Maj 2013 - TeXNaT

Induktionsantagandet, tillämpat på ¯p (j) ,ger
[Xj, ¯p (j) (D)]u ≤ (2m−2)¯p (j) (D)u = (2m−2)p (j) (D)u,
och då Xjv ≤ v för v ∈ L 2 (Ω) följer att
p (j) (D)u 2 ≤ 2mp (j) (D)u·p(D)u.
Detta bevisar (8).
Det är nu lätt att bevisa (7) med induktion över |α|. Uppskattningen gäller då |α| = 0. Vi kan
därför anta att |α| > 0 och att (7) gäller för lägre värden på |α|. Välj j och β så att p (α) = q (j) = ∂ξj q,
där q = p (β) . Nu följer av induktionsantagandet att
q(D)u = p (β) (D)u ≤ 2 |α|−1 (m!/(m+1−|α|)!)p(D)u.
Om vi använder (8) med m ersatt med m+1−|α| = deg(q) får vi
p (α) (D)u = q (j) (D)u ≤ 2(m+1−|α|)q(D)u.
Olikheten (7) följer om denna uppskattning kombineras med föregående olikhet.
Låt 0 = P = p(D) vara en differentialoperator av ordning m med konstanta koefficienter och låt
Ω vara en icke-tom, öppen och begränsad delmängd av R n . Låt C genomgående beteckna konstanter
som kan bero på P och Ω. Följande resultat uppnåddes med energiintegralmetoder i Hörmanders
avhandling. Med utnyttjande av föregående lemma blir beviset mycket kort.
Sats 6. Det finns en konstant C = C(P,Ω), sådan att
u ≤ CPu, u ∈ C ∞ 0 (Ω). (9)
Korollarium 7. Ekvationen Pu = f ∈ L 2 (Ω) har en lösning i L 2 (Ω).
Bevis för korollariet. Uppskattningen (9) gäller även för P ∗ , och resultatet följer genom en tillämpning
av Lemma 1.
Bevis för Sats 6. Genom att välja α i (7) så att p (α) är en konstant = 0 får vi uppskattningen (9).
I sin avhandling visade Hörmander först existensen av L2-lösningar genom att använda Lemma 2
och betrakta Fourier-Laplace-transformen
û(ζ) = e −i〈x,ζ〉 u(x)dx, ζ ∈ C n
R n
för u i C ∞ 0 (Rn ). Detta är den hela analytiska fortsättningen av Fouriertransformen av u. Hörmander
bevisade följande uppskattning:
Lemma 8. Antag att f = p(D)u, där p är ett polynom av grad m. Om η ∈ Rn så är
|pm(η)| 2 u 2
≤ |J0(2〈x,η〉)f(x)| 2 dx, (10)
där
är Besselfunktionen av ordning 0.
18
R n
J0(s) = 1
2π
e
2π 0
ssinθ dθ