Exempelsamling Vektoranalys

6729. Beräkna linjeintegralen av vektorfältetFlödesintegralerA = (2 − y, −xy, 1)längs vägena) i ex. 10.b) räta linjen från (0, 0, 0) till (1, 2, 0) samt därifrån raka vägen till (1, 2, 5).30. Beräkna linjeintegralen av vektorfältetA = (2xyz, x 2 z + 1, x 2 y)från punkten (0, 1, 0) till punkten (−1, 10, −2). CORRECT: Path not given (truethat it does not depend on path, but strange formulation)31. a, b och c är konstanta linjärt oberoende vektorer och r är ortsvektorn. Bestämintegralen∫A · drmedoch C som kurvangenomlöpt från t = 0 till t = π/2.CA = a(b · r) + b(r · a) + r(a · b)r = r(t) = acost + b sint + csin 2t32. Beräkna integralen ∫F · dr,CdärF = (yz, xz, xy)och C är kurvan⎧⎪ x = a cosϕ ⎨y = b sinϕ⎪ ⎩ z = c sinh ϕ πfrån (a, 0, 0) till punkten (−a/ √ 2, −b/ √ 2, c sinh(5/4)).33. Beräkna flödesintegralen ∫∫A · dSSför följande vektorfält och ytor (valfri normalriktning):a) A = (xy 2 , −2z, 0), S : z = 2x + y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 4.b) A = (1, 2, 3), S : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0.c) A = (x, −xz, z), S : y = √ x 2 + z 2 , 0 ≤ x 2 + z 2 ≤ 4d) A = (x 2 , y 2 , z 2 ), S : enhetssfären.e) A = (x 3 , y 3 , z 3 ), S : enhetssfären.34. Beräkna flödet av vektorfältetA = (x 2 , 2y, z)ut genom en sfäryta med radien R och medelpunkten i origoa) med hjälp av parametriseringenr = R(sinu cosv, sinusinv, cosu).b) genom att sätta n = (x, y, z)/R samt använda symmetribetraktelser.35. Beräkna flödet av vektorfältetgenom ytanA = (x 2 − y 2 , (x + y) 2 , (x − y) 2 )r = (u + v, u − v, uv), −1 ≤ u, v ≤ 1, n · e z > 0.36. Beräkna flödet av vektorfältetgenom skruvytanA = (2x, −z, y)r = (u, v cosu, v sinu), 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 1, n · e x > 0.

89Beräkning av divergens och rotation37. Beräkna divergensen och rotationen av följande vektorfält:a) A(x, y, z) = (x, y, z).b) A(x, y, z) = (x − y, y − z, z − x).c) A(x, y, z) = (yz, xz, xy).d) A(x, y, z) = (lnx, lny, lnz).e) A(x, y, z) = (e yz , e zx , e xy ).f) A(x, y, z) = (cosy, cosx, cos z).a) A(x, y, z) = rot(e xy , arctanz, (x + y + z) 7/2 z 2 ) och S : enhetssfären.b) A(x, y, z) = (x, 2y, 3z) och S : enhetssfärenc) A(x, y, z) = (4x, −2y, z) och S : cylindern x 2 + y 2 = 9, 0 ≤ z ≤ 6d) A(x, y, z) = (x(y + z 2 ), 0, 0) och S : randen av kuben |x|, |y|, |z| ≤ 1e) A(x, y, z) = (xz 2 , x 2 y, xyz) och S : sfären (x − 1) 2 + (y − 2) 2 + (z + 3) 2 = 445. Verifiera att Gauss sats gäller för vektorfältet A = (xz, 2yz, 3xy) och volymenV : cylindern x 2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3.46. Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet i ex. 34.38. Beräkna rotationen av vektorfältetA(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y).39. Beräkna divergensen av vektorfältetA(r) = (xln z + e yz , x z ln x e x−z , z − z lnz).40. Beräkna rotationen av vektorfältetA(x, y, z) = e −(x2 +y 2 +z 2) (1, 1, 1).47. Beräkna ∫∫A · dS,Sdär fältet A ärA = (x 3 , y 3 , z 3 )och S är ytan som omslutar halvsklotet⎧⎨ x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2⎩ x + y ≥ 0.41. Beräkna A × rotA där A = (y, z, x).42. Beräkna a) gradf, b) rotA, c) div gradf, d) divB, e) div(A × B) samt f)rotrotA, föri) A = x 2 e y , B = ze z , f = y 2ii) A = (x 2 y, z 3 , −xy), B = ((x + y), y + z, z + x), f = xy 2 z 3 .43. Visa att vektorfältetA(x, y) = 2x √ y(4, x/y)är konservativt och bestäm dess potential.Gauss’ sats48. Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet av vektorfältetA = (xz 2 , 2xy, z 2 + 2)ut ur den cylindriska burk som avgränsas av ytornax 2 + y 2 = 1, z = 1, z = −1.Kontrollera resultatet genom att beräkna flödet direkt.49. Beräkna med hjälp av Gauss’ sats flödet av vektorfältetA = (2xy, y 3 − xy, z 2 )ut ur den ändliga volym som begränsas av ytorna44. Beräknaför följande vektorfält och ytor:∫∫○ A · dSSy 2 + 2y = x 2 + z 2 och y = 4.

121360. Beräkna integralen ∮A · dr,CdärA = e x (x 2 − a(y + z)) + e y (y 2 − az) + e z (z 2 − a(x + y))och C är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern⎧⎨ (x − a) 2 + y 2 = a 2och sfären⎩ z ≥ 0x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (R 2 > 4a 2 ).Omloppsriktningen är sådan att vid x = 0 är kurvans tangentvektor parallellmed −e y .Indexräkning63. Låt f = r 3 , g = 1/r 2 , A = (x 2 , y 2 , z 2 ) och B = (z, y, x). Förenkla följandeuttryck, dels genom att använda direkt beräkning, dels genom indexräkning:a) grad(fg)b) div(fA)c) rot(fA)d) grad(A · B)e) div(A × B)f) rot(A × B)g) (A · ∇)Bh) (A × ∇) × B61. Vektorfältet A ges avA = (x 2 − y, y 2 − z, z 2 − x)och kurvan C är skärningen mellan ellipsoidenoch koordinatplanenBeräkna integralenx 2a 2 + y2b 2 + z2c 2 = 1x = 0 x ≥ 0 x ≥ 0y ≥ 0 y = 0 y ≥ 0z ≥ 0 z ≥ 0 z = 0∮CA · drom omloppsriktningen är sådan att i xy-planet (r × dr) ‖ e z .62. Använd Stokes’ sats för att beräkna linjeintegralen av vektorfältetA = (yz + 2z, xy − x + z, xy + 5y)längs skärningslinjen C mellan cylindern x 2 + z 2 = 4 och planet x + y = 2.Kurvan C är orienterad så att dess tangentvektor i punkten (2, 0, 0) är (0, 0, 1).64. Använd indexräkning för att ställa upp formlerna:a) rot(φA) = . . .b) rot(A × B) = . . .c) div rotA = . . .d) (B × C) · rotA = . . .e) (B · ∇)(φA) = . . .f) (B · ∇)(A × B) = . . .g) A × (∇ × A) = . . .h) (A × ∇) × A = . . .65. Visa atta) gradφ(r) = dφ rdr rb) grad(a · r) = ac) divr = 3d) div(φ(r)r) = 3φ(r) + r dφdre) div(a × r) = 0f) div((r × a) × r) = −2a · rg) rot(φ(r)r) = 0h) rot((a × r) × b) = −b × ar = (x, y, z) är ortsvektorn, r = √ x 2 + y 2 + z 2 är ortsvektorns belopp, a och bär konstanta vektorer.

141566. Låt φ vara ett skalärfält som satisfierar Laplaces ekvation, dvs.∇ 2 φ = 0och a = (a x , a y , a z ) en konstant vektor. Förenkla så långt som möjligt uttryckena) A = grad(a · gradφ).b) B = rot(a × gradφ).c) Beräkna A och B för specialfallet φ = xyz.67. Bestäm konstanten k så att värdet av vektorfältetA = rot(r k (r × a))i varje punkt P blir en vektor, som är parallell med ortsvektorn r från origo tillP. a är en konstant vektor.68. Vektorn a är en konstant vektor och r = (x, y, z) är ortsvektorn. Beräkna( a · r) ( ) a × rgradr 3 + rotr 3 .De utnyttjade operatorformlerna skall motiveras utförligt med indexräkning.Integralsatser72. En kropp med den glatta begränsningsytan S har volymen V . Beräkna integralen12∫∫S○ dS × (a × r),där r är ortsvektorn och a en konstant vektor.73. Omforma linjeintegralen ∮r × drCtill en ytintegral över en yta S, vilken har C som sin randkurva.Hur skall S:s och C:s orienteringar vara relaterade?74. Visa att ∫∫∫∫∫∫r × rotAdV = 2 A dVVVom A = 0 på randytan S till integrationsområdet V .69. Låt a, b och c vara konstanta vektorer och r = (x, y, z) vara ortsvektorn. Härledett nödvändigt och tillräckligt villkor på a, b och c för att cirkulationen avvektorfältetA = (a × r) × (b × r)skall vara noll längs varje sluten kurva, som ligger på en nivåyta till skalärfältetφ(r) = c · r.75. Beräkna integralen ∫∫∫VA · B dV.Vektorfältet A har en skalär potential i området V och V :s begränsningsyta ären ekvipotentialyta för denna potential. Vektorfältet B är källfritt i V .Ledning: Integrera formeln div(φB) = . . . över V .70. Det magnetiska fältet B är källfritt och har följaktligen en vektorpotential A.Visa attA(r) = k r × B 0 + gradψär en vektorpotential för det homogena magnetfältetB(r) = B 0(B 0 konstant vektor)förutsatt att konstanten k ges ett lämpligt värde. Beräkna k samt ange villkorpå skalärfältet ψ.71. En stel kropp roterar med vinkelhastigheten ω rad/s kring en axel, vars riktninganges av enhetsvektorn ˆn. Visa att rotationen för hastighetsfältetges avv = ωˆn × rrotv = 2ωˆn.76. Beräkna ytintegralen ∫∫○ (a × r) × dS,Sdär a är en konstant vektor, r är ortsvektorn och S är ytan av en enhetssfär medcentrum i punkten b.77. Beräkna integralen ∮(a · r)dr,Cdär C är en cirkel med radien 1, vilken ligger i planet r · b = 0. a och b ärkonstanta vektorer och r är ortsvektorn.

161778. Beräkna integralendär S är sfärytanoch skalärfältet ges avx 2 + y 2 + z 2 = 1∫∫○ φˆn dS,Sφ = x 2 + 2y − 5z.79. Beräkna integralen ∫∫A × ˆn dS,SdärA = (0, −z, y)och S är cylinderytanmed normalen riktad ut från z-axeln.(ˆn pekar utåt),x 2 + y 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 183. Bestäm integralen ∮r × dr,Cdär C är ellipsen ⎧⎨ x 2 + y 2 = a 2⎩ z = a + xmed sådan omloppsriktning att projektionen i xy-planet genomlöps moturs,a) genom direkt beräkning.b) genom att använda Stokes’ universalsats.84. Den slutna ytan S är en nivåyta till skalärfältet ψ(x, y, z). Beräkna integralen∫∫∫gradφ × gradψ dVVöver det av S inneslutna området V . Vilka förutsättningar rörande skalärfältenφ och ψ måste man göra?Ledning: Utveckla rot(ψ gradφ).80. Visa med utgångspunkt från Gauss’ sats att ytintegralen∫∫○ (A · ˆn)B dSSkan omformas till en volymsintegral över den av ytan S omslutna volymen V . ˆnär S:s utåtriktade normal.Vilka förutsättningar rörande vektorfälten A(r) och B(r) måste man göra?81. Bestäm alla vektorfält A, för vilka gäller att∫∫○ A · ˆndS = sju gånger den av S omslutna volymen,Soberoende av S:s läge och form.82. Skalärfälten φ(r) och ψ(r) är kontinuerligt deriverbara två gånger och ψ antarvärdet ψ 0 (konst.) på randkurvan C till ytan S.Visa med hjälp av Stokes’ sats att ytintegralen∫∫(gradφ × gradψ) · ˆn dS = 0.S85. Omforma linjeintegralen ∮r × (r × dr)Ctill en ytintegral över en yta S, som är inspänd i kurvan C. r = (x, y, z) ärortsvektorn.86. En sluten ledare C, som genomflyts av en elektrisk ström med styrkan I, befinnersig i det homogena magnetfältet B (B = konstant vektor). Kraftmomentet påledaren är∮M = −I r × (B × dr),där r betecknar ortsvektorn.COmforma M till en ytintegral, som skall förenklas så mycket som möjligt. Studerasärskilt specialfallet att C är en cirkel med radien R som ligger i planet r ·ˆn = p.Stokes’ sats skall användas.Ledning: Skalärmultiplicera M med e i (i = x, y, z).87. Bestäm skalärfälten ψ(r) och φ(r) så att ytintegralen∫∫((r · ˆn)gradψ + φˆn)dSblir lika med linjeintegralenS∮grad 1 r × drC

1819längs S:s slutna randkurva C. ˆn är S:s normalvektor. Varken S eller C gårgenom origo.Stokes’ sats men ingen annan integralsats får förutsättas bekant.88. Använd en integralsats för att beräkna integralen∫∫(2xz 2 + xy + z 3 )ˆn dS,Sdär S är den del av ytan z 2 = x 2 + y 2 för vilken 0 ≤ z ≤ 1. Ytans orientering ärsådan att normalen ˆn har negativ z-komponent.Cylinderkoordinater89. Beräkna vinkeln mellan ytornai punktenρ = cosϕ och z = ρ sinϕρ = 1 √2, ϕ = π 4 , z = 1 2 .Räkningarna skall genomföras i cylinderkoordinater.90. Temperaturfördelningen i en cylinder beskrivs av skalärfältetPunkten P har koordinaternaT = ρ 2 + z 2 cos 2 ϕ.ρ = 2, ϕ = π 4 , z = 1.Hur snabbt ökar temperaturen då man utgår från P i riktningen e ρ − 2e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar temperaturen snabbast och hur stor ärden maximala temperaturökningen per längdenhet?91. Ett vektorfält har potentialen( aρ + bρ )sinϕ,där a och b är konstanter. Beräkna vektorfältets flöde ut genom en sluten yta,som ej skärs av z-axeln.92. Visa att vektorfältetA = z 2 sin 2 ϕe ρ + (z 2 sin 2ϕ − z ρ sinϕ)e ϕ + (cosϕ + 2ρz sin 2 ϕ)e zhar en skalär potential φ(ρ, ϕ, z).Beräkna sedan linjeintegralen∫ QPA · dr,där P och Q har koordinaterna:⎧⎪⎨ ρ P = 1, ϕ P = π 6 , z P = 1⎪⎩ ρ Q = 5, ϕ Q = π 2 , z Q = −1

202193. Vektorfältetsatisfierar ekvationenA(ρ, ϕ, z) = f(ρ)e ϕ∇ 2 A = 0.Bestäm f(ρ). Använd vektorformeln rotrotA = . . ., vilken skall uppställas medindexräkning.94. Visa att cirkulationen av vektorfältetcosϕρ 2 e ρ + sinϕρ 2 e ϕrunt varje sluten kurva, som ej omkretsar z-axeln, är noll.95. En stel kropp roterar med vinkelhastigheten ω.a) Uttryck kroppens hastighetsfält v = v(r) i ett cylindriskt koordinatsystem,vars z-axel sammanfaller med rotationsaxeln.b) Visa att vektorfältet har en vektorpotential A.c) Beräkna den vektorpotential för v(r) som har formenoch som är så allmän som möjligt.A = A ρ (ρ, ϕ, z)e ρRäkningarna skall utföras i cylinderkoordinater.96. En elektrisk ström I flyter i en oändlig, rak cylindrisk tråd med radien R. MagnetfältetB utanför tråden ärB(r) = Iµ 0 e ϕ2π ρ , ρ > R.a) Visa att divB = 0 så att B har en vektorpotential. Bestäm en vektorpotentialav formenA = A z (ρ)e z .(Funktionen A z (ρ) skall beräknas.)b) Visa att rotB = 0 för ρ > R, men att det inte finns någon skalär potentialφ sådan att B = gradφ i området ρ > R.97. Beräkna ∇ 2 e ϕ , där e ϕ är den basvektor i cylindriska koordinater som är associeradmed vinkeln ϕ.Ledning: Använd vektorformeln rotrotA = . . ., vilken inte behöver bevisas.Sfäriska koordinater98. Låt ψ = − cos θr, A = sin θ2 re 2 ϕ ,där (r, θ, ϕ) är sfäriska koordinater, definierade genom⎧x = r sinθ cosϕ⎪⎨y = r sinθ sinϕ⎪⎩ z = r cosθBeräknaa) ∇ψ.b) ∇ × A.c) ∇ 2 ψ och ∇ × (∇ × A).99. Genom att tillämpa indexräkning på rotrotA kan man få ett uttryck på ∇ 2 A.a) Genomför detta.Använd det erhållna uttrycket för att bestämmab) ∇ 2 e r .c) ∇ 2 e ϕ .Beräkningarna skall utföras i sfäriska koordinater.100. Punkten P ligger på rotationsellipsoiden3r =3 + cosθ .Beräkna vinkeln mellan ellipsoidens normal n P i P och ortsvektorn r P från origotill P som funktion av vinkeln mellan r P och z-axeln.101. Tryckfördelningen i en sfär beskrivs av skalärfältetPunkten P har koordinaternap = r 2 sinθ cosϕ.r = 2, θ = π 2 , ϕ = π 4 .Hur snabbt ökar trycket då man utgår från P i riktningen e r + e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar trycket snabbast och hur stor är denmaximala tryckökningen per längdenhet?Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.

