Exempelsamling Vektoranalys

545560.Alltså:∫∫∫∫S1S2rotA = (x − 2, x − y, y 2 )rotA · ˆn 1 dS 1 = 2 π 2∫∫rotA · ˆn 2 dS 2 =∮C∮S2−y 2 dxdy = −2CA · dr = π − 1 6A · dr =∫∫rotA = ae zS∫ 10rotA · dS(1 − y)y 2 dy = − 1 6Som S kan vi välja cylinderns mantelyta plus botten. På mantelytan är rotA ·dS = 0. Vi får alltså:∮ ∫∫∫∫A · dr = ae z · dS = a dxdy = πa 3Cbottenbotten61. Eftersom rotA = (1, 1, 1), ger Stokes’ sats tillämpad på den yta som utgörs avkoordinatplanen och begränsas av ellipsoiden:∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫A · dr = dxdy + dy dz + dz dx =62.CS1= π (ab + bc + ca)4rotA = (x + 4, 2, y − 1 − z)ˆn = − √ 1 (1, 1, 0) 2∮A · dr = − √ 1 ∫∫(x + 6)dS = − √ 6 π · 2 · 2 √ 2 = −24π2 2C63. a) r/r = e rb) 2r 3 (x + y + z) + 3r(x 3 + y 3 + z 3 )c) 3r(yz 2 − zy 2 , zx 2 − xz 2 , xy 2 − yx 2 )d) (2xz + z 2 , 3y 2 , x 2 + 2xz)e) 0SS2S3f) (x 2 − 2zy − 3z 2 , −2yz − 2xy, −3x 2 − 2xy + z 2 )g) (z 2 , y 2 , x 2 ) (här finns ingen indexräkning att göra!)h) (x 2 − z 2 )(−1, 0, 1)64. a)[∇ × (φA)] i = ǫ ijk ∂ j (φA k ) == ǫ ijk (∂ j φ)A k + φǫ ijk (∂ j A k ) == [gradφ × A + φrotA] ib)[∇ × (A × B)] i = ǫ ijk ∂ j (A × B) k == ǫ ijk ǫ klm ∂ j (A l B m ) == (δ il δ jm − δ im δ jl )((∂ j A l )B m + A l (∂ j B m )) == (∂ m A i )B m + A i (∂ m B m ) − (∂ l A l )B i − A j (∂ j B i ) == [(B · ∇)A + A divB − B divA − (A · ∇)B] ic) ∇ · (∇ × A) = ∂ i ǫ ijk ∂ j A k = 0d)[(B × C) · (∇ × A)] i = (ǫ ijk B j C k )(ǫ ilm ∂ l A m ) == (δ jl δ km − δ jm δ kl )B j C k (∂ l A m ) == B l C k (∂ l A k ) − B m C l (∂ l A m ) == [C · (B · ∇)A − B · (C · ∇)A] ie)[(B · ∇)(φA)] i = B j ∂ j (φA i ) == B j (∂ j φ)A i + φB j (∂ j A i ) == [A(B · ∇φ) + φ(B · ∇)A] if)[(B · ∇)(A × B)] i = B j ∂ j (ǫ ikl A k B l ) == ǫ ikl B j {(∂ j A k )B l + A k (∂ j B l )} == −ǫ ilk B l B j ∂ j A k + ǫ ikl A k B j ∂ j B l == [−B × (B · ∇)A + A × (B · ∇)B] ig)[A × (∇ × A)] i = ǫ ijk A j (∇ × A) k = ǫ ijk ǫ klm A j ∂ l A m == (δ il δ jm − δ im δ jl )A j ∂ l A m == A m ∂ i A m − A j ∂ j A i = 1 2 ∂ i(A m A m ) − A j ∂ j A i == [ 1 2 gradA2 − (A · ∇)A] i