Exempelsamling Vektoranalys

2425110. Låt a vara en konstant vektor och r ortsvektorn. Beräknaa) grad(a · r)b) div(a × r)c) rot(a × r)genom att först transformera fälten a · r resp. a × r till ett lämpligt valt sfärisktkoordinatsystem, samt därefter tillämpa uttrycken på grad, div och rot i ettsfäriskt koordinatsystem.111. Beräkna( ) sinθ∇ 2 r 2 e θ .Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater med hjälp av formeln∇ 2 A = graddivA − rotrotA.115. Beräkna flödet av vektorfältet()1grad √(x − 3)2 + (y + 1) 2 + z + 2 xy3ut ur en sfär med radien 3 och medelpunkten (2, 1, 1).116. En kvadrupol i origo ger upphov till vektorfältet3 cos 2 θ − 1 sin 2θr 4 e r +r 4 e θ .Använd Gauss’ sats för att beräkna flödet av detta fält ut ur cylindern⎧⎨ x 2 + y 2 ≤ 9.⎩ −1 ≤ z ≤ 2112. Beräkna∇ 2 e θ .Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.Några viktiga vektorfält113. a) Visa med direkt beräkning att Gauss sats inte gäller förA(x, y, z) =(x, y, z)(x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 ,där S är sfärytan med radie R centrerad i origo som omsluter volymen V .Varför gäller inte satsen?b) Bekräfta med direkt integration att Gauss sats gäller för vektorfältet A i(a) när S är ytan S 1 med radie R 1 plus ytan S 2 med radie R 2 , och V ärvolymen mellan S 1 och S 2 .c) Vilket villkor måste ytan S uppfylla för att Gauss sats skall vara uppfylldför A i (a)?114. Beräkna flödet av vektorfältetut ur områdetgrad( q|r − c| + pz4 )⎧⎨ x 2 + y 2 ≤ 4c 2.⎩ |z| ≤ 2c117. Beräkna flödet av vektorfältet()1grad lnρ + √ρ2 + z 2ut ur områdeta) med hjälp av Gauss’ sats.b) genom direkt integration.118. Beräkna flödet av vektorfältetut genom rotationsellipsoidena) med hjälp av Gauss’ sats.b) genom direkt integration.ρ 2 + z 2 ≤ 1r =1r e r12 − cosθVilket svar hade man fått om fältet istället hade varit1r 2e r?