2223102. Temperaturfördelningen i en kropp beskrivs av skalärfältetT = 2 + cosθr 2 .Punkten P har de sfäriska koordinaternar = 2, θ = π 2 , ϕ = π 4 .Hur snabbt ökar temperaturen då man utgår från P i riktningen e r + e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar temperaturen snabbast och hur stor ärden maximala temperaturökningen per längdenhet?Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.103. Visa att vektorfältethar en skalär potential φ.A = 3 cos2 θ − 1r 4 e r +Använd potentialen för att beräkna linjeintegralendär P:s koordinater äroch Q:s koordinater är∫ QPA · dr,sin 2θr 4 e θr = 1, θ = π 4 , ϕ = 0r = 3, θ = π 2 , ϕ = π.Ledning: Lös ekvationssystemet gradφ = A i sfäriska koordinater enligt sammaprincip som tillämpas i kartesiska koordinater.104. Ett vektorfält A ges ava) Beräkna rotA.b) Beräkna divA.A = 1 r 3 (cos2θ e θ − sin 2θ e r )c) Existerar ett skalärfält ψ(r, θ, ϕ) så att A = gradψ? Motivera svaret ochbestäm – om svaret är jakande – funktionen ψ.105. Vektorfältete rr 2är källfritt för r ≠ 0 och har följaktligen en vektorpotential A. Beräkna denallmännast möjliga vektorpotential A som dels kan skrivas på formenA = A ϕ (r, θ, ϕ)e ϕoch dels är källfri. Den erhållna vektorpotentialen är ej definierad i vissa punkterim rummet. Ange dessa punkter.106. Visa att linjeintegralenfrån punkten P:till punkten Q:∫ QP( 1r e r + 1 )r sinθ e ϕ · drr = 1, θ = ϕ = π 2r = 3, θ = π 4 , ϕ = 3π 2är oberoende av vägen, förutsatt att vägen ej skär planet ϕ = π eller z-axeln.Beräkna även integralens värde.107. Använd Stokes’ sats för att beräkna linjeintegralen∮(sinθ e θ + sinθ e ϕ ) · dr,Cdär C är skärningen mellan en sfär med medelpunkten i origo och radien 1 samtde delar av planenx = 0, y = 0, z = 0för vilka x, y, z ≥ 0. Kurvans orientering, som du får välja själv, skall tydligtanges. Kontrollera resultatet genom direkt integration.108. Beräkna integralen ∫∫e θ dS,Sdär S har ekvationen109. Beräkna cirkulationen av vektorfältetx 2 + y 2 + z 2 = 1, x, y, z ≥ 0.cosϕr 2 sinθ e cosθ cosϕr +r 2 sin 2 θ e θ +sinϕr 2 sin 2 θ e ϕlängs en sluten kurva, som ej omkretsar z-axeln, men för övrigt är godtycklig.

2425110. Låt a vara en konstant vektor och r ortsvektorn. Beräknaa) grad(a · r)b) div(a × r)c) rot(a × r)genom att först transformera fälten a · r resp. a × r till ett lämpligt valt sfärisktkoordinatsystem, samt därefter tillämpa uttrycken på grad, div och rot i ettsfäriskt koordinatsystem.111. Beräkna( ) sinθ∇ 2 r 2 e θ .Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater med hjälp av formeln∇ 2 A = graddivA − rotrotA.115. Beräkna flödet av vektorfältet()1grad √(x − 3)2 + (y + 1) 2 + z + 2 xy3ut ur en sfär med radien 3 och medelpunkten (2, 1, 1).116. En kvadrupol i origo ger upphov till vektorfältet3 cos 2 θ − 1 sin 2θr 4 e r +r 4 e θ .Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet av detta fält ut ur cylindern⎧⎨ x 2 + y 2 ≤ 9.⎩ −1 ≤ z ≤ 2112. Beräkna∇ 2 e θ .Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.Några viktiga vektorfält113. a) Visa med direkt beräkning att Gauss sats inte gäller förA(x, y, z) =(x, y, z)(x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 ,där S är sfärytan med radie R centrerad i origo som omsluter volymen V .Varför gäller inte satsen?b) Bekräfta med direkt integration att Gauss sats gäller för vektorfältet A i(a) när S är ytan S 1 med radie R 1 plus ytan S 2 med radie R 2 , och V ärvolymen mellan S 1 och S 2 .c) Vilket villkor måste ytan S uppfylla för att Gauss sats skall vara uppfylldför A i (a)?114. Beräkna flödet av vektorfältetut ur områdetgrad( q|r − c| + pz4 )⎧⎨ x 2 + y 2 ≤ 4c 2.⎩ |z| ≤ 2c117. Beräkna flödet av vektorfältet()1grad lnρ + √ρ2 + z 2ut ur områdeta) med hjälp av Gauss’ sats.b) genom direkt integration.118. Beräkna flödet av vektorfältetut genom rotationsellipsoidena) med hjälp av Gauss’ sats.b) genom direkt integration.ρ 2 + z 2 ≤ 1r =1r e r12 − cosθVilket svar hade man fått om fältet istället hade varit1r 2e r?

2627119. Beräkna linjeintegralen ∮2L ρ e ϕ · drlängs den slutna kurvan L enligt figuren.✻zFältlinjer124. Bestäm ekvationen för fältlinjerna till vektorfältetA = (2xz, 2yz, −x 2 − y 2 ).L✻Ange speciellt ekvationen för fältlinjen genom punkten (1, 1, 1) och finn denfältlinjens skärningspunkt med planetx + y = 1.✑✑✑✰ x✲y125. Ange ekvationen för fältlinjerna till vektorfältetρ cosϕe ρ + ρ 2 e ϕ + ρ sinϕe z .I vilka punkter går fältlinjen genom punktenρ = 3, ϕ = π 2 , z = 2120. Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet av vektorfältetz ρ2 − 1e ρρut ur områdetx 2 + y 2 + (z − 2) 2 ≤ 4.121. Visa att påståendet i exempel 94 gäller även om kurvan omsluter z-axeln.122. Polerna i en dipol har styrkorna ±q och sammanbinds av vektorn a (spetsen ipluspolen).Bestäm flödet av dipolfältet ut ur en sluten yta S soma) omsluter bägge polerna.b) omsluter endast pluspolen.c) inte omsluter någon pol.123. Beräkna flödet av vektorfältet(e × r) · (e × r)A(r) = rut genom en godtycklig sluten yta S som begränsar ett område V som innehållerorigo.e är en konstant enhetsvektor.Ledning: Använd sfäriska koordinater.r 5genom planet y = 0?126. Ange ekvationen för fältlinjen till dipolfältetA = grad cosθr 2 .Bestäm speciellt fältlinjen genom punktenr = a, θ = π 6 , ϕ = 0.Beräkna det största värde som avståndet mellan en punkt på denna fältlinje ochorigo kan anta.Kontinuitetsekvationen, Greens satser, Lapla- ces och Poissonsekvationer127. Beräkna potentialen φ som löser Laplaces ekvation för ett system av två parallellaplattor på avstånd d. Den ena platttan har potential φ = 0 och den andraφ = φ 0 =konstant.128. Beräkna potentialen φ som löser Laplaces ekvation för ett system av två koncentriskasfäriska skal med radie R 1 och R 2 > R 1 . Sfären med radie R 1 harpotential φ = 0, och sfären med radie R 2 har φ = φ 0 =konstant.

2829129. På ett sfäriskt skal med centrum i origo och radie R är potentialenVad är potentialen i origo?φ =sinϕ7 + 3 cos 5 θ .130. Det regnar på en cirkulär, horisontell platta, vars radie är ρ 0 m. Regntäthetenär κ(ρ, ϕ, t) m/s, och vattnet strömmar mot plattans kanter med hastigheten:v = v ρ (ρ, ϕ, t)e ρ + v ϕ (ρ, ϕ, t)e ϕ[m/s]som är ett medelvärde bildat över olika djup. Vattenlagrets tjocklek är d(ρ, ϕ, t) m.Hur lyder kontinuitetsekvationen för strömningen i polära koordinater ρ och ϕ?Beräkna speciellt d om förloppet är stationärt och om( ( ) ) 2 ρ ρκ = k 1 − och v = v 0 e ρ (k, v 0 konst.).ρ 0 ρ 0131. En platta av stor utsträckning begränsas av planen x = 0 och x = d. Dessabegränsningsytor hålls vid konstanta temperaturer T 0 resp. T d . Bestäm temperaturfördelningeni plattans inre, där Laplaces ekvation ∇ 2 T = 0 gäller.132. En kondensator består av två koaxiala cirkulära metallcylindrar. Den inre harradien R 1 och potentialen V 1 , medan den yttre, vars radie är R 2 , har potentialenV 2 . Potentialen V satisfierar Laplaces ekvation i området mellan cylindrarnaoch är kontinuerlig vid cylinderytorna. Bestäm potentialen V och den elektriskafältstyrkan e = − gradV i detta område. (Randeffekter försummas, dvs. V fårantas konstant i axelriktningen.)133. En ensam, elektriskt laddad metallkula med radien R har den konstanta potentialenV 0 . Potentialen V (r) är kontinuerlig vid kulans yta samt lyder Laplacesekvation i den omgivande rymden.Bestäm V (r) samt e = − gradV .134. Tyngdkraftsaccelerationen G kan skrivas G = − gradφ, där potentialfunktionenφ satisfierar ekvationen:∇ 2 φ = γρ,där γ är en konstant och ρ är masstätheten.Beräkna tyngdkraftfältet för jorden om denna approximeras med en ensam sfär(radie R) med konstant masstäthet ρ 0 .135. Skalärfältet φ satisfierar Laplaces ekvation i V , och på V :s begränsningsyta Sgällerφ = f,där f är en given funktion. Visa att för varje funktion ψ sådan attψ = f på Sgäller att ∫∫∫∫∫∫(gradψ) 2 dV ≥ (gradφ) 2 dV.VVφ och ψ antas vara kontinuerligt deriverbara två gånger.136. Skalärfältet φ(ρ, ϕ) beror ej av z och satisfierar Laplaces ekvation i hela rummet.Visa att φ:s värde på z-axeln kan skrivas∫∫φ(0, −) = γ φdS,där S är cylinderytanBestäm konstanten γ.ρ = R, −h ≤ z ≤ h.Ledning: Tillämpa Greens andra teorem på skalärfälten φ och lnρ över detområde som begränsas av ytornaρ = R, ρ = ε, z = h, z = −h.137. Den stationära temperaturfördelningen T(r) inuti en kropp V satisfierar Poissonsekvation∇ 2 T = − 1 k κ(r).Den specifika värmeledningsförmågan k är en konstant och den givna funktionenκ(r) anger värmeproduktionen per volymsenhet och tidsenhet i kroppen.Kroppens begränsningsyta hålls vid den givna temperaturen θ(r). Genom mätningarav värmeflödet genom S har man bestämt funktionenpå S. ˆn är S:s utåtriktade normal.Sγ(r) = −k gradT · ˆnVisa att temperaturen i en godtycklig punkt r P kan uttryckas i de kända funktionernaκ(r), θ(r) och γ(r) enligt formeln:∫∫∫κ(r)T(r P ) = aV |r − r P |∫∫SdV + b ○ θ(r)(r − r P ) · ˆn|r − r P | 3 dS +∫∫γ(r)+c ○|r − r P | dS.Bestäm konstanterna a, b och c.S

3031Ledning: Använd Greens andra teorem på skalärfälten1|r − r P |och T(r).Betrakta området mellan sfären |r − r P | = ε och randytan S.138. Potentialen i punkten r P från en dipol med dipolmomentet a, vilken befinner sigi punkten r, ges som bekant avφ(r P ) = a · (r P − r)|r P − r| 3 .Låt S vara en yta med randkurvan L. Ytan är likformigt belagd med infinitesimaladipoler så att summan av alla dipolmomenten i ytelementet ˆn dS ges avvektornσˆn dS,där σ är en konstant. Potentialen i punkten r P från dipolytan blir i så fall∫∫σˆn · (r P − r)φ(r P ) =|r P − r| 3 dS.Sa) Visa att φ(r) är proportionell mot den rymdvinkel Ω som L upptar då denbetraktas från punkten r P .b) Hur ändras potentialen då man passerar genom dipolytan? Studera specielltfallet att S är en sluten yta.139. De slutna kurvorna C 1 och C 2 omsluter ytorna S 1 resp. S 2 . Visa att∫ ∫(∫∫ ) (∫∫ )(r 1 − r 2 ) 2 dr 1 · dr 2 = −4 dS 1 · dS 2 .C1C2r 1 (r 2 ) är ortsvektorn för en punkt på C 1 (C 2 ). dr 1 (dr 2 ) är linjeelement på C 1(C 2 ).Kroklinjiga koordinater140. Beräkna skalfaktorer och enhetsvektorer för följande koordinattransformation,och kontrollera att basvektorerna är ortogonala:x = u 1 + u 2 + 7u 3 , y = u 1 − 3u 2 + u 3 , z = 2u 1 + u 2 − 4u 3 .141. Beräkna volymsintegralen ∫∫∫VS1φ(x, y, z)dVgenom att göra det föreskrivna variabelbytet:S2a) φ(x, y, z) = x 2 + yz och V : ellipsoiden (x/a) 2 + (y/b) 2 + (z/c) 2 ≤ 1.Variabelbyte: x = au 1 , y = bu 2 , z = cu 3 .b) φ(x, y, z) = (x + yz) och V : tetraedern som begränsas av koordinatplanenoch planet x+y+z = 6. Variabelbyte: x = 6−2u 2 , y = 2u 2 −2u 1 , z = 2u 3 .142. a) Bestäm de normerade basvektorerna i det kroklinjiga koordinatsystemet⎧u ⎪⎨ 1 = x 2 − y 2u 2 = xy .⎪⎩ u 3 = zoch visa att de är ortogonala.b) Uttryck divergensen av ett vektorfält A = A(u 1 , u 2 , u 3 ) i derivator av fältetskomponenter längs dessa basvektorer. (Svaret skall endast innehålla koordinaternau 1 , u 2 och u 3 .)143. Paraboliska koordinater u, v, ϕ, definieras av ekvationerna:⎧x = uv cosϕ⎪⎨y = uv sinϕ⎪⎩ z = 1 2 (u2 − v 2 )a) Bestäm u, v, ϕ som funktioner av de kartesiska koordinaterna x, y, z. Angevariationsområdena för u, v, ϕ.b) Ange ekvationerna för koordinatytor och koordinatlinjer samt skissera derasutseende.c) Visa att de paraboliska koordinaterna är ortogonala.d) Ställ upp gradienten i paraboliska koordinater.e) Bestäm sambandet mellan basvektorsystemene u , e v , e ϕ och e x , e y , e z .f) Referera ortsvektorn r samt punktkällans vektorfälte rr 2till paraboliska koordinater.144. Betrakta de kroklinjiga koordinaterna u, v och w definierade genom⎧u = r sin 2 θ⎪⎨2v = r cos 2 θ ,2⎪⎩w = 2ϕdär r, θ, ϕ är de sfäriska koordinaterna.

