0
sats att denna form kan utvidgas till en kontinuerlig lineär form på L2 (Ω). Det finns alltså ett element
u i det Hilbertrummet sådant att (P∗v,u) = (v,f) då v ∈ C∞ 0 (Ω), och då är Pu = f.
Jag vill också nämna ett enkelt lemma som användes av Malgrange då han visade existensen av
fundamentallösningar. Som vi ska se senare användes detta också av Hörmander för att visa existens
av L 2 -lösningar, men han utvecklade också detta lemma till mycket starkare versioner som gjorde
det möjligt att konstruera fundamentallösningar med optimala regularitetsegenskaper. Det finns en
mycket elegant och förvånansvärt enkel konstruktion av fundamentallösningar till lineära differentialoperatorer
med konstanta koefficienter i avsnitt 7.3 i [9]. Dessa fundamentallösningar, som Hörmander
kallade reguljära, analyserades sedan mycket utförligt i kapitel 10 i samma monografi.
Lemma 2. Låt q(z) = amzm +···+a0 vara ett polynom och ϕ analytisk i enhetsskivan och kontinuerlig
på dess slutna hölje. Då gäller
|amϕ(0)| 2 ≤ 1
2π
|q(e
2π 0
iθ )ϕ(e iθ )| 2 dθ. (3)
Bevis. Vi kan anta att am = 0. Låt
r(z) = q(z)
l
1− ¯zlz
,
z −zl
där produkten tas över nollställen till q i den slutna enhetsskivan och tolkas som 1 om det inte finns
några. Då ser man lätt att |am| ≤ |r(0)|, och eftersom |q(z)| = |r(z)| på enhetscirkeln ger detta
|amϕ(0)| ≤ |r(0)ϕ(0)| ≤ 1
2π
|r(e
2π 0
iθ )ϕ(e iθ )|dθ
= 1
2π
|q(e
2π 0
iθ )ϕ(e iθ 2π 1
)|dθ ≤ |q(e
2π 0
iθ )ϕ(e iθ )| 2 1/2 dθ .
6 Om v är en distribution, så definieras dess konjugat ¯v på ett naturligt sätt, och vi använder skrivsättet (ϕ,v) för
verkan av ¯v på testfunktionen ϕ.
16