SVAR OCH L¨OSNINGSANVISNIGAR TILL TENTAMEN I ...

Lösning: De har fyllda elektronskal, dvs nästa elektron skulle ha ett steg högre huvudkvanttal.Detta betyder att det kostar mycket energi både att lägga till och att ta borten elektron.———————————————————————————————————————6. Den elektriska dipolmomentvektorn från en väteatom blir kvantmekaniskt:∫∫∫¯p = −e¯r|Ψ(¯r)| 2 d 3 r,där e är elektronladdningen och Ψ elektronvågfunktionen. Bestäm z-komponenten avdipolmomentet om elektronen befinner sig i följande blandning av 1s och 2p tillstånd:Ψ(¯r) = 1 √2[Ψ 100 (¯r) − Ψ 210 (¯r)](3 p.)———————————————————————————————————————Lösning:∫∫∫p z = −ez|Ψ(¯r)| 2 d 3 r = − e 2∫∫∫z [ Ψ 2 100 + Ψ 2 210 − 2Ψ 100 Ψ 210]d 3 rdär vi har utnyttjat att dessa vågfunktioner är reella. Vågfunktionerna fås ur FS sidan13 och 4:Ψ 100 = √ 1 1π a 3/2 e−r/a och Ψ 210 = 14 √ 12π a r cos 5/2 θe−r/2a ,där a är Bohrradien. I sfäriska koordinater blir de två första integralerana kommer nollpå grund av θ-integralerna:∫ π0cos θ sin θdθ = 0 och∫ πDen resterande integralen blir efter ϕ-integrationen:p z =e2a 4√ 2∫ ∞00cos 3 θ sin θdθ = 0.∫ πr 4 e −3r/2a dr cos 2 θ sin θdθ = [x = 3r02a ] =e ( ) 2a 5 ∫2 ∞2a 4√ x 4 e −x dr2 3 3 0där upprepad partialintegration ger värdet 4! på integralen. Detta ger slutresultatet:p z = 128√ 2243 ae———————————————————————————————————————7. Relativistiskt gäller att den kinetiska energin är:E kin =√p 2 c 2 + m 2 c 4 − mc 2 ≈ p22m −p48m 3 c 2Bestäm i lägsta ordningens störningsräkning den relativistiska korrektionen till den endimensionellaharmoniska oscillatorns energinivåer!(2 p.)3