3233a) Visa att u, v, w är ortogonala koordinater och bestäm skalfaktorerna h u ,h v och h w .Ledning: Bestäm först ∇u, ∇v och ∇w.b) Bestäm divergensen av vektornA = e u√u2 + uv + e v√v2 + uv.145. För godtyckliga kroklinjiga koordinater kan man skriva∇φ = ∂φ∂u 1∇u 1 + ∂φ∂u 2∇u 2 + ∂φ∂u 3∇u 3 . (1)a) Visa detta och använd (1) för att bestämma det villkor u 1 , u 2 och u 3 måsteuppfylla för att ∇ 2 φ ska få den enkla formendär∇ 2 φ = 1 ∂ 2 φh 2 1 ∂u 2 + 1 ∂ 2 φ1 h 2 2 ∂u 2 + 1 ∂ 2 φ2 h 2 3 ∂u 2 ,3h i = 1|∇u i | .b) Bestäm u 1 (r), u 2 (θ), u 3 (ϕ) så att ∇ 2 φ får denna form och ge slutligenuttrycket för ∇ 2 φ uttryckt i dessa koordinater.146. De kroklinjiga koordinaterna u, v och w är definierade genom⎧x = a coshu cosv⎪⎨y = a sinhusinv .⎪⎩ z = wBestäm basvektorer och skalfaktorer samt sök den lösning till ekvationen∇ 2 φ = 0som enbart beror av u, och på ellipsernax 225 + y29 = a216ochx 225 + y216 = a29antar värdena 0 och 2 respektive. (u > 0, 0 ≤ v < 2π.)147. Ett kroklinjigt koordinatsystem (ξ, η, ζ) är givet genom⎧ξ ⎪⎨2 = ρ − y − ∞ < ξ < ∞η 2 = ρ + y 0 ≤ η < ∞ .⎪⎩ ζ = zHär är ρ = √ x 2 + y 2 och tecknet på ξ definieras genom x = ξη.a) Bestäm de normerade basvektorerna e ξ , e η och e ζ samt transformationskoefficienternaa ik = e i ′ · e k i ′ = ξ, η, ζ.Är (ξ, η, ζ) ett ortogonalt system?b) Bestäm skalfaktorerna och divA, därA =(1 ξ√ξ2 + η 2 2 (3η2 + ξ 2 )e ξ + η )2 (3ξ2 + η 2 )e η .148. Betrakta de ortogonala kroklinjiga koordinaterna⎧u = r(1 − cosθ)⎪⎨v = r(1 + cosθ) .⎪⎩ w = ϕHur ser gradienten av ett fält φ och ortsvektorn r ut i det nya basvektorsystemete u , e v , e w ?149. a) Transformera Laplaces ekvation till paraboliska koordinater u, v, ϕ.b) Bestäm den allmänna lösningen på formen φ = φ(u).c) Referera denna lösning till sfäriska koordinater samt verifiera att den satisfierarLaplaces ekvation i sfäriska koordinater.150. Ett skalärfält φ, som enbart beror avu 2 = r + z = √ x 2 + y 2 + z 2 + zsatisfierar Laplaces ekvation ∇ 2 φ = 0 jämte randvillkoren⎧x = 3a ⎪⎨φ = 0 för y = 0 och φ = φ 0 för⎪⎩ z = 4a⎧x = 0 ⎪⎨y = 0⎪⎩ z = aFör att bestämma φ används lämpligen koordinaterna u, v, ϕ definierade ur⎧⎧x = uv cosϕ 0 ≤ u < ∞⎪⎨⎪⎨y = uv sinϕ 0 ≤ v < ∞ .⎪⎩ z = 1 2 (u2 − v 2 )⎪⎩ 0 ≤ ϕ < 2πVisa att dessa är ortogonala, bestäm skalfaktorerna och uppställ sedan ekvationenför φ samt bestäm φ.

3435Tensorräkning151. a) Visa att transformationen x ′ i = L ikx k medär en rotation.⎛−√ 1 02 1(L ik ) =2⎜⎝ 121√2− 1 √2121 1√2 2b) Bestäm komponenterna Tik ′ om⎛ ⎞0 1 0(T ik ) = ⎜ 1 0 1 ⎟⎝ ⎠ .0 1 0152. En tensor har komponenterna A 11 = 1, A ik = 0 om i ≠ 1 eller k ≠ 1, relativt detkartesiska koordinatsystemet K. Ange tensorns komponenter relativt koordinatsystemetK ′ , som är vridet vinkeln α relativt K kring den med K gemensammax 3 -axeln.⎞⎟⎠a) δ ii .b) δ ij ε ijk .c) ε ijk ε ljk .d) ε ijk ε ijk .156. Visa att tensorer med följande komponenter är isotropa.a) A ijkl = δ ij δ klb) B ijkl = δ ik δ jl + δ il δ jkc) C ijkl = ε nij ε nkl157. A ij och B ij är kartesiska komponenter av tensorfält. Visa att följande storheterär kartesiska komponenter av tensorfält och ange deras ordning.a) A ij B klb) A ij B jic) ∂A ij∂x k∂ 2 A ijd)∂x i ∂x k∫∫∫e) A ij A jk dx 1 dx 2 dx 3V153. Tensorn A ↔ har följande komponenter relativt det kartesiska koordinatsystemetK:⎧⎨ 1 i + j = 4A ij =⎩ 0 i + j ≠ 4Bestäm A ′ ij i ett koordinatsystem K′ som är vridet vinkeln α relativt K kringden med K gemensamma x 1 -axeln.154. En andragradsyta har ekvationenA ij x i x j + B i x i = 0i det kartesiska systemet K. I ett annat kartesiskt system K ′ blir ekvationenA ′ ij x′ i x′ j + B′ i x′ i = 0.Visa att A ij (som förutsätts symmetrisk) och B i utgör komponenter av tensorer.158. Använd tensormetoder för att omforma följande uttryck. Resultaten skall översättastill gängse vektorbeteckningar.a) div rotAb) (A × B) · rotCc) rotrotAd) rot(A × B)e) div(r × gradφ)f) rot(r × gradφ)g) rot(r × rotA)h) div(gradφ × gradψ)i) ∇ × ((r · ∇)B)j) ∇ · ((r × ∇) × B)k) (A · ∇)(B × C)155. Beräkna

3637159. Visa att((r × ∇) × (r × ∇))φ = −(r × ∇)φ.160. Använd tensormetoder för att omvandla följande linjeintegraler till ytintegraler:∮a) A × drC∮b) AB · drC∮c) ε ijk A ij ds k där A ij är ett kartesiskt tensorfält.C161. Låt A vara ett virvelfritt vektorfält. Omforma∫∫A × ∇φ · dStill en linjeintegral.162. Omforma ∫∫(gradφ × GradA) · dSStill en lineintegral. Med gradφ × GradA avsesS(gradφ × GradA) il = ε ijk∂φ∂x j∂A l∂x k.163. Omforma med tensormetoder följande integraler till ytintegraler:∫∫∫a) ∇ × (∇ × A)dVV∫∫∫b) (gradφ × ∇) · A dVV164. Skriv ∫∫∫(B · ∇)A dVVsom en ytintegral om B är ett källfritt fält.165. I Kirchhoffs behandling av diffraktionsfenomen uppträder uttrycket∫∫ ∫∫∫∫○ (dS · ∇)E + ○ dS × (∇ × E) − ○ dS(∇ · E),SSdär E är ett vektorfält och S en glatt yta. Visa att uttrycket blir noll.S166. I en kropp flyter en elektrisk ström med strömtätheten j = j(r). Kraften påvolymselementet dV är dådF = j × B dV,där B är den magnetiska fältstyrkan. För det magnetiska fältet gällerdivB = 0,rotH = j,B = µ 0 H.Skriv kraften på en delvolym V som en ytintegral av formen∫∫e i ○ T ij dS joch bestäm härigenom de kartesiska tensorkomponenterna T ij .167. En tensor har i det kartesiska koordinatsystemet K komponenterna⎛ ⎞1 0 0(T ik ) = ⎜ 1 1 1 ⎟⎝ ⎠ .0 0 1Existerar ett kartesiskt koordinatsystem K ′ så atta)b)c)(T ′ik) =S⎛ ⎞λ 1 0 0⎜ 0 λ⎝ 2 0 ⎟⎠ ?0 0 λ 3⎛ ⎞0 a b(T ik ′ ) = ⎜ c 0 d ⎟⎝ ⎠ ?e f 0⎛ ⎞a b c(T ik ′ ) = ⎜ b 0 0 ⎟⎝ ⎠ ?c 0 0

3839168. Den s.k. centifugalkraftenF = −mω × (ω × r)därT ik = D i E k − 1 2 D jE j δ ik .definierar en vektorvärd funktion av r.a) Visa att man kan associera denna med en tensor och bestäm tensorns komponenter.b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer.169. Potentiella energin hos ett system bestående av två små stavmagneter med magnetiskamomenten m 1 och m 2 placerade på avståndet r från varandra kan skrivas170. Kraftenφ = (m 1 · ∇)(m 2 · ∇) 1 r .a) Visa att man kan definiera en tensor vars kartesiska komponenter M ij uppfyllerekvationenφ = M ij m 1i m 2j .b) Bestäm tensorns egenvärden och egenvektorer.F = ev × Bsom verkar på en laddad partikel i ett magnetfält B utgör en vektorvärd funktionav partikelns hastighet v.a) Visa att man kan associera en tensor av andra ordningen med denna funktion.b) Visa att denna tensor har två imaginära egenvärden och ett egenvärde = 0.Bestäm egenvektorn, som svarar mot det senare.171. I ett område finns elektriska laddningar med laddningstätheten ρ(r). Den elektriskakraften på volymselementet dV ärρ(r)E(r)dV,där E(r) är den elektriska fältstyrkan. Det gäller att⎧⎨där φ är den elektriska potentialen.divE = 1 ε 0ρ⎩E = − gradφVisa att totala kraften på en delvolym V kan skrivas∫∫F = e i ○ T ik n k dS,S172. Använd tensormetoder för att skriva∫∫∫(A divA − A × rotA)dVsom en ytintegral över den yta S som omsluter V .användas dels påVResultatet skall sedana) ett stationärt elektriskt fält genom att sätta A = E där E lyder⎧⎪⎨ rotE = 0⎪⎩ divE = ρ(r)ε 0b) och sedan på ett stationärt magnetiskt fält genom att sätta A = B där Blyder⎧⎨ divB = 0,⎩ rotB = µ 0 i(r)med ρ som laddningstätheten och i som strömtätheten.Blandade vektortal173. Den potentiella energin mellan två dipoler med dipolmomenten m 1 och m 2 påavståndet r kan skrivas:φ = (m 1 · ∇)(m 2 · ∇) 1 r .Utveckla uttrycket så att beroendet av vinklarna mellan vektorerna m 1 , m 2 ochr framgår. Bestäm värdet på φ för det fall attm 1 · e r = 1 2 |m 1|,m 2 · e r = 1 2 |m 2|,m 1 · m 2 = − 1 2 |m 1||m 2 |.174. Vektorpotentialen från en magnetisk dipol ges avA = µ 0 m × r4π r 3 ,

4041där dipolmomentet m är en konstant vektor och r är ortsvektorn. µ 0 är enkonstant. Ur vektorpotentialen beräknas den magnetiska induktionen B enligtBestäm B för r ≠ 0.B = rotA.175. En elektrisk dipol i origo omger sig med potentialfältet2 sinθ cosϕV = −r 2 .a) Hur snabbt ökar potentialen V om man utgående från punktenrör sig i riktningen e r − e ϕ ?P : r = 1, θ = π/4, ϕ = 0b) I vilken riktning utgående från P ökar potentialen snabbast, och hur storär den maximala potentialökningen per längdenhet?178. I ett plasma av hög täthet gäller att krafttätheten f kan skrivasf = i × B − gradp,där i är strömtätheten, B magnetfältet och p trycket.Mellan i och B råder relationen rotB = µ 0 i. Vidare gäller divB = 0. Visa attf = 1 )(B · ∇)B − grad(p + B2.µ 0 2µ 0179. Kraften på en enhetsladdning från en dipol med dipolstyrkan p ges av()2 cosθ sinθF = p e rr 3 + e θr 3förutsatt att origo valts i dipolen och z-axeln i dipolmomentets riktning. BestämdivF och rotF för r ≠ 0.Arbetet skall utföras i sfäriska koordinater.176. Sambandet mellan laddningstätheten ρ(r) och den elektriska fältstyrkan E(r) iett statiskt elektriskt fält ges avdivE = 1 ε 0ρ(r),180. VektorfältenA = (2x 2 − y 2 , yz + z 2 , xy 2 ),B = (−y, x, 0)där ε 0 är en konstant.Antag att man på ytan S av en sfär med radien a och centrum i origo mätt uppfältstyrkan och funnitE S = ρ 0a 2 ( xsε 0 a 2 , y sb 2 , z )sc 2 (1)I (1) är (x s , y s , z s ) koordinater för punkter på S. Observera att fältstyrkan ipunkter (x, y, z) inuti sfären ej nödvändigtvis ges av (1). Bestäm laddningeninom sfären.177. I en stel kropp, som roterar kring en fix punkt kan hastighetsfältet skrivasoch accelerationsfältetv(r) = ω × ra(r) = ˙ω × r + ω × (ω × r).Bestäm divv, rotv, diva och rota. (ω och ˙ω är funktioner endast av tiden.)är givna. Beräknaa) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A · ∇)B.d) ∇ 2 A.181. Beräkna integralen ∫∫∫VA · rotBdV,där vektorfältet A har en potential i området V , vars begränsningsyta är enekvipotentialyta för denna potential.182. Beräkna flödet av vektorfältetA = grad a · rr 3ut ur en kub med kantlängden 1, medelpunkten i origo och en rymddiagonalparallell med den konstanta vektorn a.

4243183. Vektorfälten A(r) och B(r) är kontinuerligt deriverbara i det enkelt sammanhängandeområdet V . De båda fälten har samma divergens och rotation i V . Vidare ärderas normalkomponenter på V :s begränsningsyta S identiska. Visa atti V .A(r) ≡ B(r)184. Ytan S begränsas av en kurva C, som är ekvipotentialkurva till ett skalärfält φ,dvs.φ(r) = konstant för r ∈ C.Visa att∫∫(∇φ × ∇ψ) · dS = 0,Sdär ψ = ψ(r) är ett godtyckligt skalärfält. φ och ψ förutsätts kontinuerligtderiverbara.185. För vilka värden på n uppfyller vektorfältetekvationenA = ρ n e ρ∇ 2 A − m ρ 2A = 0för ρ ≠ 0. Använd relationen rotrotA = . . .Räkningarna skall genomföras i cylinderkoordinater.187. En partikels rörelse beskrivs i cylinderkoordinater av ekvationerna:⎧ρ = 1 ⎪⎨ϕ = π 2 + sinωt⎪⎩z = cosωt.ω är en konstant och t är tiden. Beräkna beloppet av accelerationsvektorn.De totala differentialerna av de cylindriska basvektorerna ärde ρ = e ϕ dϕ,de ϕ = −e ρ dϕ,de z = 0.188. VektorfältenA =1r 2 + a 2r,B = (a 2 − r 2 )a × r + r 2 rär givna. Bestäm ∫∫∫A · rotB dVdär V är sfären |r| ≤ a.Ledning: Genomför partiell integration först.V186. Ett vektorfält av formenF(r) = f(r)e rär källfritt för r ≠ 0. Vidare gäller att∫∫○ F · dS = Q,där S är ytan av sfären |r| = R.a) Bestäm f(r) och rotF.b) Beräkna ∫där C är kurvangenomlöpt från ϕ = 0 till ϕ = 2π.SF · dr,Cr = a(e x sinϕ + e y 4 cosϕ + e z32π ϕ)189. Använd Stokes’ sats för att beräkna integralen∮(a × r) × dr,Cdär C är en enhetscirkel som ligger i planet b · r = p. a och b är konstantavektorer och p är en konstant.Utnyttjade operatorformler skall uppställas med indexräkning.190. Visa att omF = − 1 r cotθ e ϕoch φ = φ(ϕ) så gäller för varje yta S som omsluter volymen V att∫∫ ∫∫1○ φF × dS = ○SS r∫∫∫VφdS − 1r ∇φdV.

