Exempelsamling Vektoranalys

9495187. |a| = ω 2√ 1 + cos 4 ωtHär har vi utnyttjat att∇φ ‖ F och rotF = e r188.r 2 = − grad 1 r∫∫∫∫∫∫∫∫Enligt en annan variant av Gauss’ sats ärA · rotB dV = ○ (B × A) · dS + B · rotAdV∫∫∫ (VSV∇ φ 1 ) ∫∫dV = ○ φ 1 På S ärB = 0 + a 2 V r S r dSr ⇒ B × A = 0 på Soch vi har ∫∫ ∫∫Vidare är( )○ φF × dS = ○ φ 1 ∫∫∫1 1rotA = ∇r 2 + a 2 × r +r 2 + a 2 ∇ × r = 0 + 0SS r dS − 1V r ∇φdVVi har alltså∫∫∫191. a) Ur A(λx, λy, λz) = λ n A(x, y, z) får man genom deriveringA · rotB dV = 0(Vx ∂A∂x + y∂A ∂y + z ∂A )= nλ n−1 A(x, y, z)∂z189. Vi beräknar integralens komponent i e i -riktningen (i = 1, 2, 3):I limes då λ → 1 gäller därför∮ ∮(r · ∇)A = nAe i · · · · = e i · (a × r) × dr =CC∮b) Vi behöver= e i × (a × r) · dr = {enl. Stokes’ sats} =C∇(r · A) = (r · ∇)A + (A · ∇)r + r × (∇ × A) + A × (∇ × r) =∫∫= rot(e i × (a × r)) · dS= nA + A + r × (∇ × A) + 0Soch får nu∇ × (e i × (a × ṛ)) = (∇ · (a × ṛ))e i − (e i · ∇)(a × ṛ) == −(a · (∇ × ṛ) )e i − a × (e i · ∇)ṛ∇ · (r(r · A)) = (∇ · r)(r · A) + r · ∇(r · A) =} {{ } } {{ }=0= 3(r · A) + (n + 1)(r · A) + r · (r × (∇ × A)) ==ei∮ ∫∫∫∫= (n + 4)(r · A)⇒ e i · · · · = − (a × e i ) · dS = e i · a × dSCSSDen sökta integralen är således∫∫ ∫∫a × dS = ± a × b 192.× b∫∫ ∫∫dS = ±a πe i · e rSS b be i · ○ · · · = ○SS r 3 e r · ˆn dS = {Gauss’ sats} =ˆn = ± b ∫∫∫= ∇ · (e i · e r )e rbV r 3 dV∇ · (e i · r)e rr190. Enligt Gauss’ universalsats har vi:4 = e rr 4 · ∇(e i · r) +(e i · r) ∇ · er} {{ } r 4 =} {{ }=ei∫∫∫∫∫=−2/r 5(○ φF × dS = − rot(φF)dV == eSVi · − e ) ( )r1∫∫∫∫∫∫= − (∇φ × F)dV − φ e r 4 = e i · grad3r 3rVV r 2 dV =e i bryts ut ur integralen och då i = x, y och z inses att∫∫∫= φ∇ 1 ∫∫ ∫∫∫ ( ) 1V r dV =○ · · · = grad∫∫∫ (= ∇ φ 1 )S V 3r∫∫∫3 dV1dV −r r ∇φdVVV