4445191. Vektorfältet A är homogent av graden n, dvs.a) Visa att (r · ∇)A = nA.Ledning: Derivera (1) m.a.p. λ.b) Beräkna div(r(r · A)).192. Visa att ytintegralenA(λx, λy, λz) = λ n A(x, y, z) (1)∫∫○Se r · ˆnr 3 e r dSkan omformas till en volymsintegral av typen∫∫∫gradφdVVöver det av S omslutna området V , samt beräkna φ. Origo är en yttre punkttill V .Ledning: Använd på lämpliga ställen att e r = r/r.193. Vektorerna Eoch B uppfyllerVisa attE = gradφ,B = rotA.∫∫∫VE · B dV = 0om begränsningsytan till V är en ekvipotentialyta till φ.Ledning: Studeraomsorgsfullt.∫∫∫Vdiv(φB)dV194. Bestäm den allmänna lösning A till ekvationen∇ 2 A = 0som har rotationssymmetri kring z-axeln samt translationssymmetri m.a.p. förflyttningi z-riktningen.Ledning: Varje vektorfält A som har de ovannämnda symmetriegenskaperna kanskrivasA = A ρ (ρ)e ρ + A ϕ (ρ)e ϕ + A z (ρ)e z .195. Beräkna integralen ∫∫e ϕ × ˆn dS,Sdär S är ytana) direkt.x 2 + y 2 + z 2 = 1 x, y, z ≥ 0, ˆn · e z ≤ 0b) med hjälp av en integralsats. Låt V vara områdetx 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.196. Vektorfältet A är virvelfritt på ytan S samt antar värdet noll på S:s randkurvaC. Visa att ∫∫A × ˆn dS = 0.SLedning: Tillämpa Stokes’ sats på vektorfältet(e · r)A,där e i tur och ordning sätts lika med e x , e y och e z .197. Det två gånger kontinuerligt deriverbara, källfria vektorfältet A satisfierar Laplacesekvation i V och på V :s begränsningsyta S gäller att A × ˆn = C, där C är ettgivet vektorfält som är definierat på S.Visa att för varje källfritt vektorfält B som är kontinuerligt deriverbart tvågånger i V samt satisfierar randvillkoret B × ˆn = C på S gäller att∫∫∫∫∫∫(rotB) 2 dV ≥ (rotA) 2 dV.VLedning: Sätt B = A + D och använd formeln ∇ · (A × B) = . . .198. Vektorfältet A har kontinuerliga andraderivator. Visa att om A satisfierar ekvationenrotA = αA (α ≠ 0),där α är en konstant, så följer därav att A satisfierar ekvationenV(∇ 2 + α 2 )A = 0.Utnyttjade operatorformler skall ställas upp med indexräkning.199. Beräkna den allmänna lösning u(x, y, z) till den biharmoniska ekvationen∇ 2 (∇ 2 u) = 0som har

4647a) cylindersymmetri, dvs. u = u( √ x 2 + y 2 ).b) sfärisk symmetri, dvs. u = u( √ x 2 + y 2 + z 2 ).200. Beräkna integralen ∫∫∫VA · B dV.Vektorfältet A är virvelfritt i området V och vektorfältet B har en vektorpotentialsom är ortogonal mot V :s begränsningsyta S.Ledning: Använd formeln div(A × B) = . . ., som skall uppställas med hjälp avindexräkning.201. Beräknaa) med användning av Gauss’ satsb) genom direkt integrationintegralendär∫∫I(R) = ○ ∇φ · dS,Sφ = e−λrroch S är ytan av en sfär med radien R och centrum i origo. Vilka blir värdenaavlimR→∞λ≠0I(R) och lim I(R)λ→0R

484922. s ≈ ∆φ| gradφ| = √ 3 10 −65 31.12. r = (2, 1, 1) + u(−2, 2, 1), −2x + 2y + z = −1.23.( ) dT13. a) (1, 1, 1)dsP0= (gradT) P0 · e = | gradT| P0 e 0 · e = | gradT| P0 cosαb) (1, 2, 3)(gradT) P0 = (4, −1, −2)( )c) −(1, 1, 1)/(x + y + z) 2gradT (4, −1, −2)e 0 == √d) 3(x + y + z) 2 | gradT|(1, 1, 1)P0 21( ) dTe) 2(x, y, z) = 2rf) (x, y, z)/ √ = −2 = | gradT| P0 cosα = √ 21cosαdsx 2 + y 2 + z 2P0(g) −2(x, y, z)/(x 2 + y 2 + z 2 ) 2α = arccos − 2 )√21h) (yz, xz, zy)14. 24/ √ 624. a) 0b) 2π15. a) Nivåytor: φ = c, gradient: (yz, xz, xy)/2φb) Ledning: Visa att gradφ är ortogonal mot tangentvektorerna ∂(x, y, c 2 /xy)/∂xoch samma för y.c) π/2d) −1/2e) 5/316. gradf = (ye xy ln z, xe xy ln z, e xy /z)25. (a) 23(b) 117. a) −1; b) 2/(e √ 3)26. a) 3/218. (1, 1)b) (8π 3 − 2)/319. a) (2, 4, 1)27. A = gradxy/z, integralen = −5/3b) 5 ◦ C/s28. a) φ = x 2 yz + y + Cb) potential saknas20. Betrakta nivåytan φ = x 2 − 2y 2 − 2z = 0.n P = (gradφ) P = (4, −4, −2). Tangentplanets ekvation blir −2x + 2y + z =−1.29. a) 14/3b) 14/321. π/230. φ(−1, 10, −2) − φ(0, 1, 0) = −11∫ ∫A · dr = {(b · r)(a · dr) + (a · r)(b · dr) + (a · b)(r · dr)} =CC

5051=∫Cd{(a · r)(b · r) + (a · b) r22 } =38. (0, 0, 0)= (a · b)(b · b) + (a · b) b2 2= 3 2 (a · b)(b2 − a 2 )ty r(0) = a och r(π/2) = b.32. Man inser att F = grad(xyz) dvs.C∫CF · dr− [(a · a)(b · a) + (a · b)a22 ] =är oberoende av vägen och∫F · dr = (xyz) P − (xyz) 0 =(−√ a ) (− b )√ c sinh 5 2 2 4 =33. a) −8/3b) 3πc) 16π/3d) 034. 4πR 335.36.323e) 12π/5π(π − 1)237. a) div A = 3, rot A = 0= abc2 sinh 5 4b) div A = 3, rot A = (1, 1, 1)c) div A = 0, rot A = 0d) div A = 1/x + 1/y + 1/z, rot A = 0e) div A = 0, rot A = e yz (0, y, −z) + e zx (−x, 0, z) + e xy (x, −y, 0)f) div A = − sinz, rot A = (0, 0, siny − sinx)39. 040. −2e −(x2 +y 2 +z 2) (y − z, z − x, x − y)41. −x + z, −y + x, −z + y)42. (a) i) a) 2ye y , b) 2xe z , c) 2, d) 1, e) 2xz, f) -2e yii) a) y 2 z 3 e x +2xyz 3 e y +3xy 2 z 2 e z , b) −(x+3z 2 )e x +ye y −x 2 e z , c) 2xz 3 +6xy 2 z,d) 3, e) −x 2 −2xy +y 2 +yz −x 3 +x 2 y −x 2 z −3xz 2 −3yz 2 +z 3 , f) 2(x −3z)e y43. Därför att ∂Fx∂y = ∂Fy∂x = 4x/√ y;44. a) 045. 54πb) 8πc) 162πd) 8/346. 4πR 347.48.e) 2176π/15∫∫SF · dS == 3 2∫∫∫V∫ 2π ∫ π ∫ RAv symmetriskäl kan nämligen0b) φ = 4x 2√ y∫∫∫divFdV =00∫∫∫V3(x 2 + y 2 + z 2 )dV =r 2 r 2 dr sinθ dθ dϕ = 3 2 4πR5 5 = 6π 5 R5V3r 2 dVöver halvsfären sättas = 1/2 gånger motsvarande integral över hela sfären.23 π

525349. S sluten, A kontinuerligt deriverbar, dvs. Gauss’ sats kan användas.divA = 3y 2 + 2y − x + 2z∫∫ ∫∫∫○ A · dS = (3y 2 + 2y − x + 2z)dVSVx = 0 symmetriplan till V , −x antisym. m.a.p. planet x = 0z = 0 symmetriplan till V , 2z antisym. m.a.p. planet z = 0∫∫∫⇒ (−x + 2z)dV = 0V har y-axeln till rotationsaxel⇒V⇒ dV = πr 2 (y)dy = π(y 2 + 2y)dy∫∫ ∫ 4○ A · dS = (3y 2 + 2y)(y 2 + 2y)π dy =S0= 4 4 71π1552.53.∫∫0 = ○=S∫∫∫∫∫∫xA · dS = {Gauss’ sats} = ∇ · (xA)dV =V∫∫∫V[(∇x) ·A + x ∇ · A} {{ } } {{ }]dV = e x ·=0exVA dVSåledes är x-komponenten av den sökta integralen = 0. På analogt sätt visas attäven y- och z-komponenterna är = 0.∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫○ A · dS = divAdV = 3(x 2 + y 2 + (z − 1) 2 )dVSVVByt variabler x ′ = x, y ′ = y, z ′ = z − 1, samt inför r ′ = √ x ′2 + y ′2 + z ′2 :∫∫∫3 r ′2 dV = {dV = 4πr ′2 dr ′ } = 12π5r ′ ≤150. Låt S ∗ vara en cirkel i xz-planet med radie √ 3 och centrum i origo.∫∫ ∫∫∫○ A · dS = (2y + 2x + z + 8z 3 )dVS+S ∗Vdär endast den första termen i integranden ger ett bidrag ≠ 0. De övriga termernaär antisymmetriska antingen m.a.p. planet x = 0 eller m.a.p planet z = 0,och V är symmetrisk med avseende på båda dessa plan.Som integrationselement väljs en tunn cirkulär skiva med tjockleken dy på avståndety från xz-planet, dvs.dV = π(4 − (y − 1) 2 )dy∫∫(x 2 , 2, 2z 4 ) · (0, −1, 0)dS = −2π( √ 3) 2 = −6πS ∗∫∫ ∫∫∫ ∫∫= −SVS ∗ = 452π − (−6π) =572 π54. S omsluter det område i vilket div gradφ > 0, dvs. sfärenx 2 + y 2 + z 2 < 3 10Maximala flödet = 12π √ 30/125.55. a) −2πb) 1/6c) 3/456. 13/1257. −π51.∫∫∫∫∫○ (2x + x 3 z)ˆndS = {”Gauss’ sats”} = (2 + 3x 2 z, 0, x 3 )dV =SV∫∫∫= {symmetri i x, z} = (2, 0, 0)dV =V( ) 8π=3 , 0, 058. − π√ 2459. C är randkurva till ytan S 1 + S 2 därS 1 : x = 0, 0 ≤ z ≤ √ 1 − y 2 , ˆn 1 = (−1, 0, 0)S 2 : z = 0, 0 ≤ x ≤ min{1 + y, 1 − y}, ˆn 2 = (0, 0, −1)

545560.Alltså:∫∫∫∫S1S2rotA = (x − 2, x − y, y 2 )rotA · ˆn 1 dS 1 = 2 π 2∫∫rotA · ˆn 2 dS 2 =∮C∮S2−y 2 dxdy = −2CA · dr = π − 1 6A · dr =∫∫rotA = ae zS∫ 10rotA · dS(1 − y)y 2 dy = − 1 6Som S kan vi välja cylinderns mantelyta plus botten. På mantelytan är rotA ·dS = 0. Vi får alltså:∮ ∫∫∫∫A · dr = ae z · dS = a dxdy = πa 3Cbottenbotten61. Eftersom rotA = (1, 1, 1), ger Stokes’ sats tillämpad på den yta som utgörs avkoordinatplanen och begränsas av ellipsoiden:∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫A · dr = dxdy + dy dz + dz dx =62.CS1= π (ab + bc + ca)4rotA = (x + 4, 2, y − 1 − z)ˆn = − √ 1 (1, 1, 0) 2∮A · dr = − √ 1 ∫∫(x + 6)dS = − √ 6 π · 2 · 2 √ 2 = −24π2 2C63. a) r/r = e rb) 2r 3 (x + y + z) + 3r(x 3 + y 3 + z 3 )c) 3r(yz 2 − zy 2 , zx 2 − xz 2 , xy 2 − yx 2 )d) (2xz + z 2 , 3y 2 , x 2 + 2xz)e) 0SS2S3f) (x 2 − 2zy − 3z 2 , −2yz − 2xy, −3x 2 − 2xy + z 2 )g) (z 2 , y 2 , x 2 ) (här finns ingen indexräkning att göra!)h) (x 2 − z 2 )(−1, 0, 1)64. a)[∇ × (φA)] i = ǫ ijk ∂ j (φA k ) == ǫ ijk (∂ j φ)A k + φǫ ijk (∂ j A k ) == [gradφ × A + φrotA] ib)[∇ × (A × B)] i = ǫ ijk ∂ j (A × B) k == ǫ ijk ǫ klm ∂ j (A l B m ) == (δ il δ jm − δ im δ jl )((∂ j A l )B m + A l (∂ j B m )) == (∂ m A i )B m + A i (∂ m B m ) − (∂ l A l )B i − A j (∂ j B i ) == [(B · ∇)A + A divB − B divA − (A · ∇)B] ic) ∇ · (∇ × A) = ∂ i ǫ ijk ∂ j A k = 0d)[(B × C) · (∇ × A)] i = (ǫ ijk B j C k )(ǫ ilm ∂ l A m ) == (δ jl δ km − δ jm δ kl )B j C k (∂ l A m ) == B l C k (∂ l A k ) − B m C l (∂ l A m ) == [C · (B · ∇)A − B · (C · ∇)A] ie)[(B · ∇)(φA)] i = B j ∂ j (φA i ) == B j (∂ j φ)A i + φB j (∂ j A i ) == [A(B · ∇φ) + φ(B · ∇)A] if)[(B · ∇)(A × B)] i = B j ∂ j (ǫ ikl A k B l ) == ǫ ikl B j {(∂ j A k )B l + A k (∂ j B l )} == −ǫ ilk B l B j ∂ j A k + ǫ ikl A k B j ∂ j B l == [−B × (B · ∇)A + A × (B · ∇)B] ig)[A × (∇ × A)] i = ǫ ijk A j (∇ × A) k = ǫ ijk ǫ klm A j ∂ l A m == (δ il δ jm − δ im δ jl )A j ∂ l A m == A m ∂ i A m − A j ∂ j A i = 1 2 ∂ i(A m A m ) − A j ∂ j A i == [ 1 2 gradA2 − (A · ∇)A] i

5657h)65. a-g saknash) alt. I:h) alt. II:tyochh) alt. III:tyeller[(A × ∇) × A] i = = ǫ ijk (∇ × A) j A k= ǫ ijk ǫ jlm A l ∂ m A k = (δ kl δ im − δ km δ il )A l ∂ m A k == A k ∂ i A k − A i ∂ k A k == [ 1 2 gradA2 − A divA] i (jfr g)[rot((a × r) × b)] i = ǫ ijk ∂ j ((a × r) × b) k == ǫ ijk ǫ klm ∂ j (a × r) l b m == ǫ ijk ǫ klm ǫ lpq a p b m ∂ j r q == (δ il δ jm − δ im δ jl )ǫ lpq a p b m ∂ j r q == ǫ ipq a p b m ∂ m r q − ǫ jpq a p b i ∂ j r q == ǫ ipq a p b m δ mq − ǫ jpq a p b i δ jq = [a × b] irot((a × r) × b) = {(8.24)} = (b · ∇)(a × r) − b(∇ · (a × r)) == {ex. 64 f) och (8.23)} == a × (b · ∇)r + b(a · (∇ × r)) = a × b()∂(b · ∇)r = b x∂x + b ∂y∂y + b ∂z (x, y, z) = (b x , b y , b z ) = b∂ze x e y e z∂ ∂ ∂∇ × r == 0∂x ∂y ∂z∣ x y z ∣rot((a × r) × b) = rot(b × (r × a)) = rot((b · a)r − (b · r)a) == {(8.22)} = (b · a)(∇ × r) −(∇(b · r)) × a =} {{ }=0= −b × a( ∂∇(b · r) =∂x , ∂ ∂y , ∂ )(b x x + b y y + b z z) = (b x , b y , b z ) = b∂z∇(b · r) = {(8.25)} = (b · ∇)r +b × (∇ × r)} {{ } } {{ }=b =066. a)67.68. 0b)[grad(a · gradφ)] i = ∂ i (a j ∂ j φ) = a j ∂ i ∂ j φ = [(a · ∇)∇φ] i[rot(a × gradφ)] i = ǫ ijk ∂ j (a × ∇φ) k == ǫ ijk ǫ klm ∂ j (a l ∂ m φ) == (δ il δ jm − δ im δ jl )a l ∂ j ∂ m φ == a i ∂ m ∂ m φ − a l ∂ l ∂ i φ = [a ∇ 2 φ −(a · ∇)∇φ]}{{}i=0Alltså: A = −B = (a · ∇)∇φc) Med∇φ = e x yz + e y xz + e z xydärblirA = e x (a y z + a z y) + e y (a x z + a z x) + e z (a x y + a y x)A = (∇r k ) × (r × a) + r k ∇ × (r × a)∇r k = kr k−1 e r = kr k−2 r∇ × (r × a) = (a · ∇)r −a(∇ · r) = −2a} {{ } } {{ }a 3⇒ A = kr k−2 r × (r × a) −r k 2a =} {{ }(a·r)r−r 2 aC= kr k−2 (a · r)r − (k + 2)r k aA ‖ r⇒ k = −269. Enligt Stokes’ sats är∮∫∫a × (b × r) · dr = ∇ × (a × (b × r)) · ˆn dSdär vi kan välja S så att ˆn ‖ c om C ligger på en nivåyta till φ.∇ × (a × (b × r)) = ∇ × ((a · r)b − (a · b)r) =S= ∇(a · r) ×b − (a · b) ∇} {{ } } {{× r}= a × b=a=0Linjeintegralen är noll om och endast om (a ×b) ·c = 0, dvs. om och endast oma, b och c ligger i samma plan.

585970.∇ × A = k (B 0 · ∇)r −kB 0 (∇ · r) + ∇ × ∇ψ = −2kB} {{ } } {{ } } {{ } 0=3 =0=B0Alltså: B 0 = rotA om vi väljer k = −1/2.75.∫∫∫V∫∫∫∫∫(∇φ) · B dV = (∇ · (φB) − φ}∇{{· B})dV = ○ φB · dS =VS=0∫∫ ∫∫∫= φ 0 ○ B · dS = φ 0 ∇ · B dV = 0SV71. v(r) ⊥ ˆn och r.|v(r)| = ωr sinθω, r, v(r) bildar ett högersystem, dvs.v(r) = ω × rrotv = rot(ω × r) = ∇ × (ω × ṛ) == −(ω · ∇)r + ω(∇ · r) = −ω + 3ω = 2ω76. Med hjälp av Gauss’ universalsats erhålls∫∫∫∫∫○ (a × r) × dS = − rot(a × r) dV =SV } {{ }2a∫∫∫= −2a dV = − 8 3 πaV72.12∫∫S○ dS × (a × r) = {Gauss’ universalsats} == 1 ∫∫∫∇ × (a × r)dV =2 V= 1 ∫∫∫(a(∇ · r) − (a · ∇)r)dV =2 V= 1 ∫∫∫2adV = aV2V77.78.∮C4π(0, 2, −5)3∫∫(a · r)dr =SdS × grad(a · r)} {{ }=a∫∫= −a ×dSS} {{ }±(b/b)π= ±π b × ab73. Linjeintegralens i:e komponent =∮ ∮= e i · r × dr = (e i × r) · dr =CC∫∫∫∫= rot(e i × r) ·ˆn dS = e i · 2ˆndS} {{ }S74. Den i:e komponenten av V.L. är =∫∫∫∫∫∫= e i · r × rotAdV = rotA · (e i × r)dV =VV∫∫∫= [div(A × (e i × r)) + A · rot(e i × r)]dV =V∫∫ ∫∫∫∫∫∫= ○ · · · + A · 2e i dV = 0 + e i · 2 A dV == i:e komponenten av H.L.2eiS VVS79. (−π, 0, 0). Observera att S ej är sluten, varför man måste dra bort bidragen frånde plana ändytorna då man använder en integralsats.80. i:e komponenten =∫∫∫∫= e i · ○ (A · ˆn)B dS = ○ (e i · B)A · ˆndS =SS∫∫∫∫∫∫= div(B i A)dV = . . . = e i · [(A · ∇)B + B divA]dV81.VA och B ska vara kontinuerliga i V ∪ S samt kontinuerligt deriverbara i V .Denna ekvation har partikulärlösningendivA = 7A p = 7xe xV

6061Ansätt den allmänna lösningendär R satisfierarA = A p + RdivR = 0Alltså: R = rotB där B är ett godtyckligt vektorfält.82. Integrera rot(φA) = . . . där φ → φ, A → gradψ eller φ → ψ, A → gradφ. I detförsta fallet erhålls ∮φgradψ · drsom är = 0, eftersomCgradψ · dr = 0I det andra fallet erhålls∮∮− ψ gradφ · dr = −ψ 0 gradφ · dr =CC∫∫= −ψ 0 rotgradφ · dS = 083. a) På C ärb)r = a(cosϕ, sinϕ, 1 + cosϕ)dr = a(− sinϕ, cosϕ, − sinϕ)dϕ∮r × dr =C= a 2 (−∫ 2π0= a 2 (−2π, 0, 2π)∮CS(1 + cosϕ)dϕ, −∫ 2π0sinϕdϕ,∫∫dr × r = (dS × ∇) × rS∫ 2π0)dϕ =ger ∮ ∫∫∫∫r × dr = [(∇ · r)dS − ∇(r · dS)] = 2 dSCSSProjektionen av S i xy-planet är en cirkel med radie a. Så även i yz-planet,medan projektionen i xz-planet är en rät linje.∫∫⇒ 2 dS = (−2πa 2 , 0, 2πa 2 )S84.rot(ψ gradφ) = gradψ × gradφ + ψ rotgradφ == − gradφ × gradψIntegrera båda leden över V :∫∫∫∫∫∫gradφ × gradψ dV = − rot(ψ gradφ)dV =V∫∫V= − ○ ˆn × (ψ gradφ)dS =S∫∫= −ψ 0 ○ ˆn × gradφdS =S∫∫∫= −ψ 0 rotgradφdV = 0Ovanstående operationer är tillåtna om ψ har kontinuerliga förstaderivator ochφ har kontinuerliga andraderivator i V . ψ och φ ska vara kontinuerliga i V ∪ S.85. i:e komponenten av integralen är∮∮e i · I = e i · r × (r × dr) = e i · (r × (r × dr)) =CC∮∮= ((r × dr) · (e i × r)) = ((e i × r) × r) · dr =CC∫∫= [∇ × ((e i × r) × r)] ·dSS } {{ }R86.därAlltså:dvs.R = ∇ × [(r · e i )r − r 2 e i ] == ∇(r · e i ) ×r + (r · e i ) ∇ × r −} {{ } } {{ } }{{}∇r 2 ×e i ==ei=0 =2r= 3e i × r∫∫∫∫e i · I = 3(e i × r) · dS = e i · 3r × dSSS∫∫I = 3r × dSS∮e i · M = −I e i · (r × (B × dr)) =C∮∮= −I (B × dr) · (e i × r) = −I ((e i × r) × B) · dr =CC∫∫= {enl. Stokes’ sats} = −I rot((e i × r) × B) ·dSS } {{ }=AV

6263Här ärvilket gerAlltså:I specialfallet ärA = rot[(e i · B)r − (B · r)e i ] == (e i · B)rotr}{{}− grad(B · r) ×e i = −B × e i} {{ }=0 =B∫∫∫∫e i · M = I (B × e i ) · dS = Ie i · dS × BSS∫∫M = −IB × dSSM = πR 2 Iˆn × Btvå plan ortogonala mot z-axeln på avstånden z resp. z + dz från xy-planet.Cirkelskivans volym är πz 2 dz och vi finner∫∫∫Ytintegralen över S ′ blir∫∫Vz 2 dV =∫ 10πz 4 dz = π 5S ′ (2x + xy + 1)e z dS = πe zDen sökta integralen blir följaktligen∫∫φdS = π 5 (2, 0, 3) − π(0, 0, 1) = 2π (1, 0, −1)5S87. Linjeintegralens i:e komponent =∮= e i · ∇ 1 ∮C r × dr = (e i × ∇ 1C r ) · dr =∫∫= ∇ × (e i × ∇ 1 ) · ˆn dSrIntegranden kan skrivas−(e i · ∇)∇ 1 r + e i∇ · ∇ 1 rYtintegralen blir följaktligen∫∫e i ·SS=∂∂x irr 3 + 0 = e ir 3 − r 3 r 4 x ir == e ir 3 − 3(e i · r)rr 5( ) ˆn− (r · ˆn)3rr3 r 5 dSAlltså är linjeintegralen och ytintegralen lika omψ = φ = 1 r 388. Låt S ′ vara en cirkelskiva parallell med xy-planet med radie 1 och centrum i(0, 0, 1) och med normalen e z .∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫φdS = ∇φdV = (2z 2 + y, x, 4xz + 3z 2 )dVS+S ′VVolymsintegralerna över x, y och xz är = 0 av symmetriskäl. Som integrationselementi de återstående integralerna används en cirkelskiva som utskärs av deV89.90.I den givna punkten:grad(ρ − cosϕ)grad(z − ρ sinϕ)sinϕ= e ρ + e ϕρ= − sinϕe ρ − cosϕe ϕ + e z±ˆn 1 = 1 √2(e ρ + e ϕ )±ˆn 2 = − 1 2 (e ρ + e ϕ ) + e z√2|ˆn 1 · ˆn 2 | = cosα = √ 12⇒ α = π 4∇T = 2ρe ρ − 2 ρ z2 sinϕcosϕe ϕ + 2z cos 2 ϕe z(∇T) P = 4e ρ − 1 2 e ϕ + e zdTds( ) dTdsmax= (∇T) P · eρ − 2e ϕ√ = √ 5 5√69= |(∇T) P | = i riktn. (∇T) P291. div gradφ ≡ 0, dvs. flödet = 0 om ytan ej skär z-axeln där fältet är singulärt.

646592. Potentialen φ bestäms av ekvationssystemet93.(1) har lösningen(4) → (2) ger:som har lösningen(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.ger∫ QP∂φ∂ρ = z2 sin 2 ϕ (1)1 ∂φρ ∂ϕ = z2 sin 2ϕ − z sinϕ (2)ρ∂φ∂z = cosϕ + 2ρz sin2 ϕ (3)φ = ρz 2 sin 2 ϕ + F(ϕ, z) (4)∂F= −z sinϕ∂ϕF = z cosϕ + G(z) (5)G = CdGdz = 0(konst.)φ(ρ, ϕ, z) = ρz 2 sin 2 ϕ + z cosϕ + CA · dr = φ(5, π 2 , −1) − φ(1, π √19 3, 1) =6 4 − 2∇ 2 A = graddivA − rotrotA =( ) 1 ∂= grad0 − rotρ ∂ρ (ρf)e z == d ( ) 1 ddρ ρ dρ (ρf) e ϕ = 01 dρ dρ (ρf) =aρf = aρ22 + bf = a 2 ρ + b ρ95. a) v = ω × r = ωρe ϕb)96. a)97.medför att v har en vektorpotential.c)kräversom gerdär F är en godtycklig funktion.divv = 1 ∂ρ ∂ϕ (ωρ) = 0rotA = ∂A ρ∂z e ϕ − 1 ∂A ρρ ∂ϕ e z = ωρe ϕdivB = Iµ 02πrotA = − 1 ρ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩∂A ρ∂z = ωρ∂A ρ∂ϕ = 0A ρ = ωρz + F(ρ)(1 ∂ 1ρ ∂ϕ ρ∂A z (ρ)∂ρ⇒ A z (ρ) = − Iµ 02π lnρ + C)= 0ρe ϕ = B = Iµ 0 e ϕ2π ρb) rotB = 0 visas enkelt.Betrakta en cirkel, Γ, som är koncentrisk med cylindern och som har radienR 1 > R.∮B · dr = {dr = R 1 dϕe ϕ på Γ} = Iµ ∫ 2π0 R 1 dϕ= Iµ 0 ≠ 02π 0 R 1Γ(Det område som Γ omsluter är inte enkelt sammanhängande.)⎧∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ 2 A⎪⎨∇ · e ϕ = 094. rotA ≡ 0, dvs. cirkulationen = 0 för alla kurvor som ej omkretsar z-axeln, därfältet är singulärt.⎪⎩∇ × e ϕ = 1 ρ e z∇ ×( 1ρ e z)= e ϕρ 2

6667ger∇ 2 e ϕ = − e ϕρ 2100.n P= gradr(3 + cosθ) = (3 + cosθ)e r + 1 r r(− sin θ)e θ98. a)b)c)∂ψ∇ψ = e r∂r + e 1 ∂ψθr ∂θ = 2 cosθr 3 e r + sinθr 3 e θ∇ × A ==e r re θ r sinθ e ϕ1∂ ∂ ∂r 2 =sinθ∂r ∂θ ∂ϕsin 2 θ∣ 0 0 ∣r1r 2 sinθ(2 sinθ cosθ sin 2 )θe r + re θr r 2 == 2 cosθr 3 e r + sinθr 3 e θ = ∇ψ∇ · ∇ψ = ∇ · (∇ × A) = 0∇ × (∇ × A) = ∇ × (∇ψ) = 0101.102.r P= re rcosα = n P · r P|n P ||r P | = 3 + cosθ√(3 + cosθ) 2 + sin 2 θα3 + cosθ= arccos √10 + 6 cosθgradp = 2r sinθ cosϕe r + r cosθ cosϕe θ − r sinϕe ϕ(gradp) P = 2 √ 2e r − √ 2e ϕRiktningsderivatan i den givna riktningen ärdpds( ) dpdsmaxom riktningen är ‖ gradp.= (2 √ 2e r − √ 12e ϕ ) · √ (e r + e ϕ ) = 1 2= | gradp| = √ 1099. a) ∇ 2 A = graddivA − rotrotAb) Man erhåller rote r = 0 och dive r = 2/r.graddive r = − 2 r 2e r ⇒ ∇ 2 e r = − 2 r 2e rc) Man finner attdive ϕ = 0Vidare är103.i riktningen −4e r − e θ .(∇T) PdTds( ) dTdsmax= − 1 2 e r − 1 8 e θ= (∇T) P · er + e ϕ√2= − 12 √ 2= |(∇T) P | = 1 8√17gradφ = Arote ϕ = 1 r cotθ e r − 1 r e θrotrote ϕ = − 1 dr 2e ϕdθ (cotθ) = 1r 2 sin 2 θ e ϕ⇒ ∇ 2 1e ϕ = −r 2 sin 2 θ e ϕdvs.∂φ∂r = 3 cos2 θ − 1r 4 (1)1 ∂φr ∂θ = sin2θr 4 (2)1 ∂φr sinθ ∂ϕ = 0 (3)(3) ⇒ φ = φ(r, θ)

6869(4) insatt i (2) ger:104. a) rotF = 0b)105.6 cosθ sinθ3r 4∫ QP(1) ⇒ φ = − 3 cos2 θ − 13r 3 + F(θ) (4)+ 1 r F ′ (θ) = sin2θr 4 ⇒ F(θ) = CA · dr = φ(Q) − φ(P) = 1 81 − (− 1 6divF = cos3θr 4 sinθc) Ja, eftersom rotF = 0. gradψ = F ger⎧∂ψ⎪⎨∂r = − 1 r 3 sin2θgervilket ger⎪⎩1 ∂ψr ∂θ = 1 r 3 cos2θψ = 1 sin 2θ2 r 2 + C)= 29162rot(A ϕ e ϕ ) = 1 ∂r sinθ ∂θ (A ϕ sinθ)e r − 1 ∂r ∂r (rA ϕ)e θ = e rr 21 ∂sinθ ∂θ (A ϕ sinθ) = 1 r(1)rA ϕ = F(θ, ϕ) (2)Om (2) sätts in i (1) fås∂(F sinθ) = sinθ∂θdvs.F sinθ = − cosθ + G(ϕ)1 ∂div(A ϕ e ϕ ) =r 2 sinθ ∂ϕ (rA ϕ) = 0ger A ϕ oberoende av ϕ, dvs.G(ϕ) = konst.Alltså:A = C − cosθr sinθ e ϕvilket ej är definierat på z-axeln.106. Eftersom rotationen av vektorfältet ≡ 0, och området är enkelt sammanhängande,existerar en potential φ. Man finner107.108.φ = lnr + ϕ + Cdär man måste välja variationsområdet för ϕ så att −π ≤ ϕ ≤ π för att potentialenska bli kontinuerlig.Linjeintegralen == ∇ 2 φ = ln 3 − πA = sinθ e θ + sinθ e ϕ ⇒ rotA = 2 cosθ e r − . . .∮ ∫∫rA · dr = rotA · dS =CS= {S är sfärytan, dS = r 2 sinθ dθ dϕe r , r = 1} ==∫ π/20dϕ∫ π/202 sinθ cosθ dθ = π 2förutsatt att en betraktare i origo ser en medurs orienterad kurva.∫∫Se θ dS =∫ π/2 ∫ π/2109. Rotationen = 0, dvs. cirkulationen = 0.(cosθ cosϕe x + cosθ sinϕe y −0 0( 1− sinθ e z )sinθ dθ dϕ =2 , 1 )2 , −π2 8110. Koordinatsystemet väljs så att linjen θ = 0 blir parallell med vektorn a. I så fallgällera)b)a · r =a × r =ar cosθar sinθ e ϕgrad(a · r) = a cosθ e r − a sinθ e θ = a1 ∂div(a × r) =r 2 (rar sinθ) = 0sinθ ∂ϕ

7071c)111. − 4 cosθr 4 e rrot(a × r) =e r re θ r sinθe ϕ1∂ ∂ ∂r 2 sinθ∂r ∂θ ∂ϕ=∣ 0 0 ar 2 sin 2 θ ∣= 2a cosθ e r − 2a sinθ e θ = 2ab)∫∫○S1+S2∫∫A · dS = ○S1∫∫A · dS + ○S2A · dSdär den yttre sfären har utåtriktad normal medan den inre sfären harinnåtriktad normal. Detta ger nettoresultatet 4π − 4π = 0.c) Ytan S får inte omsluta fältets singularitet i origo.114. Den första termen representerar flödet från en punktsänka, som befinner sig iområdet. Den ger bidraget −4πq. Den andra termen bidrar med∫ 2c−2c12pz 2 4πc 2 dz = 256πpc 5112.Alltså:∇ 2 e θ = graddive θ − rotrote θ1 ∂dive θ =r 2 sinθ ∂θ (r sinθ) = 1 cosθ( )r sinθ1 cosθgrad = ∂ ( ) 1 cosθe r + 1 ( )∂ 1 cosθe θ =r sinθ ∂r r sinθ r ∂θ r sinθ= − 1 cosθr 2 sinθ e r − 1 1r 2 sin 2 θ e θe r re θ r sinθ e ϕ1rote θ =∂ ∂ ∂r 2 sinθ= 1 ∂r ∂θ ∂ϕr e ϕ∣ 0 r 0 ∣e r re θ r sinθ e ϕ)1rot(r e 1∂ ∂ ∂ϕ =r 2 = 1 cosθsinθ∂r ∂θ ∂ϕr ∣ 0 0 r sinθ 1 2 sinθ e r∣r∇ 2 e θ = − 2 r 2 cosθsinθ e r − 1 r 2 1sin 2 θ e θ113. a) divA = 0 i sfären. Detta borde ge∫∫∫divAdV = 0medan ytintegralen∫∫∫∫○ A · dS = 1/R 2 ○ dS = 4πSS115. Den första termen är en punktsänka i punkten (3, −1, 0), vars avstånd frånsfärens medelpunkt är√(3 − 2)2 + (−1 − 1) 2 + (0 − 1) 2 = √ 6 < 3Punktsänkan ligger således inuti sfären och ger bidraget −4π. Gauss’ sats gerbidraget från den andra termen:∫∫∫6xy dVVDenna integral beräknas i koordinatsystemet K ′ vars origo ligger i sfärens medelpunkt:Alltså: Flödet = 428π.x ′ = x − 2, y ′ = y − 1 z ′ = z − 1∫∫∫6(x ′ + 2)(y ′ + 1)dV = 12V = 12 4 3 π33 = 432πV116. divA = 0. Fältet är singulärt i origo. Flödet genom en godtycklig yta sominnesluter origo = flödet genom en sfär med radien ε == 1 ε 4 ∫∫(3 cos 2 θ − 1)ε 2 sinθ dθ dϕ = 0117. a) Fältet är en superposition av en linjekälla och en punktsänka. Flödet =2π2 − 4π = 0.b)A · ˆn ==( 1ρ e ρ −)1(ρ 2 + z 2 ) (ρe 3/2 ρ + ze z )1√ρ2 + z 2 − 1ρ 2 + z 2 = 0 då ρ2 + z 2 = 1·(ρe ρ + ze z√ρ2 + z 2 )=

7273118. a)119. 8πb)∫∫1○S r e r · ˆn dS =e r /r 2 skulle ge 4π.=→f(θ) =∫∫∫∫∫∫2πε≤r≤f(θ)0sinθ dθdiv( 1r e rε≤r≤f(θ)∫ π ∫ f(θ)12 − cosθ)∫∫dV + ○r=ε1r dS =1r 2 r2 sinθ dr dθ dϕ + 4πε →0dr = 2π ln 3e r · ˆn dS = r 2 sinθ dθ dϕ∫∫ 1r r2 sinθ dθ dϕ = 2π ln 3120. divA = 2z. Fältet är singulärt på z-axeln, varifrån området tillförs flödetTotala flödet =121. Cirkulationen längs kurvanär∫√2+ 4−ε 2limε→02− √ z ε2 − 12πε dz =4−ε ε 2∫∫∫V∫ 42z dV − 16π = 80π3ρ = ρ 0 , z = z 0 , ϕ : 0 → 2π0(−2πz)dz = −16π∮A ·ˆt ds = {ˆt = e ϕ , ds = ρ 0 dϕ} ==∫ 2π0sinϕρ 2 ρ 0 dϕ = 00122. En dipol består av en punktkälla och en punktsänka. Flödena från dessa adderasså lösningen följer behandlingen av punktkällan i kompendiet.a)∫∫○= 4πq + (−4πq) = 0b)c)∫∫○∫∫○= 4πq + 0 = 4πq= 0 + 0 = 0123. Vi låter z-axeln vara parallell med e samt inför sfäriska koordinater:Fältet är källfritt för r ≠ 0 ty1 ∂divA =r 2 sinθ ∂rA = sin2 θr 2 e r( )r 2 sinθ sin2 θr 2 = 0Flödet ut genom S är lika stort som flödet ut genom en sfär S ε med radien ε ochmedelpunkten i origo.∫∫ ∫∫sin 2 θ○ A · dS = ○ε 2 e r · dS = {dS = e r ε 2 sinθ dθ dϕ} =S=124. Inför cylinderkoordinaterSε∫ π0sin 3 θ dθ∫ 2π0dϕ = 8 3 πA = (2xz, 2yz, −x 2 − y 2 ) = 2ρze ρ − ρ 2 e zFältlinjernas differentialekvationer blir:med lösningen:dρ2ρz = −dz ρ 2 , dϕ = 0⎧⎨ ρ 2 = −2z 2 + a⎩ ϕ = bFör fältlinjen genom (1, 1, 1) (ρ = √ 2, ϕ = π/4, z = 1) gäller att a = 4 ochb = π/4.Dess skärningspunkter med planet x + y = 1:ρ = 1 √2, ϕ = π 4 , z = ± √72

7475125. Differentialekvationerna är:De satisfieras avdρρ cosϕ = ρdϕρ 2 = dzρ sinϕ⎧⎨ ρ = a + sinϕ⎩ z = b − cosϕFör den sökta fältlinjen gäller a = b = 2.y = 0 ⇒ ϕ = 0 dvs. ρ = 2, z = 1 ellerϕ = π dvs. ρ = 2, z = 3126. Den sökta fältlinjen har ekv.: r = 4a sin 2 θ, ϕ = 0.r max = 4a för θ = π/2.127. φ(x) = φ 0 x/d128. φ(r) = φ 0 (1/r − 1/R 1 )/(1/R 2 − 1/R 1 )129. 0 Ledning: Använd medelvärdessatsen.130.I specialfallet erhålls:∂d∂t + 1 ∂ρ ∂ρ (ρv ρd) + 1 ∂ρ ∂ϕ (v ϕd) = κ(d = kρ ( ) ) 20 ρ2 −4v 0 ρ 0133.134.⎧⎪⎨φ =⎪⎩RV = V 0rRE = V 0r 2e r− γρ 06 (3R2 − r 2 ) 0 ≤ r ≤ R− γρ 0R 33rφ och ∂φ/∂r är kontinuerliga för r = R.R ≤ r < ±∞135. Sätt ψ = φ + ϕ, ϕ = 0 på S∫∫∫∫∫∫(gradψ) 2 dV − (gradφ) 2 dV =VV∫∫∫= (2 gradφ · gradϕ + (gradϕ) 2 )dV =V∫∫∫∫∫ ∫∫∫= 2 ○ ϕgradφdS − 2 ϕ∇ 2 φdV + (gradϕ) 2 dV =SVV∫∫∫= 0 + (gradϕ) 2 dV ≥ 0136.V∇ 2 φ = 0e z · gradφ = 0∇ 2 lnρ = 0131.132.V =T = T 0 + T d − T 0xdV 2 − V 1ln(R 2 /R 1 ) ln(ρ/R 1) + V 1E = − V 2 − V 1 e ρln(R 2 /R 1 ) ρgradlnρ = 1 ρ e ρ∫∫∫0 ==∫∫S∫∫−ε≤ρ≤R−h≤z≤h(φ 1 ρ − ∂φρ=ε−h≤z≤hemedan integranden = 0 på ytorna z = ±h.2h∫ 2π0φ(ε, ϕ)dϕ − 2hε lnε(φ∇ 2 lnρ − lnρ∇ 2 φ)dV =)∂ρ lnρ dS −(φ 1 ρ − ∂φ )∂ρ lnρ ρ dϕdz∫ 2π0∂φ∂ρ dϕ =

Då ε → 0 blir∫∫= 1 R= 1 ∫∫R137. Lägg origo i punkten r P : R ≡ r − r P .SS∫∫φdS − lnRS∫∫∫φdS − lnR∂φ∂ρ dS =V∇ 2 φdV4πhφ(0, −) =1 ∫∫φdSR S1γ =4πhRSätt in φ = T, ψ = 1/R i Greens sats II:(T ∇∫∫∫V 2 1 R − 1 ) ∫∫R ∇2 T dV = ○∗Här är∫∫= ○S− θe R · ˆnR 2∫∫dS + ○S∇ 2 1 R = 0∇ 2 T∇ 1 RRS−Sε= − 1 k κ i V ∗= −e RR 2= ε på S εˆn = e R på S ε∫∫∫κ⇒V kR dV =∗γkR∫∫SεdS + ○ T e R · e RR 2(T ∇ 1 R − 1 R ∇T )· ˆndS∫∫dS + ○Sε761∇T · ˆn dS (1)RFör de båda sista termerna i H.L. finner vi följande med hjälp av medelvärdessatsen:1ε∫∫Sε2 ○ T dS = 1 ε 2 T(P ′ )4πε 2 → 4πT(P)1ε∫∫Sε ○ ∇T · ˆn dS = {enl. Gauss’ sats} = 1 ∫∫∫∇ 2 T dV =εVε= − 1 ∫∫∫κ dV = − 1 kεkε κ(P ′′ ) 4 3 πε3 → 0Således blir (1) i limes då ε → 0:T(P) = 1 ∫∫∫κ4πk V R dV + 14π∫∫S○ θR · ˆnR 3 dS − 14πk∫∫S○ γR dSdvs.a = 14πk , b = 14π , c = − 14πkVε138. a) Konstruera volymen V som begränsas av dipolytan S, den av de räta linjernafrån P till randkurvan L genererade ytan S k samt S s , som är en delav en sfäryta (radie a).FältetPS sVLSS kA = −σ r − r P|r − r P | 3är en punktsänka i P. Således gäller∫∫○ A · ˆn dS = 0Menty A · ˆn = 0 på S k .∫∫⇒SS+Sk+Ss∫∫= −∫∫SsSk= 0∫∫= −σSsdS sa 2 = −σΩdär Ω är den rymdvinkel under vilken S s ses, dvs. den sökta rymdvinkeln.b) Om L upptar rymdvinkeln Ω 0 från en punkt P på dipolytan så är potentialen≈ −σΩ 0i en punkt omedelbart under ytan, ochi en punkt omedelbart över ytan≈ +σ(4π − Ω 0 )⇒ ∇ 2 φ = 4πσ77

7879139. Integralen =Alltså:∮ ∮⎧⎪= (r1 2 − 2r 1 · r 2 + r2 2 )dr e1 · dr 2 = [1] =⎨ 1 = (xe x − ye y )/ √ x 2 + y 2C1 C2e∮ ∮2 = (ye x + xe y )/ √ x 2 + y 2⎪ ⎩= − 2(r 1 · r 2 )dr 1 · dr 2 =e 3 = e zC1 C2∮ ∮Uppenbart gäller e i · e j = δ ij .= −2 dr 1 · (r 1 · r 2 )dr 2 = [2] =b)C1 C2∮ ∫∫1= −2 dr 1 · ˆn 2 × ∇ 2 (r 1 · r 2 )dS 2 = [3] =h 1 =2 √ x 2 + y = 12 2(u 2 1 + 4u2 2 )1/4C1 S2∮ ∫∫1= −2 dr 1 · ˆn 2 × r 1 dS 2 =h 2 =(u 2 1 C1 S2∮ ( ∫∫ ) + 4u2 2 )1/4h 3 = 1= 2 dr 1 · r 1 × ˆn 2 dS 2 =Alltså:C1S2( ∮ ) ∫∫= 2 dr 1 × r 1 · ˆn 2 dS 2 = [4] =divA =√(C1S2∫∫ ∫∫= 2 u 2 1= −4 ˆn 1 dS 1 · ˆn 2 dS + ∂ A 14u2 22∂u 1 (u 2 1 + + ∂ A 24u2 2 )1/4 ∂u 2 2(u 2 1 + + 4u2 2))1/4 S1S2∮ ∮∮ ∮[1] : r1dr 2 1 · dr 2 = r1dr 2 1 · dr 2 = 0+ ∂ A 3∂u 3 2 √ u 2 C1 C2C1 C21∮+ 4u2 2[2] : Integralsatsen φdr = . . . har använts.C[3] : ∇ 2 opererar bara på r 2 .143. a)⎧ √ √x2[4] : Resultatet av ex. 73 har använts.u = + y ⎪⎨2 + z 2 + z 0 ≤ u < ∞√ √x2v = + y 2 + z 2 − z 0 ≤ v < ∞140. e 1 = (1, 1, 2)/h 1 ,e 2 = (1, −3, 1)/h 2 ,e 3 = (7, 1, −4)/h 3 , h 1 = √ 6, h 2 = √ ⎪⎩√ 11, h 3 =tanϕ = y/x0 ≤ ϕ < 2π66b)141. a) a 3 bc4π/15z = 1 (u 2 0 − x2 + y 2 )2 u 2 , rotationsparaboloider0b) 594/5z = 1 ( x 2 + y 2 )2 v 2 − v02 , rotationsparaboloider0y = xtanϕ 0 , halvplan genom z-axeln142. a)⎧d)u ⎪⎨ 1 = x 2 − y 2(1 ∂φgradφ = √u 2 = xyu2 + v 2 ∂u e u + ∂φ )∂v e v + 1 ∂φuv ∂ϕ e ϕ⎪⎩ u 3 = ze)ger1e u = √ (v cosϕ, v sinϕ, u)u2 + v2 ⎧⎪ e ⎨ 1 /h 1 = ∇u 1 = 2(xe x − ye y )1ee 2 /h 2 = ∇u 2 = ye x + xe v = √ (u cosϕ, u sinϕ, −v)yu2 + v2 ⎪ ⎩ e 3 /h 3 = ∇u 3 = e ze ϕ = (− sinϕ, cosϕ, 0)

8081f)144. a)r = 1 2 grad(x2 + y 2 + z 2 ) = 1 ( u 22 grad + v 2 ) 2=2√u2 + v=2(ue u + ve v )2e rr 2 = − grad 1 r = 4(u 2 + v 2 ) (ue 5/2 u + ve v )∇u = e r sin 2 θ 2 + e θ sin θ 2 cos θ 2∇v = e r cos 2 θ 2 − e θ sin θ 2 cos θ 22∇w =r sinθ e 1ϕ =r sin θ 2 cos θ 2Ortogonaliteten framgår av dessa uttryck och eftersom e i = h i ∇u i får vi:√1 u + vh u =sin θ =u2√1 u + vh v =cos θ =v2h w= r sin θ 2 cos θ 2 = √ uve ϕ∇ 2 φ =∑ i= ∑ i= ∑ iDetta ger två villkor:a) ∇ 2 u i = 0b) ∇u i · ∇u j = δ ij |∇u i | 2∂φ∇ 2 u i + ∑ ∂u ii∂φ∇ 2 u i + ∑ ∂u ii∂ 2 φ∂u 2 |∇u i | 2i( ) ∂φ∇ · ∇u i = {enl. (1)} =∂u i∑j∂ 2 φ∂u i ∂u j∇u i · ∇u j =b) ∇ 2 u i = 0 tillämpat på u 1 , u 2 och u 3 ger med det enklaste valet av integrationskonstanter:u 1 = 1 ru 2 = lnu 3 = ϕSkalfaktorerna fås ur ∇u i = e i /h i :Alltså:(tan θ )2h 2 1 = 1 u 4 , h 2 2 = h 2 3 =1∇ 2 φ = u 4 ∂ 2 φ1∂u 2 11u 2 1 cosh2 u 2( ∂+ u 2 2 )φ1 cosh2 u 2∂u 2 + ∂2 φ2 ∂u 2 3b)=√ ( √uv 1 ∂ (u2 + uv)(u + v)uv(u + v) 2 +uv ∂u v+ ∂ √ )(v2 + uv)(u + v)uv=∂v u1(2u + v + 2v + u) = 3u + v145. a) Använd ∇ψ · dr = dψ med ψ = φ och ψ = u i i uttrycketdφ = ∑ i∂φ∂u idu i146.r = a(coshu cosv e x + sinhu sinv e y ) + we z∂r∂u = a(sinhucosv e x + coshu sinv e y )∂r∂v= a(− coshu sinv e x + sinhucosv e y )∂r∂w = e zTydligen ortogonala.h u = a√cosh 2 u sin 2 v + sinh 2 u cos 2 v = a√cosh 2 u − cos 2 vh v = h uh w = 1och vi får∇φ = ∑ i∂φ∂u i∇u i (1)Därför blir∇ 2 φ = 1 ∂ h v ∂φh u h v ∂u h u ∂u = 1 ∂ 2 φh u h v ∂u 2

8283∇ 2 φ = 0 har därför lösningenty ρ − y = ξ 2 , har viφ = Au + Bh ξ = √ ξ 2 + η 2Ellips 1:e ξ = 1 1√ (ξηe x − ξ5⎫⎪ 2 e y ) = √ 1 (ηe x − ξe y )ξ 2ρ 2ρ4 = coshu ⎬ h⇒ e u η = √ ξ 2 + η 2= 2 ⇒ u = ln 234 = sinhu ⎪1⎭ e η = √ (ξe x + ηe y ) 2ρeEllips 2:ζ = e z5⎫⎪3 = coshu ⎬b)⇒ e u ⎛ ⎞= 3 ⇒ u = ln 343 = sinhu ⎪ η −ξ 0⎭⎧(a ij ) = 1√ ⎜ ξ η 0 ⎟2ρ ⎝⎨√⎠Aln 2 + B = 00 0 2ρ⎩ Aln 3 + B = 2Tydligen är basvektorerna ortogonala. Enl. a) ärgerh ξ = √ ξ 2 + η 2 = √ 2ρ2A =hln 3 − ln 2η = √ ξ 2 + η 2B = − 2 ln2h ζ = 1ln 3 − ln 2varavAlltså:2divA = 1 ( ( ∂ ξφ = (u − ln 2)2ρ ∂ξ 2 (3η2 + ξ ))2 + ∂ ( η) )∂η 2 (3ξ2 + η 2 ) =ln 3 − ln 2= 1 ( 32ρ 2 (ξ2 + η 2 ) + 3 2 (ξ2 + η ))2 = 3147. a) Ureftersom 2ρ = ξ ⎧⎪ 2 + η 2 .ξ 2 = ρ − y ⎨ Alternativt kan A transformeras till (x, y, z) där man finnerη 2 = ρ + yA = (2xe x + ye y )⎪ ⎩ ζ = zvarav resultatet följer trivialt.har vi⎧⎪ 2ξ∇ξ = e ⎨ ρ − e y148.2η∇η = e ρ + e yr = (r cosϕsinθ, r sinϕsinθ, r cosθ)⎪ ⎩ ∇ζ = e zBilda v − u = 2r cosθ och vu = r 2 (1 − cos 2 θ) = r 2 sin 2 θ.Alltså:⇒ r = ( √ vu cosw, √ vu sinw, (v − u)/2)∇ξ = 1 e ξ = 1 1h ξ 2ξ ρ (xe x − (ρ − y)e y )√ ∇η = 1 e η = 1h1u =∂rv + uh η 2η ρ (xe ∣∂u∣ = 2 √ ux + (ρ + y)e y )√ h v =∂rv + u∣Då∂v∣ = 2 √ v|∇ξ| = 1√1 √ 2ρ(ρ − y)x2 + y|ξ| 2ρ2 + ρ 2 − 2ρy = = √ 1h w =∂r|ξ|2ρ 2ρ ∣∂w∣ = √ vu

8485Bilda u + v = 2r.⇒ gradφ = 2√ u√ v + u∂φ∂u e u + 2√ v√ v + u∂φ∂v e v + 1 √ vu∂φ∂w e w⇒ r = 1 2 (u + v)grad 1 (u + v) =2= 1 ( √ 2 u2 (u + v)1 √ e u + 2√ )v√ e v =2 v + u v + u152.⎛⎞cos 2 α − sinαcosα 0⎜ − sinα cosα sin⎝2 α 0 ⎟⎠0 0 0149. a)b)c)∇ 2 φ == 1 2√u2 + uve u + 1 2√v2 + uv e v( (1 ∂uv(u 2 + v 2 uv ∂φ )+ ∂ (uv ∂φ) ∂u ∂u ∂v ∂v)+ u2 + v 2φ = φ(u) ⇒ d (u dφ )= 0 ⇒ φ = a lnu + bdu duφ = a 2 lnr + a ln(1 + cosθ) + b2uv∂ 2 )φ∂ϕ 2 = 0153.⎛⎞0 sinα cosα⎜ sinα cos⎝2 α − sinαcosα ⎟⎠cosα − sinα cosα sin 2 α154. Vi harA ij x i x j + B i x i = 0 (1)A ′ ijx ′ ix ′ j + B ix ′ ′ i = 0 (2)Byt i, j mot r, s i (1):A rs x r x s + B r x r = {x r = a ir x ′ i, x s = a js x ′ j} == a ir a js A rs x ′ i x′ j + a irB r x ′ i = 0150. Ortogonaliteten framgår av att ∂r/∂u, ∂r/∂v och ∂r/∂ϕ är inbördes ortogonala.Ekvationen för φ:h u = h v = √ u 2 + v 2 ,(du dφ )= 0du duLösningen blir (sedan randvillkoren använts):1φ = φ 0ln √ ln u2 3 √ a3h ϕ = uv151. a) Det räcker med att konstatera att kolumnerna i (a ik ) är ortogonala samtatt det(a ik ) = 1.b)⎛⎞0 0 0T ′ = aTa T = ⎜ 0 − √ 2 0 ⎟⎝√ ⎠0 0 2Jämförelse med (2) ger A ′ ij = a ira js A rs och B ′ i = a irB r , dvs. A ij och B i ärkomponenter av tensorer.155. a) δ 11 + δ 22 + δ 33 = 1 + 1 + 1 = 3b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)Alternativt:ε ijk ε ljk= ε i12 ε l12 + ε i13 ε l13 + ε i23 ε } {{ l23 + }δil+ ε i21 ε l21 + ε i31 ε l31 + ε i32 ε } {{ l32 = 2δ } ilε ijk ε ljk = ε jki ε jkl = δ kk δ il − δ kl δ ik = 3δ il − δ il = 2δ ild) ε ijk ε ijk = antal jämna permutationer + antal udda = 6Alternativt:ε ijk ε ijk = δ jj δ kk − δ jk δ kj = 3 · 3 − δ jj = 9 − 3 = 6δil

8786= −ε ilj x l φ ,j + 0 − 0 − ε jlm x l x j φ ,im = −(r × ∇φ) i} {{ }156. a)160. a)A ′ ijkl(∮ ) ∮ ∫∫= a ir a js a kt a lu δ rs δ tu = a ir a jr a kt a lt = {a ik a jk = δ ij } =A × dr = ε ijk A j dx k = ε klm ε ijk A j,m dS l == δ ij δ kl = A ijklC i CS∫∫b)= (δ il δ jm − δ im δ jl )A j,m dS l =B ijkl ′ = a ir a js a kt a lu (δ rt δ su + δ ru δ st ) =S∫∫= (A j,j n i − A j,i n j )dS= a ir a js a kr a ls + a ir a js a ks a lr =S= δ ik δ jl + δ il δ jk = B ijklb)∫∫c) C ijkl = ε nij ε nkl = δ ik δ jl −δ il δ jk . Nu kan samma metod som i b) användas.((B · (ˆn × ∇))A + A(ˆn · rotB))dSS157. a) Yttre produkten av tensorerna A ij och B kl , en tensor av fjärde ordningen.c)∫∫b) A ij B ji erhålls som inre produkten mellan A ij och B kl . Ordningstalet är(Anoll (skalär).ij,j n i − A ij,i n j )dSSc) Denna tensor erhålls som partiella derivatan m.a.p. x k . Ordningstalet ärtre.d) Erhålls efter derivering av A ij m.a.p. x k resp. x l åtföljd av en kontraktion,161.∮l = i. Ordningstalet är två.− φA · dre) A ij A jk är en tensor av andra ordningen. Volymsintegrering ger en ny tensorCav samma ordning.162.158. a) div rotA = (ε ijk A k,j ) ,i = ε ijk A k,ji = 0 eftersom ε ijk är antisymmetrisk och(∫∫) ∫∫A k,ji symmetrisk vid byte av ordningen mellan i och j.(gradφ × GradA) · dS = ε ijk φ ,j A l,k dS i =b) B · ((A · ∇)C) − A · ((B · ∇)C)Sl S∫∫c) graddivA − ∇ 2 A= ε ijk ((φA l,k ) ,j − φA l,kj )dS i =Sd) (B · ∇)A + A divB − B divA − (A · ∇)B= {ε ijk A l,kj = 0} =e) 0∮f) −2 gradφ + r∇ 2 φ − (r · ∇)gradφ= φA l,k dx kCg) −2 rotA − (r · ∇)rotAh) 0i) rotB + (r · ∇)rotB163. a)j) −2 divB + r · ∇ 2 ∫∫∫∫∫∫B − (r · ∇)divB(∇ × (∇ × A)) i dV = ε ijk ε klm A m,lj dV =k) B × ((A · ∇)C) − C × ((A · ∇)B)VV∫∫= ○ (δ il δ jm − δ im δ jl )A m,l dS j =159.S∫∫(((r × ∇) × (r × ∇))φ) i == ○ (A j,i − A i,j )dS jS= (ε ijk (ε jlm x l ∂ m )(ε knp x n ∂ p ))φ =b)= ε jlm (δ in δ jp − δ ip δ jn )x l (x n,m φ ,p + x n φ ,pm ) = {x n,m = δ mn } =∫∫= ε jlm x l (δ im φ ,j + x i φ ,jm − δ jm φ ,i − x j φ ,im ) =○ (A × ∇φ) · dSS=0

8889= ε 0 ((E j E i ) ,j − E j E i,j )dV =(V∇ × m × r )= {E i = −φ ,i dvs. E i,j = −φ ,ij = −φ ,ji = E j,i } =r 3 =(∇ 1 )r 3 × (m × r) + 1 ∇ × (m × r) =r3 ∫∫∫= ε 0 ((E j E i ) ,j − 1V2 (E jE j ) ,i )dV = {Gauss’ sats} == − 3rr 5 × (m × r) + 1 (m(∇ · r) − (m · ∇)r) =r3 ∫∫= ○ ε 0 (E k E i − 1S 2 δ = − 3ikE j E j )dS kr 5 (mr2 − r(m · r)) + 1 (3m − m) =r3 3r(m · r)D i = ε 0 E i=r 5 − m r 3164.∫∫172.∫∫∫○ A(B · dS)(A div A − A × rotA) i dV =SV∫∫∫= e i (A i A j,j − ε ijk A j ε klm A m,l )dV =V165.∫∫∫= e i (A i A j,j − (δ il δ jm − δ im δ jl )A j A m,l )dV =((ˆn · ∇)E + ˆn × (∇ × E) − ˆn(∇ · E)) i =V∫∫∫= n j E i,j + ε ijk n j ε klm E m,l − n i E j,j == e i (A i A j,j − A j A j,i + A j A i,j )dV == n j E i,j + n j E j,i − n j E i,j − n i E j,j =V∫∫∫= n j E j,i − n i E j,j = ε mlk ε mji n l E j,k= e i (A i A j − 1V 2 δ ijA k A k ) ,j dV =Nu kan Stokes’ sats användas, men eftersom en sluten yta saknar randkurva, blir∫∫resultatet noll.= e i ○ (A i A j − 1S 2 δ ijA k A k )dS j =∫∫= e i ○ T ij dS j166. T ij = µ 0 (H i H j − δ ij H 2 /2)SFör A = E finner vi att med167. a) Nej, ty om T ik ≠ T ki i K så är Tik ′ ki ′ i alla K′ .Tb) Nej, ty SpT ↔ = 3, men SpT ↔′ ij = E i E j − 1= 0.2 δ ijE k E kgällerc) Nej, samma argument som i a).∫∫∫∫∫1ρ(r)E i (r)dV = ○ T ij dS jV ε 0 S168. a) F i är kontraktionen av T ij = m(ω 2 δ ij − ω i ω j ) och x j .b) Varje vektor i xy-planet är egenvektor med egenvärde mω 2 . Varje vektorparallell med e z är egenvektor med egenvärde noll. Detta gäller med ω =För A = B finner vi att medT ij = B i B j − 1 2 δ ijB k B k(0, 0, ω).gäller∫∫∫∫∫µ 0 (i × B) i dV = ○ T ij dS j169. a) M ij = (3x i x j − r 2 δ ij )/r 5b) λ 1,2 = −1/r 3 , λ 3 = 2/r 3 , e 3 ‖ rVS173. Med ∇r = e r får man170. a) F i = A ij v j , A ij = eε ijk B kb) λ 1,2 = ±ieB, λ 3 = 0, e 3 ‖ Bφ = 3(m 1 · e r )(m 2 · e r ) − m 1 · m 2r 3Givna värden insatta ger171.φ = 5 |m 1 ||m 2 |4 r∫∫∫ ∫∫∫F i = ρE i dV = ε 0 E j,j E i dV =V∫∫∫V174. Kan utföras på ett flertal sätt, t.ex.:

9091varavB = µ 0 3r(m · r) − mr 24π r 5Viktigt alternativ: Välj e z ‖ m ⇒ m = me zMed sfäriska koordinater:A =rotA =µ 0m sinθ4π r 2 e ϕµ (0m 2 cosθ4π r 3 e r + sinθ )r 3 e θ177.∇ · (ω × r) = r · (∇ × ω) − ω · (∇ × r) = 0 + 0∇ × (ω × r) = ω(∇ · r) − (ω · ∇)r = 3ω − ω = 2ω∇ · a = ∇ · ( ˙ω × r) + ∇ · (ω × (ω × r)) == 0 + ∇ · (ω(ω · r) − ω 2 r) == ω · ∇(ω · r) − ω 2 ∇ · r = ω · ω − 3ω 2 = −2ω 2∇ × a = ∇ × (ω(ω · r) − ω 2 r) = ∇(ω · r) × ω − ω 2 ∇ × r == ω × ω + 0 = 0175. a)b)i riktningen 2e r − e θ .SdVds = ∇V · ŝ = 2( ) dV= |∇V | = √ 10dsmax176. Enligt Gauss’ sats gäller∫∫ ∫∫∫○ E · dS = divEdV = 1 ∫∫∫ε 0ρ(r)dV = 1 Qε 0Alltså ärMenAlltsåV∫∫Q = ε 0 ○ E · dS = ε 0ρ 0 a 2 ( )x2S ε 0 a∫∫S○ a 2 + y2b 2 + z2c 2 dS∫∫○S∫∫x 2 dS = ○S= 1 ∫∫3 ○∫∫y 2 dS = ○ z 2 dS =SS= 4πa434πa 3Q = ρ 03(x 2 + y 2 + z 2 )dS = 1 ∫∫3 a2 ○ dS =V(1 + a2b 2 + a2c 2 )S178. Eftersom179.har viAlltså äri = 1 µ 0∇ × Bi × B = 1 (∇ × Ḅ) × B = 1 ((B · ∇)Ḅ − ∇(Ḅ · B)) =µ 0 µ 0= 1 ( )) 1((B · ∇)B − ∇µ 0 2 B · Bf = 1 µ 0(B · ∇)B − ∇(p + 12µ 0B 2 )( (p ∂divF =r 2 r 2 sinθ 2 cosθ )sinθ ∂r r 3 + ∂ (r sinθ sinθ ))∂θ r 3 == −p 2 cosθr 4 + p 2 cosθr 4 = 0e∣ r re θ r sinθ e ϕ∣rotF =1r 2 sinθ∣∂∂r2 cosθr 3∂∂θ∂∂ϕsinθr 2 0= (0, 0, 0)∣Kommentar: F = gradφ 1 + gradφ 2 där φ 1 och φ 2 är potentialer från plus- ochminusladdning, ger1) rotF = 0 ty rotgradφ = 02) ∇ · F = 0 ty ∇ 2 φ 1 = ∇ 2 φ 2 = 0180. a) (2xy − y − 2z, −y 2 , 2y)

9293b) (−6xy, xz,2x 2 y − y 3 )c) (−yz − z 2 , 2x 2 − y 2 , 0)d) (2, 2, 2x)181. Sätt A = gradφ.∫∫∫Vdiv(φrotB) = gradφ · rotB + φdiv rotB =A · rotB dV= gradφ · rotB∫∫∫∫= ○ φrotB · ˆn dS = φ S ○ rotB · ˆn dS =SS∫∫∫= φ S div rotB dV = 0182. Lägg z-axeln parallellt med a och inför sfäriska koordinater:Fältet är singulärt i origo.A = grad a cosθr 2VA = grad a cosθr 2= −2a cosθr 3divA = 0 då r ≠ 0e r − a sinθr 3 e θFlödet ut genom kuben = flödet ut genom en sfär kring origo.∫∫○ A · e r dS = − 2a ∫ πR 2π cosθ sinθ dθ = 0r=R183. Bilda D(r) ≡ A(r) − B(r). Vi vet attVidare gällerPå S gäller(1) och (2) leder till att φ = C, dvs.rotD = 0 ⇒ D = gradφ0divD = div gradφ = 0 (1)D · ˆn = 0 dvs. gradφ · ˆn = 0 (2)D ≡ 0 i V184.185.∫∫∫∫(∇φ × ∇ψ) · dS = (−∇ × (ψ∇φ) + ψ∇ × ∇φ) · dSSSMen ∇ × ∇φ = 0 och enligt Stokes’ sats är∫∫∮∇ × (ψ∇φ) · dS = ψ∇φ · drSOm nu C är en ekvipotentialkurva till φ så gäller där ∇φ ⊥ dr eller ∇φ · dr = 0.Alltså∫∫(∇φ × ∇ψ) · dS = 0Detta geroch ekvationen blirdvs.186. a)b)UrerhållsS∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ 2 A∇ · A = (n + 1)ρ n−1∇(∇ · A) = (n 2 − 1)ρ n−2 e ρ∇ × A = 0C∇ 2 A = (n 2 − 1)ρ n−2 e ρ(n 2 − 1 − m)ρ n−2 = 0n = ± √ 1 + mdivF = 1 r 2 ddr r2 f(r) = 0 ger f = C r 2∫CF · dr = Q 4π∫∫C○S r 2e r · dS = QC = Q 4π∫Cr · drr 3= Q 4π∫ r1Oberoende av vägen (rotF = 0 för |r| ≠ 0). Man får∫r 0= a √ 0 + 16 + 0 = 4ar0drr 2r 1 = a √ 0 + 16 + 9 = 5aF · dr = Q (− 1C 4π 5a + 1 )= Q4a 80πa

9495187. |a| = ω 2√ 1 + cos 4 ωtHär har vi utnyttjat att∇φ ‖ F och rotF = e r188.r 2 = − grad 1 r∫∫∫∫∫∫∫∫Enligt en annan variant av Gauss’ sats ärA · rotB dV = ○ (B × A) · dS + B · rotAdV∫∫∫ (VSV∇ φ 1 ) ∫∫dV = ○ φ 1 På S ärB = 0 + a 2 V r S r dSr ⇒ B × A = 0 på Soch vi har ∫∫ ∫∫Vidare är( )○ φF × dS = ○ φ 1 ∫∫∫1 1rotA = ∇r 2 + a 2 × r +r 2 + a 2 ∇ × r = 0 + 0SS r dS − 1V r ∇φdVVi har alltså∫∫∫191. a) Ur A(λx, λy, λz) = λ n A(x, y, z) får man genom deriveringA · rotB dV = 0(Vx ∂A∂x + y∂A ∂y + z ∂A )= nλ n−1 A(x, y, z)∂z189. Vi beräknar integralens komponent i e i -riktningen (i = 1, 2, 3):I limes då λ → 1 gäller därför∮ ∮(r · ∇)A = nAe i · · · · = e i · (a × r) × dr =CC∮b) Vi behöver= e i × (a × r) · dr = {enl. Stokes’ sats} =C∇(r · A) = (r · ∇)A + (A · ∇)r + r × (∇ × A) + A × (∇ × r) =∫∫= rot(e i × (a × r)) · dS= nA + A + r × (∇ × A) + 0Soch får nu∇ × (e i × (a × ṛ)) = (∇ · (a × ṛ))e i − (e i · ∇)(a × ṛ) == −(a · (∇ × ṛ) )e i − a × (e i · ∇)ṛ∇ · (r(r · A)) = (∇ · r)(r · A) + r · ∇(r · A) =} {{ } } {{ }=0= 3(r · A) + (n + 1)(r · A) + r · (r × (∇ × A)) ==ei∮ ∫∫∫∫= (n + 4)(r · A)⇒ e i · · · · = − (a × e i ) · dS = e i · a × dSCSSDen sökta integralen är således∫∫ ∫∫a × dS = ± a × b 192.× b∫∫ ∫∫dS = ±a πe i · e rSS b be i · ○ · · · = ○SS r 3 e r · ˆn dS = {Gauss’ sats} =ˆn = ± b ∫∫∫= ∇ · (e i · e r )e rbV r 3 dV∇ · (e i · r)e rr190. Enligt Gauss’ universalsats har vi:4 = e rr 4 · ∇(e i · r) +(e i · r) ∇ · er} {{ } r 4 =} {{ }=ei∫∫∫∫∫=−2/r 5(○ φF × dS = − rot(φF)dV == eSVi · − e ) ( )r1∫∫∫∫∫∫= − (∇φ × F)dV − φ e r 4 = e i · grad3r 3rVV r 2 dV =e i bryts ut ur integralen och då i = x, y och z inses att∫∫∫= φ∇ 1 ∫∫ ∫∫∫ ( ) 1V r dV =○ · · · = grad∫∫∫ (= ∇ φ 1 )S V 3r∫∫∫3 dV1dV −r r ∇φdVVV

9697193.195. a)∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫div(φB)dV = ∇φ · B dV + φdivBdV =e ϕ × ˆndS =VVV∫∫∫S∫∫= E · B dV= {ˆn = −e r } = − e θ dS =VS∫ π/2 ∫ π/2ty= − (cos θ cosϕ, cosθ sinϕ, − sinθ)sinθ dθ dϕ =divB = div rotA = 0 (1)0 0Gauss’ sats ger å andra sidan=(− 1 )∫∫∫∫∫ ∫∫2 , −1 2 , π28div(φB)dV = ○ φB · dS = φ ○ B · dS =VSSb) Låt S∫∫∫xy , S xz och S yz vara sidoytorna i xy-, xz- resp. yz-planet.∫∫= φ divBdV = 0V○ e ϕ × ˆn dS =−S+Sxy+Sxz+Syzenligt (1). Alltså∫∫∫∫∫∫∫∫∫1= − ∇ × e ϕ dV = −E · B dV = 0VV ρ e z dV =∫∫∫V1= −r sinθ e zr 2 sinθ dr dθ dϕ =∫ 1 ∫ π/2 ∫ π/2194.= − r dr dθ dϕe z = − π2∇ 2 0 0 0 8 e zA = graddivA − rotrotA =∫∫ ∫∫= d ( ) 1 ddρ ρ dρ (ρA ρ) e ρ + d ( ) 1 ddρ ρ dρ (ρA · · · = · · · = 0ϕ) e ϕ +Sxz Syz+ 1 (dρ dA )zeftersom ˆn ‖ e ϕ på S xz och S yz .e z = 0ρ dρ dρ∫∫∫∫∫∫( )d 1 ddρ ρ dρ (ρA ρ) = 0 ⇒ 1 e ϕ × ˆn dS = e ϕ × e θ dS = − e r dS =dρ dρ (ρA SxySxySxyρ) = a ⇒∫ 1 ∫ π/2⇒ d = − (cosϕ, sinϕ, 0)r dr dϕ =dρ (ρA ρ) = aρ ⇒ ρA ρ = c 1 ρ 2 0 0+ c 2 ⇒⇒ A ρ = c 1 ρ + c =(− 1 )22 , −1 2 , 0ρ∫∫ ∫∫ ∫∫P.s.s. erhållsA ϕ = c 3 ρ + c · · · = − · · · + · · · =(− 1 )4S2 , −1 2 , π28−S+Sxy Sxyρ(dρ dA )z= 0 ⇒ ρ dA zdρ dρdρ = c 5 ⇒196. rotA = 0 på S, A = 0 på C∮∫∫⇒ A z = c 5 lnρ + c 60 = ((e · r)A) · dr = {Stokes’ sats} = rot((e · r)A) · dS =Dvs.A = (c 1 ρ + c 2ρ )e ρ + (c 3 ρ + c CS4ρ )e ∫∫ϕ + (c 5 lnρ + c 6 )e z = (grad(e · r) ×A + (e · r)rotAS } {{ } } {{ }) · ˆn dS =e=0∫∫∫∫= ˆn · (e × A)dS = −e · (ˆn × A)dSSS

197.198.199. a)∫∫∫=====VDessutom äre = e x ,e y ,e z⇒∫∫(A × ˆn)dS = 0S(rotB) 2 = (rotA) 2 + (rotD) 2 + 2 rotA · rotD (1)div(D × rotA) = rotD · rotA − DrotrotA (2)rotrotA = graddivA − ∇ 2 A = −∇ 2 A = 0 (3)98D × ˆn = 0 ty A × ˆn = B × ˆn = C (4)∫∫∫(rotB) 2 dV − (rotA) 2 dV = {(1)} =V∫∫∫((rotD) 2 + 2 rotA · rotD)dV = {(2)} =V∫∫∫((rotD) 2 + 2 div(D × rotA) + 2D · rotrotA)dV = {(3)} =V∫∫∫∫∫(rotD) 2 dV + 2 ○ (D × rotA) · ˆn dS =VS∫∫∫∫∫(rotD) 2 dV + 2 ○ (ˆn × D) · rotAdS = {(4)} =VS∫∫∫(rotD) 2 dV ≥ 0Vvilket medför attrotA = αA ⇒ α 2 A = rotrotArotrotA = graddivA − ∇ 2 A∇ 2 A + rotrotA = (∇ 2 + α 2 )A = graddivA = grad∇ 2 ∇ 2 u = 1 (dρ d ( 1ρ dρ dρ ρ∇ 2 u = 1 (dρ duρ dρ dρuddρ( 1α div rotA )= 0(ρ du )))= 0dρ)= a lnρ + b= Aρ 2 lnρ + Bρ 2 + C lnρ + Db)∇ 2 ∇ 2 u =∇ 2 u =u =1 (dr 2 r 2 d ( 1 ddr dr r 2 dr1 (dr 2 r 2 dudr dr)= a r + bAr 2 + Br + C r + D(r 2 du )))= 0dr200. Sätt B = rotC.∫∫∫A · rotC dV =V∫∫∫= (div(C × A) + C · rotA} {{ })dV = {enl. Gauss’ sats} =V=0∫∫∫∫= ○ (C × A) · ˆn dS = ○ (ˆn × C) · A dS = 0S201. a) Man fårb)d 2Sd 2∇ · ∇φ = 1 r dr 2 rφ = 1 r dr 2 e−λr = λ2r e−λrför r ≠ 0. För r = 0 är ∇ 2 φ ej definierad. Utesluts origo genom att betraktavolymen mellan r = R och r = ε ger Gauss’ sats:∫∫ ∫∫∫∫∫ 1○ ∇φ · dS + ∇φ · dS = λ 2 r e−λr dVVi får alltsågerI(R) =Sλ 2 4π−∫ Rε∫ 2π ∫ π00Sεe −λr r dr −(e −λε − 1 ε 2 − λ )e r · (−e r ε 2 )sinθ dθ dϕ =ε= 4π(e −λε (1 + ελ) − e −λR (1 + Rλ) − e −λε (1 + λε))= −4πe −λR (1 + Rλ)( 1∇φ = −r 2 + λ )e −λr e rrdS =e r R 2 sinθ dθ dϕI(R) = −(1 + Rλ)e −λR 4π99